高中不等式教案

第九章不等式(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)。

第九章不等式

一、基礎(chǔ)知識(shí)
不等式的基本性質(zhì)：
（1）aba-b0；（2）ab,bcac；
（3）aba+cb+c；（4）ab,c0acbc；
（5）ab,c0acbc;（6）ab0,cd0acbd;
（7）ab0,n∈N+anbn;（8）ab0,n∈N+;
（9）a0,|x|a-axa,|x|axa或x-a;
（10）a,b∈R，則|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
（11）a,b∈R，則(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;
（12）x,y,z∈R+，則x+y≥2,x+y+z
前五條是顯然的，以下從第六條開始給出證明。
（6）因?yàn)閍b0,cd0，所以acbc,bcbd，所以acbd；重復(fù)利用性質(zhì)（6），可得性質(zhì)（7）；再證性質(zhì)（8），用反證法，若，由性質(zhì)（7）得，即a≤b，與ab矛盾，所以假設(shè)不成立，所以；由絕對(duì)值的意義知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再證（10）的左邊，因?yàn)閨a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）顯然成立；下證（12），因?yàn)閤+y-2≥0，所以x+y≥，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，再證另一不等式，令，因?yàn)閤3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)成立。
二、方法與例題
1．不等式證明的基本方法。
（1）比較法，在證明AB或AB時(shí)利用A-B與0比較大小，或把（A，B0）與1比較大小，最后得出結(jié)論。
例1設(shè)a,b,c∈R+，試證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z,有x2+y2+z2
【證明】左邊-右邊=x2+y2+z2
所以左邊≥右邊，不等式成立。
例2若ax1，比較大?。簗loga(1-x)|與|loga(1+x)|.
【解】因?yàn)?-x1，所以loga(1-x)0,=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)log(1-x)(1-x)=1（因?yàn)?1-x21，所以1-x0,01-x1）.
所以|loga(1+x)||loga(1-x)|.
（2）分析法，即從欲證不等式出發(fā)，層層推出使之成立的充分條件，直到已知為止，敘述方式為：要證……，只需證……。
例3已知a,b,c∈R+，求證：a+b+c-3≥a+b
【證明】要證a+b+c≥a+b只需證，
因?yàn)椋栽坏仁匠闪ⅰ?br> 例4已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足0a≤b≤c≤，求證：
【證明】因?yàn)?a≤b≤c≤，由二次函數(shù)性質(zhì)可證a(1-a)≤b(1-b)≤c(1-c)，
所以，
所以，
所以只需證明，
也就是證，
只需證b(a-b)≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，顯然成立。所以命題成立。
（3）數(shù)學(xué)歸納法。
例5對(duì)任意正整數(shù)n(≥3)，求證：nn+1(n+1)n.
【證明】1）當(dāng)n=3時(shí)，因?yàn)?4=8164=43，所以命題成立。
2）設(shè)n=k時(shí)有kk+1(k+1)k，當(dāng)n=k+1時(shí)，只需證(k+1)k+2(k+2)k+1，即1.因?yàn)椋灾恍枳C，即證(k+1)2k+2[k(k+2)]k+1，只需證(k+1)2k(k+2)，即證k2+2k+1k2+2k.顯然成立。
所以由數(shù)學(xué)歸納法，命題成立。
（4）反證法。
例6設(shè)實(shí)數(shù)a0,a1,…,an滿足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0，求證ak≤0(k=1,2,…,n-1).
【證明】假設(shè)ak(k=1,2,…,n-1)中至少有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)ar是a1,a2,…,an-1中第一個(gè)出現(xiàn)的正數(shù)，則a1≤0,a2≤0,…,ar-1≤0,ar0.于是ar-ar-10，依題設(shè)ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1,2,…,n-1)。
所以從k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2≥…≥ar-ar-10.
因?yàn)閍n≥ak-1≥…≥ar+1≥ar0與an=0矛盾。故命題獲證。
（5）分類討論法。
例7已知x,y,z∈R+，求證：
【證明】不妨設(shè)x≥y,x≥z.
?。﹛≥y≥z，則，x2≥y2≥z2，由排序原理可得
，原不等式成立。
ⅱ）x≥z≥y，則，x2≥z2≥y2，由排序原理可得
，原不等式成立。

