高三理科數(shù)學(xué)推理與證明總復(fù)習(xí)教學(xué)案。

第十四章推理與證明

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解合情推理的含義.
2.能利用歸納與類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.
3.體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
4.了解演繹推理的重要性.
5.掌握演繹推理的基本模式：“三段論”.
6.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.
7.了解演繹推理、合情推理的聯(lián)系與區(qū)別.
8.了解直接證明的兩種基本方法：分析法與綜合法.
9.了解分析法與綜合法的思維過(guò)程、特點(diǎn).
10.了解反證法是間接證明的一種基本方法及反證法的思維過(guò)程、特點(diǎn).
11.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.
12.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.本章重點(diǎn)：1.利用歸納與類(lèi)比進(jìn)行推理；2.利用“三段論”進(jìn)行推理與證明；3.運(yùn)用直接證明(分析法、綜合法)與間接證明(反證法)的方法證明一些簡(jiǎn)單的命題；4.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想與證明步驟；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n(n∈N*)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.
本章難點(diǎn)：1.利用歸納與類(lèi)比的推理來(lái)發(fā)現(xiàn)結(jié)論并形成猜想命題；2.根據(jù)綜合法、分析法及反證法的思維過(guò)程與特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖C明方法證明命題；3.理解數(shù)學(xué)歸納法的思維實(shí)質(zhì)，特別是在第二個(gè)步驟要根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行推理與證明.“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.本章要求考生通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的回顧與總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等數(shù)學(xué)思維過(guò)程以及合情推理、演繹推理之間的聯(lián)系與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法.
本章是新課程考綱中新增的內(nèi)容，考查的范圍寬，內(nèi)容多，涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面，與舊考綱相比，增加了合情推理等知識(shí)點(diǎn)，這為創(chuàng)新性試題的命制提供了空間.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

14.1合情推理與演繹推理

典例精析
題型一運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論
【例1】通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.
左邊＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右邊.
【點(diǎn)撥】先猜后證是一種常見(jiàn)題型；歸納推理的一些常見(jiàn)形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”(周期性).
【變式訓(xùn)練1】設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，斜邊上的高為h，則有a＋b＜c＋h成立，某同學(xué)通過(guò)類(lèi)比得到如下四個(gè)結(jié)論：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是；
進(jìn)一步類(lèi)比得到的一般結(jié)論是.
【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).
題型二運(yùn)用類(lèi)比推理拓展新知識(shí)
【例2】請(qǐng)用類(lèi)比推理完成下表：
平面空間
三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積
三角形的面積等于任意一邊的長(zhǎng)度與這邊上的高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個(gè)底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積的一半
【解析】本題由已知的前兩組類(lèi)比可得到如下信息：
①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類(lèi)比對(duì)象；②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類(lèi)比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類(lèi)比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類(lèi)比對(duì)象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類(lèi)比對(duì)象.
由以上分析可知：
故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.
本題結(jié)論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明，此處從略.
【點(diǎn)撥】類(lèi)比推理的關(guān)鍵是找到合適的類(lèi)比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類(lèi)比到立體幾何中，得到類(lèi)似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類(lèi)比列表如下：
平面空間
點(diǎn)線
線面
圓球
三角形三棱錐
角二面角
面積體積
周長(zhǎng)表面積
……
【變式訓(xùn)練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離為hi(i＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k，則＝；(2)類(lèi)比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，則＝.
【解析】2Sk；3VK.
題型三運(yùn)用“三段論”進(jìn)行演繹推理
【例3】已知函數(shù)f(x)＝lnax－x－ax(a≠0).
(1)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
(2)求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥lnenn！.
【解析】(1)由題意f′(x)＝x－ax2.
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
此時(shí)函數(shù)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，＋∞)上是增函數(shù)，
fmin(x)＝f(a)＝lna2，無(wú)最大值.
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)，
此時(shí)函數(shù)在(－∞，a)上是減函數(shù)，在(a,0)上是增函數(shù)，
fmin(x)＝f(a)＝lna2，無(wú)最大值.
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝lnx－x－1x≥f(1)＝0，
故1x≥1－lnx＝lnex，
取x＝1,2,3，…，n，則1＋12＋13＋…＋1n≥lne＋lne2＋…＋lnen＝lnenn！.
【點(diǎn)撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論”是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題出現(xiàn)的頻率較大.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx－1x＋1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，
(1)若對(duì)任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值；
(2)求證：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*).
【解析】(1)由條件得到f(1)＜2＜2k＜2ln2＋1＜3，猜測(cè)最大整數(shù)k＝2，
現(xiàn)在證明＜x＋1對(duì)任意x＞0恒成立：
＜x＋1等價(jià)于2－3x＋1＜ln(x＋1)ln(x＋1)＋3x＋1＞2，
設(shè)h(x)＝ln(x＋1)＋3x＋1，則h′(x)＝1x＋1－3(x＋1)2＝x－2(x＋1)2.
故x∈(0,2)時(shí)，h′(x)＜0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0.
所以對(duì)任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln3＋1＞2，即＜x＋1對(duì)任意x＞0恒成立，
所以整數(shù)k的最大值為2.
(2)由(1)得到不等式2－3x＋1＜ln(x＋1)，
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n＋1)]＝2n－3[11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1＞2n－3，
所以原不等式成立.
總結(jié)提高
合情推理與演繹推理是兩種基本的思維推理方式.盡管合情推理(歸納、類(lèi)比)得到的結(jié)論未必正確，但歸納推理與類(lèi)比推理具有猜想和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供證明的新思路的重要作用，特別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以由熟悉的、已知的知識(shí)領(lǐng)域運(yùn)用歸納、類(lèi)比思維獲取發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的靈感去探索陌生的、未知的知識(shí)領(lǐng)域.演繹推理是數(shù)學(xué)邏輯思維的主要形式，擔(dān)負(fù)著判斷命題真假的重要使命.如果說(shuō)合情推理是以感性思維為主，只需有感而發(fā)；那么演繹推理則是以理性思維為主，要求言必有據(jù).在近幾年高考中一道合情推理的試題往往會(huì)成為一套高考試題的特色與亮點(diǎn)，以彰顯數(shù)學(xué)思維的魅力.其中數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的歸納、等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面與空間、圓錐曲線與圓、楊輝三角等的類(lèi)比的考查頻率較大.而演繹推理的考查則可以滲透到每一道試題中.

14.2直接證明與間接證明

典例精析
題型一運(yùn)用綜合法證明
【例1】設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：1a＋1b＋1ab≥8.
【證明】因?yàn)閍＋b＝1，
所以1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝1＋ba＋1＋ab＋a＋bab≥2＋＋a＋b(a＋b2)2＝2＋2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝12時(shí)等號(hào)成立.
【點(diǎn)撥】在用綜合法證明命題時(shí)，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從已知逐漸引出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)a，b，c＞0，求證：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
【證明】因?yàn)閍，b，c＞0，根據(jù)基本不等式，
有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.
三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).
即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
題型二運(yùn)用分析法證明
【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長(zhǎng)，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求證：I2＜4S.
【證明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，
故要證I2＜4S，只需證a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.
欲證上式，只需證a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，
即證(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，
只需證三括號(hào)中的式子均為負(fù)值即可，
即證a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，
即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，
顯然成立，因?yàn)槿切稳我庖贿呅∮谄渌麅蛇呏?
故I2＜4S.
【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點(diǎn)，可探求解題途徑.
(2)應(yīng)用分析法證明問(wèn)題時(shí)要注意：嚴(yán)格按分析法的語(yǔ)言表達(dá)；下一步是上一步的充分條件.
【變式訓(xùn)練2】已知a＞0，求證：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.
【證明】要證a2＋1a2－2≥a＋1a－2，
只要證a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.
因?yàn)閍＞0，故只要證(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，
即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，
從而只要證2a2＋1a2≥2(a＋1a)，
只要證4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，
而該不等式顯然成立，故原不等式成立.
題型三運(yùn)用反證法證明
【例3】若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y＞2.求證：1＋xy＜2或1＋yx＜2中至少有一個(gè)成立.
【證明】假設(shè)1＋xy＜2和1＋yx＜2都不成立.則1＋xy≥2，1＋yx≥2同時(shí)成立.
因?yàn)閤＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
兩式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y＞2相矛盾.
因此1＋xy＜2與1＋yx＜2中至少有一個(gè)成立.
【點(diǎn)撥】一般以下題型用反證法：①當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡(jiǎn)單、更具體、更明確；②否定命題，唯一性命題，存在性命題，“至多”“至少”型命題；③有的肯定形式命題，由于已知或結(jié)論涉及到無(wú)限個(gè)元素，用直接證明形式比較困難因而往往采用反證法.
【變式訓(xùn)練3】已知下列三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0；x2＋(a－1)x＋a2＝0；x2＋2ax－2a＝0，若至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】假設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有
由(4a)2－4(－4a＋3)＜0，得4a2＋4a－3＜0，即－32＜a＜12；
由(a－1)2－4a2＜0，得(a＋1)(3a－1)＞0，即a＜－1或a＞13；
由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.
以上三部分取交集得M＝{a|－32＜a＜－1}，則三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍為RM，即{a|a≤－32或a≥－1}.
總結(jié)提高
分析法與綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：分析法是執(zhí)果索因，比較容易尋求解題思路，但敘述繁瑣；綜合法敘述簡(jiǎn)潔，但常常思路阻塞.因此在實(shí)際解題時(shí)，需將兩者結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法簡(jiǎn)潔地?cái)⑹鼋忸}過(guò)程.從邏輯思維的角度看，原命題“pq”與逆否命題“qp”是等價(jià)的，而反證法是相當(dāng)于由“q”推出“p”成立，從而證明了原命題正確.因此在運(yùn)用反證法的證明過(guò)程中要特別注意條件“q”的推理作用.綜合法與分析法在新課標(biāo)中第一次成為獨(dú)立的顯性的課題，預(yù)測(cè)可能有顯性的相關(guān)考試命題.反證法證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾或與定義、公理、公式事實(shí)矛盾等.

