高中等差數(shù)列教案

等差數(shù)列導(dǎo)學(xué)案。

俗話說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓高中教案寫(xiě)的更加全面呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“等差數(shù)列導(dǎo)學(xué)案”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

等差數(shù)列（1）

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解等差數(shù)列的概念，了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
3.正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng).

學(xué)習(xí)過(guò)程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：什么是數(shù)列？

復(fù)習(xí)2：數(shù)列有幾種表示方法？分別是哪幾種方法？

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究任務(wù)一：等差數(shù)列的概念
問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，看看以下四個(gè)數(shù)列有什么共同特征？
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366

新知：
1.等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它一項(xiàng)的等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的，常用字母表示.

2.等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列，
這時(shí)數(shù)叫做數(shù)和的等差中項(xiàng)，用等式表示為A=

探究任務(wù)二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
問(wèn)題2：數(shù)列①、②、③、④的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？
若一等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是d，則據(jù)其定義可得：
，即：
，即：
，即：
……
由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：
∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)和公差d，便可求得其通項(xiàng).
※典型例題
例1⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng)；
⑵－401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

變式：（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第10項(xiàng).

（2）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由.

小結(jié)：要求出數(shù)列中的項(xiàng)，關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式；要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得等于這一數(shù).

例2已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，其中、是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是多少？

變式：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問(wèn)這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

相關(guān)閱讀

等差數(shù)列

等差數(shù)列與等比數(shù)列

等差數(shù)列與等比數(shù)列

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】
掌握等差、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，在解決有關(guān)等差，等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用方程的思想和函數(shù)思想以及整體的觀點(diǎn)，培養(yǎng)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。
【課前熱身】
1．如果，，…，為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則()
A．B．C．++D．=
2．已知–9,a1,a2,–1這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,–9,b1,b2,b3,–1這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則等于（）
A．-8B．8C．8或-8D．
3．設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（）（福建文）
A．1B．－1C．2D．
4．已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=（）（浙江文理）
A–4B–6C–8D–10
5.(2005年杭州二模題)已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則橢圓的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.
【例題探究】
1、已知數(shù)列為等差數(shù)列，且(05湖南)
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明

2、設(shè)數(shù)列
記
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

3、某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？
（?。?br> 【方法點(diǎn)撥】
1．本題的關(guān)鍵在于指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化在數(shù)列中的應(yīng)用。
2．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式和遞推公式經(jīng)常在已知條件中給出,利用列舉、疊加、疊乘等方法求之.求通項(xiàng)公式的方法應(yīng)掌握.
3．例3是比較簡(jiǎn)單的數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，由于問(wèn)題所涉及的數(shù)列是熟悉的等比數(shù)列與等差數(shù)列，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過(guò)的公式求解.
沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練（12）
1．已知等差數(shù)列滿足則有()
A.B.C.D.
2在正數(shù)等比數(shù)列中已知?jiǎng)t（）
A．11B．10C．8D．4
3．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A．B．C．D．
4．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則()
A．33B．72C．84D．189
5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）.關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：
（1）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；
（2）若，則是等差數(shù)列；
（3）若，則是等比數(shù)列.
這些命題中，真命題的序號(hào)是.

6、在等差數(shù)列中，，等比數(shù)列中，
，，則

7．設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為（湖南理）

8．已知，都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的正整n,都有成等差數(shù)列，
等比數(shù)列。
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）如果，，。

9．設(shè)⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圓心在拋物線上的一系列圓，它們的圓心的橫坐標(biāo)分別記為。已知，。若⊙Ck(k=1,2,3,……,n)都與x軸相切，且順次兩圓外切。
（1）求證：是等差數(shù)列（2）求的表達(dá)式；
（3）求證：
參考答案
【課前熱身】
1．B2，A3，A4，B
5、y=±22.解析：由條件易知m=2,n=4.但要注意橢圓焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是y軸.因此準(zhǔn)線方程為y=±a2c=±22.
【例題探究】
1,（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.
由即d=1.
所以即
（II）證明因?yàn)椋?br> 所以
2,解：（I）
（II）因?yàn)?所以
所以
猜想：是公比為的等比數(shù)列.
證明如下：因?yàn)?br> 所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
3，解：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列，
①甲方案獲利：（萬(wàn)元）
銀行貸款本息：（萬(wàn)元）
故甲方案純利：（萬(wàn)元）
②乙方案獲利：
（萬(wàn)元）；
銀行本息和：
（萬(wàn)元）
故乙方案純利：（萬(wàn)元）；綜上，甲方案更好.

沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練(12)
1．C2．A3．B4．C5．（1）、（2）、（3）
6．解：
點(diǎn)評(píng)：此題也可以把和d看成兩個(gè)未知數(shù)，通過(guò)列方程，聯(lián)立解之d=。再求出但計(jì)算較繁，運(yùn)用計(jì)算較為方便。
7．
8．解：（1）證明：成等差數(shù)列，。
成等比數(shù)列，，即，
，，成等差數(shù)列。
（2）解：而，
，
）
9．解：（1）由題意知：⊙：，⊙：
，，
,兩邊平方，整理得
是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列
（2）由（1）知，
（3）
），

等差數(shù)列（2）

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)教師都不可缺少的。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，幫助教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么怎么才能寫(xiě)出優(yōu)秀的教案呢？以下是小編為大家收集的“等差數(shù)列（2）”希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

等差數(shù)列（2）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解等差數(shù)列的概念，了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
3.正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng).

