排列組合高中教案
發(fā)表時間：2020-10-31排列。
一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？小編收集并整理了“排列”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。
一、排列問題常見類型對于有限制條件的排列問題，要注意總結(jié)以下幾種類型的問題的思考方法.
1.某些元素不能排或必須排在某一位置的問題.
（1）先排特殊元素或特殊位置，然后再排其他元素或位置.
（2）先不考慮限制條件，求出所有的排列數(shù)，然后減去不符合條件的排列數(shù)，即間接法.
2.某些元素要求相鄰的問題，常用“捆綁”的辦法，先看成一個元素.
3.某些元素要求不相鄰的問題，常用“插空”的辦法.
二、參考例題
［例1］5男5女共10個同學(xué)排成一行.
（1）女生都排在一起，有幾種排法？
（2）女生與男生相間，有幾種排法？
（3）任何兩個男生都不相鄰，有幾種排法？
（4）5名男生不排在一起，有幾種排法？
（5）男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？
解：（1）將5名女生看作一人，就是6個元素的全排列，有A種排法.又5名女生內(nèi)部可有A種排法，所以共有AA=86400種排法.
（2）男生自己排，女生也自己排，然而相間插入（此時有2種插法），所以女生與男生相間共有2AA=28800種排法.
（3）女生先排，女生之間及首尾共有6個空隙.任取其中5個安插男生即可，因而任何兩個男生都不相鄰的排法共有AA=86400種.
（4）直接分類較復(fù)雜，可用間接法.即從10個人的排列總數(shù)中，減去5名男生排在一起的排法數(shù)，得5名男生不排在一起的排法數(shù)為A-AA=3542400.
（5）先安排2個女生排在男生甲、乙之間，有A種方法；又甲、乙之間還有A種排法.這樣就有AA種排法.然后把他們4人看成一個元素（相當(dāng)于一個男生），再從這一元素及另3名男生中，任選2人排在首尾，有A種排法.最后再將余下的2個男生、3個女生排在其間，有A種排法.故總排法為AAAA=57600種.
［例2］用0，1，2，…，9十個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的
（1）五位奇數(shù)？
（2）大于30000的五位偶數(shù)？
解：（1）要得到五位奇數(shù)，末位應(yīng)從1、3、5、7、9五個數(shù)字中取，有A種取法.取定末位數(shù)字后，首位就有除這個數(shù)字和0之外的八種不同取法.首末兩位取定后，十個數(shù)字還有八個數(shù)字可供中間的十位，百位與千位三個數(shù)位選取，共有A種不同的安排方法.因此由分步計數(shù)原理共有5×８×A=13440個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).
（2）要得偶數(shù)，末位應(yīng)從0、2、4、6、8中選取，而要得比30000大的五位偶數(shù)，可分兩類：
①末位數(shù)字從0，2中選取，則首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一個，共7種選取方法.其余三個數(shù)位就有除首末兩個數(shù)位上的數(shù)字之外的八個數(shù)字可以選取，共A種取法，所以共有2×７×A種不同情況.
②末位數(shù)字從4、6、8中選取，則首位應(yīng)從3、4、5、6、7、8、9中除去末位數(shù)字的六個數(shù)字中選取，其余三個數(shù)位仍有A種選法，所以共有3×６×A種不同情況.
由分類計數(shù)原理，共有2×７×A+3×６×A=10752個比30000大的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù).
●備課資料
解排列問題的常用技巧
解排列問題，首先必須認(rèn)真審題，明確問題是否是排列問題，其次是抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用基本原理和公式進(jìn)行分析解答，同時，還要注意講究一些基本策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解.
（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法”
對于特殊元素的排列組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其他元素.
［例1］用0、1、2、3、4這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，其中偶數(shù)共有______個.
A.24B.30C.40D.60
分析：由于該三位數(shù)都是偶數(shù)，故末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排.按0排在末尾和0不排在末尾分為兩類：①0排末尾時，有A個；②0不排末尾時，有AAA個，由分類加法計數(shù)原理，共有偶數(shù)30個.