14.3數(shù)學(xué)歸納法

典例精析
題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式
【例1】是否存在常數(shù)a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說(shuō)明理由.
【解析】假設(shè)存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立.
當(dāng)n＝1時(shí)，a(b＋c)＝1；
當(dāng)n＝2時(shí)，2a(4b＋c)＝6；
當(dāng)n＝3時(shí)，3a(9b＋c)＝19.
解方程組解得
證明如下：
當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立；
假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝13k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝13(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝13(k＋1)[2(k＋1)2＋1].
因此存在a＝13，b＝2，c＝1，使等式對(duì)一切n∈N*都成立.
【點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式時(shí)要弄清等式兩邊的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律：由n＝k到n＝k＋1時(shí)等式左右各如何增減，發(fā)生了怎樣的變化.
【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n∈N*時(shí)，11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1)＝n2n＋1.
【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝11×3＝13，右邊＝12×1＋1＝13，
左邊＝右邊，所以等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)
＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12k＋3＝k＋12(k＋1)＋1，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.
由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立.
題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題
【例2】已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，是否存在自然數(shù)m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即f(k)＝(2k＋7)3k＋9能被36整除.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝(2k＋9)3k＋1＋9＝3[(2k＋7)3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由假設(shè)知3[(2k＋7)3k＋9]能被36整除，又3k－1－1是偶數(shù)，
故18(3k－1－1)也能被36整除.即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立.
故由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n都有f(n)能被36整除.
由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.
【點(diǎn)撥】與正整數(shù)n有關(guān)的整除性問(wèn)題也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.在證明n＝k＋1結(jié)論也成立時(shí)，要注意“湊形”，即湊出歸納假設(shè)的形式，以便于充分利用歸納假設(shè)的條件.
【變式訓(xùn)練2】求證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
【證明】方法一：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.
由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，
所以n＝k＋1時(shí)命題也成立.
根據(jù)①②可知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立.
方法二：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k＋2－8k－9＝64m(m為大于1的自然數(shù))，將32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得
f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，所以n＝k＋1時(shí)命題也成立.
根據(jù)①②可知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立.
題型三數(shù)學(xué)歸納法在函數(shù)、數(shù)列、不等式證明中的運(yùn)用
【例3】(2009山東)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值；
(2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求證：對(duì)任意的n∈N*，不等式b1＋1b1
b2＋1b2…bn＋1bn＞n＋1成立.
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上，
所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)).
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝b＋r；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1.
又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，故r＝－1且公比為b.
(2)當(dāng)b＝2時(shí)，an＝2n－1，
所以bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n(n∈N*)，
所以bn＋1bn＝2n＋12n，
于是要證明的不等式為3254…2n＋12n＞n＋1對(duì)任意的n∈N*成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
當(dāng)n＝1時(shí)，32＞2顯然成立.
假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即3254…2k＋12k＞k＋1.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，3254…2k＋12k2k＋32k＋2＞k＋12k＋32k＋2＝k＋1(2k＋32k＋2)2＝(2k＋3)24(k＋1)
＝[2(k＋1)＋1]24(k＋1)＝4(k＋1)2＋4(k＋1)＋14(k＋1)＝(k＋1)＋1＋14(k＋1)＞(k＋1)＋1，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立，所以原不等式對(duì)任意n∈N*成立.
【點(diǎn)撥】運(yùn)用歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，需進(jìn)行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)必須要利用歸納假設(shè)的條件，并且靈活運(yùn)用放縮法、基本不等式等數(shù)學(xué)方法.
【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1＋ax(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，且函數(shù)g(x)＝f(x)＋b在(0，＋∞)上有零點(diǎn)，求b的最大值；
(2)若f(x)在(1,2)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)在(1)的條件下，數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝f(an)－f′(an)，求|an＋1－an|的最小值.
【解析】(1)f′(x)＝ex－1－ax2，又函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，
所以f′(1)＝0，即a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
g′(x)＝ex－1－1x2，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，g′(x)＝0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù).
所以g(x)在x＝1時(shí)取得極小值g(1)＝2＋b，依題意g(1)≤0，所以b≤－2，
所以b的最大值為－2.
(2)f′(x)＝ex－1－ax2，
當(dāng)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增時(shí)，ex－1－ax2≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex－1，
令h(x)＝x2，則h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，
所以h(x)在[1,2]上的最小值為h(1)＝1，所以a≤1；
當(dāng)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減時(shí)，同理a≥x2ex－1，
h(x)＝x2ex－1在[1,2]上的最大值為h(2)＝4e，所以a≥4e.
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1或a≥4e.
(3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝1x＋1x2，因此an＋1＝1an＋1a2n，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n＝1時(shí)，a3＝34，a4＝289，結(jié)論成立；
②設(shè)n＝k，k∈N*時(shí)結(jié)論成立，即0＜a2k＋1＜1，a2k＋2＞2，
則n＝k＋1時(shí)，a2k＋3＝1a2k＋2＋1a22k＋2＜12＋12＝1，
所以0＜a2k＋3＜1，a2k＋4＝1a2k＋3＋1a22k＋3＞1＋1＝2.
所以n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立，
根據(jù)①②可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2恒成立，
所以|an＋1－an|≥a2－a1＝2－1＝1，即|an＋1－an|的最小值為1.
總結(jié)提高
數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)：
設(shè)M是正整數(shù)集合的子集，且具有如下性質(zhì)：
①1∈M；
②若k∈M，則k＋1∈M，那么必有M＝N*成立.
數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，通過(guò)對(duì)兩個(gè)命題的證明替代了無(wú)限多次的驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了有限與無(wú)限的辯證統(tǒng)一.
從近幾年的高考試題來(lái)看，比較注重于對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的思想本質(zhì)的考查，如“歸納、猜想、證明”是一種常見(jiàn)的命題形式.而涉及的知識(shí)內(nèi)容也是很廣泛的，可覆蓋代數(shù)命題、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何命題、整除性命題等.其難點(diǎn)往往在第二步，關(guān)鍵是“湊形”以便運(yùn)用歸納假設(shè)的條件.

相關(guān)知識(shí)

高三理科數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫(xiě)呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“高三理科數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案”，希望能為您提供更多的參考。

第十五章復(fù)數(shù)

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件.
2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
3.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其運(yùn)算的幾何意義.
4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想，體會(huì)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.本章重點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
本章難點(diǎn)：運(yùn)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.近幾年高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查無(wú)論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢(shì)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)將復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算放在首位.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

15.1復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算

典例精析
題型一復(fù)數(shù)的概念
【例1】(1)如果復(fù)數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝；
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限；
(3)復(fù)數(shù)z＝3i＋1的共軛復(fù)數(shù)為z＝.
【解析】(1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是實(shí)數(shù)1＋m3＝0m＝－1.
(2)因?yàn)?＋ii＝i(1＋i)i2＝1－i，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，－1)，位于第四象限.
(3)因?yàn)閦＝1＋3i，所以z＝1－3i.
【點(diǎn)撥】運(yùn)算此類(lèi)題目需注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)等概念.
【變式訓(xùn)練1】(1)如果z＝1－ai1＋ai為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于()
A.0B.－1C.1D.－1或1
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝1－ii(i是虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【解析】(1)設(shè)z＝xi，x≠0，則
xi＝1－ai1＋ai1＋ax－(a＋x)i＝0或故選D.
(2)z＝1－ii＝(1－i)(－i)＝－1－i，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選C.
題型二復(fù)數(shù)的相等
【例2】(1)已知復(fù)數(shù)z0＝3＋2i，復(fù)數(shù)z滿足zz0＝3z＋z0，則復(fù)數(shù)z＝；
(2)已知m1＋i＝1－ni，其中m，n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝；
(3)已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實(shí)根，則這個(gè)實(shí)根為，實(shí)數(shù)k的值為.
【解析】(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入zz0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得(2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
解得所以z＝1－.
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)設(shè)x＝x0是方程的實(shí)根，代入方程并整理得
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得
解得或
所以方程的實(shí)根為x＝2或x＝－2，
相應(yīng)的k值為k＝－22或k＝22.
【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等.
【變式訓(xùn)練2】(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若1＋2i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是()
A.－12B.－2C.2D.12
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝.
【解析】(1)C.1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i2，于是a＋b＝32＋12＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋ia＝1，b＝2.
題型三復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【例3】(1)若復(fù)數(shù)z＝－12＋32i，則1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008＝；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，那么z＝.
【解析】(1)由已知得z2＝－12－32i，z3＝1，z4＝－12＋32i＝z.
所以zn具有周期性，在一個(gè)周期內(nèi)的和為0，且周期為3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2006＋z2007＋z2008)
＝1＋z＝12＋32i.
(2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，
所以解得所以z＝＋i.
【點(diǎn)撥】解(1)時(shí)要注意x3＝1(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三個(gè)根為1，ω，ω－，
其中ω＝－12＋32i，ω－＝－12－32i，則
1＋ω＋ω2＝0，1＋ω－＋ω－2＝0，ω3＝1，ω－3＝1，ωω－＝1，ω2＝ω－，ω－2＝ω.
解(2)時(shí)要注意|z|∈R，所以須令z＝x＋yi.
【變式訓(xùn)練3】(1)復(fù)數(shù)11＋i＋i2等于()
A.1＋i2B.1－i2C.－12D.12
(2)(2010江西鷹潭)已知復(fù)數(shù)z＝23－i1＋23i＋(21－i)2010，則復(fù)數(shù)z等于()
A.0B.2C.－2iD.2i
【解析】(1)D.計(jì)算容易有11＋i＋i2＝12.
(2)A.
總結(jié)提高
復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)，是每年必考內(nèi)容之一，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算：①加減法按合并同類(lèi)項(xiàng)法則進(jìn)行；②乘法展開(kāi)、除法須分母實(shí)數(shù)化.因此，一些復(fù)數(shù)問(wèn)題只需設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就可以將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.

高三理科數(shù)學(xué)算法初步總復(fù)習(xí)教學(xué)案

第十一章算法初步

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解算法的含義，了解算法的思想.
2.理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).
3.理解幾種基本算法語(yǔ)句——輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的含義.
4.了解幾個(gè)古代的算法案例，能用輾轉(zhuǎn)相除法及更相減損術(shù)求最大公約數(shù)；用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值；了解進(jìn)位制，會(huì)進(jìn)行不同進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.本章重點(diǎn)：1.算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)即順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；2.輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句(兩種形式)的結(jié)構(gòu)、作用與功能及各種語(yǔ)句的格式要求.
本章難點(diǎn)：1.用自然語(yǔ)言表示算法和運(yùn)用程序框圖表示算法；2.用算法的基本思想編寫(xiě)程序解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.弄清三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的區(qū)別，把握程序語(yǔ)言中所包含的一些基本語(yǔ)句結(jié)構(gòu).算法初步作為數(shù)學(xué)新增部分，在高考中一定會(huì)體現(xiàn)出它的重要性和實(shí)用性.
高考中將重點(diǎn)考查對(duì)變量賦值的理解和掌握、對(duì)條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的靈活運(yùn)用，學(xué)會(huì)根據(jù)要求畫(huà)出程序框圖；預(yù)計(jì)高考中，將考查程序框圖、循環(huán)結(jié)構(gòu)和算法思想，并結(jié)合函數(shù)與數(shù)列考查邏輯思維能力.因此算法知識(shí)與其他知識(shí)的結(jié)合將是高考的重點(diǎn)，這也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性，當(dāng)然難度不會(huì)太大，重在考查算法的概念及其思想.
1.以選擇題、填空題為主，重點(diǎn)考查算法的含義、程序框圖、基本算法語(yǔ)句以及算法案例等內(nèi)容.
2.解答題中可要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的程序并畫(huà)出程序框圖，能很好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

11.1算法的含義與程序框圖
典例精析
題型一算法的含義
【例1】已知球的表面積是16π，要求球的體積，寫(xiě)出解決該問(wèn)題的一個(gè)算法.
【解析】算法如下：
第一步，s＝16π.
第二步，計(jì)算R＝s4π.
第三步，計(jì)算V＝4πR33.
第四步，輸出V.
【點(diǎn)撥】給出一個(gè)問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法應(yīng)該注意：
(1)認(rèn)真分析問(wèn)題，聯(lián)系解決此問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法，此問(wèn)題涉及到的各種情況；
(2)將此問(wèn)題分成若干個(gè)步驟；
(3)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)句將各步表述出來(lái).
【變式訓(xùn)練1】設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1×3×5×7×9×11×13的算法.圖中給出程序的一部分，則在橫線①上不能填入的數(shù)是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】當(dāng)I＜13成立時(shí)，只能運(yùn)算
1×3×5×7×9×11.故選A.