小結(jié)：要判定是不是等差數(shù)列，只要看（n≥2）是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

※動(dòng)手試試
練1.等差數(shù)列1，－3，－7，－11，…，求它的通項(xiàng)公式和第20項(xiàng).

練2.在等差數(shù)列的首項(xiàng)是，求數(shù)列的首項(xiàng)與公差.

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.等差數(shù)列定義：(n≥2)；
2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n≥1).

※知識(shí)拓展
1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式為或.分析等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知其為一次函數(shù)，圖象上表現(xiàn)為直線上的一些間隔均勻的孤立點(diǎn).
2.若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且已知和時(shí)，可設(shè)這三個(gè)數(shù)為.若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)這四個(gè)數(shù)為.
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1.等差數(shù)列1，－1，－3，…，－89的項(xiàng)數(shù)是（）.
A.92B.47C.46D.45
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式，則此數(shù)列是（）.
A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為5的等差數(shù)列
C.首項(xiàng)為2的等差數(shù)列D.公差為n的等差數(shù)列
3.等差數(shù)列的第1項(xiàng)是7，第7項(xiàng)是－1，則它的第5項(xiàng)是（）.
A.2B.3C.4D.6
4.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則∠B＝.
5.等差數(shù)列的相鄰4項(xiàng)是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝，b＝.

課后作業(yè)
1.在等差數(shù)列中，
⑴已知，d＝3，n＝10，求；

⑵已知，，d＝2，求n；

⑶已知，，求d；

⑷已知d＝－，，求.
2.一個(gè)木制梯形架的上下底邊分別為33cm，75cm，把梯形的兩腰各6等分，用平行木條連接各分點(diǎn)，構(gòu)成梯形架的各級(jí)，試計(jì)算梯形架中間各級(jí)的寬度.

