高中立體幾何教案

2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪立體幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí):習(xí)題課。

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，有效的提高課堂的教學(xué)效率。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面是由小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪立體幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí):習(xí)題課”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

習(xí)題課

【課時(shí)目標(biāo)】1．能熟練應(yīng)用直線、平面平行與垂直的判定及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明．2．進(jìn)一步體會(huì)化歸思想在證明中的應(yīng)用．

a、b、c表示直線，α、β、γ表示平面．
位置
關(guān)系判定定理
(符號(hào)語(yǔ)言)性質(zhì)定理
(符號(hào)語(yǔ)言)
直線與平面平行a∥b且__________a∥αa∥α，________________a∥b
平面與平面平行a∥α，b∥α，且________________α∥βα∥β，________________a∥b
直線與平面垂直l⊥a，l⊥b，且____________l⊥αa⊥α，b⊥α____
平面與平面垂直a⊥α，____α⊥βα⊥β，α∩β＝a，
__________b⊥β
一、填空題
1．不同直線m、n和不同平面α、β．給出下列命題：
①α∥βmαm∥β；②m∥nm∥βn∥β；
③mαnβm，n異面；④α⊥βm∥αm⊥β．
其中假命題的個(gè)數(shù)為________．
2．下列命題中：(1)平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；(3)垂直于同一直線的兩直線平行；(4)垂直于同一平面的兩直線平行．其中正確命題的為________．
3．若a、b表示直線，α表示平面，下列命題中正確的有________個(gè)．
①a⊥α，b∥αa⊥b；②a⊥α，a⊥bb∥α；③a∥α，a⊥bb⊥α．
4．過平面外一點(diǎn)P：①存在無數(shù)條直線與平面α平行；②存在無數(shù)條直線與平面α垂直；③有且只有一條直線與平面α平行；④有且只有一條直線與平面α垂直，其中真命題的個(gè)數(shù)是________．
5．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是________．
6．設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是________．
①若a，b與α所成的角相等，則a∥b；
②若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b；
③若aα，bβ，a∥b，則α∥β；
④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b．
7．三棱錐D－ABC的三個(gè)側(cè)面分別與底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，則二面角A－BC－D的大小為______．
8．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”，在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是________．
9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則△PAC在該正方體各個(gè)面上的射影可能是________．(填序號(hào))
二、解答題
10．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA．

11．如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．
(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

能力提升
12．四棱錐P—ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖：
(1)根據(jù)圖中的信息，在四棱錐P—ABCD的側(cè)面、底面和棱中，請(qǐng)把符合要求的結(jié)論填寫在空格處(每空只要求填一種)：
①一對(duì)互相垂直的異面直線________；
②一對(duì)互相垂直的平面________；
③一對(duì)互相垂直的直線和平面________；
(2)四棱錐P—ABCD的表面積為________．(棱錐的表面積等于棱錐各面的面積之和)

13．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥FB，BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)．
(1)求證：FH∥平面EDB；
(2)求證：AC⊥平面EDB．
轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為
即利用線線平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明面面平行(垂直)；反過來，又利用面面平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明線線平行(垂直)，甚至平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化．這樣，來來往往，就如同運(yùn)用“四渡赤水”的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)，達(dá)到了出奇制勝的目的．