題型二程序框圖
【例2】圖一是某縣參加2010年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數(shù)依次記為A1，A2，…，A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150,155)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)).圖二是統(tǒng)計(jì)圖一中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)的條件是()
A.i＜6？B.i＜7？C.i＜8？D.i＜9？
圖一

【解析】根據(jù)題意可知，i的初始值為4，輸出結(jié)果應(yīng)該是A4＋A5＋A6＋A7，因此判斷框中應(yīng)填寫(xiě)i＜8？，選C.
【點(diǎn)撥】本題的命題角度較為新穎，信息量較大，以條形統(tǒng)計(jì)圖為知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鋪墊，介紹了算法流程圖中各個(gè)數(shù)據(jù)的引入來(lái)源，其考查點(diǎn)集中于循環(huán)結(jié)構(gòu)的終止條件的判斷，考查了學(xué)生合理地進(jìn)行推理與迅速作出判斷的解題能力，解本題的過(guò)程中不少考生誤選A，實(shí)質(zhì)上本題中的數(shù)據(jù)并不大，考生完全可以直接從頭開(kāi)始限次按流程圖循環(huán)觀察，依次寫(xiě)出每次循環(huán)后的變量的賦值，即可得解.
【變式訓(xùn)練2】(2009遼寧)某店一個(gè)月的收入和支出，總共記錄了N個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…，aN.其中收入記為正數(shù)，支出記為負(fù)數(shù)，該店用如圖所示的程序框圖計(jì)算月總收入S和月凈盈利V，那么在圖中空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個(gè)選項(xiàng)中的()
A.A＞0？，V＝S－T
B.A＜0？，V＝S－T
C.A＞0？，V＝S＋T
D.A＜0？，V＝S＋T
【解析】選C.
題型三算法的條件結(jié)構(gòu)
【例3】某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)用根據(jù)下列方法計(jì)算：
f＝
其中f(單位：元)為托運(yùn)費(fèi)，ω為托運(yùn)物品的重量(單位：千克)，試寫(xiě)出一個(gè)計(jì)算費(fèi)用f的算法，并畫(huà)出相應(yīng)的程序框圖.
【解析】算法如下：
第一步，輸入物品重量ω.
第二步，如果ω≤50，那么f＝0.53ω，
否則，f＝50×0.53＋(ω－50)×0.85.
第三步，輸出托運(yùn)費(fèi)f.
程序框圖如圖所示.
【點(diǎn)撥】求分段函數(shù)值的算法應(yīng)用到條件結(jié)構(gòu)，因此在程序框圖的畫(huà)法中需要引入判斷框，要根據(jù)題目的要求引入判斷框的個(gè)數(shù)，而判斷框內(nèi)的條件不同，對(duì)應(yīng)的框圖中的內(nèi)容或操作就相應(yīng)地進(jìn)行變化.
【變式訓(xùn)練3】(2010天津)閱讀如圖的程序框圖，若輸出s的值為－7，則判斷框內(nèi)可填寫(xiě)()
A.i＜3？
B.i＜4？
C.i＜5？
D.i＜6？
【解析】i＝1，s＝2－1＝1；
i＝3，s＝1－3＝－2；
i＝5，s＝－2－5＝－7.所以選D.
題型四算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)
【例4】設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算10個(gè)數(shù)的平均數(shù)的算法，并畫(huà)出程序框圖.
【解析】算法步驟如下：
第一步，令S＝0.
第二步，令I(lǐng)＝1.
第三步，輸入一個(gè)數(shù)G.
第四步，令S＝S＋G.
第五步，令I(lǐng)＝I＋1.
第六步，若I＞10，轉(zhuǎn)到第七步，
若I≤10，轉(zhuǎn)到第三步.
第七步，令A(yù)＝S/10.
第八步，輸出A.
據(jù)上述算法步驟，程序框圖如圖.
【點(diǎn)撥】(1)引入變量S作為累加變量，引入I為計(jì)數(shù)變量，對(duì)于這種多個(gè)數(shù)據(jù)的處理問(wèn)題，可通過(guò)循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)達(dá)到；(2)計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，同時(shí)它的取值還用于判斷循環(huán)是否終止，累加變量用于輸出結(jié)果.
【變式訓(xùn)練4】設(shè)計(jì)一個(gè)求1×2×3×…×10的程序框圖.
【解析】程序框圖如下面的圖一或圖二.
圖一圖二

總結(jié)提高
1.給出一個(gè)問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意：
(1)認(rèn)真分析問(wèn)題，聯(lián)系解決此問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法；
(2)綜合考慮此類(lèi)問(wèn)題中可能涉及的各種情況；
(3)借助有關(guān)的變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述；
(4)將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干個(gè)步驟；
(5)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表示出來(lái).
2.循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式，即當(dāng)型和直到型，這兩種形式的循環(huán)結(jié)構(gòu)在執(zhí)行流程上有所不同，當(dāng)型循環(huán)是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，不滿足時(shí)退出循環(huán)體；而直到型循環(huán)則是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，滿足時(shí)退出循環(huán)體.所以判斷框內(nèi)的條件，是由兩種循環(huán)語(yǔ)句確定的，不得隨便更改.
3.條件結(jié)構(gòu)主要用在一些需要依據(jù)條件進(jìn)行判斷的算法中.如分段函數(shù)的求值，數(shù)據(jù)的大小關(guān)系等問(wèn)題的算法設(shè)計(jì).

11.2基本算法語(yǔ)句

典例精析
題型一輸入、輸出與賦值語(yǔ)句的應(yīng)用
【例1】閱讀程序框圖(如下圖)，若輸入m＝4，n＝6，則輸出a＝，i＝.
【解析】a＝12，i＝3.
【點(diǎn)撥】賦值語(yǔ)句是一種重要的基本語(yǔ)句，也是程序必不可少的重要組成部分，使用賦值語(yǔ)句，要注意其格式要求.
【變式訓(xùn)練1】(2010陜西)如圖是求樣本x1，x2，…，x10的平均數(shù)的程序框圖，則圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為()
A.S＝S＋xnB.S＝S＋xnnC.S＝S＋nD.S＝S＋1n
【解析】因?yàn)榇瞬綖榍蠛?，顯然為S＝S＋xn，故選A.
題型二循環(huán)語(yǔ)句的應(yīng)用
【例2】設(shè)計(jì)算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值.要求畫(huà)出程序框圖，寫(xiě)出用基本語(yǔ)句編寫(xiě)的程序.
【解析】這是一個(gè)累加求和問(wèn)題，共99項(xiàng)相加，可設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)數(shù)變量，一個(gè)累加變量，用循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這一算法.程序框圖如下圖所示：
程序如下：
s＝0
k＝1
DO
s＝s＋1/(k*(k＋1))
k＝k＋1
LOOPUNTILk＞99
PRINTs
END
【點(diǎn)撥】(1)在用WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句編寫(xiě)程序解決問(wèn)題時(shí)，一定要注意格式和條件的表述方法，WHILE語(yǔ)句是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，UNTIL語(yǔ)句是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體.
(2)在解決一些需要反復(fù)執(zhí)行的運(yùn)算任務(wù)，如累加求和、累乘求積等問(wèn)題中應(yīng)注意考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn).
(3)在循環(huán)語(yǔ)句中，也可以嵌套條件語(yǔ)句，甚至是循環(huán)語(yǔ)句，此時(shí)需要注意嵌套的這些語(yǔ)句，保證語(yǔ)句的完整性，否則就會(huì)造成程序無(wú)法執(zhí)行.

【變式訓(xùn)練2】下圖是輸出某個(gè)有限數(shù)列各項(xiàng)的程序框圖，則該框圖所輸出的最后一個(gè)數(shù)據(jù)是.

【解析】由程序框圖可知，當(dāng)N＝1時(shí)，A＝1；N＝2時(shí)，A＝13；N＝3時(shí)，A＝15，…，即輸出各個(gè)A值的分母是以1為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列，故當(dāng)N＝50時(shí)，A＝11＋(50－1)×2＝199，即為框圖最后輸出的一個(gè)數(shù)據(jù).故填199.
題型三算法語(yǔ)句的實(shí)際應(yīng)用
【例3】某電信部門(mén)規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時(shí)，如果通話時(shí)間3分鐘以?xún)?nèi)，收取通話費(fèi)0.2元，如果通話時(shí)間超過(guò)3分鐘，則超過(guò)部分以每分鐘0.1元收取通話費(fèi)(通話不足1分鐘時(shí)按1分鐘計(jì)算).試設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算通話費(fèi)用的算法，要求寫(xiě)出算法，編寫(xiě)程序.
【解析】我們用c(單位：元)表示通話費(fèi)，t(單位：分鐘)表示通話時(shí)間，
則依題意有
算法步驟如下：
第一步，輸入通話時(shí)間t.
第二步，如果t≤3，那么c＝0.2；否則c＝0.2＋0.1×[t－2].
第三步，輸出通話費(fèi)用c.
程序如下：
INPUTt
IFt＜3THEN
c＝0.2
ELSE
c＝0.2＋0.1*INT（t-2）
ENDIF
PRINTc
END
【點(diǎn)撥】在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要正確理解其中的算法思想，根據(jù)題目寫(xiě)出其關(guān)系式，再寫(xiě)出相應(yīng)的算法步驟，畫(huà)出程序框圖，最后準(zhǔn)確地編寫(xiě)出程序，同時(shí)要注意結(jié)合題意加深對(duì)算法的理解.
【變式訓(xùn)練3】(2010江蘇)下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出S的值是.
【解析】n＝1時(shí)，S＝3；n＝2時(shí)，S＝3＋4＝7；n＝3時(shí)，S＝7＋8＝15；n＝4時(shí)，S＝15＋24＝31；n＝5時(shí)，S＝31＋25＝63.因?yàn)?3≥33，所以輸出的S值為63.
總結(jié)提高
1.輸入、輸出語(yǔ)句可以設(shè)計(jì)提示信息，加引號(hào)表示出來(lái)，與變量之間用分號(hào)隔開(kāi).
2.賦值語(yǔ)句的賦值號(hào)左邊只能是變量而不能是表達(dá)式；賦值號(hào)左右兩邊不能對(duì)換，不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式計(jì)算，利用賦值語(yǔ)句可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)變量值的互換，方法是引進(jìn)第三個(gè)變量，用三個(gè)賦值語(yǔ)句完成.
3.在某些算法中，根據(jù)需要，在條件語(yǔ)句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含條件語(yǔ)句.遇到這樣的問(wèn)題，要分清內(nèi)外條件結(jié)構(gòu)，保證結(jié)構(gòu)的完整性.
4.分清WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句的格式，在解決一些需要反復(fù)執(zhí)行的運(yùn)算任務(wù)，如累加求和，累乘求積等問(wèn)題中應(yīng)主要考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)，但也要結(jié)合其他語(yǔ)句如條件語(yǔ)句.
5.編程的一般步驟：
(1)算法分析；(2)畫(huà)出程序框圖；(3)寫(xiě)出程序.

11.3算法案例

典例精析
題型一求最大公約數(shù)
【例1】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)；
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù).
【解析】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)：
1764＝840×2＋84，
840＝84×10＋0.
所以840與1764的最大公約數(shù)是84.
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù)：
556－440＝116，
440－116＝324，
324－116＝208，
208－116＝92，
116－92＝24，
92－24＝68，
68－24＝44，
44－24＝20，
24－20＝4，
20－4＝16，
16－4＝12，
12－4＝8，
8－4＝4.
所以440與556的最大公約數(shù)是4.
【點(diǎn)撥】(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，輾轉(zhuǎn)相除法用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，直到大數(shù)被小數(shù)除盡結(jié)束運(yùn)算，較小的數(shù)就是最大公約數(shù)；更相減損術(shù)是用兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，直到所得的差和較小數(shù)相等為止，這個(gè)較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).一般情況下，輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術(shù)步驟較多，但運(yùn)算簡(jiǎn)易，解題時(shí)要靈活運(yùn)用.
(2)兩個(gè)以上的數(shù)求最大公約數(shù)，先求其中兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再用所得的公約數(shù)與其他各數(shù)求最大公約數(shù)即可.
【變式訓(xùn)練1】求147,343,133的最大公約數(shù).
【解析】先求147與343的最大公約數(shù).
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49，
所以147與343的最大公約數(shù)為49.
再求49與133的最大公約數(shù).
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公約數(shù)為7.
題型二秦九韶算法的應(yīng)用
【例2】用秦九韶算法寫(xiě)出求多項(xiàng)式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.01667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2時(shí)的值的過(guò)程.
【解析】先把函數(shù)整理成f(x)＝((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋0.5)x＋1)x＋1，
按照從內(nèi)向外的順序依次進(jìn)行.
x＝－0.2，
a5＝0.00833，v0＝a5＝0.00833；
a4＝0.04167，v1＝v0x＋a4＝0.04；
a3＝0.01667，v2＝v1x＋a3＝0.00867；
a2＝0.5，v3＝v2x＋a2＝0.49827；
a1＝1，v4＝v3x＋a1＝0.90035；
a0＝1，v5＝v4x＋a0＝0.81993；
所以f(－0.2)＝0.81993.
【點(diǎn)撥】秦九韶算法是多項(xiàng)式求值的最優(yōu)算法，特點(diǎn)是：
(1)將高次多項(xiàng)式的求值化為一次多項(xiàng)式求值；
(2)減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率；
(3)步驟重復(fù)實(shí)施，能用計(jì)算機(jī)操作.
【變式訓(xùn)練2】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1當(dāng)x＝2時(shí)的值為.
【解析】1397.
題型三進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)換
【例3】(1)將101111011(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)；
(2)將53(8)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù).
【解析】(1)101111011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1＝379.
(2)53(8)＝5×81＋3＝43.