等差數(shù)列教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
2．2.1等差數(shù)列
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課將探究一類(lèi)特殊的數(shù)列——等差數(shù)列．本節(jié)課安排2課時(shí)，第1課時(shí)是在生活中具體例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念，接著用不完全歸納法歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)這個(gè)公式去進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．第2課時(shí)主要是讓學(xué)生明確等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)的公式，并能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)．讓學(xué)生明白一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問(wèn)題．在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會(huì)探究．在問(wèn)題探索過(guò)程中，先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的初步思路，然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來(lái)檢驗(yàn)所提出的猜想．其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用．
在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過(guò)程中的主體地位．使學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也是離不開(kāi)生活的．學(xué)會(huì)在生活中挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化．
數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊．教材采取將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各知識(shí)溝通方面發(fā)揮了重要作用．因此本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、啟發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題的好素材．
三維目標(biāo)
1．通過(guò)實(shí)例理解等差數(shù)列的概念，通過(guò)生活中的實(shí)例抽象出等差數(shù)列模型，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一類(lèi)數(shù)列是現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的數(shù)列模型．同時(shí)經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個(gè)具體數(shù)列的等差關(guān)系，歸納出等差數(shù)列的定義的過(guò)程．
2．探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的概念，通過(guò)歸納或迭加或迭代的方式探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．通過(guò)與一次函數(shù)的圖象類(lèi)比，探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系．
3．通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)及性質(zhì)，會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
教學(xué)難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，以及從函數(shù)、方程的觀點(diǎn)看通項(xiàng)公式，并會(huì)解決一些相關(guān)的問(wèn)題．
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(直接導(dǎo)入)教師引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)過(guò)的數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式，可有意識(shí)地在黑板上(或課件中)出示幾個(gè)數(shù)列，如：數(shù)列1,2,3，…，數(shù)列0,0,0，…，數(shù)列0,2,4,6，…等，然后直接引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例，不知不覺(jué)中就已經(jīng)進(jìn)入了新課．
思路2.(類(lèi)比導(dǎo)入)教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，使學(xué)生明了我們現(xiàn)在要研究的就是一列數(shù)．由此我們聯(lián)想：在初中我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，研究了它的一些運(yùn)算與性質(zhì)，那么我們能不能也像研究實(shí)數(shù)一樣，來(lái)研究它的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)呢？由此導(dǎo)入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1回憶數(shù)列的概念，數(shù)列都有哪幾種表示方法？
2閱讀教科書(shū)本節(jié)內(nèi)容中的①②③3個(gè)背景實(shí)例，熟悉生活中常見(jiàn)現(xiàn)象，寫(xiě)出由3個(gè)實(shí)例所得到的數(shù)列.
3觀察數(shù)列①②③，它們有什么共同特點(diǎn)？
4根據(jù)數(shù)列①②③的特征，每人能再舉出2個(gè)與其特征相同的數(shù)列嗎？
5什么是等差數(shù)列？怎樣理解等差數(shù)列？其中的關(guān)鍵字詞是什么？
6數(shù)列①②③存在通項(xiàng)公式嗎？如果存在，分別是什么？
7等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？怎樣推導(dǎo)？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列及其簡(jiǎn)單表示法——列表法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數(shù)列的特點(diǎn)．然后引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例模型，指導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出這3個(gè)模型的數(shù)列：
①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…；
②2,9,16,23,30；
③89,83,77,71,65,59,53,47.
這是由日常生活中經(jīng)常遇到的實(shí)際問(wèn)題中得到的數(shù)列．觀察這3個(gè)數(shù)列發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)列中相鄰的后項(xiàng)減前項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)．當(dāng)然這里我們是拿后項(xiàng)減前項(xiàng)，其實(shí)前項(xiàng)減后項(xiàng)也是一個(gè)常數(shù)，為了后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)方便，這個(gè)順序不能顛倒．
至此學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到，具備這個(gè)特征的數(shù)列模型在生活中有很多，如上節(jié)提到的堆放鋼管的數(shù)列為100,99,98,97，…，某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)的座位排列：第一排15個(gè)座位，向后依次為17,19,21,23，…，等等．