習(xí)題課答案
知識(shí)梳理

位置
關(guān)系判定定理
(符號(hào)語(yǔ)言)性質(zhì)定理
(符號(hào)語(yǔ)言)
直線與平面平行a∥b且aα，bαa∥αa∥α，aβ，α∩β＝ba∥b
平面與平面平行a∥α，b∥α，且aβ，bβ，a∩b＝Pα∥βα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b
直線與平面垂直l⊥a，l⊥b，且aα，bα，a∩b＝Pl⊥αa⊥α，b⊥αa∥b
平面與平面垂直a⊥α，aβα⊥βα⊥β，α∩β＝a，b⊥a，bαb⊥β
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．3
解析命題①正確，面面平行的性質(zhì)；命題②不正確，也可能nβ；命題③不正確，如果m、n有一條是α、β的交線，則m、n共面；命題④不正確，m與β的關(guān)系不確定．
2．2
解析(2)和(4)對(duì)．
3．1
解析①正確．
4．2
解析①④正確．
5．線段B1C
解析連結(jié)AC，AB1，B1C，
∵BD⊥AC，AC⊥DD1，
BD∩DD1＝D，
∴AC⊥面BDD1，
∴AC⊥BD1，
同理可證BD1⊥B1C，
∴BD1⊥面AB1C．
∴P∈B1C時(shí)，始終AP⊥BD1．
6．④
7．90°
解析
由題意畫出圖形，數(shù)據(jù)如圖，取BC的中點(diǎn)E，
連結(jié)AE、DE，易知∠AED為二面角A—BC—D的平面角．
可求得AE＝DE＝2，由此得AE2＋DE2＝AD2．
故∠AED＝90°．
8．36
解析正方體的一條棱長(zhǎng)對(duì)應(yīng)著2個(gè)“正交線面對(duì)”，12條棱長(zhǎng)共對(duì)應(yīng)著24個(gè)“正交線面對(duì)”；正方體的一條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著1個(gè)“正交線面對(duì)”，12條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著12個(gè)“正交線面對(duì)”，共有36個(gè)．
9．①④
10．證明(1)如圖所示，
取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，
∴DF⊥EC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝12EC＝BD，
FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，
故ED＝DA．
(2)取CA的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，
則MN綊12EC，
∴MN∥BD，∴N在平面BDM內(nèi)，
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，
∴BN⊥平面ECA，BN平面MNBD，
∴平面MNBD⊥平面ECA．
即平面BDM⊥平面ECA．
(3)∵BD綊12EC，MN綊12EC，
∴BD綊MN，
∴MNBD為平行四邊形，
∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA，又DM平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
11．(1)證明因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1．
又B1C⊥A1B，
且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1．
又B1C平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
(2)解設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線．
因?yàn)锳1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．
又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn)，
即A1DDC1＝1．
12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)
②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)
③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)
(2)2a2＋2a2
解析(2)依題意：正方形的面積是a2，
S△PAB＝S△PAD＝12a2．
又PB＝PD＝2a，∴S△PBC＝S△PCD＝22a2．
所以四棱錐P—ABCD的表面積是
S＝2a2＋2a2．
13．
(1)證明如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，則G為AC的中點(diǎn)．連結(jié)EG，GH，由于H為BC的中點(diǎn)，
故GH綊12AB．
又EF綊12AB，∴EF綊GH．
∴四邊形EFHG為平行四邊形．
∴EG∥FH．
而EG平面EDB，F(xiàn)H平面EDB，
∴FH∥平面EDB．
(2)證明由四邊形ABCD為正方形，
得AB⊥BC．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．
∴EF⊥FH．
∴AB⊥FH．
又BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)，∴FH⊥BC．
∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．
又FH∥EG，∴AC⊥EG．
又AC⊥BD，EG∩BD＝G，
∴AC⊥平面EDB．

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2012屆高考數(shù)學(xué)備考立體幾何復(fù)習(xí)教案

專題四：立體幾何
階段質(zhì)量評(píng)估（四）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1．如右圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為（）
A．B．
C．D．
2．下列四個(gè)幾何體中，每個(gè)幾何體的三視圖
有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如圖，設(shè)平面，垂足分別為，若增加一個(gè)條件，就能推出.
現(xiàn)有①②與所成的角相等;
③與在內(nèi)的射影在同一條直線上;④∥.
那么上述幾個(gè)條件中能成為增加條件的個(gè)數(shù)是（）
個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)
4．已知直線和平面，則下列命題正確的是()
AB
CD
5．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
6．給定下列四個(gè)命題：
①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；
②若一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直，那么這條直線也和另一個(gè)平面垂直；
③若一條直線和兩個(gè)互相垂直的平面中的一個(gè)平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個(gè)平面；
④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.
其中，為真命題的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
8．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是()
A.B.
C.直線∥D.直線所成的角為45°
9．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（）
..∥截面
..異面直線與所成的角為
11．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為（）
A.B.
C.D.
12．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）異面直線與所成的角為

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13．圖2中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長(zhǎng)方體的體積是。
14．已知一圓錐的底面半徑與一球的半徑相等，且全面積也相等，則圓錐的母線與底面所成角的大小為．(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
15．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點(diǎn)，作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是．
16．已知點(diǎn)O在二面角α－AB－β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB＝45°．若對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．

三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17．如圖，在長(zhǎng)方體，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C1，所爬的最短路程為.
（1）求證：D1E⊥A1D；
（2）求AB的長(zhǎng)度；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得二面角
。若存在，確定
點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論.