所以53(8)＝101011(2).
【點(diǎn)撥】將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，關(guān)鍵是先寫(xiě)成冪的積的形式再求和，將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為k進(jìn)制數(shù)，用“除k取余法”，余數(shù)的書(shū)寫(xiě)是由下往上，順序不能顛倒，k進(jìn)制化為m進(jìn)制(k，m≠10)，可以用十進(jìn)制過(guò)渡.
【變式訓(xùn)練3】把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù).
【解析】具體的計(jì)算方法如下：
89＝3×29＋2，
29＝3×9＋2，
9＝3×3＋0，
3＝3×1＋0，
1＝3×0＋1，
所以89(10)＝10022(3).
總結(jié)提高
1.輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)都是用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法.其算法不同，但二者的原理卻是相似的，主要區(qū)別是一個(gè)是除法運(yùn)算，一個(gè)是減法運(yùn)算，實(shí)質(zhì)都是一個(gè)遞推的過(guò)程.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值，關(guān)鍵是正確的將多項(xiàng)式改寫(xiě)，然后由內(nèi)向外，依次計(jì)算求解.
2.將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的算法和將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)的算法操作性很強(qiáng)，要掌握算法步驟，并熟練轉(zhuǎn)化；要熟練應(yīng)用“除基數(shù)，倒取余，一直除到商為0”.

高三理科數(shù)學(xué)排列組合總復(fù)習(xí)教學(xué)案

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學(xué)。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫(xiě)呢？下面是小編精心為您整理的“高三理科數(shù)學(xué)排列組合總復(fù)習(xí)教學(xué)案”，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

第十二章排列組合、二項(xiàng)式定理、概率

高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
排列
、
組合1.理解并運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；
2.理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；
3.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理；會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.本章重點(diǎn)：排列、組合的意義及其計(jì)算方法，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.
本章難點(diǎn)：用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的問(wèn)題.排列組合是學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，其核心是兩個(gè)基本原理.高考中著重考查兩個(gè)基本原理，排列組合的概念及二項(xiàng)式定理.
隨機(jī)事件的概率1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；
2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式；
3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件發(fā)生的概率；
4.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率，了解幾何概型的意義.本章重點(diǎn)：1.隨機(jī)事件、互斥事件及概率的意義，并會(huì)計(jì)算互斥事件的概率；2.古典概型、幾何概型的概率計(jì)算.
本章難點(diǎn)：1.互斥事件的判斷及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用；2.可以轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問(wèn)題.本部分要求考生能從集合的思想觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事件、互斥事件與對(duì)立事件，進(jìn)而理解概率的性質(zhì)、公式，還要求考生了解幾何概型與隨機(jī)數(shù)的意義.在高考中注重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的同時(shí)，還常考查分類(lèi)與整合，或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，邏輯思維能力以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
離散型隨機(jī)變量1.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；
2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；
3.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；
4.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；
5.利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.本章重點(diǎn)：1.離散型隨機(jī)變量及其分布列；2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.
本章難點(diǎn)：1.利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實(shí)際問(wèn)題；2.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.求隨機(jī)變量的分布列與期望，以及在此基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析是近幾年來(lái)較穩(wěn)定的高考命題態(tài)勢(shì).考生應(yīng)注重對(duì)特殊分布(如二項(xiàng)分布、超幾何分布)的理解和對(duì)事件的意義的理解.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

12.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

典例精析
題型一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
【例1】在1到20這20個(gè)整數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相加，使其和大于20，共有種取法.
【解析】當(dāng)一個(gè)加數(shù)是1時(shí)，另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法；
當(dāng)一個(gè)加數(shù)是2時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是19,20，有2種取法；
當(dāng)一個(gè)加數(shù)是3時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是18,19,20，有3種取法；
……
當(dāng)一個(gè)加數(shù)是10時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是11,12，…，19,20，有10種取法；
當(dāng)一個(gè)加數(shù)是11時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是12,13，…，19,20，有9種取法；
……
當(dāng)一個(gè)加數(shù)是19時(shí)，另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100種取法.
【點(diǎn)撥】采用列舉法分類(lèi)，先確定一個(gè)加數(shù)，再利用“和大于20”確定另一個(gè)加數(shù).
【變式訓(xùn)練1】(2010濟(jì)南市模擬)從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()
A.3B.4C.6D.8
【解析】當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1,3,9；當(dāng)公比為32時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為12、13、23時(shí)，也有4個(gè).故選D.
題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
【例2】從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個(gè)旅游景點(diǎn)游覽，要求每個(gè)旅游景點(diǎn)只有一人游覽，每人只游覽一個(gè)旅游景點(diǎn)，且6個(gè)人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則不同的選擇方案共有種.
【解析】能去張家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選擇方案有4×5×4×3＝240種.
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.
【變式訓(xùn)練2】(2010湘潭市調(diào)研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人，每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班，問(wèn)此值班表共有種不同的排法.
【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成.第一天有5人可選有5種方法，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有5×4×4×4×4＝1280種方法.
題型三分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用
【例3】(2011長(zhǎng)郡中學(xué))如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有.
【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個(gè)區(qū)域涂相同的顏色，分為4類(lèi)：1與5同；2與5同；3與5同；1與3同.對(duì)于每一類(lèi)有A44種涂法，共有4A44＝96種方法.
方法二：第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色)；第四步：涂區(qū)域3，分兩類(lèi)：第一類(lèi)，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類(lèi)，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時(shí)區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有3種方法.所以，不同的涂色種數(shù)有4×3×2×(1×1＋1×3)＝96種.
【點(diǎn)撥】染色問(wèn)題是排列組合中的一類(lèi)難題.本題能運(yùn)用兩個(gè)基本原理求解，要注意的是分類(lèi)中有分步，分步后有分類(lèi).
【變式訓(xùn)練3】(2009深圳市調(diào)研)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2，…，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且1,5,9號(hào)小正方形涂相同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種？
【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號(hào)有C13種涂法；
第二步，涂2,3,6號(hào)，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；
第三步，涂4,7,8號(hào)，同第二步，共有6種涂法.
由分步乘法原理知共有3×6×6＝108種涂法.
總結(jié)提高
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問(wèn)題，其區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分若干類(lèi)，類(lèi)與類(lèi)之間要互斥，用任何一類(lèi)中的任何一種方法都可以獨(dú)立完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨(dú)立，各個(gè)步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成之后，才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類(lèi)還是分步，是正確使用這兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ).

12.2排列與組合

典例精析
題型一排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算
【例1】計(jì)算：(1)8?。獳66A28－A410；(2)C33＋C34＋…＋C310.
【解析】(1)原式＝8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×18×7－10×9×8×7＝57×6×5×4×3×256×(－89)＝－5130623.
(2)原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310＝C411＝330.
【點(diǎn)撥】在使用排列數(shù)公式Amn＝n！(n－m)！進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式成立的條件：m，n∈N+，m≤n.另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
【變式訓(xùn)練1】解不等式＞6.
【解析】原不等式即9！(9－x)?。?×9！(11－x)！，
也就是1(9－x)?。荆?br> 化簡(jiǎn)得x2－21x＋104＞0，
解得x＜8或x＞13，又因?yàn)?≤x≤9，且x∈N*，
所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.
題型二有限制條件的排列問(wèn)題
【例2】3男3女共6個(gè)同學(xué)排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少種排法？
(2)女生與男生相間，有多少種排法？
(3)任何兩個(gè)男生都不相鄰，有多少種排法？
(4)3名男生不排在一起，有多少種排法？
(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊(duì)伍的兩端，有幾種排法？
【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個(gè)元素的全排列，有A44種排法.又3名女生內(nèi)部可有A33種排法，所以共有A44A33＝144種排法.
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時(shí)有2種插法)，所以女生與男生相間共有2A33A33＝72種排法.
(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個(gè)空隙，任取其中3個(gè)安插男生即可，因而任何兩個(gè)男生都不相鄰的排法共有A33A34＝144種.
(4)直接分類(lèi)較復(fù)雜，可用間接法.即從6個(gè)人的排列總數(shù)中，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為A66－A33A44＝576種.
(5)先將2個(gè)女生排在男生甲、乙之間，有A23種排法.又甲、乙之間還有A22種排法.這樣就有A23A22種排法.然后把他們4人看成一個(gè)元素(相當(dāng)于一個(gè)男生)，這一元素及另1名男生排在首尾，有A22種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為A23A22A22＝24種.
【點(diǎn)撥】排列問(wèn)題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個(gè)位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，在分析時(shí)，主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對(duì)于“相鄰”問(wèn)題可用“捆綁法”，對(duì)于“不相鄰”問(wèn)題可用“插空法”.對(duì)于直接考慮較困難的問(wèn)題，可以采用間接法.
【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.
(1)43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？
(2)這個(gè)數(shù)列的第97項(xiàng)是多少？
【解析】(1)不大于43251的五位數(shù)A55－(A44＋A33＋A22)＝88個(gè)，即為此數(shù)列的第88項(xiàng).
(2)此數(shù)列共有120項(xiàng)，而以5開(kāi)頭的五位數(shù)恰好有A44＝24個(gè)，所以以5開(kāi)頭的五位數(shù)中最小的一個(gè)就是該數(shù)列的第97項(xiàng)，即51234.
題型三有限制條件的組合問(wèn)題
【例3】要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng).
(1)A，B，C三人必須入選有多少種不同選法？
(2)A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法？
(3)A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法？
(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法？
(5)A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法？
【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，C29＝36種不同選法.
(2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有C59＝C49＝126種選法.
(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有C13種選法，再?gòu)挠嘞碌?人中選4人，有C49種選法，所以共有C13C49＝378種選法.
(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都不入選的情況C59，共有C512－C59＝666種選法.
(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都入選的情況C29種，所以共有C512－C29＝756種選法.
【點(diǎn)撥】遇到至多、至少的有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以用間接法求解.對(duì)于有限制條件的問(wèn)題，一般要根據(jù)特殊元素分類(lèi).
【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn).
(1)在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？
(2)在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？
【解析】(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類(lèi).第一類(lèi)：在同一個(gè)面上取，共有4C46種；第二類(lèi)：在一條棱上取三點(diǎn)，再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn)，共有6種；第三類(lèi)：在六條棱的六個(gè)中點(diǎn)中取，取兩對(duì)對(duì)棱的4個(gè)中點(diǎn)，共有C23＝3種.故有69種.
(2)用間接法.共C410－69＝141種.
總結(jié)提高
解有條件限制的排列與組合問(wèn)題的思路：
(1)正確選擇原理，確定分類(lèi)或分步計(jì)數(shù)；
(2)特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮；
(3)再考慮其余元素或其余位置.

