高中安全第一課教案

第一章集合與簡易邏輯。

第一教時

教材：集合的概念

目的：要求學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集及其記法；初步了解集合的分類及性質(zhì)。

過程：

一、引言：（實例）用到過的“正數(shù)的集合”、“負數(shù)的集合”

如：2x-13x2所有大于2的實數(shù)組成的集合稱為這個不等式的解集。

如：幾何中，圓是到定點的距離等于定長的點的集合。

如：自然數(shù)的集合0，1，2，3，……

如：高一（5）全體同學(xué)組成的集合。

結(jié)論：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

指出：“集合”如點、直線、平面一樣是不定義概念。

二、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

常用數(shù)集及其記法：

1．非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

2．正整數(shù)集N*或N+

3．整數(shù)集Z

4．有理數(shù)集Q

5．實數(shù)集R

集合的三要素：1。元素的確定性；2。元素的互異性；3。元素的無序性

（例子略）

三、關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集A記作aA，相反，a不屬于集A記作aA（或aA）

例：見P4—5中例

四、練習(xí)P5略

五、集合的表示方法：列舉法與描述法

1．列舉法：把集合中的元素一一列舉出來。

例：由方程x2-1=0的所有解組成的集合可表示為{-1，1}

例；所有大于0且小于10的奇數(shù)組成的集合可表示為{1，3，5，7，9}

2．描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再見P6例

②數(shù)學(xué)式子描述法：例不等式x-32的解集是{xR|x-32}或{x|x-32}或{x:x-32}再見P6例

六、集合的分類

1．有限集含有有限個元素的集合

2．無限集含有無限個元素的集合例題略

3．空集不含任何元素的集合F

七、用圖形表示集合P6略

八、練習(xí)P6

小結(jié)：概念、符號、分類、表示法

九、作業(yè)P7習(xí)題1.1

延伸閱讀

第一章集合與簡易邏輯1

第一教時

教材：集合的概念

目的：要求學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集及其記法；初步了解集合的分類及性質(zhì)。

過程：

一、引言：（實例）用到過的“正數(shù)的集合”、“負數(shù)的集合”

如：2x-13x2所有大于2的實數(shù)組成的集合稱為這個不等式的解集。

如：幾何中，圓是到定點的距離等于定長的點的集合。

如：自然數(shù)的集合0，1，2，3，……

如：高一（5）全體同學(xué)組成的集合。

結(jié)論：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

指出：“集合”如點、直線、平面一樣是不定義概念。

二、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

常用數(shù)集及其記法：

1．非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

2．正整數(shù)集N*或N+

3．整數(shù)集Z

4．有理數(shù)集Q

5．實數(shù)集R

集合的三要素：1。元素的確定性；2。元素的互異性；3。元素的無序性

（例子略）

三、關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集A記作aA，相反，a不屬于集A記作aA（或aA）

例：見P4—5中例

四、練習(xí)P5略

五、集合的表示方法：列舉法與描述法

1．列舉法：把集合中的元素一一列舉出來。

例：由方程x2-1=0的所有解組成的集合可表示為{-1，1}

例；所有大于0且小于10的奇數(shù)組成的集合可表示為{1，3，5，7，9}

2．描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再見P6例

②數(shù)學(xué)式子描述法：例不等式x-32的解集是{xR|x-32}或{x|x-32}或{x:x-32}再見P6例

六、集合的分類

1．有限集含有有限個元素的集合

2．無限集含有無限個元素的集合例題略

3．空集不含任何元素的集合F

七、用圖形表示集合P6略

八、練習(xí)P6

小結(jié)：概念、符號、分類、表示法

九、作業(yè)P7習(xí)題1.1

第一章集合與簡易邏輯章末總結(jié)

第一章集合與簡易邏輯章末總結(jié)

一、本章數(shù)學(xué)思想方法

1、分類討論思想

（1）分類討論問題已成為高考考查學(xué)生的知識與能力的熱點問題，這是因為：其一，分類討論問題一般都覆蓋知識點較多，有利于知識面的考查；其二，解分類討論問題需要有一定的分析能力，一定的分類思想與分類技巧，有利于對學(xué)生能力的考查；其三，分類思想與生產(chǎn)實踐和高等數(shù)學(xué)都緊密相關(guān)。

（2）解分類討論問題的實質(zhì)：整體問題化為若干個部分來解決，化成部分后從而增加了題設(shè)的條件，從而將問題解答進行到底，這正是我們要分類討論的根本原因。