19．如圖所示的長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，為與的交點(diǎn)，，
是線段的中點(diǎn)。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，且滿足
（I）證明：
（II）當(dāng)取何值時(shí)，直線PN與平面ABC
所成的角最大？并求該角最大值的正切值；
（II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角
為45°，試確定點(diǎn)P的位置。

21．（本小題滿分12分）
如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，和均為等邊三角形，．
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

22．如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)在斜邊上．
（I）求證：平面平面；
（II）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大??；
（III）求與平面所成角的最大值．

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選A.。
2.【解析】選D.①三個(gè)都相同，②正視圖和側(cè)視圖相同，③三個(gè)視圖均不同，④正視圖和側(cè)視圖相同。
3.C
4.【解析】選B.對(duì)A，，
對(duì)C畫出圖形可知，對(duì)D，缺少條件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】選C.由于G是PB的中點(diǎn),故P－GAC的體積等于B－GAC的體積
在底面正六邊形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】選.由∥，∥，⊥可得⊥，故正確；由∥可得∥截面，故正確；異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯(cuò)誤的.

11.【解析】選D.連與交于O點(diǎn),再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】選D．顯然異面直線與所成的角為。
二、填空題
13.【解析】向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，設(shè)長(zhǎng)方體的高為x，則，所以，所以長(zhǎng)方體的體積為3。
答案：3

14.
15.【解析】此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)，，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，因平面，即有，對(duì)于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點(diǎn)P向平面作垂線,設(shè)垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角
的平面角.根據(jù)題意得，由于對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)
Q，都有∠POQ≥45°，∴，設(shè)PO=，則
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中應(yīng)有
PCPH,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。
即二面角的范圍是。
若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠POB＝45°，結(jié)合圖形容易判斷對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范圍是。
答案：

三、解答題
17.【解析】（1）證明：連結(jié)AD1，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）
（2）設(shè)AB=x，
點(diǎn)C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為
如圖乙的最短路程為
（3）假設(shè)存在，平面DEC的法向量，
設(shè)平面D1EC的法向量，則
由題意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，
則由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個(gè)法向量，
又是平面DEC的一個(gè)法向量.
設(shè)二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）∵∴
假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，
則，
由
∴
即在棱PB上存在點(diǎn)F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．連接，則點(diǎn)、，
∴又點(diǎn)，，∴
∴，且與不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴為平面的法向量．
∵，，
∴為平面的法向量．
∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為．

20.解：（I）如圖，以AB，AC，AA1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則2分
從而
所以…………3分
（II）平面ABC的一個(gè)法向量為
則
（※）…………5分
而
由（※）式，當(dāng)…………6分
（III）平面ABC的一個(gè)法向量為
設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
解得11分
故點(diǎn)P在B1A1的延長(zhǎng)線上，且…………12分

21.解法一：（I）證明：連結(jié)，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
，和為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）過作于連結(jié)，
平面，在平面上的射影為
為二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值為
（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，
在中，，
而
點(diǎn)到平面的距離為．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則
平面，平面的法向量
設(shè)平面的法向量，
由
設(shè)與夾角為，則
∴二面角的余弦值為．
（Ⅲ）解：設(shè)平面的法向量為又
設(shè)與夾角為，則
設(shè)到平面的距離為，
到平面的距離為．

22.【解析】解法一：
（I）由題意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，
是異面直線與所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
異面直線與所成角的大小為．
（III）由（I）知，平面，
是與平面所成的角，且．
當(dāng)最小時(shí)，最大，
這時(shí)，，垂足為，，，
與平面所成角的最大值為．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，
，，
．
異面直線與所成角的大小為．
（III）同解法一

2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪幾何概型導(dǎo)學(xué)案復(fù)習(xí)

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)高中教師都不可缺少的。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪幾何概型導(dǎo)學(xué)案復(fù)習(xí)”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)49——幾何概型
【高考要求】幾何概型（A）
【難點(diǎn)疑點(diǎn)】1、幾何概型的特點(diǎn)是無限性（基本事件有限多個(gè)）、等可能性（區(qū)域內(nèi)每個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)均等），一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生理解為取到某區(qū)域中的某個(gè)區(qū)域中的點(diǎn)，該事件發(fā)生的概率.當(dāng)分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度、面積和體積.
2、幾何概型概率求解一般先選擇觀察角度，將隨機(jī)事件的總體轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)區(qū)域，將隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)區(qū)域，再求與的測(cè)度比.
【自學(xué)質(zhì)疑】
1、已知地鐵列車每分鐘一班，在車站停分鐘.則乘客到達(dá)站臺(tái)即乘上車的概率是.
2、如圖，有一圓盤其中的陰影部分的圓心角為，若向圓內(nèi)投鏢，
如果某人每次都投入圓內(nèi)，那么他投中陰影部分的概率為.