12.3二項(xiàng)式定理

典例精析
題型一二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用
【例1】已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.
(1)求證：展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；
(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).
【解析】由題意得2C1n＝1＋C2n()2，
即n2－9n＋8＝0，所以n＝8，n＝1(舍去).
所以Tr＋1＝()
＝(－)r
＝(－1)r(0≤r≤8，r∈Z).
(1)若Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)，則16－3r4＝0，即16－3r＝0，
因?yàn)閞∈Z，這不可能，所以展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).
(2)若Tr＋1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)16－3r4為整數(shù)，
又0≤r≤8，r∈Z，所以r＝0,4,8，
即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x-2.
【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵.除通項(xiàng)公式外，還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)；
(2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)，如求某一項(xiàng)，含x某次冪的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)等，一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系)；
(3)注意區(qū)分展開(kāi)式“第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r＋1項(xiàng)的系數(shù)”.
【變式訓(xùn)練1】若(xx＋)n的展開(kāi)式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129，則這個(gè)展開(kāi)式中是否含有常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)？如果有，求出該項(xiàng)，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】由題知C0n＋C1n2＋C2n22＝129，
所以n＝8，所以通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cr8(xx)8-r＝，
故r＝6時(shí)，T7＝26C28x＝1792x，
所以不存在常數(shù)項(xiàng)，而存在一次項(xiàng)，為1792x.
題型二運(yùn)用賦值法求值
【例2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，則n＝；
(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝.
【解析】(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.
又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，
即2n＋1－2＝30，所以n＝4.
(2)由二項(xiàng)式定理得，
a1＝－C1n＝－n，a2＝C2n＝n(n－1)2，
代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，
令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，
即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.
【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時(shí)應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).
【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8.求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值.
【解析】令f(x)＝(3x－1)8，
因?yàn)閒(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，
f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝48，
所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝f(1)＋f(－1)2＝27×(1＋28).
題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
【例3】求證：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.
【解析】4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4[(5＋1)n－1]＋5[(4＋1)n－1]＝20[(5n－1＋C1n5n－2＋…＋Cn－1n)＋(4n－1＋C1n4n－2＋…＋Cn－1n)]，是20的倍數(shù)，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.
【點(diǎn)撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題時(shí)，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開(kāi)式有什么規(guī)律，余項(xiàng)是什么，必須清楚.
【變式訓(xùn)練3】求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.
【解析】0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.
因?yàn)門(mén)3＝C26(－0.002)2＝15×(－0.002)2＝0.00006＜0.001，
且第3項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于0.001，
所以從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì).
所以0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝1－0.012＝0.988.
總結(jié)提高
1.利用通項(xiàng)公式可求展開(kāi)式中某些特定項(xiàng)(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等)，解決這些問(wèn)題通常采用待定系數(shù)法，運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出待定式，再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫(xiě)出n、r滿足的條件，求出n和r，再確定所需的項(xiàng)；
2.賦值法是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和、差問(wèn)題的一個(gè)重要手段；
3.利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形，使得二項(xiàng)展開(kāi)式的每一項(xiàng)都成為除數(shù)的倍數(shù).對(duì)于余數(shù)問(wèn)題，要注意余數(shù)的取值范圍.

12.4隨機(jī)事件的概率與概率的基本性質(zhì)

典例精析
題型一頻率與概率
【例1】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會(huì)指定為乒乓球比賽專(zhuān)用球.日前有關(guān)部門(mén)對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，檢查結(jié)果如下表所示.
抽取球數(shù)n5010020050010002000
優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902
優(yōu)等品頻率
(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；
(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)
【解析】(1)依據(jù)公式，計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,
0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取的球數(shù)的增多，卻都在常數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.
【點(diǎn)撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)所抽乒乓球較少時(shí)，優(yōu)等品的頻率波動(dòng)很大，但當(dāng)抽取的球數(shù)很大時(shí)，頻率基本穩(wěn)定在0.95，在其附近擺動(dòng)，利用概率的統(tǒng)計(jì)定義，可估計(jì)該批乒乓球的優(yōu)等率.
【變式訓(xùn)練1】某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場(chǎng)比賽中罰球的結(jié)果如下.
投籃次數(shù)n8101291016
進(jìn)球次數(shù)m6897712
進(jìn)球頻率
(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；
(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率是多少？
【解析】(1)由公式計(jì)算出每場(chǎng)比賽該運(yùn)動(dòng)員罰球進(jìn)球的頻率依次為：
(2)由(1)知，每場(chǎng)比賽進(jìn)球的頻率雖然不同，但頻率總在附近擺動(dòng)，可知該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率為.
題型二隨機(jī)事件間的關(guān)系
【例2】從一副橋牌(52張)中任取1張.判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件.
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”.
【解析】(1)是互斥事件但不是對(duì)立事件.因?yàn)椤俺槌黾t桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，因而是互斥的.同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對(duì)立.
(2)是互斥事件又是對(duì)立事件.因?yàn)閮烧卟豢赏瑫r(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生.
(3)不是互斥事件，更不是對(duì)立事件.因?yàn)椤俺槌龅呐泣c(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，如抽得12.
【點(diǎn)撥】要區(qū)分互斥事件和對(duì)立事件的定義.
【變式訓(xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對(duì)立事件為()
A.至多兩件次品B.至多一件次品
C.至多兩件正品D.至少兩件正品
【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義得選項(xiàng)B.
題型三概率概念的應(yīng)用
【例3】甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)后，得到如下列聯(lián)表.
優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)
甲10
乙30
總計(jì)105
已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”(參考數(shù)據(jù)P(K2＞6.635)＝0.05)；
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)行編號(hào)，然后兩次擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的編號(hào).試求抽到6號(hào)或10號(hào)的概率.
【解析】(1)
優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)
甲104555
乙203050
總計(jì)3075105
(2)計(jì)算K2的一個(gè)觀測(cè)值
k＝＝6.109.
因?yàn)?.109＜6.635，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān).
(3)記被抽取人的序號(hào)為ζ，
則P(ζ＝6)＝，P(ζ＝10)＝，
所以P(ζ＝6或ζ＝10)＝P(ζ＝6)＋P(ζ＝10)＝＝.
【點(diǎn)撥】本題考查概率的概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用.
【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有35個(gè)球，每個(gè)球上都記有從1~35中的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n的球的重量為－5n＋20克，這些球以等可能性從袋里取出(不受重量、號(hào)碼的影響).
(1)如果取出1球，試求其重量比號(hào)碼數(shù)大5的概率；
(2)如果任意取出2球，試求它們重量相等的概率.
【解析】(1)由不等式－5n＋20＞n＋5，得n＞15或n＜3，
由題意知n＝1,2或者n＝16,17，…，35，于是所求概率為.
(2)設(shè)第n號(hào)和第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等，
其中n＜m，則有－5n＋20＝－5m＋20，
所以(n－m)(n＋m－15)＝0.
因?yàn)閚≠m，所以n＋m＝15，
所以(n，m)＝(1,14)，(2,13)，…，(7,8).
故所求概率為.
總結(jié)提高
1.對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件.集合A的對(duì)立事件記作，從集合的角度來(lái)看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A∪＝U，A∩＝.對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.
事件A、B的和記作A＋B，表示事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時(shí)，事件A＋B是由“A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的.
當(dāng)計(jì)算事件A的概率P(A)比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件的概率則要容易些，為此有P(A)＝1－P().
2.若A與B互相獨(dú)立，則與，A與，與B都是相互獨(dú)立事件.判斷A與B是否獨(dú)立的方法是看P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.

12.5古典概型

典例精析
題型一古典概率模型的計(jì)算問(wèn)題
【例1】一汽車(chē)廠生產(chǎn)A、B、C三類(lèi)轎車(chē)，每類(lèi)轎車(chē)均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)，
轎車(chē)A轎車(chē)B轎車(chē)C
舒適型100150z
標(biāo)準(zhǔn)型300450600
現(xiàn)按分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車(chē)中抽取50輛，其中有A類(lèi)10輛.
(1)求z的值；
(2)用分層抽樣的方法在C類(lèi)轎車(chē)中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本視為一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車(chē)的概率；
(3)用隨機(jī)抽樣方法從B類(lèi)舒適型轎車(chē)中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,
9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把這8輛車(chē)的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.
【解析】(1)依題意知，從每層抽取的比率為140，從而轎車(chē)的總數(shù)為50×40＝2000輛，所以z＝2000－100－150－300－450－600＝400.
(2)由(1)知C類(lèi)轎車(chē)共1000輛，又樣本容量為5，故抽取的比率為1200，即5輛轎車(chē)中有2輛舒適型、3輛標(biāo)準(zhǔn)型，任取2輛，一共有n＝10種不同取法，記事件A：至少有1輛舒適型轎車(chē)，則事件表示抽取到2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車(chē)，有m′＝3種不同取法，從而事件A包含：基本事件數(shù)為m＝7種，所以P(A)＝710.
(3)樣本平均數(shù)＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，記事件B：從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)0.5，則事件B包含的基本事件有6種，所以P(B)＝68＝34.
【點(diǎn)撥】利用古典概型求事件的概率時(shí)，主要弄清基本事件的總數(shù)，及所求事件所含的基本事件的個(gè)數(shù).
【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的三邊是10以?xún)?nèi)(不包含10)的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求任取一個(gè)△ABC是銳角三角形的概率.
【解析】依題意不妨設(shè)a＝n－1，b＝n，c＝n＋1(n＞1，n∈N)，從而有a＋b＞c，即n＞2，所以△ABC的最小邊為2，要使△ABC是銳角三角形，只需△ABC的最大角C是銳角，cosC＝(n－1)2＋n2－(n＋1)22(n－1)n＝n－42(n－1)＞0，所以n＞4，
所以，要使△ABC是銳角三角形，△ABC的最小邊為4.另一方面，從{2,3,4，…，9}中，“任取三個(gè)連續(xù)正整數(shù)”共有6種基本情況，“△ABC是銳角三角形”包含4種情況，故所求的概率為46＝23.
題型二有放回抽樣與不放回抽樣
【例2】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品.
(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；
(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率.
【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x，y，z都有10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有10×10×10＝103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8＝83種，因此，P(A)＝＝0.512.
(2)方法一：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄(x，y，z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為10×9×8＝720種.設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6＝336，所以P(B)＝336720≈0.467.
方法二：可以看作不放回3次無(wú)順序抽樣，先按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×9×8÷6＝120.按同樣的方法，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝56120≈0.467.
【點(diǎn)撥】關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無(wú)順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.
【變式訓(xùn)練2】有5張卡片，上面分別寫(xiě)有0,1,2,3,4中的1個(gè)數(shù).求：
(1)從中任取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的概率；
(2)從中任取兩次卡片，每次取一張，第一次取出卡片，記下數(shù)字后放回，再取第二次，兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率.
【解析】(1)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有4種，任取兩張卡片共有10種，所以概率為P＝410＝25；
(2)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有5種，任取兩張卡片共有25種，所以概率為P＝525＝15.
題型三古典概型問(wèn)題的綜合應(yīng)用
【例3】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.從甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球.
(1)若n＝3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；
(2)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為34，求n.
【解析】(1)記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件A，
P(A)＝C22C24C22C25＝16×110＝160.
(2)記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件B1，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件B2.
由題意，得P(B)＝1－34＝14.
P(B1)＝C12C12C24C2nC2n＋2＋C22C24C12C1nC2n＋2＝2n23(n＋2)(n＋1)，
P(B2)＝C22C24C2nC2n＋2＝n(n－1)6(n＋2)(n＋1).
所以P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝2n23(n＋2)(n＋1)＋n(n－1)6(n＋2)(n＋1)＝14，化簡(jiǎn)得7n2－11n－6＝0，解得n＝2或n＝－37(舍去)，故n＝2.
【變式訓(xùn)練3】甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙二人一次各抽取一題.
(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？
(2)甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是多少？
【解析】(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有C16個(gè)，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是C14，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為C16×C14＝24.又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有C110×C19＝90，
所以概率為2490＝415.
(2)甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是10×9＝90.
方法一：(分類(lèi)計(jì)數(shù)原理)
①只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是：6×4＝24；
②只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：6×4＝24；
③甲、乙同時(shí)抽到選擇題的事件數(shù)是：6×5＝30.
故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是24＋24＋3090＝1315.
方法二：(利用對(duì)立事件)
事件“甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對(duì)立事件.
事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”的基本事件個(gè)數(shù)是4×3＝12.
故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是1－1290＝1－215＝1315.
總結(jié)提高
1.對(duì)古典概型首先必須使學(xué)生明確判斷兩點(diǎn)：①對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)n必須是有限個(gè)；②出現(xiàn)的各個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的.只有在同時(shí)滿足①、②的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式P(A)＝mn得出的結(jié)果才是正確的.使用公式P(A)＝mn計(jì)算時(shí)，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在.
2.對(duì)于n個(gè)互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式為P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
3.分類(lèi)討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想.
4.在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡(jiǎn)單事件是解答這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的重要環(huán)節(jié).