答案：B
（二）總體淘汰法
對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時應(yīng)注意既不能多減也不能少減，例如在例1中，也可用此法解答：五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列A個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排在首位，而且3、1不能排在末尾，這兩種不符合題意的排法要除去，故有30個偶數(shù).
（三）合理分類與準(zhǔn)確分步
解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏.
［例2］五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個位置，那么不同的站法有
A.120種B.96種
C.78種D.72種
分析：由題意，可先安排甲，并按其進(jìn)行分類討論：
①若甲在第二個位置上，則剩下的四人可自由安排，有A種方法；
②若甲在第三或第四個位置上，則根據(jù)分步計數(shù)原理，不同站法有AAA種站法.
再根據(jù)分類計數(shù)原理，不同站法共有A+AAA=78種.
（四）相鄰問題用“捆綁法”
對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個“大”的元素與其他元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列.
答案：C
［例3］7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相鄰，分別有多少種不同的排法？
分析：先把甲、乙、丙三人“捆綁”起來看作是一個元素，與其余4人共5個元素作全排列，有A種排法，而后對甲、乙、丙三人進(jìn)行全排列，再利用分步計數(shù)原理可得AA種不同排法.
答案：AA.
（五）不相鄰問題用“插空法”
對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可.
［例4］在例3中，若要求甲、乙、丙三人不相鄰，則又有多少種不同的排法？
分析：先讓其余4人站好，有A種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有A種方法，這樣共有AA種不同的排法.
答案：AA.
（六）順序固定問題用“除法”
對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).
［例5］五人排隊甲在乙前面的排法有幾種？
分析：若不考慮限制條件，則有A種排法，而甲、乙之間排法有A種，故甲在乙前面的排法只有一種符合條件，故符合條件的排法有種.
答案：.
（七）分排問題用“直排法”
把n個元素排成若干排的問題，若沒有其他的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理.
［例6］7人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，則有________種排法.
分析：7個人，可以在前后兩排隨意就坐，再無其他條件，故兩排可看作一排來處理，故不同的坐法有A種.
答案：A.
（八）試驗
題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律有時也是行之有效的方法.
［例7］將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有
A.6B.9C.11D.23
分析：此題考查排列的定義.由于附加條件較多，解法較為困難，可用試驗法逐步解決.
第一方格內(nèi)可填2或3或4.如填2，則第二方格內(nèi)可填1或3或4.若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填4，第四方格填3.若第二方格填3，則第三方格應(yīng)填4，第四方格應(yīng)填1.同理，若第二方格填4，則第三、四方格應(yīng)分別填3.因而第一方格填2共有3種方法.同理，第一格填3或4也各有3種，所以共有9種方法，選B.
答案：B
（九）探索
對情況復(fù)雜、不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題需要仔細(xì)分析，探索出其中規(guī)律，再予以解決.
［例8］從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有
A.50B.100C.1275D.2500
分析：此題數(shù)字較多，情況也不一樣，需要分析摸索其規(guī)律.為方便，兩個加數(shù)中以較小的數(shù)為被加數(shù)，因為1+100=101＞100,1為被加數(shù)的有1種；同理，2為被加數(shù)的有2種；……；49為被加數(shù)有49種；50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)只有49種，52為被加數(shù)只有48種；……，99為被加數(shù)的只有1種.故不同的取法共有（1+2+……+50）+（49+48+……+1）=2500種.
答案：D
（十）消序
［例9］有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？
分析：先在7個位置上任取4個位置排男生，有A種排法.剩余的3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有A1=840種.
答案：840種.
（十一）住店法
解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù).把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法稱為“住店法”.
［例10］七名學(xué)生爭奪五項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)有
A.75B.57C.AD.C
分析：因同一學(xué)生可同時奪得n項冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作七家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得75種.
答案：A
對此類問題，常有疑惑：為什么不以五項冠軍作為五家“店”呢？因為幾個學(xué)生不能同時奪得同一冠軍，即冠軍不能重復(fù)，則立即使這種疑惑煙消云散.
（十二）對應(yīng)
［例11］在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場比賽？
分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需淘汰掉冠軍以外的所有其他選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名選手，必須進(jìn)行一場比賽；反之，每比賽一場恰淘汰一名選手，兩者之間一一對應(yīng)，故立即可得比賽場次99次.