以上這些數(shù)列的共同特征是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)(即等差)．這就是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容．教師先讓學(xué)生試著用自己的語(yǔ)言描述其特征，然后給出等差數(shù)列的定義．
等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．
教師引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)定義：這里公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，若前項(xiàng)減后項(xiàng)則為－d，這就是為什么前面3個(gè)模型的分析中總是說(shuō)后項(xiàng)減前項(xiàng)而不說(shuō)前項(xiàng)減后項(xiàng)的原因．顯然3個(gè)模型數(shù)列都是等差數(shù)列，公差依次為0.5,7，－6.
教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵字是什么？(學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確、深入地理解和掌握概念的重要條件，這是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán)．因此教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題的能力)
這里“從第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”是等差數(shù)列定義中的核心部分．用遞推公式可以這樣描述等差數(shù)列的定義：對(duì)于數(shù)列{an}，若an－an－1＝d(d是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)或字母)，n≥2，n∈N*，則此數(shù)列是等差數(shù)列．這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法．點(diǎn)撥學(xué)生注意這里的“n≥2”，若n包括1，則數(shù)列是從第1項(xiàng)向前減，顯然無(wú)從減起．若n從3開(kāi)始，則會(huì)漏掉a2－a1的差，這也不符合定義，如數(shù)列1,3,4,5,6，顯然不是等差數(shù)列，因此要從意義上深刻理解等差數(shù)列的定義．
教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列①②③的通項(xiàng)公式，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)列通項(xiàng)公式的定義，觀察每一數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系會(huì)很快寫(xiě)出：①an＝21.5＋0.5n，②an＝7n－5，③an＝－6n＋95.
以上這幾個(gè)通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn)，無(wú)論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性．教師點(diǎn)撥學(xué)生探求，對(duì)任意等差數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，根據(jù)等差數(shù)列的定義都有：
a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
……
所以a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d.
學(xué)生很容易猜想出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d后，教師適時(shí)點(diǎn)明：我們歸納出的公式只是一個(gè)猜想，嚴(yán)格的證明需要用到后面的其他知識(shí)．
教師可就此進(jìn)一步點(diǎn)撥學(xué)生：數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是很重要的思考方法，后面還要專(zhuān)門(mén)探究它．?dāng)?shù)學(xué)中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱(chēng)為數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，對(duì)于它的證明中國(guó)已處于世界領(lǐng)先地位．很多著名的數(shù)學(xué)結(jié)論都是從猜想開(kāi)始的．但要注意，數(shù)學(xué)猜想僅是一種數(shù)學(xué)想象，在未得到嚴(yán)格的證明前不能當(dāng)作正確的結(jié)論來(lái)用．這里我們歸納猜想的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明了的，只是現(xiàn)在我們知識(shí)受限，無(wú)法證明，所以說(shuō)我們先承認(rèn)它．鼓勵(lì)學(xué)生只要?jiǎng)?chuàng)新探究，獨(dú)立思考，也會(huì)有自己的新奇發(fā)現(xiàn)．
教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況，也可引導(dǎo)學(xué)生得出等差數(shù)列通項(xiàng)公式的其他推導(dǎo)方法．例如：
方法一(疊加法)：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an－an－1＝d，
an－1－an－2＝d，
an－2－an－3＝d，
……
a2－a1＝d.
兩邊分別相加得an－a1＝(n－1)d，
所以an＝a1＋(n－1)d，
方法二(迭代法)：{an}是等差數(shù)列，則有
an＝an－1＋d，
＝an－2＋d＋d
＝an－2＋2d
＝an－3＋d＋2d
＝an－3＋3d
……
＝a1＋(n－1)d.
所以an＝a1＋(n－1)d.
討論結(jié)果：
(1)～(4)略．
(5)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．其中關(guān)鍵詞為“從第2項(xiàng)起”、“等于同一個(gè)常數(shù)”．
(6)三個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，它們分別是：an＝21.5＋0.5n，an＝7n－5，an＝－6n＋95.
(7)可用疊加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例2)
活動(dòng)：本例的目的是讓學(xué)生熟悉公式，使學(xué)生從中體會(huì)公式與方程之間的聯(lián)系．教學(xué)時(shí)要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于an、a1、d、n(獨(dú)立的量有3個(gè))的方程，以便于學(xué)生能把方程思想和通項(xiàng)公式相結(jié)合，解決等差數(shù)列問(wèn)題．本例中的(2)是判斷一個(gè)數(shù)是否是某等差數(shù)列的項(xiàng)．這個(gè)問(wèn)題可以看作(1)的逆問(wèn)題．需要向?qū)W生說(shuō)明的是，求出的項(xiàng)數(shù)為正整數(shù)，所給數(shù)就是已知數(shù)列中的項(xiàng)，否則，就不是已知數(shù)列中的項(xiàng)．本例可由學(xué)生自己獨(dú)立解決，也可做板演之用，教師只是對(duì)有困難的學(xué)生給予恰當(dāng)點(diǎn)撥．
點(diǎn)評(píng)：在數(shù)列中，要讓學(xué)生明確解方程的思路．
變式訓(xùn)練
(1)100是不是等差數(shù)列2,9,16，…的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)－20是不是等差數(shù)列0，－312，－7，…的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)由題意，知a1＝2，d＝9－2＝7.因而通項(xiàng)公式為an＝2＋(n－1)×7＝7n－5.
令7n－5＝100，解得n＝15，所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng)．
(2)由題意可知a1＝0，d＝－312，因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝－72n＋72.
令－72n＋72＝－20，解得n＝477.因?yàn)椋?2n＋72＝－20沒(méi)有正整數(shù)解，所以－20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．