（3）分類討論要注意的幾點：

(1)根據(jù)問題實際，做到分類不重不漏；

(2)熟練地掌握基礎(chǔ)知識，做到融匯貫通，是解好分類討論問題的前提條件；

(3)不斷地的總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn)，克服分類討論中的主觀性和盲目性；

(4)要注意簡化或避免分類討論，優(yōu)化解題過程。

【例1】已知三元素集，且A=B，求x與y的值。

【解】∵0∈B，A=B，∴0∈A。又集合為3元素集，

∴x≠xy,∴x≠0．又0∈B，y∈B,∴y≠0，從而x－y=0，即x=y

這時，，∴|x|=x2．則x=0(舍去)x=±1

當(dāng)x=1時，A={1，1，0}舍去；當(dāng)x=－1時，A={－1，1，0}，B={0，1，－1}滿足A=B，∴x=y=－1．

【點評】此題若開始就討論x=0，xy=0，x－y=0則較繁瑣，故先分析，后討論．

【例2】解不等式

分析將定義區(qū)域，劃分為三段，x－9，－9≤x≤，x分別討論．

解(1)當(dāng)x－9時，－(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，2x－11＞0．x＞，與x＜－9矛盾，原不等式無解；

(2)當(dāng)－9≤x≤時，(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，得x＞，∴＜x≤

(3)當(dāng)x＞時，(x＋9)－(3x－4)＋2＞0得x＜，∴＜x＜

綜上可得原不等式解集為{x│＜x＜}

【點評】例2中絕對值的存在是解題的一大障礙，因此必須去掉絕對值；如何去掉絕對值呢?須對問題的定義域劃分區(qū)間，分類討論，才能去掉絕對值符號，這正是解這個問題分類討論的原因．分點的確定、劃分區(qū)間至關(guān)重要，它是分類討論解題關(guān)鍵一環(huán)．

2、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法．縱觀歷年高考試題。以數(shù)形結(jié)合的思想方法巧妙運用解決的問題比比皆是．

認(rèn)清集合的特征，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，借助圖形使問題直觀、具體、準(zhǔn)確地得到解決，因此處理集合問題要重視數(shù)形結(jié)合思想方法的運用(如數(shù)軸、幾何圖形、文氏圖等)．

【例3】設(shè)全集為U，在下列條件中，是BA的充要條件的有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

（1）（2）（3）（4）

解析本題可以利用文氏圖，化抽象為直觀，從而化難為易，選D．

U

A

B

，且，求實數(shù)a的取值范圍．

解：方程組有解

圓與直線有公共點

≤≤≤

故的取值范圍是

【點評】將集合之間的運算轉(zhuǎn)化為圖形之間的運算，將集合語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，然后用代數(shù)的方法解決．

3、集合思想：

集合問題與函數(shù)、方程、不等式以及與整個中學(xué)數(shù)學(xué)知識有關(guān)，要正確運用集合的思想將問題相互轉(zhuǎn)化，特別是數(shù)與形、代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化．

【例5】已知，，求的充要條件．

【解】考慮的充要條件是方程組

至少有一個實數(shù)解，即至少有一個非負根，

由△≥0得a≤5，又因為上述方程有兩個負根的充要條件是且，即

且，解得a－3，于是這個方程至少有一個非負根的a的取值范圍是－3≤a≤5，此即為所求的充要條件．

【點評】本題從正面求的充要條件比較困難，故首先將集合問題轉(zhuǎn)化為方程的問題，然后用補集思想來加以解決．

二、課堂小結(jié)：

本章包括兩個互相關(guān)聯(lián)又相對獨立的內(nèi)容：集合、簡易邏輯，這兩個內(nèi)容都是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．高考命題熱點之一是集合，主要考查以下兩方面：一是對集合基本概念的認(rèn)識和理解的水平，如集合的表示法，元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，集合的運算；第二是考查對集合知識的應(yīng)用水平，如求不等式和不等式組的解集，列不等式或不等式組，解決相關(guān)問題．在考查集合知識的同時突出考查準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言的能力和用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力．

高考命題熱點之二是簡易邏輯，主要考查兩方面：一是命題的四種形式及原命題與逆否命題的等價性，二是充要條件的判定．在考查命題知識的同時主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯推理和分析問題的能力．