（6）放縮法，即要證AB，可證AC1,C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,CnB(n∈N+).
例8求證：
【證明】
，得證。
例9已知a,b,c是△ABC的三條邊長，m0，求證：
【證明】
（因?yàn)閍+bc），得證。
（7）引入?yún)⒆兞糠ā?br> 例10已知x,y∈R+,l,a,b為待定正數(shù)，求f(x,y)=的最小值。
【解】設(shè)，則，f(x,y)=
(a3+b3+3a2b+3ab2)=
，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。所以f(x,y)min=
例11設(shè)x1≥x2≥x3≥x4≥2,x2+x3+x4≥x1，求證：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.
【證明】設(shè)x1=k(x2+x3+x4)，依題設(shè)有≤k≤1,x3x4≥4，原不等式等價(jià)于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即
(x2+x3+x4)≤x2x3x4，因?yàn)閒(k)=k+在上遞減，
所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)
≤3x2=4x2≤x2x3x4.
所以原不等式成立。
（8）局部不等式。
例12已知x,y,z∈R+，且x2+y2+z2=1，求證：
【證明】先證
因?yàn)閤(1-x2)=,
所以
同理，
，
所以
例13已知0≤a,b,c≤1，求證：≤2。
【證明】先證①
即a+b+c≤2bc+2.
即證(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因?yàn)?≤a,b,c≤1，所以①式成立。
同理
三個(gè)不等式相加即得原不等式成立。
（9）利用函數(shù)的思想。
例14已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=1，求f(a,b,c)=的最小值。
【解】當(dāng)a,b,c中有一個(gè)為0，另兩個(gè)為1時(shí)，f(a,b,c)=，以下證明f(a,b,c)≥.不妨設(shè)a≥b≥c，則0≤c≤,f(a,b,c)=
因?yàn)?=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，
解關(guān)于a+b的不等式得a+b≥2(-c).
考慮函數(shù)g(t)=,g(t)在[）上單調(diào)遞增。
又因?yàn)?≤c≤，所以3c2≤1.所以c2+a≥4c2.所以2≥
所以f(a,b,c)=
≥
=
=
≥
下證0①c2+6c+9≥9c2+9≥0因?yàn)?，所以①式成立?br> 所以f(a,b,c)≥，所以f(a,b,c)min=
2．幾個(gè)常用的不等式。
（1）柯西不等式：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，則
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在λ∈R，使得對(duì)任意i=1,2,,n,ai=λbi,
變式1：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，則
等號(hào)成立條件為ai=λbi,(i=1,2,…,n)。
變式2：設(shè)ai,bi同號(hào)且不為0(i=1,2,…,n)，則
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn.
（2）平均值不等式：設(shè)a1,a2,…,an∈R+，記Hn=,Gn=,An=，則Hn≤Gn≤An≤Qn.即調(diào)和平均≤幾何平均≤算術(shù)平均≤平方平均。
其中等號(hào)成立的條件均為a1=a2=…=an.
【證明】由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下僅證Gn≤An.
1）當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；
2）設(shè)n=k時(shí)有Gk≤Ak，當(dāng)n=k+1時(shí)，記=Gk+1.
因?yàn)閍1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥
≥2kGk+1,
所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.
所以由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立。
（3）排序不等式：若兩組實(shí)數(shù)a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，則對(duì)于b1,b2,…,bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.
【證明】引理：記A0=0，Ak=，則=（阿貝爾求和法）。
證法一：因?yàn)閎1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk.
記sk=-(b1+b2+…+bk)，則sk≥0(k=1,2,…,n)。
所以-(a1b1+a2b2+…+anbn)=+snan≤0.
最后一個(gè)不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1,2,…,n-1,sn=0),
所以右側(cè)不等式成立，同理可證左側(cè)不等式。
證法二：（調(diào)整法）考察，若，則存在。
若(j≤n-1)，則將與互換。
因?yàn)?br> ≥0，
所調(diào)整后，和是不減的，接下來若，則繼續(xù)同樣的調(diào)整。至多經(jīng)n-1次調(diào)整就可將亂序和調(diào)整為順序和，而且每次調(diào)整后和是不減的，這說明右邊不等式成立，同理可得左邊不等式。
例15已知a1,a2,…,an∈R+，求證；a1+a2+…+an.
【證明】證法一：因?yàn)?，…，?an.
上述不等式相加即得≥a1+a2+…+an.
證法二：由柯西不等式(a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2，
因?yàn)閍1+a2+…+an0，所以≥a1+a2+…+an.
證法三：設(shè)a1,a2,…,an從小到大排列為，則，，由排序原理可得