答案：99場.
（十三）特征分析
研究有約束條件的排數(shù)問題，需緊扣題目所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理、分析求解.
［例12］由1，2，3，4，5，6六個數(shù)可組成多少個無重復(fù)且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？
分析數(shù)字特征：6的倍數(shù)的數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù).其中3的倍數(shù)又滿足“各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)”的特征.把6個數(shù)分成4組（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每組的數(shù)字和都是3的倍數(shù).因此可分成兩類討論：第一類：由1，2，4，5，6作數(shù)碼；首先從2，4，6中任選一個作個位數(shù)字有A，然后其余四個數(shù)字在其他數(shù)位上全排列有A,所以N1=AA;第二類：由1，2，3，4，5作數(shù)碼，依上法有N2=AA,故N=N1+N2=120（個）.
答案：120個.
以上介紹了排列組合應(yīng)用題的幾種常見求解策略.這些策略不是彼此孤立的，而是相互依存、相互為用的.有時解決某一問題時要綜合運用幾種求解策略.
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一、用比例法解排列問題
有些排列應(yīng)用題，可以根據(jù)每個元素出現(xiàn)的機會占整個問題的比例，直接求得問題的解.
［例1］A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么不同的排法共有________種.
分析：若沒有限制條件，則五人的全排列有A=120種不同排法，而A在B右邊與B在A右邊各占，所以B在A右邊的排法共有A=60種.
［例2］七個人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同排法種數(shù)為________.
分析：若沒有限制條件，則七人的全排列有A種，而甲、乙兩人不相鄰排法占7人排法任意數(shù)的.
因此所求排法有×A=3600(種).
［例3］由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有________.
分析：全排列為A.由題意知：滿足條件的五位數(shù)的個位上出現(xiàn)2或4的可能性為.在余下的四個數(shù)字中，萬位上出現(xiàn)滿足條件的數(shù)字的可能性為.
故滿足條件的五位數(shù)共有A=36(個).
［例4］由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字，且1與2不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)為________.
分析：1與2不相鄰占這5個數(shù)字全排列的，因此所求共有×A=72（個）.
［例5］從6個運動員中選出4個參加4×100米接力賽，如果甲、乙兩人都不能跑第一棒，那么共有多少種不同的參賽方案？
分析：若不受條件限制，其參賽方案有A種，但其中限制甲、乙兩人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是甲、乙以外的其余4人.因而，這四人在第一棒中出現(xiàn)的可能性為.
故所求參賽方案有A=240種.
二、“機會均等問題”例析
［例1］用0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的個位數(shù)字小于十位數(shù)字的五位數(shù)有多少個？
分析：由這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的所有五位數(shù)有A-A=600個，
又因為個位數(shù)字小于十位數(shù)字的數(shù)與個位數(shù)字大于十位數(shù)字的數(shù)一樣多，所以個位數(shù)字小于十位數(shù)字的數(shù)有600÷2=300個，這是一個機會（出現(xiàn)次數(shù)）均等問題.
［例2］A、B、C、D、E這五個人排成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么不同的排法種數(shù)為多少？
分析一：在所有的排列中，B在A的右邊與B在A的左邊的排法總數(shù)是一樣的，5個人排成一排的總數(shù)為A種，故B在A右邊的不同排法為A÷2=60種.
分析二：（供教師參考）
可先排C、D、E，其中連兩頭共有4個空，再插空，又可分兩類，A、B各插一個空，選兩個空C，另一類A、B相鄰插一個空C.故可有A（C+C）=60種不同排法種數(shù).
［例3］用1，2，3，4，5，6，7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，若2，4，6次序一定，有多少種不同的七位數(shù)？
分析一：七個數(shù)占七個位置，只需要七個位置中選取4個排1，3，5，7即可，此時，2，4，6自然按規(guī)定的次序排在剩下的三個位置上，故有A=840種.
分析二：實際上這也是一種機會均等問題，2，4，6次序不定時，有A=6種可能，2，4，6次序一定時，只有其中一種排法，是所有排法種數(shù)的，即,故2，4，6次序一定的七位數(shù)有==840（個）.