例2一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為125，公差d＞0，從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大，求公差d的范圍．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題意，思考條件“從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大”的含義，應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)條件？是否僅是a10＞1呢？d＞0的條件又說(shuō)明什么？教師可讓學(xué)生合作探究，放手讓學(xué)生討論，不要怕學(xué)生出錯(cuò)．
解：∵d＞0，設(shè)等差數(shù)列為{an}，則有a1＜a2＜a3＜…＜a9＜a10＜a11＜…，
由題意，得1＜a10＜a11＜…，a1＜a2＜…＜a9≤1，
即a10＞1a9≤1?125＋10－1d＞1，125＋9－1d≤1，
解得875＜d≤325.
點(diǎn)評(píng)：本例學(xué)生很容易解得不完整，解完此題后讓學(xué)生反思解題過(guò)程．本題主要訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及對(duì)公差的深刻理解．

變式訓(xùn)練
在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，1an＋1＝1an＋13(n∈N*)，求a50.
解：已知條件可化為1an＋1－1an＝13(n∈N*)，
由等差數(shù)列的定義，知{1an}是首項(xiàng)為1a1＝1，公差為d＝13的等差數(shù)列，
∴1a50＝1＋(50－1)×13＝523.
∴a50＝352.

例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn＋q，其中p、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？
活動(dòng)：要判定{an}是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，根據(jù)an－an－1(n＞1)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．
這實(shí)際上給出了判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的一個(gè)方法：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列．因而把等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)聯(lián)系了起來(lái)．本例設(shè)置的“旁注”，目的是為了揭示等差數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征：對(duì)于通項(xiàng)公式形如an＝pn＋q的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p＋q.因此可以深化學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解，同時(shí)還可以從多個(gè)角度去看待等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，有利于以后更好地把握等差數(shù)列的性質(zhì)．在教學(xué)時(shí)教師要根據(jù)學(xué)生解答的情況，點(diǎn)明這點(diǎn)．
解：當(dāng)n≥2時(shí)，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an－1與an(n≥2)〕
an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p為常數(shù)，
所以{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝p＋q，公差為p.
點(diǎn)評(píng)：(1)若p＝0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….
(2)若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)(n，an)均在一次函數(shù)y＝px＋q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an＝pn＋q(p、q是常數(shù))，稱(chēng)其為第3通項(xiàng)公式．
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝6n－1.問(wèn)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與公差分別是多少？
解：∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常數(shù))，
∴{an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為a1＝6×1－1＝5，公差為6.
點(diǎn)評(píng)：該訓(xùn)練題的目的是進(jìn)一步熟悉例3的內(nèi)容．需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，若用an－an－1＝d，則必須強(qiáng)調(diào)n≥2這一前提條件，若用an＋1－an＝d，則可不對(duì)n進(jìn)行限制．