=a1+a2+…+an≥，得證。
注：本講的每種方法、定理都有極廣泛的應(yīng)用，希望讀者在解題中再加以總結(jié)。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知0x1，a,b∈R+，則的最小值是____________.
2．已知x∈R+，則的最小值是____________.
3．已知a,b,c∈R，且a2+b2+c2=1,ab+bc+ca的最大值為M，最小值為N，則MN=___________.
4．若不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍是____________.
5．若不等式x+a的解是xm，則m的最小值是____________.
6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|8的解集是{x|-2x6}”的____________條件.
7．若a,b∈R+，則a+b=1，以下結(jié)論成立是__________.①a4+b4≥；②≤a3+b31；③；④；⑤；⑥
8．已知0，若，則=____________.
9．已知，p=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若，則比較大?。簆___________q.
10．已知a0,b0且ab,m=aabb,n=abba,則比較大?。簃_________n.
11．已知n∈N+，求證：
12．已知0a1，x2+y=0，求證：loga(ax+ay)≤loga2+.
13．已知x∈R，，求證：
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a,b,x∈R)，設(shè)m=AB,n=ab,P=A2+B2,q=a2+b2，則下列結(jié)論成立的有]__________.（1）m≥n,p≥q;（2）m≤n,p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.
2．已知a,b,c,d∈R，M=4(a-b)(c-d),N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，則比較大?。篗________N.
3．若R+，且，，將從小到大排列為________.
4．已知△ABC的三邊長a,b,c滿足b+c≤2a,a+c≤2b，則的取值范圍是________.
5．若實(shí)數(shù)x,y滿足|x|+|y|≤1，則z=x2-xy+y2的最大值與最小值的和為________.
6．設(shè)函數(shù)f(x)=(x∈[-4,2])，則f(x)的值域是________.
7．對(duì)x1x20,1a0，記，比較大?。簒1x2________y1y2.
8．已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)a的值為________.
9．設(shè)a≤bc是直角△ABC的三邊長，若不等式恒成立，則M最大值為________.
10．實(shí)系數(shù)方程x2+ax+2b=0的一個(gè)根大于0且小于1，另一個(gè)根大于1且小于2，則的取值范圍是________.
11．已知a,b,c∈R+且滿足a+b+c≥abc，求證：下列三個(gè)式子中至少有兩個(gè)成立：
12．已知a,b∈R+且，求證：對(duì)一切n∈N+，(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.
13．已知a,b,c∈R+，求證：
14．設(shè)x,y,z是3個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，求的最大值。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知a1,a2,b1,b2,c1,c∈R，a1c1-=a2c20,P=(a1-a2)(c1-c2),Q=(b1-b2)2，比較大小：P_______Q.
2．已知x2+y2-xy=1，則|x+y-3|+|x+y+2|=__________.
3．二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b，記M=max{|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|}，則M的最小值為__________.
4．設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比較大?。?br> 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).
5．已知xi∈R+,i=1,2,…,n且，則x1x2…xn的最小值為__________（這里n1）.
6．已知x,y∈R,f(x,y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值為__________.
7．已知0≤ak≤1(k=1,2,…,2n)，記a2n+1=a1,a2n+2=a2，則的最大值為__________.
8．已知0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1，則的最大值為__________.
9．已知≤x≤5，求證：
10．對(duì)于不全相等的正整數(shù)a,b,c，求證：
11．已知ai0(i=1,2,…,n)，且=1。又0λ1≤λ2≤…≤λn，求證：≤