［例4］用1，2，3，4，5，6，7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，若1，3，5，7的次序一定，有多少種七位數(shù)？
分析一：七個數(shù)占七個位置，只需在七個位置中選3個排2，4，6即可，有A=210種.
分析二：1，3，5，7次序不定有A=24種不同排法，故1，3，5，7次序一定只占七位總數(shù)的次機會，故有==210個.
規(guī)律總結(jié)：任取n個不同的元素排成一排，其中m(m＜n)個元素次序一定時，不同的排法總數(shù)有種不同排法.
相關(guān)閱讀
排列導(dǎo)學(xué)案
第05課時
1.2.1排列（一）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解排列的概念，能用列舉法、樹形圖列出排列，從簡單排列問題的計數(shù)過程中體會排列數(shù)公式.
學(xué)習(xí)過程
一、學(xué)前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)：1.在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中，如圖，要接通電源，使電燈發(fā)光的方法有多少種？
2.在電鍵組A、B組成的串聯(lián)電路中，如圖，要接通電源使燈發(fā)光的方法有幾種？
二、新課導(dǎo)學(xué)
◆探究新知（預(yù)習(xí)教材P14～P19，找出疑惑之處）
問題1：上一節(jié)的例9的解答過程能否簡化？
問題2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？
①問題中要完成的“一件事”是什么？
②怎樣用計數(shù)原理解決它？
③“甲上午乙下午”與“乙上午甲下午”一樣嗎？在計數(shù)過程中考慮到了嗎？
④你能列出所有選法，以說明用分步計數(shù)原理得出的答案是正確的嗎？
⑤舍棄具體背景，如何敘述問題及其解答？
問題3：從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？
①問題中要完成的“一件事”是什么？
②你能仿照問題1的解決過程，給出詳細(xì)解答嗎？
③上述兩個問題的共同特點是什么？你能從中概括出一般情形嗎？
◆應(yīng)用示例
例1．（課本P18例1）計算：
（1）；(2)；(3).
◆反饋練習(xí)（課本P20練1-4）
1.寫出：（1）從4個不同元素中任取2個元素的所有排列；（2）從5個不同元素中任取2個元素的所有排列；
2.計算：（1）;(2);(3)；
（4）.
3.計算下表中的階乘數(shù)，并填入表中：
n23456789
n!
4.求證：
（1）;(2);
學(xué)習(xí)評價
1．若，則（）
A、B、C、D、
2．與不等的是（）
A、B、C、D、
3．若，則的值為（）
A、B、C、D、
4．計算：
；．
課后作業(yè)
1．（課本P27A1）計算：
（1）;(2).
2．（課本P27A3）求證：（1）;
(2)
排列教學(xué)目標(biāo)
排列教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)
(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;
(3)掌握排列數(shù)公式,并能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列數(shù);
(4)會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
(5)通過對排列應(yīng)用問題的學(xué)習(xí),讓學(xué)生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律,得出結(jié)論,以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式,并運用這個公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題.難點是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題.突破重點、難點的關(guān)鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用,并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當(dāng)中.
從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列.因此,兩個相同排列,當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同.排列數(shù)是指從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的種數(shù),只要弄清相同排列、不同排列,才有可能計算相應(yīng)的排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個概念,前者是具有m個元素的排列,后者是這種排列的不同種數(shù).從集合的角度看,從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集,相當(dāng)于一個排列,而這種有序集的個數(shù),就是相應(yīng)的排列數(shù).
公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解.要重點分析好的推導(dǎo).
排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點,通過本節(jié)例題的分析,應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力.
在分析應(yīng)用題的解法時,教材上先畫出框圖,然后分析逐次填入時的種數(shù),這樣解釋比較直觀,教學(xué)上要充分利用,要求學(xué)生作題時也應(yīng)盡量采用.
在教學(xué)排列應(yīng)用題時,開始應(yīng)要求學(xué)生寫解法要有簡要的文字說明,防止單純的只寫一個排列數(shù),這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力,在基本掌握之后,可以逐漸地不作這方面的要求.