知能訓(xùn)練
1．(1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項(xiàng)；
(2)－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
2．求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng)．
答案：
1．解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得－401＝－4n－1成立．解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n＝100，即－401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)．
2．解：根據(jù)題意可知a1＝3，d＝7－3＝4.
∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝3＋(n－1)×4，
即an＝4n－1(n≥1，n∈N*)．
∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.
課堂小結(jié)
1．先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？要注意的是什么？都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你在這節(jié)課里最大的收獲是什么？
2．教師進(jìn)一步集中強(qiáng)調(diào)，本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”．這是我們研究有關(guān)等差數(shù)列的主要出發(fā)點(diǎn)，是判斷、證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列和解決其他問(wèn)題的一種基本方法，要注意這里的“等差”是對(duì)任意相鄰兩項(xiàng)來(lái)說(shuō)的．
作業(yè)
習(xí)題2—2A組1、2.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)突出了重點(diǎn)概念的教學(xué)，突出了等差數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用．等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確反映和高度概括，準(zhǔn)確地把握定義是正確認(rèn)識(shí)等差數(shù)列，解決相關(guān)問(wèn)題的前提條件．通項(xiàng)公式是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個(gè)數(shù)列的重要工具．因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，因此通過(guò)函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能．
本教案設(shè)計(jì)突出了教法學(xué)法與新課程理念的接軌，引導(dǎo)綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學(xué)，這是一種非常重要的學(xué)習(xí)方法；在問(wèn)題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的初步思路，然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來(lái)檢驗(yàn)所提出的猜想．
本教案設(shè)計(jì)突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練．通過(guò)一題多解，多題一解的訓(xùn)練，比較優(yōu)劣，換個(gè)角度觀察問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素質(zhì)．只有在學(xué)習(xí)過(guò)程中有意識(shí)地將知識(shí)遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗(yàn)多樣性，學(xué)懂學(xué)透，融會(huì)貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增．
(設(shè)計(jì)者：周長(zhǎng)峰)

第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié)課我們研究了數(shù)列中的一個(gè)重要概念——等差數(shù)列的定義，讓學(xué)生回憶這個(gè)定義，并舉出幾個(gè)等差數(shù)列的例子．接著教師引導(dǎo)學(xué)生探究自己所舉等差數(shù)列例子中項(xiàng)與項(xiàng)之間有什么新的發(fā)現(xiàn)？比如，在同一個(gè)等差數(shù)列中，與某一項(xiàng)“距離”相等的兩項(xiàng)的和會(huì)是什么呢？由此展開(kāi)新課．
思路2.(直接導(dǎo)入)教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容：等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的通項(xiàng)，之后直接提出等差中項(xiàng)的概念讓學(xué)生探究，由此而展開(kāi)新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1請(qǐng)學(xué)生回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的定義，如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列？2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是怎樣得出來(lái)的？它與一次函數(shù)有什么關(guān)系？3什么是等差中項(xiàng)？怎樣求等差中項(xiàng)？4根據(jù)等差中項(xiàng)的概念，你能探究出哪些重要結(jié)論呢？
活動(dòng)：借助課件，教師引導(dǎo)學(xué)生先回憶等差數(shù)列的定義，一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(通常用字母“d”表示)．
再一起回顧通項(xiàng)公式，等差數(shù)列{an}有兩種通項(xiàng)公式：an＝am＋(n－m)d或an＝pn＋q(p、q是常數(shù))．
由上面的兩個(gè)公式我們還可以得到下面幾種計(jì)算公差d的方法：①d＝an－an－1；②d＝an－a1n－1；③d＝an－amn－m.
對(duì)于通項(xiàng)公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項(xiàng)公式，后又用疊加法及迭代法推導(dǎo)了通項(xiàng)公式．
教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本等差中項(xiàng)的概念，引導(dǎo)學(xué)生探究：如果我們?cè)跀?shù)a與數(shù)b中間插入一個(gè)數(shù)A，使三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么數(shù)A應(yīng)滿足什么樣的條件呢？
由定義可得A－a＝b－A，即A＝a＋b2.
反之，若A＝a＋b2，則A－a＝b－A，
由此可以得A＝a＋b2?a，A，b成等差數(shù)列．
由此我們得出等差中項(xiàng)的概念：如果三個(gè)數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)．如果A是x和y的等差中項(xiàng)，則A＝x＋y2.
根據(jù)我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．
如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項(xiàng)，也是1和9的等差中項(xiàng)．
9是7和11的等差中項(xiàng)，也是5和13的等差中項(xiàng)．
等差中項(xiàng)及其應(yīng)用問(wèn)題的解法關(guān)鍵在于抓住a，A，b成等差數(shù)列?2A＝a＋b，以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或直接由a，A，b間的關(guān)系證得a，A，b成等差數(shù)列．
根據(jù)等差中項(xiàng)的概念我們來(lái)探究這樣一個(gè)問(wèn)題：如上面的數(shù)列1,3,5,7,9,11,13，…中，我們知道2a5＝a3＋a7＝a1＋a9＝a2＋a8，那么你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？再驗(yàn)證一下，結(jié)果有a2＋a10＝a3＋a9＝a4＋a8＝a5＋a7＝2a6.由此我們猜想這個(gè)規(guī)律可推廣到一般，即在等差數(shù)列{an}中，若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，這個(gè)猜想與上節(jié)的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想方法是一樣的，是我們歸納出來(lái)的，沒(méi)有嚴(yán)格證明，不能說(shuō)它就一定是正確的．讓學(xué)生進(jìn)一步探究怎樣證明它的正確性呢？只要運(yùn)用通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化即可．設(shè)首項(xiàng)為a1，則am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d.
因?yàn)槲覀冇衜＋n＝p＋q，所以上面兩式的右邊相等，所以am＋an＝ap＋aq.
由此我們的一個(gè)重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和．另外，在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則上面兩式的右邊相等，所以am＋an＝ap＋aq.同樣地，我們還有：若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.這也是等差中項(xiàng)的內(nèi)容．
我們自然會(huì)想到由am＋an＝ap＋aq能不能推出m＋n＝p＋q呢？舉個(gè)反例，這里舉個(gè)常數(shù)列就可以說(shuō)明結(jié)論不成立．
這說(shuō)明在等差數(shù)列中，am＋an＝ap＋aq是m＋n＝p＋q成立的必要不充分條件．由此我們還進(jìn)一步推出an＋1－an＝d＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，這也是證明等差數(shù)列的常用方法．
同時(shí)我們通過(guò)這個(gè)探究過(guò)程明白：若要說(shuō)明一個(gè)猜想正確，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明，若要說(shuō)明一個(gè)猜想不正確，僅舉一個(gè)反例即可．
討論結(jié)果：(1)(2)略．
(3)如果三個(gè)數(shù)x，A，y成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，且A＝x＋y2.
(4)得到兩個(gè)重要結(jié)論：①在數(shù)列{an}中，若2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則{an}是等差數(shù)列．
②在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
應(yīng)用示例
例1在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a6＝9，a4＝7，求a3，a9.
活動(dòng)：本例是一道基本量運(yùn)算題，運(yùn)用方程思想可由已知條件求出a1，d，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式an，則a3，a9不難求出．應(yīng)要求學(xué)生掌握這種解題方法，理解數(shù)列與方程的關(guān)系．
解：由已知，得a1＋a1＋5d＝9，a1＋3d＝7，解得a1＝－8，d＝5.
∴通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝－8＋5(n－1)＝5n－13.
∴a3＝2，a9＝32.
點(diǎn)評(píng)：本例解法是數(shù)列問(wèn)題的基本運(yùn)算，應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握，當(dāng)然對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)來(lái)說(shuō)，教師可引導(dǎo)探究一些其他解法，如a1＋a6＝a4＋a3＝9.
∴a3＝9－a4＝9－7＝2.
由此可得d＝a4－a3＝7－2＝5
∴a9＝a4＋5d＝32.
點(diǎn)評(píng)：這種解法巧妙，技巧性大，需對(duì)等差數(shù)列的定義及重要結(jié)論有深刻的理解．
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()
A．－165B．－33C．－30D．－21
答案：C
解析：依題意知，a2＝a1＋a1＝2a1，a1＝12a2＝－3，an＋1＝an＋a1＝an－3，
可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a10＝a1＋9d＝－3－9×3＝－30.