三、作業(yè)：《威州中學(xué)課時作業(yè)》

四、課后記：

第一章“集合與簡易邏輯”教材分析

第一章“集合與簡易邏輯”教材分析

本章安排的是“集合與簡易邏輯”，這一章主要講述集合的初步知識與簡易邏輯知識兩部分內(nèi)容．集合的初步知識是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書中原來就有的內(nèi)容，這部分主要包括集合的有關(guān)概念、集合的表示及集合同集合之間的關(guān)系．簡易邏輯知識則是新增加的內(nèi)容，這部分主要介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”、四種命題及其相互關(guān)系、充要條件等有關(guān)知識

集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近代數(shù)學(xué)的一個重要的基礎(chǔ)．一方面，許多重要的學(xué)科，如數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計、拓撲等，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上．另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用．

邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需要全面地理解概念，正確地進行表述、推理和判斷，這就離不開對邏輯知識的掌握和運用．更廣泛地說，在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，基本的邏輯知識也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具，是人們文化素質(zhì)的組成部分．

在高中數(shù)學(xué)中，集合的初步知識與簡易邏輯知識，與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)，這就是把它們安排在高中數(shù)學(xué)起始章的出發(fā)點．

本章共編排了8小節(jié)，教學(xué)時間約需22課時：

11集合

約2課時

12子集、全集、補集

約2課時

13交集、并集

約2課時

14絕對值不等式的解法

約2課時

15一元二次不等式的解法

約4課時

16邏輯聯(lián)結(jié)詞

約2課時

17四種命題

約2課時

18充分條件與必要條件

約2課時

小結(jié)與復(fù)習(xí)

約4課時

說明：本章是高中數(shù)學(xué)的起始章，課時安排得相對寬松一些，像小結(jié)與復(fù)習(xí)部分安排4課時，其中考慮到了對初中內(nèi)容進行適當(dāng)復(fù)習(xí)、鞏固的因素．

一內(nèi)容與要求

大體上按照集合與邏輯這兩個基本內(nèi)容，第一章編排成兩大節(jié)．

第一大節(jié)是“集合”．學(xué)生在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中，已經(jīng)接觸過集合，對于諸如數(shù)集（整數(shù)的集合、有理數(shù)的集合）、點集（圓）等，都有了一定的感性認(rèn)識．在此基礎(chǔ)上，這一大節(jié)首先結(jié)合實例引出集合與集合的元素的概念，并介紹了集合的表示方法．然后，從討論集合與集合之間的包含與相等的關(guān)系入手，給出子集的概念，此外，還給出了與子集相聯(lián)系的全集與補集的概念．接著，又講述了屬于集合運算的交集、并集的初步知識．鑒于不等式的內(nèi)容目前初中數(shù)學(xué)只講述一元一次不等式與一元一次不等式組，考慮到集合知識的運用與鞏固，又考慮到下一章討論函數(shù)的定義域與值域的需要，第一大節(jié)最后安排的是絕對值不等式與一元二次不等式的解法．此外，在這一大節(jié)之后，還附了一篇關(guān)于有限集合元素個數(shù)的閱讀材料．

這一大節(jié)的重點是有關(guān)集合的基本概念．學(xué)習(xí)集合的初步知識，可以使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的集合語言，可以使學(xué)生更好地使用集合語言表述數(shù)學(xué)問題，并且可以使學(xué)生運用集合的觀點研究、處理數(shù)學(xué)問題，這里，起重要作用的就是有關(guān)集合的基本概念．

這一大節(jié)的難點是有關(guān)集合的各個概念的含義以及這些概念相互之間的區(qū)別與聯(lián)系．學(xué)生是從本章才正式開始學(xué)習(xí)集合知識的，這部分包含了比較多的新概念，還有相應(yīng)的新符號，有些概念、符號還容易混淆，這些因素都可能造成學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．

第二大節(jié)是“簡易邏輯”．學(xué)生在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)過簡單的命題(包括原命題與逆命題)知識，掌握了簡單的推理方法(包括對反證法的了解)．由此，這一大節(jié)首先給出含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的意義，介紹了判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假的方法．接下來，講述四種命題及其相互關(guān)系，并且在初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合四種命題的知識，進一步講解反證法．然后，通過若干實例，講述了充分條件、必要條件和充要條件的有關(guān)知識．

這一大節(jié)的重點是邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件．學(xué)習(xí)簡易邏輯知識，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進行簡單推理的技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在這方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關(guān)內(nèi)容是十分必要的．