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1，求證：
2．設(shè)整數(shù)x1,x2,…,xn與y1,y2,…,yn滿足1x1x2…xny1y2…ym,x1+x2+…+xny1+y2+…+ym，求證：x1x2xny1y2…ym.
3．設(shè)f(x)=x2+a，記f(x),fn(x)=f(fn-1(x))(n=2,3,…)，M={a∈R|對(duì)所有正整數(shù)n,|fn(0)|≤2}，求證：。
4．給定正數(shù)λ和正整數(shù)n(n≥2)，求最小的正數(shù)M（λ），使得對(duì)于所有非負(fù)數(shù)x1,x2,…,xn，有M(λ)
5．已知x,y,z∈R+，求證：(xy+yz+zx)
6．已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，求證：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等號(hào)成立的條件。

相關(guān)知識(shí)

第十五章復(fù)數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第十五章復(fù)數(shù)
一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。
2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。
4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。
7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對(duì)任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對(duì)任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時(shí)，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).
8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。
9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.
10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。
11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac0時(shí)方程的根為
二、方法與例題
1．模的應(yīng)用。
例1求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。
[證明]若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。
例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。
[解]因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號(hào)成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.復(fù)數(shù)相等。
例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個(gè)虛根，求λ滿足的充要條件。
[解]若方程有實(shí)根，則方程組有實(shí)根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ0無實(shí)根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以當(dāng)λ≠2時(shí)，方程無實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為λ≠2。
3．三角形式的應(yīng)用。
例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？
[解]由題設(shè)得
，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。
4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。
例5計(jì)算：（1）；（2）
[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100==)+()i，比較實(shí)部和虛部，得=-250，=0。
5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。
例6以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。
[證明]設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。
例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：ABAD+BCAD≥ACBD。
[證明]用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=π，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。
6．復(fù)數(shù)與軌跡。
例8ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。
[解]設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。
7．復(fù)數(shù)與三角。
例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[證明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則
z1+z2+z3=0。所以又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.
所以zi=1，即
由z1+z2+z3=0得①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解]令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以
8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。
例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c0≠0).
求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[證明]記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個(gè)zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.單位根的應(yīng)用。
例12證明：自⊙O上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2…An各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。
[證明]取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點(diǎn)A2A3…An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,則|z|=1,且=2n-
=2n-命題得證。
10．復(fù)數(shù)與幾何。
例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。
[證明]以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。
例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。
[證明]令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有__________組。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。
3.復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，則__________。
4．已知，則1+z+z2+…+z1992=__________。
5.設(shè)復(fù)數(shù)z使得的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。
6．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程-Λz=w的解為z=__________。
7.設(shè)0x1，則2arctan__________。
8.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的兩個(gè)虛根且，則__________。
9．若a,b,c∈C,則a2+b2c2是a2+b2-c20成立的__________條件。
10．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
12．復(fù)平面上定點(diǎn)Z0，動(dòng)點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1z=-1，②求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。
13．N個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,…,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復(fù)數(shù)w1,w2,…,wn滿足條件：wk=zk++h，其中k=1,2,…,n,h為已知實(shí)數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示w1,w2,…,wn的點(diǎn)p1,p2,…,pn都在一個(gè)焦距為4的橢圓上。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．復(fù)數(shù)z和cosθ+isinθ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對(duì)稱，則z=__________。
2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=__________。
3．有一個(gè)人在草原上漫步，開始時(shí)從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點(diǎn)，則n=__________。
4.若，則|z|=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式恒成立的實(shí)數(shù)λ的最大值為__________。
6．已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為邊逆時(shí)針作正方形OPQR，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為__________。
7．已知P為直線x-y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時(shí)針方向排列)。則點(diǎn)Q的軌跡方程為__________。
8．已知z∈C,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的__________條件。
9．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個(gè)數(shù)為__________。
10．設(shè)(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則+…+a3k-__________。
11.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1,其中A≠0，A∈C。證明：
（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時(shí)的復(fù)數(shù)z.
13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足求
|az1+bz2+cz3|的值。
三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是__________。
2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P，Q，R，當(dāng)P，Q，R不共線時(shí)，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則S到原點(diǎn)距離的最大值為__________。
3．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,…,z20,則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________。
4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為__________。
5．設(shè)，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為原點(diǎn)，∠AOB=900，|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。
6．設(shè)，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為__________。
7．已知()m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。
8．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=__________。
9.當(dāng)n∈N,且1≤n≤100時(shí)，的值中有實(shí)數(shù)__________個(gè)。
10．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足，且，，，則的值是__________。
11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問：集合C中有多少個(gè)不同的元素？
12．證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1，那么方程的所有根都是不相等的實(shí)根（n∈N+）.
13.對(duì)于適合|z|≤1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，要使0|αz+β|2總能成立，試問：復(fù)數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條件？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)非零復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足
其中S為實(shí)數(shù)且|S|≤2，求證：復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上。
2．求證：。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是復(fù)變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且|p(i)|1，求證：存在實(shí)數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.
4．運(yùn)用復(fù)數(shù)證明：任給8個(gè)非零實(shí)數(shù)a1,a2,…,a8，證明六個(gè)數(shù)a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)。
5．已知復(fù)數(shù)z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：|z|=1.
6.設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，求證：
|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。