3、在的海域中有的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假如在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層的概率是.
4、取一根長(zhǎng)度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度不小于的概率是.
5、某人睡午覺醒來，發(fā)覺手表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，假定電臺(tái)每小時(shí)報(bào)時(shí)一次，則他等待的時(shí)間短于分鐘的概率為.
【例題精講】
1、平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半經(jīng)的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率.

2、在地上畫一正方形線框，其邊長(zhǎng)為一枚硬幣直經(jīng)的倍，向正方形內(nèi)投硬幣，硬幣完全落在正方形外的不計(jì)，則硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率為.

3、甲、乙兩艘輪船都要?？客粋€(gè)泊位，它們可以在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)，設(shè)甲、乙兩艘輪船?？坎次坏臅r(shí)間分別是小時(shí)和小時(shí)，求有一艘輪船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率.
【矯正反饋】
1、在長(zhǎng)為的線段上任取一點(diǎn)，并以線段為邊作正方形，則正方形的面積介于與之間的概率是.
2、已知正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，在正方體內(nèi)任取點(diǎn)，則點(diǎn)在球內(nèi)的概率是.
3、飛鏢隨機(jī)地?cái)S在左面的靶子上，靶子為正三角形，為中心；靶子為圓，為圓心。
（1）在靶子中，飛鏢投到區(qū)域的概率是多少？
（2）在靶子中，飛鏢投到區(qū)域中的概率是多少？
（3）在靶子中，飛鏢沒有投在區(qū)域中的概率是多少？

【遷移應(yīng)用】
1、函數(shù)，那么任意使概率為.
2、向面積為的內(nèi)投一點(diǎn)，則的面積小于的概率為.
3、已知關(guān)于的方程.(1)若方程有兩個(gè)實(shí)根，求的范圍；
(2)在（1）的前提下，任取一實(shí)數(shù)，方程有兩正根的概率是多少?

4、在等腰中，（1）在線段上任取一點(diǎn)，求使的概率；（2）在內(nèi)任作射線，求使的概率.

5、一根長(zhǎng)度為的桿子被任意地摔斷成三段,求其中至少有一段的長(zhǎng)度不小于的概率.

6、設(shè)有關(guān)于的一元二次方程.
(1)若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有兩個(gè)實(shí)根的概率;
(2)若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù),是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

2012屆高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何備考復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么如何寫好我們的教案呢？以下是小編為大家精心整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何備考復(fù)習(xí)教案”，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

專題四：立體幾何
第三講空間向量與立體幾何

【最新考綱透析】
1．空間向量及其運(yùn)算
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。
（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。
（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
2．空間向量的應(yīng)用
（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。
（2）能用向量語(yǔ)言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。
（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。
（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。

【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系
考情聚焦：1．平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點(diǎn)。
2．題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ?。
考向鏈接：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)常考查的一個(gè)重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個(gè)方面考查“向量法”的應(yīng)用。
2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個(gè)思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。
例1：（2010安徽高考理科Ｔ18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn)。
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面；
(3)求二面角的大小。
【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。
【思路點(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。
【規(guī)范解答】
(1)
(2)
(3)
【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；
2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；
3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解。
4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡(jiǎn)單，易于操作，推薦使用。
要點(diǎn)考向2：利用空間向量求線線角、線面角
考情聚焦：1．線線角、線面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年都考。
2．在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。
考向鏈接：1．利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:
（1）異面直線所成角
設(shè)分別為異面直線的方向向量，則
（2）線面角
設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則
2．運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：
（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。
例2：（2010遼寧高考理科Ｔ19）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.
【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計(jì)算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。
【思路點(diǎn)撥】建系，寫出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，
計(jì)算的數(shù)量積，寫出答案；
求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。
【規(guī)范解答】
設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,)，N(,0,0)，S(1,,0)
（I）
【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。
（2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。
（3）線面角的范圍是0°～90°，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的，要取絕對(duì)值。
要點(diǎn)考向3：利用空間向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，是年年必考的知識(shí)點(diǎn)。
2．常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。
考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等，
例3：（2010天津高考理科Ｔ１9）
如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,
上的點(diǎn)，,
求異面直線與所成角的余弦值；
證明平面
求二面角的正弦值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。
【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題。
【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè),依題意得,,,
易得,，于是，
所以異面直線與所成角的余弦值為。
證明：已知,,
于是=0，=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即
不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。
于是，從而
所以二面角的正弦值為
要點(diǎn)考向4：利用空間向量解決探索性問題
考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件（或是否存在問題），能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點(diǎn)，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點(diǎn)。
例4：（2010福建高考理科Ｔ18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。
（I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；
（II）設(shè)AB＝AA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。
（i）當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求p的最大值；
（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（）。當(dāng)p取最大值時(shí)，求cos的值。
【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。
【思路點(diǎn)撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長(zhǎng)方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計(jì)算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角。對(duì)于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。
【規(guī)范解答】（I）平面，平面，，又是的直徑，，又，平面，而平面，所以平面平面；
（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)取得最大值。又因?yàn)辄c(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；
（ii）由（i）知，取最大值時(shí)，，于是，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，由于，，
所以平面的一個(gè)法向量為，，。
【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進(jìn)行證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓柱的底面半徑為，，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)取得最大值。，所以當(dāng)時(shí)的的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；