這一大節(jié)的難點是對一些代數(shù)命題真假的判斷．初中階段，學(xué)生只是對簡單的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相關(guān)的技能和能力，主要還是通過幾何課的學(xué)習(xí)獲得的，初中代數(shù)側(cè)重的是運算的技能和能力，因此，像對代數(shù)命題的證明，學(xué)生還需要有一個逐步熟悉的過程．

根據(jù)《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗修訂版）》的規(guī)定，本章的教學(xué)要求是：

⒈理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合；掌握帶絕對值的不等式與一元二次不等式的解法．

⒉理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；理解四種命題及其相互關(guān)系；進一步了解反證法，會用反證法證明簡單的問題；掌握充要條件的意義．

二本章的特點

⒈注意初中與高中的銜接

近年來，在與本章有關(guān)的內(nèi)容上，按照教學(xué)大綱，初中的教學(xué)要求有哪些變化呢？

先看有關(guān)集合的部分．初中適當(dāng)滲透一些集合思想，這一點基本沒有變化．此外，初中去掉了一元二次不等式與絕對值不等式的內(nèi)容．

再看有關(guān)邏輯的部分．1996年以前的初中畢業(yè)生，應(yīng)該達到以下要求：⑴了解命題的概念；⑵初步掌握逆命題和逆定理的概念，能正確敘述題設(shè)與結(jié)論都是簡單命題的命題的逆命題，了解正確命題的逆命題的逆命題不一定正確；⑶了解四種命題及其相互關(guān)系；⑷理解用反證法證明命題的思路，能用反證法證明一些比較簡單的幾何題．從1996年起，對于高一新生，初中的要求又有進一步調(diào)整．上述⑵改為：了解逆命題和逆定理的概念，原命題成立它的逆命題不一定成立，會識別兩個互逆命題．⑶刪去．⑷改為：了解反證法．

基于以上情況，考慮到學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的需要，新教材一方面補充了一些必要的知識點，例如關(guān)于一元二次不等式與絕對值不等式的解法；另一方面對一些初中相對薄弱的內(nèi)容，適當(dāng)予以加強，例如關(guān)于反證法等．

例如，關(guān)于交集、并集的概念，教科書先從圖形表示入手，讓學(xué)生有一個直觀的認(rèn)識，然后給出定義，再用實例加以說明，并且，引出概念的圖形也只是采用了一種簡明的形式，而沒有畫出全部可能出現(xiàn)的情況．

又如，本章是對比初中學(xué)過的一元一次不等式，并且借助二次函數(shù)的圖象，講述一元二次不等式解法的．

⒉重視集合與邏輯在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

本章是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)本章，主要目的是為了理解后續(xù)章節(jié)出現(xiàn)的集合與邏輯語言，會用集合與邏輯語言描述學(xué)習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)問題，進而解決這些問題．像對一些性質(zhì)、定理的理解，對函數(shù)的定義域、值域的描述，對推理方法的掌握，等等．

本章在集合與邏輯內(nèi)容的編排上，既考慮到知識的系統(tǒng)性，又照顧到學(xué)生的可接受性，并且始終圍繞著集合與邏輯在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用這一基本出發(fā)點．

在集合這部分，有關(guān)集合運算的內(nèi)容，就注意在解方程和不等式方面的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)概念的分類方面的應(yīng)用．

在邏輯這部分，有關(guān)命題的內(nèi)容，突出的是對邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的理解和對復(fù)合命題真值的認(rèn)識，而不過多地涉及對一個語句是不是命題的判斷．此外，像關(guān)于復(fù)合命題的否定，對近期學(xué)習(xí)影響不大，學(xué)生學(xué)習(xí)又比較困難，本章基本未涉及．

為了幫助學(xué)生理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”，教科書中介紹了“或門電路”、“與門電路”，這是兩個應(yīng)用的實例．實際上，計算機的“智能”裝置就是以數(shù)學(xué)邏輯為基礎(chǔ)進行設(shè)計的

三教學(xué)中應(yīng)注意的問題

⒈教學(xué)要求的把握要適時、適度

本章是高中數(shù)學(xué)的起始章，適當(dāng)?shù)匕盐毡菊碌慕虒W(xué)要求是教學(xué)中應(yīng)該重視的問題．

集合與邏輯的初步知識是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，主要是為今后進一步學(xué)習(xí)其他知識作基本語言、基本方法的準(zhǔn)備，相應(yīng)地，對知識系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性的要求一定要適度．