第三章函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第三章函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1映射，對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，依對(duì)應(yīng)法則f，若對(duì)A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱f:A→B為一個(gè)映射。
定義2單射，若f:A→B是一個(gè)映射且對(duì)任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)則稱之為單射。
定義3滿射，若f:A→B是映射且對(duì)任意y∈B，都有一個(gè)x∈A使得f(x)=y，則稱f:A→B是A到B上的滿射。
定義4一一映射，若f:A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對(duì)應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1:A→B。
定義5函數(shù)，映射f:A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x對(duì)應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域?yàn)閧x|x≥0,x∈R}.
定義6反函數(shù)，若函數(shù)f:A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1:A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x).這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x,y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).
定理1互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。
定理2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。
定義7函數(shù)的性質(zhì)。
（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對(duì)任意的x1,x2∈I并且x1x2，總有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。
（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集，若對(duì)于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。
（3）周期性：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。
定義8如果實(shí)數(shù)ab，則數(shù)集{x|axb,x∈R}叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}記作閉區(qū)間[a,b]，集合{x|ax≤b}記作半開半閉區(qū)間（a,b]，集合{x|a≤xb}記作半閉半開區(qū)間[a,b)，集合{x|xa}記作開區(qū)間（a,+∞），集合{x|x≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞,a].
定義9函數(shù)的圖象，點(diǎn)集{(x,y)|y=f(x),x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。
定理3復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y=在（-∞,2）上是增函數(shù)。
注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。
二、方法與例題
1．?dāng)?shù)形結(jié)合法。
例1求方程|x-1|=的正根的個(gè)數(shù).
【解】分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。