三、教法建議
①在講解排列數(shù)的概念時,要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個排列”這兩個概念.一個排列是指“從n個不同元素中,任取出m個元素,按照一定的順序擺成一排”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)”,它是一個數(shù).例如,從3個元素a,b,c中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一排,有如下幾種:
ab,ac,ba,bc,ca,cb,
其中每一種都叫一個排列,共有6種,而數(shù)字6就是排列數(shù),符號表示排列數(shù).
②排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.
從定義知,只有當(dāng)元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時,才是同一個排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列.
在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān),在實際問題中,要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定,這一點要特別注意,這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.
在排列的定義中,如果有的書上叫選排列,如果,此時叫全排列.
要特別注意,不加特殊說明,本章不研究重復(fù)排列問題.
③關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué).公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法,先推導(dǎo),…,再推廣到,這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學(xué)生是不難理解的.
導(dǎo)出公式后要分析這個公式的構(gòu)成特點,以便幫助學(xué)生正確地記憶公式,防止學(xué)生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點可見課本第229頁的一段話:“其中,公式右邊第一個因數(shù)是n,后面每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是,共m個因數(shù)相乘.”這實際是講三個特點:第一個因數(shù)是什么?最后一個因數(shù)是什么?一共有多少個連續(xù)的自然數(shù)相乘.
公式是在引出全排列數(shù)公式后,將排列數(shù)公式變形后得到的公式.對這個公式指出兩點:(1)在一般情況下,要計算具體的排列數(shù)的值,常用前一個公式,而要對含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證,要用到這個公式,教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題;(2)為使這個公式在時也能成立,規(guī)定,如同時一樣,是一種規(guī)定,因此,不能按階乘數(shù)的原意作解釋.
④建議應(yīng)充分利用樹形圖對問題進(jìn)行分析,這樣比較直觀,便于理解.
⑤學(xué)生在開始做排列應(yīng)用題的作業(yè)時,應(yīng)要求他們寫出解法的簡要說明,而不能只列出算式、得出答數(shù),這樣有利于學(xué)生得更加扎實.隨著學(xué)生解題熟練程度的提高,可以逐步降低這種要求.
教學(xué)設(shè)計示例
排列
教學(xué)目標(biāo)
(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;
(3)會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
教學(xué)重點難點
重點是排列的定義、排列數(shù)并運用這個公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題。
難點是解有關(guān)排列的應(yīng)用題。
教學(xué)過程設(shè)計
一、復(fù)習(xí)引入
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個基本原理,請大家完成以下兩題的練習(xí)(用投影儀出示):
1.書架上層放著50本不同的社會科學(xué)書,下層放著40本不同的自然科學(xué)的書.
(1)從中任取1本,有多少種取法?
(2)從中任取社會科學(xué)書與自然科學(xué)書各1本,有多少種不同的取法?
2.某農(nóng)場為了考察三個外地優(yōu)良品種A,B,C,計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進(jìn)行引種試驗,問共需安排多少個試驗小區(qū)?
找一同學(xué)談解答并說明怎樣思考的的過程
第1(1)小題從書架上任取1本書,有兩類辦法,第一類辦法是從上層取社會科學(xué)書,可以從50本中任取1本,有50種方法;第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書,可以從40本中任取1本,有40種方法.根據(jù)加法原理,得到不同的取法種數(shù)是50+40=90.第(2)小題從書架上取社會科學(xué)、自然科學(xué)書各1本(共取出2本),可以分兩個步驟完成:第一步取一本社會科學(xué)書,第二步取一本自然科學(xué)書,根據(jù)乘法原理,得到不同的取法種數(shù)是:50×40=2000.
第2題說,共有A,B,C三個優(yōu)良品種,而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區(qū),在乙類型的土地上有三個小區(qū)……所以共需3×5=15個實驗小區(qū).
二、講授新課
學(xué)習(xí)了兩個基本原理之后,現(xiàn)在我們繼續(xù)學(xué)習(xí)排列問題,這是我們本節(jié)討論的重點.先從實例入手:
1.北京、上海、廣州三個民航站之間的直達(dá)航線,需要準(zhǔn)備多少種不同飛機票?
由學(xué)生設(shè)計好方案并回答.
(1)用加法原理設(shè)計方案.