例2(教材本節(jié)例5)
活動(dòng)：本例是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用．正如邊注所說(shuō)，相當(dāng)于已知直線過(guò)點(diǎn)(1,17)，斜率為－0.6，求直線在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．可放手讓學(xué)生完成本例．
變式訓(xùn)練
等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是…()
A．a(chǎn)n＝2n－2(n∈N*)B．a(chǎn)n＝2n＋4(n∈N*)
C．a(chǎn)n＝－2n＋12(n∈N*)D．a(chǎn)n＝－2n＋10(n∈N*)
答案：D
解析：由題意知a2a4＝12a2＋a4＝8d＜0?a2＝6a4＝2?a1＝8，d＝－2，
所以由an＝a1＋(n－1)d，得an＝8＋(n－1)(－2)＝－2n＋10.

例3已知a、b、c成等差數(shù)列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差數(shù)列？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考a、b、c成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為什么形式的等式？本題的關(guān)鍵是考察在a＋c＝2b的條件下，是否有以下結(jié)果：a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)．教師可讓學(xué)生自己探究完成，必要時(shí)給予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥．
解：∵a、b、c成等差數(shù)列，
∴a＋c＝2b.
又∵a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2b＋a2c＋ac2＋bc2－2b2c－2ab2
＝(a2b－2ab2)＋(bc2－2b2c)＋(a2c＋ac2)
＝ab(a－2b)＋bc(c－2b)＋ac(a＋c)
＝－abc－abc＋2abc
＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)．
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：如果a、b、c成等差數(shù)列，常轉(zhuǎn)化為a＋c＝2b的形式，反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證a＋c＝2b.有時(shí)還需運(yùn)用一些等價(jià)變形技巧，才能獲得成功．
例4在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a、b、c，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以考慮：一是利用等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)；一是利用等差中項(xiàng)加以處理．讓學(xué)生自己去探究，教師一般不要給予提示，對(duì)個(gè)別探究有困難的學(xué)生可適時(shí)地給以點(diǎn)撥、提示．
解：(方法一)設(shè)這些數(shù)組成的等差數(shù)列為{an}，由已知，a1＝－1，a5＝7，
∴7＝－1＋(5－1)d，即d＝2.
∴所求的數(shù)列為－1,1,3,5,7.
(方法二)∵－1，a，b，c,7成等差數(shù)列，
∴b是－1,7的等差中項(xiàng)，a是－1，b的等差中項(xiàng)，c是b,7的等差中項(xiàng)，即b＝－1＋72＝3，a＝－1＋b2＝1，c＝b＋72＝5.
∴所求數(shù)列為－1,1,3,5,7.
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)此題可以看出，應(yīng)多角度思考，多角度觀察，正像前面所提出的那樣，盡量換個(gè)角度看問(wèn)題，以開(kāi)闊視野，培養(yǎng)自己求異發(fā)散的思維能力．
變式訓(xùn)練
數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1，且數(shù)列{1an＋1}是等差數(shù)列，則a11等于()
A．－25B.12C.23D．5
答案：B
解析：設(shè)bn＝1an＋1，則b3＝13，b7＝12，
因?yàn)閧1an＋1}是等差數(shù)列，可求得公差d＝124，
所以b11＝b7＋(11－7)d＝23，即a11＝1b11－1＝12.

例5某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4千米(不含4千米)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車(chē)前往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少元的車(chē)費(fèi)？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型．在這里也就是建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型．引導(dǎo)學(xué)生找出首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．
解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車(chē)的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來(lái)計(jì)算車(chē)費(fèi)．
令a1＝11.2表示4km處的車(chē)費(fèi)，公差d＝1.2，那么，當(dāng)出租車(chē)行至14km處時(shí)，n＝11，此時(shí)需要支付車(chē)費(fèi)a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答：需要支付車(chē)費(fèi)23.2元．
點(diǎn)評(píng)：本例中令a1＝11.2，這點(diǎn)要引起學(xué)生注意，這樣一來(lái)，前往14km處的目的地就相當(dāng)于n＝11，這點(diǎn)極容易弄錯(cuò)．
知能訓(xùn)練