12.6幾何概型

典例精析
題型一長(zhǎng)度問(wèn)題
【例1】如圖，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，
試求：
(1)△AOC為鈍角三角形的概率；
(2)△AOC為銳角三角形的概率.
【解析】如圖，由平面幾何知識(shí)知：
當(dāng)AD⊥OB時(shí)，OD＝1；當(dāng)OA⊥AE時(shí)，OE＝4，BE＝1.
(1)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE上時(shí)，△AOC為鈍角三角形.
記“△AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)＝OD＋EBOB＝1＋15＝0.4，即△AOC為鈍角三角形的概率為0.4.
(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE上時(shí)，△AOC為銳角三角形.
記“△AOC為銳角三角”為事件N，則P(N)＝DEOB＝35＝0.6，即△AOC為銳角三角形的概率為0.6.
【點(diǎn)撥】我們把每一個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.
【變式訓(xùn)練1】點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為.
【解析】如圖
可設(shè)＝1，則根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是23.
題型二面積問(wèn)題
【例2】?jī)蓚€(gè)CB對(duì)講機(jī)(CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫(xiě))持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3：00時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以?xún)?nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以?xún)?nèi)的某地向基地行駛，試問(wèn)在下午3：00時(shí)他們能夠通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？
【解析】設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0≤x≤30,0≤y≤40.
他們所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置，他們可以通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過(guò)25公里時(shí)發(fā)生(如下圖)，因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式x2＋y2≤25的數(shù)對(duì)組成，
此不等式等價(jià)于x2＋y2≤625，右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方公里，而事件的面積為(14)×π×(25)2＝625π4，
于是有P＝625×π41200＝625π4800≈0.41.
【點(diǎn)撥】解決此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該實(shí)驗(yàn)為幾何概型，然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.
【變式訓(xùn)練2】如圖，以正方形ABCD的邊長(zhǎng)為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率.
【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的機(jī)會(huì)是均等的，符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2r，則
P(A)＝S花瓣SABCD＝12πr2×4－(2r)2(2r)2＝π－22.
所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為π－22.
題型三體積問(wèn)題
【例3】在線段[0,1]上任意投三個(gè)點(diǎn)，設(shè)O至三點(diǎn)的三線段長(zhǎng)為x、y、z，研究方法表明：x，y，z能構(gòu)成三角形只要點(diǎn)(x，y，z)落在棱長(zhǎng)為1的正方體T的內(nèi)部由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所圍成的區(qū)域G中(如圖)，則x，y，z能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大？
【解析】V(T)＝1，V(G)＝13－3×13×12×13＝12，
所以P＝V(G)V(T)＝12.
由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.
【點(diǎn)撥】因?yàn)槿我馔兜娜c(diǎn)x，y，z是隨機(jī)的，所以使得能構(gòu)成三角形只與能構(gòu)成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關(guān).
【變式訓(xùn)練3】已知正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是()
A.π4B.π8C.π6D.π12
【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率P＝V球V正方體＝43π(a2)3a3＝π6，選C.
總結(jié)提高
1.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè).其特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀和位置無(wú)關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，其測(cè)度為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件.如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，其測(cè)度為1，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件.
2.若試驗(yàn)的全部結(jié)果是一個(gè)包含無(wú)限個(gè)點(diǎn)的區(qū)域(長(zhǎng)度，面積，體積)，一個(gè)基本事件是區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn).此時(shí)用點(diǎn)數(shù)度量事件A包含的基本事件的多少就毫無(wú)意義.“等可能性”可以理解成“對(duì)任意兩個(gè)區(qū)域，當(dāng)它們的測(cè)度(長(zhǎng)度，面積，體積，…)相等時(shí)，事件A對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無(wú)關(guān)”.
3.幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題即可利用幾何概型來(lái)解決.

12.7條件概率與事件的獨(dú)立性

典例精析
題型一條件概率的求法
【例1】一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0~9中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：
(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率；
(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率.
【解析】設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件Ai(i＝1,2)，則A＝A1∪(A2)表示不超過(guò)2次就按對(duì)密碼.
(1)因?yàn)槭录嗀1與事件A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝110＋9×110×9＝15.
(2)用B表示最后一位是偶數(shù)的事件，則
P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)＝15＋4×15×4＝25.
【點(diǎn)撥】此類(lèi)問(wèn)題解題時(shí)應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再運(yùn)用相應(yīng)的公式求解.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動(dòng)物從出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物，問(wèn)它能活到25歲以上的概率是.
【解析】設(shè)此種動(dòng)物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B，所求概率為P(B|A)，由于BA，則P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝12.
題型二相互獨(dú)立事件的概率
【例2】三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分別為15，14，13，且他們是否破譯出密碼互不影響.
(1)求恰有二人破譯出密碼的概率；
(2)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大？說(shuō)明理由.
【解析】(1)記三人各自破譯出密碼分別為事件A，B，C，依題意知A，B，C相互獨(dú)立，記事件D：恰有二人破譯密碼，
則P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝15×14×(1－13)＋15×(1－14)×13＋(1－15)×14×13＝960＝320.
(2)記事件E：密碼被破譯，：密碼未被破譯，
則P()＝P()＝(1－15)×(1－14)×(1－13)＝2460＝25，
所以P(E)＝1－P()＝35，所以P(E)＞P().
故密碼被破譯的概率大.
【點(diǎn)撥】解決事件的概率問(wèn)題的一般步驟：①記取事件；②揭示事件的關(guān)系；③計(jì)算事件的概率.
【變式訓(xùn)練2】甲、乙、丙三個(gè)口袋內(nèi)都分別裝有6個(gè)只有顏色不相同的球，并且每個(gè)口袋內(nèi)的6個(gè)球均有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，3個(gè)無(wú)色透明的球，現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)口袋中依次隨機(jī)各摸出1個(gè)球，求恰好摸出紅球、黑球和無(wú)色球各1個(gè)的概率.
【解析】由于各個(gè)袋中球的情況一樣，而且從每一個(gè)袋中摸出紅球、黑球、無(wú)色球的概率均分別為16，13，12，可得P＝A33×16×13×12＝16.
題型三綜合問(wèn)題
【例3】某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.
方案一：三門(mén)課程中至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò)；
方案二：在三門(mén)課程中隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).
假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.
(1)分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過(guò)的概率；
(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小，并說(shuō)明理由.
【解析】記該應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的事件分別為A，B，C，則P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c.
(1)應(yīng)聘者在方案一下考試通過(guò)的概率
P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)
＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc
＝ab＋bc＋ca－2abc.
應(yīng)聘者在方案二下考試通過(guò)的概率
P2＝13P(AB)＋13P(BC)＋13P(AC)＝13(ab＋bc＋ca).
(2)由a，b，c∈[0,1]，則
P1－P2＝23(ab＋bc＋ca)－2abc＝23[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ca(1－b)]≥0，
故P1≥P2，即采用第一種方案，該應(yīng)聘者考試通過(guò)的概率較大.
【點(diǎn)撥】本題首先以相互獨(dú)立事件為背景，考查兩種方案的概率，然后比較概率的大小，要求運(yùn)用a，b，c∈[0,1]這一隱含條件.
【變式訓(xùn)練3】甲，乙，丙三人分別獨(dú)立地進(jìn)行某項(xiàng)體能測(cè)試，已知甲能通過(guò)測(cè)試的概率是25，甲，乙，丙三人都能通過(guò)測(cè)試的概率是320，甲，乙，丙三人都不能通過(guò)測(cè)試的概率是340，且乙通過(guò)的概率比丙大.
(1)求乙，丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是多少？
(2)測(cè)試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾人通過(guò)的情況？
【解析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自通過(guò)的概率分別為x，y，依題意得
即或(舍去)，
所以乙、丙兩人各自通過(guò)的概率分別為34，12.
(2)因?yàn)槿硕疾荒芡ㄟ^(guò)測(cè)試的概率為P0＝340，
三人都能通過(guò)測(cè)試的概率為P3＝320＝640，
三人中恰有一人通過(guò)測(cè)試的概率：
P1＝25×(1－34)×(1－12)＋(1－25)×34×(1－12)＋(1－25)×(1－34)×12＝720＝1440，
三人恰有兩人通過(guò)測(cè)試的概率：
P2＝1－(P0＋P1＋P3)＝1740，
所以測(cè)試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)兩人通過(guò)的情況.
總結(jié)提高
1.互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別：
對(duì)于事件A、B，在一次試驗(yàn)中，A、B如果不能同時(shí)發(fā)生，則稱(chēng)A、B互斥.一次試驗(yàn)中，如果A、B互斥且A、B中必有一個(gè)發(fā)生，則稱(chēng)A、B對(duì)立.顯然，A＋為必然事件，A、B互斥則不能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生.兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件的發(fā)生的概率沒(méi)有影響.事實(shí)上：
A、B互斥，則P(AB)＝0；
A、B對(duì)立，則P(AB)＝0且P(A)＋P(B)＝1；
A、B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B).
它們是不相同的.
2.由于當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，P(AB)＝P(A)P(B)，因此式子1－P(A)P(B)表示相互獨(dú)立事件A、B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率.對(duì)于n個(gè)隨機(jī)事件A1，A2，…，An，有
P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P(∩∩…∩)，此稱(chēng)為概率的和與積的互補(bǔ)公式.

12.8離散型隨機(jī)變量及其分布列

典例精析
題型一離散型隨機(jī)變量的分布列
【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X01234
P0.20.10.10.30.3
求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.
【解析】首先列表如下：
X01234
2X＋113579
|X－1|10123
從而由上表得兩個(gè)分布列如下：
2X＋1的分布列：
2X＋113579
P0.20.10.10.30.3
|X－1|的分布列：
|X－1|0123
P0.10.30.30.3
【點(diǎn)撥】由于X的不同的值，Y＝f(X)會(huì)取到相同的值，這時(shí)要考慮所有使f(X)＝Y(jié)成立的X1，X2，…，Xi的值，則P(Y)＝P(f(X))＝P(X1)＋P(X2)＋…＋P(Xi)，在第(2)小題中充分體現(xiàn)了這一點(diǎn).
【變式訓(xùn)練1】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過(guò)渡區(qū)，B肯定是受A感染的，對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12，同樣也假定D受A、B、C感染的概率都為13，在這種假定之下，B、C、D中受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量，寫(xiě)出X分布列，并求均值.
【解析】依題知X可取1、2、3，
P(X＝1)＝1×(1－12)×(1－13)＝13，
P(X＝2)＝1×(1－12)×13＋1×12×(1－13)＝12，
P(X＝3)＝1×12×13＝16，
所以X的分布列為
X123
P
均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
題型二兩點(diǎn)分布
【例2】在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令ξ＝如果針尖向上的概率為p，試寫(xiě)出隨機(jī)變量ξ的分布列.
【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是1－p.于是，隨機(jī)變量的分布列是
ξ01
P1－pp
【點(diǎn)撥】本題將兩點(diǎn)分布與概率分布列的性質(zhì)相結(jié)合，加深了兩點(diǎn)分布的概念的理解.
【變式訓(xùn)練2】若離散型隨機(jī)變量ξ＝的分布列為：
ξ01
P9c2－c3－8c
(1)求出c；
(2)ξ是否服從兩點(diǎn)分布？若是，成功概率是多少？
【解析】(1)由(9c2－c)＋(3－8c)＝1，解得c＝13或23.
又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以c＝13.
(2)是兩點(diǎn)分布.成功概率為3－8c＝13.
題型三超幾何分布
【例3】有10件產(chǎn)品，其中3件次品，7件正品，現(xiàn)從中抽取5件，求抽得次品數(shù)X的分布列.
【解析】X的所有可能取值為0,1,2,3，X＝0表示取出的5件產(chǎn)品全是正品，
P(X＝0)＝C03C57C510＝21252＝112；
X＝1表示取出的5件產(chǎn)品有1件次品4件正品，
P(X＝1)＝C13C47C510＝105252＝512；
X＝2表示取出的5件產(chǎn)品有2件次品3件正品，
P(X＝2)＝C23C37C510＝105252＝512；
X＝3表示取出的5件產(chǎn)品有3件次品2件正品，
P(X＝3)＝C33C27C510＝21252＝112.
所以X的分布列為
X0123
P
【點(diǎn)撥】在取出的5件產(chǎn)品中，次品數(shù)X服從超幾何分布，只要代入公式就可求出相應(yīng)的概率，關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有取值.超幾何分布是一個(gè)重要分布，要掌握它的特點(diǎn).
【變式訓(xùn)練3】一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()
A.1220B.2755C.27220D.2125
【解析】由題意取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球1個(gè)新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.選C.
總結(jié)提高
1.求離散型隨機(jī)變量分布列的問(wèn)題，需要綜合運(yùn)用排列、組合、概率等知識(shí)和方法.
2.求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的步驟：
(1)求出隨機(jī)變量ξ的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…)；
(2)求出各取值的概率P(ξ＝xi)＝pi；
(3)列出表格.