首先確定起點站,如果北京是起點站,終點站是上?；驈V州,需要制2種飛機票,若起點站是上海,終點站是北京或廣州,又需制2種飛機票;若起點站是廣州,終點站是北京或上海,又需要2種飛機票,共需要2+2+2=6種飛機票.
(2)用乘法原理設(shè)計方案.
首先確定起點站,在三個站中,任選一個站為起點站,有3種方法.即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站,當(dāng)選定起點站后,再確定終點站,由于已經(jīng)選了起點站,終點站只能在其余兩個站去選.那么,根據(jù)乘法原理,在三個民航站中,每次取兩個,按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種.
根據(jù)以上分析由學(xué)生(板演)寫出所有種飛機票
再看一個實例.
在航海中,船艦常以“旗語”相互聯(lián)系,即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號.如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子,按一定順序同時升起表示一定的信號,問這樣總共可以表示出多少種不同的信號?
找學(xué)生談自己對這個問題的想法.
事實上,紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號,所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數(shù),也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù).
首先,先確定最高位置的旗子,在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個,有3種方法;
其次,確定中間位置的旗子,當(dāng)最高位置確定之后,中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取,有2種方法.剩下那面旗子,放在最低位置.
根據(jù)乘法原理,用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是:3×2×1=6(種).
根據(jù)學(xué)生的分析,由另外的同學(xué)(板演)寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況.(包括每個位置情況)
第三個實例,讓全體學(xué)生都參加設(shè)計,把所有情況(包括每個位置情況)寫出來.
由數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?寫出這些所有的三位數(shù).
根據(jù)乘法原理,從四個不同的數(shù)字中,每次取出三個排成三位數(shù)的方法共有4×3×2=24(個).
請板演的學(xué)生談?wù)勗鯓酉氲?
第一步,先確定百位上的數(shù)字.在1,2,3,4這四個數(shù)字中任取一個,有4種取法.
第二步,確定十位上的數(shù)字.當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后,十位上的數(shù)字只能從余下的三個數(shù)字去取,有3種方法.
第三步,確定個位上的數(shù)字.當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后,個位上的數(shù)字只能從余下的兩個數(shù)字中去取,有2種方法.
根據(jù)乘法原理,所以共有4×3×2=24種.
下面由教師提問,學(xué)生回答下列問題
(1)以上我們討論了三個實例,這三個問題有什么共同的地方?
都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象.
(2)取出的這些研究對象又做些什么?
實質(zhì)上按著順序排成一排,交換不同的位置就是不同的情況.
(3)請大家看書,第×頁、第×行.我們把被取的對象叫做雙元素,如上面問題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素.
上面第一個問題就是從3個不同的元素中,任取2個,然后按一定順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,后來又寫出所有排法.
第二個問題,就是從3個不同元素中,取出3個,然后按一定順序排成一列,求一共有多少排法和寫出所有排法.
第三個問題呢?
從4個不同的元素中,任取3個,然后按一定的順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,并寫出所有的排法.
給出排列定義
請看課本,第×頁,第×行.一般地說,從n個不同的元素中,任取m(m≤n)個元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況),按著一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
下面由教師提問,學(xué)生回答下列問題
(1)按著這個定義,結(jié)合上面的問題,請同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕?什么是不同的排列?
從排列的定義知道,如果兩個排列相同,不僅這兩個排列的元素必須完全相同,而且排列的順序(即元素所在的位置)也必須相同.兩個條件中,只要有一個條件不符合,就是不同的排列.
如第一個問題中,北京—廣州,上?！獜V州是兩個排列,第三個問題中,213與423也是兩個排列.
再如第一個問題中,北京—廣州,廣州—北京;第二個問題中,紅黃綠與紅綠黃;第三個問題中231和213雖然元素完全相同,但排列順序不同,也是兩個排列.
(2)還需要搞清楚一個問題,“一個排列”是不是一個數(shù)?
生:“一個排列”不應(yīng)當(dāng)是一個數(shù),而應(yīng)當(dāng)指一件具體的事.如飛機票“北京—廣州”是一個排列,“紅黃綠”是一種信號,也是一個排列.如果問飛機票有多少種?能表示出多少種信號.只問種數(shù),不用把所有情況羅列出來,才是一個數(shù).前面提到的第三個問題,實質(zhì)上也是這樣的.