例2求函數(shù)f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，記點(diǎn)P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A和B距離的差。
因?yàn)閨PA|-|PA|≤|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立。
所以f(x)max=
2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例3設(shè)x,y∈R，且滿足，求x+y.
【解】設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實(shí)上，若ab，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)遞增。
由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍。
【解】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】設(shè)x∈Ik，則2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因?yàn)閒(x)是以2為周期的函數(shù)，
所以當(dāng)x∈Ik時(shí)，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，則由①得n=0，但m,n不同時(shí)為0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，則由①得n0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。
綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解x=
3.配方法。
例7求函數(shù)y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當(dāng)x=-時(shí)，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。
4．換元法。
例8求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因?yàn)閤∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以該函數(shù)值域?yàn)閇2+，8]。
5．判別式法。
例9求函數(shù)y=的值域。
【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
當(dāng)y1時(shí)，①式是關(guān)于x的方程有實(shí)根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，
所以函數(shù)值域?yàn)閇，7]。
6．關(guān)于反函數(shù)。
例10若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函數(shù)。
【證明】設(shè)x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，則x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，則因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)上遞增，所以x1≥x2與假設(shè)矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)遞增。
例11設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(x)定義域?yàn)椋?∞，-）∪[-，+∞）；其次，設(shè)x1,x2是定義域內(nèi)變量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，設(shè)xy，則f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因?yàn)閤≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y滿足：對(duì)任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個(gè)。
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個(gè)；若f為滿射，則f有_______個(gè)；滿足f[f(x)]=f(x)的映射有_______個(gè)。
3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(diǎn)（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個(gè)交點(diǎn)。
4．函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇]，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域?yàn)開______。
5．已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域?yàn)開______。
6．已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x≥3時(shí)f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。
7．設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_______。
8．若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_______對(duì)稱。
9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_______。
10.函數(shù)y=,x∈(1,+∞)的反函數(shù)是_______。
11．求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定義在R上，對(duì)任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知a∈,f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域?yàn)開______。
2．設(shè)0≤a1時(shí)，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域?yàn)開______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，這樣的映射f有_______個(gè)。
4．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的值域?yàn)镽，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、、）。
5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x0)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_______。
7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P)∩f(M)=；②若P∩M，則f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,則f(P)∪f(M)=R；④若P∪MR，則f(P)∪f(M)R.其中正確的判斷是_______。
8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定義域?yàn)閇-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．設(shè)a0，函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。
11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（αβ），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對(duì)任意正數(shù)x1,x2，求證：2|α-β|.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個(gè)單位，然后向右平移2個(gè)單位后，再關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，得到的曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對(duì)任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=________.
6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7.函數(shù)f(x)=的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8.函數(shù)y=x+的值域?yàn)開_______.
9．設(shè)f(x)=,
對(duì)任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組：（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)k∈N+,f:N+→N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對(duì)任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求證：對(duì)任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對(duì)任意x≠0,f(x)=xf；（2）對(duì)所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.設(shè)f(x)對(duì)一切x0有定義，且滿足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，試求f(1).
3.f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x,y,x+y∈[0,1]時(shí)，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對(duì)滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4.試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．對(duì)給定的正數(shù)p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
當(dāng)x∈時(shí)，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。
8．函數(shù)y=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f:Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x,y∈Q+.

第十二章立體幾何(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第八章平面向量(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第八章平面向量

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時(shí)用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號(hào)用兩個(gè)大寫字母上面加箭頭，或一個(gè)小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。
定理1向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。
定理2非零向量a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)0，使得a=f
定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a,b不共線，則對(duì)同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得c=xa+yb，其中a,b稱為一組基底。
定義3向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x,y，使得c=xi+yi，則（x,y）叫做c坐標(biāo)。
定義4向量的數(shù)量積，若非零向量a,b的夾角為，則a,b的數(shù)量積記作ab=|a||b|cos=|a||b|cosa,b，也稱內(nèi)積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負(fù)值）。
定理4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，
1．a(chǎn)+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，
2．λa=(λx1,λy1),a(b+c)=ab+ac，
3．a(chǎn)b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=(a,b0),
4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.
定義5若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則。由此可得若P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x,y),(x2,y2)，則
定義6設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=個(gè)單位得到圖形，這一過程叫做平移。設(shè)p(x,y)是F上任意一點(diǎn)，平移到上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則稱為平移公式。
定理5對(duì)于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|ab|≤|a||b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】因?yàn)閨a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|ab|≥0,|a||b|≥0，
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1,x2,…,xn)，b=(y1,y2,…,yn)，同樣有|ab|≤|a||b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|ab|≥0,|a||b|≥0，
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)，同樣有|ab|≤|a||b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對(duì)于任意n個(gè)向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。
例1設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】記，若，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以
例2給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是
【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則
又因?yàn)锽C與GP互相平分，
所以BPCG為平行四邊形，所以BGPC，所以
所以
充分性。若，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則因?yàn)?，則，所以GBCP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對(duì)角線BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。
因?yàn)椋?br> 所以
=
=①
又因?yàn)?br> 同理，②
，③
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4△ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。
【證明】首先
=
其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE
又AHBC，所以AH//CE。
又EAAB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。
所以
所以，
所以，
所以與共線，所以O(shè)，G，H共線。
所以O(shè)G：GH=1：2。
3．利用數(shù)量積證明垂直。
例5給定非零向量a,b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.
【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.
例6已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為△ACD重心。求證：OECD。
【證明】設(shè)，
則，
又，
所以
a(b-c).（因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因?yàn)锳B=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。
所以a(b-c)=0.所以O(shè)ECD。
4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
例7已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。
【證明】如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則=(x,y-1),，因?yàn)?，所?x-(y-1)=0.
又因?yàn)?，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
設(shè)，則。由和共線得
所以，即F，
所以=4+，所以AF=AE。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(ab)c=(ac)b；③若ab=ac，則b=c；④若a,b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m,y=n；⑤若，且a,b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①；②；③；④與，相等的有__________.
3．已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,ab=0，則|x|+|y|=__________.
4．設(shè)s,t為非零實(shí)數(shù)，a,b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.
5．已知a,b不共線，=a+kb,=la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________條件.
6．在△ABC中，M是AC中點(diǎn)，N是AB的三等分點(diǎn)，且，BM與CN交于D，若，則λ=__________.
7．已知不共線，點(diǎn)C分所成的比為2，，則__________.
8．已知=b,ab=|a-b|=2，當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，a與b的夾角為__________.
9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1,-1),若，cb=4，則b的坐標(biāo)為__________.
10．將向量a=(2,1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為__________.
11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，試問與的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。
12．在四邊形ABCD中，，如果ab=bc=cd=da，試判斷四邊形ABCD的形狀。