【高考真題探究】
1.（2010廣東高考理科Ｔ１0）若向量=（1,1,x）,=(1,2,1),=(1,1,1),滿足條件=-2,則=.
【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算.
【思路點(diǎn)撥】先算出、，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】，，由
得，即，解得
【答案】2
2.（2010浙江高考理科Ｔ20）如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在線段
上，.沿直線將翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)。
【命題立意】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。
【思路點(diǎn)撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題。
【規(guī)范解答】方法一：（Ⅰ）取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?及H是EF的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，所以。
取，則。
又平面的一個(gè)法向量，故。
所以二面角的余弦值為
（Ⅱ）設(shè)，則，，
因?yàn)榉酆?，與重合，所以，，
故，，得，，
所以。
3.（2010陜西高考理科Ｔ１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。
【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧。
【思路點(diǎn)撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.
【規(guī)范解答】解法一（Ⅰ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵AP=AB=2，BC=，四邊形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)
又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，
∴E(0，，0),F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0,1），
∴=-2+4-2=0，=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF,PC⊥EF,,
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP的法向量
設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，
則
∴，∴平面BEF與平面BAP的夾角為
4.（2010重慶高考文科Ｔ20）如題圖，四棱錐中，
底面為矩形，，，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
（I）證明：；
（II）若，求二面角的平面角的余弦值.
【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，
考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點(diǎn)撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識(shí)求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.
【規(guī)范解答】（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
射線分別為軸、軸、軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.
設(shè)設(shè)，則，，，。于是，，，則，
所以，故.
（II）設(shè)平面BEC的法向量為，由（Ⅰ）知，，故可取.設(shè)平面DEC的法向量，則，，由，得D，G，
從而，，故，所以，，可取，則，從而.
【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計(jì)算求解；（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題.
5.（2010江西高考文科Ｔ２０）
如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求直線與平面所成的角的大小；
（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.
【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計(jì)算問題，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力。
【思路點(diǎn)撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解；
（2）對(duì)二面角的求法思路，一般是分三步①“作”，②“證”，③“求”.其中“作”是關(guān)鍵，“證”
是難點(diǎn).法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.

【規(guī)范解答】取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.
以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.
因（0，，），平面
的法向量為.則有
，所以.
（2），.
設(shè)平面ACM的法向量為，由得.
解得，，取.又平面BCD的法向量為，
則
設(shè)所求二面角為，則.
6.（2010四川高考理科Ｔ18）
已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，
點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：為異面直線和的公垂線；
（Ⅱ）求二面角的大??；
（Ⅲ）求三棱錐的體積.
【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、
二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
【思路點(diǎn)撥】方法一：幾何法問題（Ⅰ），分別證明，即可.
問題（II）首先利用三垂線定理，作出二面角的平面角，然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個(gè)三角函數(shù)值，便可解決問題.
問題（Ⅲ）選擇便于計(jì)算的底面和高，觀察圖形可知，和都在平面內(nèi)，且，故，利用三棱錐的體積公式很快求出.
方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.
【規(guī)范解答】(方法一)：（I）連結(jié).取的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連結(jié).
∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
由，得.
∵，∴.
∴.∴.
又∵與異面直線和都相交，
故為異面直線和的公垂線，
（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，
過點(diǎn)過點(diǎn)作于，連結(jié)，則由三垂線
定理得，.
∴為二面角的平面角.
.
在中.
故二面角的大小為.
（III）易知，,且和都在平面內(nèi)，
點(diǎn)到平面的距離，
∴.
(方法二)：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
（I）∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴,，,,.
,,
∴,,
又∵與異面直線和都相交，
故為異面直線和的公垂線，
（II）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，.
即
取，則..
取平面的一個(gè)法向量.
，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
故二面角的大小為.
（III）易知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
,,
即
取，則，從而.
點(diǎn)到平面的距離.
.