12.9獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

典例精析
題型一相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
【例1】甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為14，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為112，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為29.
(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.
【解析】(1)設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.
由題設(shè)條件有
即
由①③解得P(C)＝23，將P(C)＝23分別代入③②可得P(A)＝13，P(B)＝14，即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是13，14，23.
(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件，
則P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.
故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為56.
【點(diǎn)撥】相互獨(dú)立事件是發(fā)生的概率互不影響的兩個(gè)或多個(gè)事件.兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率滿足P(AB)＝P(A)P(B)，對(duì)于求與“至少”、“至多”有關(guān)事件的概率，通常轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率.
【變式訓(xùn)練1】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為12，乙每次擊中目標(biāo)的概率為23.
(1)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；
(2)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.
【解析】(1)乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1－C33(23)3＝1927.
(2)設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B1，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B2，則A＝B1＋B2，B1、B2為互斥事件.
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝38×127＋18×29＝124.
所以，甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為124.
題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
【例2】(2010天津)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是23，且各次射擊的結(jié)果互不影響.
(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；
(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率.
【解析】(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～B(5，23).在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X＝2)＝C25×(23)2×(1－23)3＝40243.
(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則
P(A)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3A4)＋P(A3A4A5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2×(23)3＝881.
【點(diǎn)撥】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是同一試驗(yàn)的n次重復(fù)，每次試驗(yàn)成功的概率都相同，恰有k次試驗(yàn)成功的概率為Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k.
【變式訓(xùn)練2】袋子A中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出一個(gè)紅球的概率是13.從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止.
(1)求恰好摸5次停止的概率；
(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為ξ，求P(ξ≥2).
【解析】(1)P＝C24×(13)2×(23)2×13＝881.
(2)P(ξ＝2)＝C25×(13)2×(1－13)3＝80243，
P(ξ＝3)＝C35×(13)3×(1－13)2＝40243，
則P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝4081.
題型三二項(xiàng)分布
【例3】一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率為13.
(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；
(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次遇到紅燈前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求Y的分布列；
(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.
【解析】(1)依題意知X～B(6，13)，
P(X＝k)＝Ck6(13)k(23)6－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.
所以X的分布列為
X0123
P
X456
P
(2)依題意知Y可取0,1,2,3,4,5,6，
P(Y＝0)＝13，
P(Y＝1)＝13×23＝29，
P(Y＝2)＝13×(23)2＝427，
P(Y＝3)＝13×(23)3＝881，
P(Y＝4)＝13×(23)4＝16243，
P(Y＝5)＝13×(23)5＝32729，
P(Y＝6)＝(23)6＝64729，
所以Y的分布列為
Y0123456
P
(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率為
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(23)6＝665729.
【點(diǎn)撥】解決離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題時(shí)，要依據(jù)相關(guān)概念識(shí)別離散型隨機(jī)變量服從什么分布，如第(1)問(wèn)中X服從二項(xiàng)分布，而第(2)問(wèn)中并不服從二項(xiàng)分布.
【變式訓(xùn)練3】某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層?？?若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為13，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù).求隨機(jī)變量ξ的分布列.
【解析】方法一：ξ的所有可能值為0,1,2,3,4,5.
P(ξ＝0)＝2535＝32243，P(ξ＝1)＝＝80243，
P(ξ＝2)＝＝80243，P(ξ＝3)＝＝40243，
P(ξ＝4)＝＝10243，P(ξ＝5)＝135＝1243.
從而ξ的分布列為
ξ012345
P
方法二：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).
故ξ～B(5，13)，即有
P(ξ＝k)＝Ck5(13)k(23)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
由此計(jì)算ξ的分布列如方法一.
總結(jié)提高
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是同一試驗(yàn)的n次重復(fù)，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率不受其他次結(jié)果的概率的影響，每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能結(jié)果：成功和失敗.n次試驗(yàn)中A恰好出現(xiàn)了k次的概率為Cknpk(1－p)n－k，這k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，則概率為pk(1－p)n-k.

12.10離散型隨機(jī)變量的期望與方差

典例精析
題型一期望與方差的性質(zhì)的應(yīng)用
【例1】設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝16(k＝1,2,3,4,5,6)，求E(ξ)，E(2ξ＋3)和D(ξ)，D(2ξ＋3).
【解析】E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x6p6＝3.5，
E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝10，
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(x6－E(ξ))2p6＝3512，D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝353.
【點(diǎn)撥】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，首先要弄清其分布特征及分布列，再準(zhǔn)確運(yùn)用公式，特別是利用性質(zhì)解題.
【變式訓(xùn)練1】袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值.
【解析】(1)ξ的分布列為：
ξ01234
P
所以E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
題型二期望與方差在風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用
【例2】甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ξ、η，ξ和η的分布列如下：
ξ012
P

η012
P
試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.
【解析】工人甲生產(chǎn)出的次品數(shù)ξ的期望和方差分別為：
E(ξ)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，
D(ξ)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.
工人乙生產(chǎn)出的次品數(shù)η的期望和方差分別為：
E(η)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(η)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.
由E(ξ)＝E(η)知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D(ξ)＞D(η)，可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.
【點(diǎn)撥】期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時(shí)僅知道均值的大小還不夠.如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周?chē)兓?，即?jì)算方差.方差大說(shuō)明隨機(jī)變量取值較分散，方差小說(shuō)明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定.
【變式訓(xùn)練2】利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是.
【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分別是：
50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.故選A3.
題型三離散型隨機(jī)變量分布列綜合問(wèn)題
【例3】(2010浙江)如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過(guò)管道自上而下落入A或B或C.已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1,2,3等獎(jiǎng).
(1)已知獲得1,2,3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機(jī)變量ξ為獲得k(k＝1,2,3)等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望E(ξ)；
(2)若有3人次(投入1球?yàn)?人次)參加促銷(xiāo)活動(dòng)，記隨機(jī)變量η為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次，求P(η＝2).
【解析】(1)由題意得ξ的分布列為
ξ50%70%90%
p
則E(ξ)＝316×50%＋38×70%＋716×90%＝34.
(2)由(1)可知，獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為316＋38＝916.由題意得η～(3，916)，則P(η＝2)＝C23(916)2(1－916)＝17014096.
【變式訓(xùn)練3】(2010北京市東城區(qū))已知將一枚質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為127.
(1)求拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率；
(2)拋擲這樣的硬幣三次后，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望E(ξ).
【解析】(1)設(shè)拋擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為P，依題意有C33P3＝127，解得
P＝13.
所以拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率為P3(2)＝C23×(13)2×23＝29.
(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝C03×(23)3×12＝427；
P(ξ＝1)＝C03×(23)3×12＋C13×13×(23)2×12＝1027；
P(ξ＝2)＝C13×13×(23)2×12＋C23×(13)2×23×12＝13；
P(ξ＝3)＝C23×(13)2×23×12＋C33×(13)3×12＝754；
P(ξ＝4)＝C33×(13)3×12＝154.
所以ξ的分布列為
ξ01234
P
E(ξ)＝0×427＋1×1027＋2×13＋3×754＋4×154＝32.
總結(jié)提高
1.期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均；E(ξ)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由ξ的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量ξ是可變的，可取不同值，而E(ξ)是不變的，它描述ξ取值的平均狀態(tài).
2.方差D(ξ)表示隨機(jī)變量ξ對(duì)E(ξ)的平均偏離程度，統(tǒng)計(jì)中常用標(biāo)準(zhǔn)差D(ξ)描述ξ的分散程度.

12.11正態(tài)分布

典例精析
題型一研究正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
【例1】某正態(tài)曲線的密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為122π，求總體位于區(qū)間[－4，－2]的概率.
【解析】由正態(tài)曲線的密度函數(shù)是偶函數(shù)知μ＝0，由最大值為122π知σ＝2，
所以P(－2≤x≤2)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.6826，
P(－4≤x≤4)＝P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.9544，
所以P(－4≤x≤－2)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.
【點(diǎn)撥】應(yīng)當(dāng)熟記：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6826；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9544；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)X~N(1,22)，試求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(X≥5).
【解析】因?yàn)閄～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
(2)因?yàn)镻(X≥5)＝P(X≤－3)，
所以P(X≥5)＝12[1－P(－3＜X≤5)]
＝12[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝12[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
＝12(1－0.9544)＝0.0228.
題型二利用正態(tài)總體密度函數(shù)估計(jì)某區(qū)間的概率
【例2】已知某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X~N(60,82)(單位：分)，此次考生共有1萬(wàn)人，估計(jì)在60分到68分之間約有多少人？
【解析】由題意μ＝60，σ＝8，
因?yàn)镻(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，
所以P(52＜X≤68)＝0.6826，
又此正態(tài)曲線關(guān)于x＝60對(duì)稱(chēng)，
所以P(60＜X≤68)＝12P(52＜X≤68)＝0.3413，
從而估計(jì)在60分到68分之間約有3413人.
【點(diǎn)撥】本題是教材變式題，將原題中單純(μ－σ，μ＋σ)的概率考查結(jié)合了正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性以及概率的意義，使題目更具實(shí)際意義.另外，還可將問(wèn)題變?yōu)?44,76)、(68,76)等區(qū)間進(jìn)行探討.
【變式訓(xùn)練2】某人乘車(chē)從A地到B地，所需時(shí)間(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100)，求此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率.
【解析】由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826知此人在20分鐘至40分鐘到達(dá)目的地的概率為0.6826，又由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，所以此人在10分鐘至20分鐘或40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.9544－0.6826＝0.2718，由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝30對(duì)稱(chēng)得此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.1359.
總結(jié)提高
1.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的概率特點(diǎn)
若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則X在一點(diǎn)上的取值概率為0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率為0的事件不一定是不可能事件，從而P(X＜a)＝P(X≤a)是成立的，這與離散型隨機(jī)變量不同.
2.關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法
(1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值.
(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間面積為1.
①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相同.
②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a).

高三理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用總復(fù)習(xí)教學(xué)案

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以保證學(xué)生們?cè)谏险n時(shí)能夠更好的聽(tīng)課，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。那么怎么才能寫(xiě)出優(yōu)秀的教案呢？下面是小編幫大家編輯的《高三理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用總復(fù)習(xí)教學(xué)案》，僅供參考，歡迎大家閱讀。

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；
(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù)；
(2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).
3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；
(2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).
4.生活中的優(yōu)化問(wèn)題
會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.
5.定積分與微積分基本定理
(1)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；
(2)了解微積分基本定理的含義.本章重點(diǎn)：
1.導(dǎo)數(shù)的概念；
2.利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率；
3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；
4.利用導(dǎo)數(shù)求極值或最值；
5.利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題最優(yōu)解.
本章難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)與定積分是微積分的核心概念之一，也是中學(xué)選學(xué)內(nèi)容中較為重要的知識(shí)之一.由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決有關(guān)函數(shù)、數(shù)列問(wèn)題提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知識(shí)在高考題中常在函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)最值不等式問(wèn)題中有所體現(xiàn)，既考查數(shù)形結(jié)合思想，分類(lèi)討論思想，也考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式來(lái)考查導(dǎo)數(shù)與定積分的基本運(yùn)算與簡(jiǎn)單的幾何意義，而以解答題的形式來(lái)綜合考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

3.1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

典例精析
題型一導(dǎo)數(shù)的概念
【例1】已知函數(shù)f(x)＝2ln3x＋8x，
求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.
【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知：
f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.
【點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率，即求當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率ΔyΔx的極限.
【變式訓(xùn)練1】某市在一次降雨過(guò)程中，降雨量y(mm)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為f(t)＝t2100，則在時(shí)刻t＝10min的降雨強(qiáng)度為()
A.15mm/minB.14mm/min
C.12mm/minD.1mm/min
【解析】選A.
題型二求導(dǎo)函數(shù)
【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
(3)y＝3x1－x.
【解析】運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則.
(1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
＝2(x2－x＋2)e2x.
(3)y′＝13(x1－x1－x＋x(1－x)2
＝13(x1－x1(1－x)2
＝13x(1－x)
【變式訓(xùn)練2】如下圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(用數(shù)字作答).
【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由導(dǎo)數(shù)定義f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
題型三利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率
【例3】已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且l與C切于點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】由l過(guò)原點(diǎn)，知k＝y(tǒng)0x0(x0≠0)，又點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C上，y0＝x30－3x20＋2x0，
所以y0x0＝x20－3x0＋2.
而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.
又k＝y(tǒng)0x0，
所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，
解得x0＝32.
所以y0＝－38，所以k＝y(tǒng)0x0＝－14，
所以直線l的方程為y＝－14x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(32，－38).
【點(diǎn)撥】利用切點(diǎn)在曲線上，又曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)來(lái)列方程，即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo).
【變式訓(xùn)練3】若函數(shù)y＝x3－3x＋4的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，2)，求此切線方程.
【解析】設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則由
y′＝3x2－3得切線的斜率為k＝3x20－3.
所以函數(shù)y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(3x20－3)(x－x0).
又切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2,2)，得
2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①
而切點(diǎn)在曲線上，得y0＝x30－3x0＋4，②
由①②解得x0＝1或x0＝－2.
則切線方程為y＝2或9x－y＋20＝0.
總結(jié)提高
1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)通常有以下兩種求法：
(1)導(dǎo)數(shù)的定義，即求ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；
(2)先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再將x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的幾種方法：
(1)利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；
(2)利用四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式；
(3)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.
3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是函數(shù)y＝f(x)的曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率.