四、高考水平訓(xùn)練題
1．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是此平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的________心。
2．在△ABC中，，且ab0，則△ABC的形狀是__________.
3．非零向量，若點(diǎn)B關(guān)于所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為B1，則=__________.
4．若O為△ABC的內(nèi)心，且，則△ABC的形狀為__________.
5．設(shè)O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部，且，則△AOB與△AOC的面積比為__________.
6．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是△ABC的__________心.
7．已知，則||的取值范圍是__________.
8．已知a=(2,1),b=(λ,1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.
9．在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則的最小值為__________.
10．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},mjMN=__________.
11．設(shè)G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，
（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。
12．已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），有一點(diǎn)P使得成公差小于零的等差數(shù)列。
（1）試問點(diǎn)P的軌跡是什么？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),為與的夾角，求tan.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），當(dāng)實(shí)數(shù)p,q滿足時(shí)，若點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對(duì)邊長分別為a,b,c.O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則=___________（用a,b,c,x,y,z表示）.
3．已知平面上三個(gè)向量a,b,c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.
4．平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，D滿足，則的取值有___________個(gè).
5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點(diǎn)，則取值的集合是___________.
6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為△ABC的角，若sinA+sinB+sinC，則點(diǎn)O為△ABC的___________心.
7．對(duì)于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________條件.
8．在△ABC中，，又(cb)：(ba)：(ac)=1：2：3，則△ABC三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.
9．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，CP交AB于D，求證：
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1,a2)為V中的一個(gè)單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(xa)a(x∈V)確定，
（1）對(duì)于V的任意兩個(gè)向量x,y,求證：T(x)T(y)=xy；
（2）對(duì)于V的任意向量x，計(jì)算T[T(x)]-x；
（3）設(shè)u=(1,0)；，若，求a.
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點(diǎn)，P和R為射線AX上兩點(diǎn)，Q和S為射線BY上的兩點(diǎn)，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點(diǎn)，為另一定比，試問M，N，T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點(diǎn)共線，求r.
3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)M，點(diǎn)P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求比值EH：HG。
5．是否存在四個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直？
6．已知點(diǎn)O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的AiOAj，這里的i,j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個(gè)不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N，求證：（1）OBDF，OCDE，（2）OHMN。
8．平面上兩個(gè)正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點(diǎn)O作，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為的向量a,b,c,d，任何兩個(gè)不共線，求證：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.