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知點(diǎn)A（-3,1,-4），則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()
(A)（-3,-1,4）
(B)(-3,-1,-4)
(C)(3,1,4)
(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AB1⊥BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為()
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
3.設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（）
A．B．C．2D．3
4.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
5.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
6.如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，，則下列向量中與相等的向量是（）
（A）（B）
（C）（D）
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．，，是空間交于同一點(diǎn)的互相垂直的三條直線，點(diǎn)到這三條直線的距離分別為,,，則,則__。
8．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則=
9．將正方形沿對(duì)角線折成直二面角后，有下列四個(gè)結(jié)論：
（1）；（2）是等邊三角形；
（3）與平面成60°；（4）與所成的角為60°．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為_________（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
三、解答題（共46分）
10.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，,E、F分別是BC、AP的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求二面角A—BP—D的余弦值．
11.某組合體由直三棱柱與正三棱錐組成，如圖所示，其中，．它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為+1，，+1．
（1）求直線與平面所成角的正弦；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
12.如圖，三棱柱中，面，
,，，為的中點(diǎn)。
(I)求證：面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值
參考答案
1．【解析】選A.∵點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律是在x軸上的坐標(biāo)不變，在y軸，z軸上的坐標(biāo)分別變?yōu)橄喾磾?shù)，∴點(diǎn)A（-3，1，-4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,-1,4）.
2．【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a.側(cè)棱長(zhǎng)為2b.
3．D
4．D
5．C
6．A
7．64
8．3
9．（1）（2）（4）
10．解：（1）證明：取PD的中點(diǎn)G，連接FG、CG
∵FG是△PAD的中衛(wèi)縣，∴FG，
在菱形ABCD中，ADBC，又E為BC的中點(diǎn)，
∴CEFG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG
又EF面PCD，CG面PCD，
∴EF∥面PCD
（2）法1：以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為、、軸建立如
圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
則0（0，0，0），A（0，，0），B（1，0，0）（0，0，）
=（1，，0）=（0，，）
設(shè)面ABP的發(fā)向量為，則
，即即
取
又，，
∴OA⊥面PBD，∴為面PBD的發(fā)向量，
∴=（0，，0）
.
所以所求二面角的余弦值為
法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OP⊥面ABCD，AC面ABCD，
∴AC⊥OP，OPBD=0，
∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，
在面PBD中，過O作ON⊥PB，連AN，PB⊥面AON，則AN⊥PB。
即∠ANO為所求二面角的平面角
AO=ABcos30°=
在Rt△POB中，
，
∴
∴cos∠。
所以所求二面角的余弦值為
11．【解析】
12．解：（1）連接B1C，交BC1于點(diǎn)O，則O為B1C的中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)∴OD∥B1A
又B1A平面BDC1，OD平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC則BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則C1(0,0,3)B(0,2,0)D(1,0,0)C(0,0,0)
∴設(shè)平面的法向量為由得
，取，則
又平面BDC的法向量為
cos
∴二面角C1—BD—C的余弦值為
【備課資源】
1.已知兩條異面直線a、b所成的角為40°，直線l與a、b所成的角都等于θ，則θ的取值范圍是()
(A)［20°,90°］(B)［20°,90°)
(C)(20°,40°］(D)［70°,90°］
【解析】選A.
取空間任一點(diǎn)O，將直線a,b,l平移到過O點(diǎn)后分別為a′,b′,l′，則l′與a′,b′所成的角即為l與a,b所成的角.當(dāng)l′與a′,b′共面時(shí)θ最小為20°.當(dāng)l′與a′,b′確定的平面垂直時(shí)，θ最大為90°.故θ的取值范圍為［20°,90°］.
3.如圖甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=,點(diǎn)M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖乙).
(1)求證：AB∥平面DNC；
(2)當(dāng)DN的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角D-BC-N的大小為30°？