三、課堂練習(xí)
大家思考,下面的排列問題怎樣解?
有四張卡片,每張分別寫著數(shù)碼1,2,3,4.有四個空箱,分別寫著號碼1,2,3,4.把卡片放到空箱內(nèi),每箱必須并且只能放一張,而且卡片數(shù)碼與箱子號碼必須不一致,問有多少種放法?(用投影儀示出)
分析:這是從四張卡片中取出4張,分別放在四個位置上,只要交換卡片位置,就是不同的放法,是個附有條件的排列問題.
解法是:第一步把數(shù)碼卡片四張中2,3,4三張任選一個放在第1空箱.
第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱.
第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱.
第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法,用下面圖表表示:
所以,共有9種放法.
四、作業(yè)
課本:P232練習(xí)1,2,3,4,5,6,7.
數(shù)學(xué)教案-排列教學(xué)目標(biāo)
排列與組合導(dǎo)學(xué)案
第09課時
1.2排列與組合（一）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
明確排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題；能運用所學(xué)的排列組合知識，正確地解決的實際問題.
學(xué)習(xí)過程
一、學(xué)前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)：
1.（課本P28A13）填空：
（1）有三張參觀卷，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是；
（2）要從5件不同的禮物中選出3件分送3為同學(xué)，不同方法的種數(shù)是；
（3）5名工人要在3天中各自選擇1天休息，不同方法的種數(shù)是；
（4）集合A有個元素，集合B有個元素，從兩個集合中各取1個元素，不同方法的種數(shù)是；
二、新課導(dǎo)學(xué)
◆探究新知（復(fù)習(xí)教材P14～P25，找出疑惑之處）
問題1：判斷下列問題哪個是排列問題，哪個是組合問題：
（1）從4個風(fēng)景點中選出2個安排游覽，有多少種不同的方法？
（2）從4個風(fēng)景點中選出2個，并確定這2個風(fēng)景點的游覽順序，有多少種不同的方法？
◆應(yīng)用示例
例1．從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？
例2．7位同學(xué)站成一排，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)．
（1）甲站在中間；
（2）甲、乙必須相鄰；
（3）甲在乙的左邊(但不一定相鄰)；
（4）甲、乙必須相鄰，且丙不能站在排頭和排尾；
（5）甲、乙、丙相鄰；
（6）甲、乙不相鄰；
（7）甲、乙、丙兩兩不相鄰。
◆反饋練習(xí)
1.（課本P40A4）某學(xué)生邀請10位同學(xué)中的6位參加一項活動，其中兩位同學(xué)要么都請，要么都不請，共有多少種邀請方法？
2.5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列
3.馬路上有12盞燈，為了節(jié)約用電，可以熄滅其中3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，那么熄燈方法共有______種．
當(dāng)堂檢測
1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為()
A．42B．30C．20D．12
2.（課本P40A7）書架上有4本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，全部排在同一層，如果不使同類的書分開，一共有多少種排法？
課后作業(yè)
1．（課本P41B2）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，問：（1）能夠組成多少個六位奇數(shù)？（2）能夠組成多少個大于201345的正整數(shù)？
2．（課本P41B4）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序，問：（1）如果其中某一工序不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？（2）如果其中兩道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？
高三數(shù)學(xué)排列1
作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。您知道教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《高三數(shù)學(xué)排列1》，僅供參考，歡迎大家閱讀。
分類計數(shù)原理是對完成一件事的所有方法的一個劃分，依分類計數(shù)原理解題，首先明確要做的這件事是什么，其次分類時要根據(jù)問題的特點確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.分類要注意不重復(fù)、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事.分步計數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個步驟后才算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類計數(shù)原理更具有一般性，解決復(fù)雜問題時往往需要先分類，每類中再分成幾步.在排列、組合教學(xué)的起始階段，不能嫌羅嗦，教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴(yán)格按原理去分析問題. 只有這樣才能使學(xué)生認(rèn)識深刻、理解到位、思路清晰，才會做到分類有據(jù)、分步有方，為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)