3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)

典例精析
題型一求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定義域是(1，＋∞).
f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，
①若a≤0，則a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞).
②若a＞0，則a＋22＞1，
故當(dāng)x∈(1，a＋22]時(shí)，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；
當(dāng)x∈[a＋22，＋∞)時(shí)，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，
所以a＞0時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(1，a＋22]，f(x)的增區(qū)間為[a＋22，＋∞).
【點(diǎn)撥】在定義域x＞1下，為了判定f′(x)符號(hào)，必須討論實(shí)數(shù)a＋22與0及1的大小，分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝x2＋lnx－ax在(0,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.
【解析】因?yàn)閒′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，
所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，
即a≤2x＋1x恒成立.
又2x＋1x≥22(當(dāng)且僅當(dāng)x＝22時(shí)，取等號(hào)).
所以a≤22，
故a的取值范圍為(－∞，22].
【點(diǎn)撥】當(dāng)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)時(shí)f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同樣，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為減函數(shù)時(shí)f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根據(jù)不等式恒成立的條件來(lái)求參數(shù)的取值范圍了.
題型二求函數(shù)的極值
【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時(shí)取得極值，且f(1)＝－1.
(1)試求常數(shù)a，b，c的值；
(2)試判斷x＝±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，并說(shuō)明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因?yàn)閤＝±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根.
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，
所以當(dāng)f′(x)＝32x2－32＞0時(shí)，有x＜－1或x＞1；
當(dāng)f′(x)＝32x2－32＜0時(shí)，有－1＜x＜1.
所以函數(shù)f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,1)上是減函數(shù).
所以當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－1)＝1；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1.
【點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值應(yīng)先求導(dǎo)數(shù).對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)f(x)來(lái)講，f(x)在點(diǎn)x＝x0處取極值的必要條件是f′(x)＝0.但是，當(dāng)x0滿足f′(x0)＝0時(shí)，f(x)在點(diǎn)x＝x0處卻未必取得極值，只有在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)，x0才是f(x)的極值點(diǎn).并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值.
【變式訓(xùn)練2】定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，則有()
A.f(x1)＜f(x2)B.f(x1)＞f(x2)
C.f(x1)＝f(x2)D.不確定
【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝32對(duì)稱(chēng).又因?yàn)?x－32)f′(x)＜0，所以當(dāng)x＞32時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＜32時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x1＋x22＝32時(shí)，f(x1)＝f(x2)，因?yàn)閤1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相當(dāng)于x1，x2的中點(diǎn)向右偏離對(duì)稱(chēng)軸，所以f(x1)＞f(x2).故選B.
題型三求函數(shù)的最值
【例3】求函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－14x2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化簡(jiǎn)為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.
又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，同理，得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，所以f(1)＝ln2－14為函數(shù)f(x)的極大值.又因?yàn)閒(0)＝0，f(2)＝ln3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln2－14為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值.
【點(diǎn)撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間[a，b]上的最值，首先需求函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值，然后，將f(x)的各個(gè)極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，才能得出函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值.
【變式訓(xùn)練3】(2008江蘇)f(x)＝ax3－3x＋1對(duì)x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝.
【解析】若x＝0，則無(wú)論a為何值，f(x)≥0恒成立.
當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)≥0可以化為a≥3x2－1x3，
設(shè)g(x)＝3x2－1x3，則g′(x)＝3(1－2x)x4，
x∈(0，12)時(shí)，g′(x)＞0，x∈(12，1]時(shí)，g′(x)＜0.
因此g(x)max＝g(12)＝4，所以a≥4.
當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)≥0可以化為
a≤3x2－1x3，此時(shí)g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，
g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.
綜上可知，a＝4.
總結(jié)提高
1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域D；
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(3)根據(jù)f′(x)＞0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；根據(jù)f′(x)＜0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
2.求函數(shù)極值的步驟是：
(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，確定f(x)在這個(gè)根處取極大值還是取極小值.
3.求函數(shù)最值的步驟是：
先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

3.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)

典例精析
題型一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【例1】已知函數(shù)f(x)＝12x2＋lnx.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域；
(2)求證：x＞1時(shí)，f(x)＜23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上為增函數(shù).
故f(x)max＝f(e)＝e22＋1，f(x)min＝f(1)＝12，
因而f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域?yàn)閇12，e22＋1].
(2)證明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋lnx，則F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，
因?yàn)閤＞1，所以F′(x)＜0，
故F(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù).
又F(1)＝－16＜0，
故x＞1時(shí)，F(xiàn)(x)＜0恒成立，
即f(x)＜23x3.
【點(diǎn)撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.
【變式訓(xùn)練1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時(shí)，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時(shí)()
A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0
C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0
【解析】選B.
題型二優(yōu)化問(wèn)題
【例2】(2009湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋x)x萬(wàn)元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元.
(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？
【解析】(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，
即n＝mx－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
＝256(mx－1)＋mx(2＋x)x
＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知f′(x)＝－256mx2＋12mx＝m2x2(x－512).
令f′(x)＝0，得x＝512.所以x＝64.
當(dāng)0＜x＜64時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64＜x＜640時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).
所以f(x)在x＝64處取得最小值.
此時(shí)n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.
【變式訓(xùn)練2】(2010上海)如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米).
【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，
則由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.
S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.
所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).
令f(r)＝2.4πr－3πr2，則f′(r)＝2.4π－6πr.
令f′(r)＝0得r＝0.4.所以當(dāng)0＜r＜0.4，f′(r)＞0；
當(dāng)0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.
所以r＝0.4時(shí)S最大，Smax＝1.51.
題型三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.
(1)當(dāng)m＝3時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；
(2)已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且α＜β.若對(duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)m＝3時(shí)，f(x)＝13x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.
因?yàn)閒(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，23)，切線的斜率為－3，
則所求的切線方程為y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.
(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).
令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.
當(dāng)x∈(－∞，m－2)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(m－2，m＋2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(m＋2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函數(shù).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3mx＋3(m2－4)]，
所以
解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).
當(dāng)m∈(－4，－2)時(shí)，m－2＜m＋2＜0，
所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.
此時(shí)f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去.
當(dāng)m∈(－2,2)時(shí)，m－2＜0＜m＋2，
所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1.
當(dāng)m∈(2,4)時(shí)，0＜m－2＜m＋2，
所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).
綜上可知，m的取值范圍是{－1}.

【變式訓(xùn)練3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[2，e]上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(1a，＋∞)，遞減區(qū)間為(0，1a)；
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0，＋∞).
(2)[12ln2，1e).
總結(jié)提高
在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理方程、不等式有關(guān)問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)熟練地將方程、不等式問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.

3.4定積分與微積分基本定理

典例精析
題型一求常見(jiàn)函數(shù)的定積分
【例1】計(jì)算下列定積分的值.
(1)(x－1)5dx；
(2)(x＋sinx)dx.
【解析】(1)因?yàn)閇16(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以(x－1)5dx＝＝16.
(2)因?yàn)?x22－cosx)′＝x＋sinx，
所以(x＋sinx)dx＝＝π28＋1.
【點(diǎn)撥】(1)一般情況下，只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就能求出定積分的值；
(2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)每個(gè)區(qū)間分段積分，再求和；
(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)后積分；
(4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時(shí)，可用以下結(jié)論：
①若f(x)是偶函數(shù)時(shí)，則f(x)dx＝2f(x)dx；
②若f(x)是奇函數(shù)時(shí)，則f(x)dx＝0.
【變式訓(xùn)練1】求(3x3＋4sinx)dx.
【解析】(3x3＋4sinx)dx表示直線x＝－5，x＝5，y＝0和曲線y＝3x3＋4sinx所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函數(shù)，
所以(3x3＋4sinx)dx＝－(3x3＋4sinx)dx，
所以(3x3＋4sinx)dx＝(3x3＋4sinx)dx＋(3x3＋4sinx)dx＝0.
題型二利用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積
【例2】求拋物線y2＝2x與直線y＝4－x所圍成的平面圖形的面積.
【解析】方法一：如圖，
由
得交點(diǎn)A(2,2)，B(8，－4)，
則S＝[2x－(－2x)]dx＋[4－x－(－2x)]dx
＝＋
＝163＋383＝18.
方法二：S＝[(4－y)－y22]dy
＝＝18.
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征，選擇不同的積分變量，可使計(jì)算簡(jiǎn)捷，在以y為積分變量時(shí)，應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤＝φ(y)的形式，同時(shí)，積分上、下限必須對(duì)應(yīng)y的取值.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，(1＋xk)k的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為116，則函數(shù)y＝x2與y＝kx－3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為.
【解析】Tr＋1＝Crk(xk)r，令r＝3，得x3的系數(shù)為C3k1k3＝116，解得k＝4.由得函數(shù)y＝x2與y＝4x－3的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3.
所以陰影部分的面積為S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝43.
題型三定積分在物理中的應(yīng)用
【例3】(1)變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)阻力所做的功.
【解析】(1)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，v(t)≥0，當(dāng)1≤t≤2時(shí)，v(t)≤0，所以前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程為
s＝v(t)dt＋(－v(t))dt
＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt
=＋＝2.
2秒末所在的位置為
x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝13.
所以它在前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程為2,2秒末所在的位置為x1＝13.
(2)物體的速度為v＝(bt3)′＝3bt2.
媒質(zhì)阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k為比例常數(shù)，且k＞0.
當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0；
當(dāng)x＝a時(shí)，t＝t1＝(ab)，
又ds＝vdt，故阻力所做的功為
W阻＝ds＝kv2vdt＝kv3dt
＝k(3bt2)3dt＝277kb3t71＝277k3a7b2.
【點(diǎn)撥】定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt和W＝F(x)dx這三個(gè)公式.
【變式訓(xùn)練3】定義F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函數(shù)f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點(diǎn)A(0，m)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，設(shè)曲線C1在點(diǎn)A，B之間的曲線段與線段OA，OB所圍成圖形的面積為S，求S的值.
【解析】因?yàn)镕(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以解得B(3,6)，
所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x)=9.

總結(jié)提高
1.定積分的計(jì)算關(guān)鍵是通過(guò)逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù).?
2.定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用必須遵循相應(yīng)的物理過(guò)程和物理原理.?
3.利用定積分求平面圖形面積的步驟：?
（1）畫(huà)出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出曲線或直線的大致圖象；?
（2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；?
（3）把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和；?
（4）計(jì)算定積分，寫(xiě)出答案.