1．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＋a7＝4，則a2＋a4＋a6等于()
A．3B．4C．5D．6
2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于()
A．40B．42C．43D．45
答案：
1．解析：由a1＋a3＋a5＋a7＝4，知4a4＝4，即a4＝1.
∴a2＋a4＋a6＝3a4＝3.
答案：A
2．解析：∵a2＋a3＝13，
∴2a1＋3d＝13.
∵a1＝2，∴d＝3.
而a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.
答案：B
課堂小結(jié)
1．先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？要注意的是什么？都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你是如何通過(guò)舊知識(shí)來(lái)獲取新知識(shí)的？你在這節(jié)課里最大的收獲是什么？
2．教師進(jìn)一步畫(huà)龍點(diǎn)睛，本節(jié)課我們?cè)谏瞎?jié)課的基礎(chǔ)上又推出了兩個(gè)很重要的結(jié)論，一個(gè)是等差數(shù)列的證明方法，一個(gè)是等差數(shù)列的性質(zhì)，要注意這些重要結(jié)論的靈活運(yùn)用．
作業(yè)
課本習(xí)題2—2A組5、6、7.
設(shè)計(jì)感想
本教案是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的，設(shè)計(jì)的活動(dòng)主要都是學(xué)生自己完成的．特別是上節(jié)課通項(xiàng)公式的歸納、猜想給學(xué)生留下了很深的記憶；本節(jié)課只是繼續(xù)對(duì)等差數(shù)列進(jìn)行這方面的探究．
本教案除了安排教材上的兩個(gè)例題外，還針對(duì)性地選擇了既具有典型性又具有啟發(fā)性的幾道例題及變式訓(xùn)練．為了學(xué)生的課外進(jìn)一步探究，在備課資料中摘選了部分備用例題及備用習(xí)題，目的是讓學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)作進(jìn)一步拓展探究，以開(kāi)闊學(xué)生的視野．
本教案的設(shè)計(jì)意圖還在于，加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系．這不僅有利于知識(shí)的融會(huì)貫通，加深對(duì)數(shù)列的理解，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，而且反過(guò)來(lái)可使學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)深化一步，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有趣的，探究是愉悅的，歸納猜想是令人振奮的，借此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．
備課資料
一、備用例題
【例1】梯子最高一級(jí)寬33cm，最低一級(jí)寬為110cm，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬度．
解：設(shè){an}表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知a1＝33，a12＝110，n＝12，所以a12＝a1＋(12－1)d，即得110＝33＋11d，解之，得d＝7.
因此a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.
答：梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
【例2】已知1a，1b，1c成等差數(shù)列，求證：b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差數(shù)列．
證明：因?yàn)?a，1b，1c成等差數(shù)列，所以2b＝1a＋1c，化簡(jiǎn)得2ac＝b(a＋c)，所以有
b＋ca＋a＋bc＝bc＋c2＋a2＋abac＝ba＋c＋a2＋c2ac＝2ac＋a2＋c2ac＝a＋c2ac＝a＋c2ba＋c2＝2a＋cb.
因而b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差數(shù)列．
【例3】設(shè)數(shù)列{an}{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝35，b1＝75，a2＋b2＝100，求數(shù)列{an＋bn}的第37項(xiàng)的值．
分析：由數(shù)列{an}{bn}都是等差數(shù)列，可得{an＋bn}是等差數(shù)列，故可求出數(shù)列{an＋bn}的公差和通項(xiàng)．
解：設(shè)數(shù)列{an}{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2為常數(shù)，所以可得{an＋bn}是等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則公差d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(35＋75)＝－10.因而a37＋b37＝110－10×(37－1)＝－250.
所以數(shù)列{an＋bn}的第37項(xiàng)的值為－250.
點(diǎn)評(píng)：若一個(gè)數(shù)列未告訴我們是等差數(shù)列時(shí)，應(yīng)先由定義法判定它是等差數(shù)列后，方可使用通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d.但對(duì)客觀試題則可以直接運(yùn)用某些重要結(jié)論，直接判定數(shù)列是否為等差數(shù)列．
二、備用習(xí)題
1．已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12的值是()
A．15B．30C．31D．64
2．在數(shù)列{an}中3an＋1＝3an＋2(n∈N*)，且a2＋a4＋a7＋a9＝20，則a10為()
A．5B．7C．8D．10
3．在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則3a9－a11的值為()
A．6B．12C．24D．48
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為14的等差數(shù)列，則|m－n|等于()
A．1B.34C.12D.38
5．在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10＝__________.
6．已知a、b、c成等差數(shù)列，且a、b、c三數(shù)之和為15，若a2，b2＋9，c2也成等差數(shù)列，求a、b、c.
7．設(shè)1a＋b，1a＋c，1b＋c成等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2也成等差數(shù)列．
8．成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二數(shù)與第三數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù)．
9．有一批影碟機(jī)(VCD)原銷(xiāo)售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷(xiāo)售．甲商場(chǎng)用如下方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為780元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)為760元，以此類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均減少20元，但每臺(tái)最少不低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷(xiāo)售．某單位需購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)影碟機(jī)，問(wèn)去哪一家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少？
參考答案：
1．A方法一：∵a7＋a9＝a4＋a12，
∴a12＝15.
方法二：∵數(shù)列{an}成等差數(shù)列，
∴a7＋a9＝2a8.
∴a8＝8.
又∵a4，a8，a12成等差數(shù)列，
∴公差d＝a8－a4＝7.
∴a12＝a8＋d＝8＋7＝15.
2．C由已知得an＋1－an＝23，
∴{an}是首項(xiàng)為a1，公差d＝23的等差數(shù)列．
a2＋a4＋a7＋a9＝4a1＋18d＝20，解得a1＝2，
∴a10＝2＋23(10－1)＝8.
3．D∵a1＋a15＝2a8，
∴a1＋3a8＋a15＝5a8＝120.
∴a8＝24.
而3a9－a11＝3(a1＋8d)－(a1＋10d)＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝2a8＝48.
4．C設(shè)a1＝14，a2＝14＋d，a3＝14＋2d，a4＝14＋3d，
而方程x2－2x＋m＝0中的兩根之和為2，方程x2－2x＋n＝0中的兩根之和也是2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4.
∴d＝12.
∴a1＝14，a4＝74是一個(gè)方程的兩個(gè)根，a2＝34，a3＝54是另一個(gè)方程的兩個(gè)根．
∴716，1516為m或n.
∴|m－n|＝12.
5．－49
6．解：由已知得2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，2b2＋9＝a2＋c2，
解之，得a＝8，b＝5，c＝2，或a＝2，b＝5，c＝8.
7．證明：由已知得1a＋b＋1b＋c＝21a＋c，化簡(jiǎn)得a2＋c2＝2b2，
∴a2，b2，c2成等差數(shù)列．
8．解：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
則由題設(shè)得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，
解得a＝132，d＝32，或a＝132，d＝－32.
∴所求四個(gè)數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.
9．解：設(shè)某單位需購(gòu)買(mǎi)影碟機(jī)n臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)每臺(tái)售價(jià)不低于440元時(shí)，售價(jià)依臺(tái)數(shù)n成等差數(shù)列{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440,800－20n≥440，得n≤18.
當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)小于18時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為800－2n元，在臺(tái)數(shù)大于或等于18時(shí)，每臺(tái)售價(jià)440元．
到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，每臺(tái)售價(jià)為800×75%＝600(元)，作差(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
∴當(dāng)n＜10時(shí)，600n＜(800－20n)n；
當(dāng)n＝10時(shí)，600n＝(800－20n)n；
當(dāng)10＜n≤18時(shí)，(800－20n)n＜600n；
當(dāng)n＞18時(shí)，440n＜600n.
∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)少于10臺(tái)時(shí)，到乙商場(chǎng)花費(fèi)較少，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)10臺(tái)時(shí)，到兩商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)相同，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)多于10臺(tái)時(shí)，到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少．