學(xué)習(xí)有關(guān)集合的初步知識，其目的主要在于應(yīng)用．具體說，就是在學(xué)習(xí)其他知識時，能讀懂其中的簡單的集合概念和符號；在處理簡單的實際問題時，能根據(jù)需要，運用集合語言進行表述．在安排訓(xùn)練時，要把握一定的分寸，不要搞偏題、怪題．集合有關(guān)性質(zhì)的證明，一般不要求學(xué)生掌握．有些可能混淆但在實際問題中并不多見的關(guān)系，就不必故意編排在一起，讓學(xué)生去一一進行辨析．

本章安排的是集合與邏輯的初步知識，這些知識的講述，是以初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容為基礎(chǔ)的．從引出有關(guān)知識的實例，到具體應(yīng)用的問題，基本都屬于初中數(shù)學(xué)的范圍，這種局限自然會對有關(guān)知識的理解和掌握造成一定影響．隨著后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)，對集合與邏輯知識的應(yīng)用將越來越廣泛和深入，相應(yīng)地，對集合與邏輯知識理解和掌握的水平也就越來越高了．因此，本章的教學(xué)要求，應(yīng)該避免一步到位．

關(guān)于含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真值表，在開始時，教學(xué)重點還是借助三個真值表，加深對含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的了解，而不必急于讓學(xué)生掌握對一般復(fù)合命題的真假的判斷．

關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件，本章對教學(xué)要求的尺度，還是控制在對初中代數(shù)、幾何的有關(guān)問題的理解上為宜．

⒉提高集合與邏輯的教學(xué)效益

目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個突出問題是教學(xué)效益不高．具體表現(xiàn)在：一方面，學(xué)生用在數(shù)學(xué)上的時間比較多，像與美國比，是美國學(xué)生的好幾倍；另一方面，學(xué)生在考試中表現(xiàn)良好，但創(chuàng)造性能力和應(yīng)用能力有一定欠缺，個性發(fā)展也存在著不足之處．

為了后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)，在本章必須給學(xué)生打下適當(dāng)?shù)募吓c邏輯基礎(chǔ)，限于學(xué)生的預(yù)備知識與接受能力，在本章又不能過多地追求理論的完整，只有處理好這個關(guān)系，才能提高教學(xué)效益．因此，在實際教學(xué)時，一定要抓住重點．怎樣把握本章的教學(xué)重點呢？一是要有助于對初中數(shù)學(xué)的理解，二是要能為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)掃除障礙．換句話說，學(xué)習(xí)集合與邏輯，要著眼于用集合與邏輯的知識解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題，而不要在概念的嚴(yán)謹(jǐn)性、知識的系統(tǒng)性上花過多的時間與精力．像邏輯中有不少問題，在學(xué)術(shù)界內(nèi)部都有爭論，在高一數(shù)學(xué)課上，就完全沒有必要去涉及了．

⒊使用數(shù)學(xué)符號要規(guī)范

本章教材有不少集合與邏輯的數(shù)學(xué)符號，這些符號的采用，依據(jù)的是新的國家標(biāo)準(zhǔn)，其中有些符號與原教科書不同，在教學(xué)時應(yīng)該注意．

第一章集合與簡易邏輯(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第一章集合與簡易邏輯

一、基礎(chǔ)知識
定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。
集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)}，分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。
定義2子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。
定義3交集，
定義4并集，
定義5補集，若稱為A在I中的補集。
定義6差集，。
定義7集合記作開區(qū)間，集合
記作閉區(qū)間，R記作
定理1集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：
（1）（2）；
（3）（4）
【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。
（1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則或，即且或，即且，即
（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，…，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。
定理3乘法原理：做一件事分個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，…，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。
二、方法與例題
1．利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。
例1設(shè)，求證：
（1）；
（2）；
（3）若，則
[證明]（1）因為，且，所以
（2）假設(shè)，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以
（3）設(shè)，則
（因為）。
2．利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。
例2設(shè)A，B是兩個集合，又設(shè)集合M滿足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先證，若，因為，所以，所以；
再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以
綜上，
3．分類討論思想的應(yīng)用。
例3，若，求
【解】依題設(shè)，，再由解得或，
因為，所以，所以，所以或2，所以或3。
因為，所以，若，則，即，若，則或，解得
綜上所述，或；或。
4．計數(shù)原理的應(yīng)用。
例4集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合對（A，B）的個數(shù)；（2）求I的非空真子集的個數(shù)。
【解】（1）集合I可劃分為三個不相交的子集；AB，BA，中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。
（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。
5．配對方法。
例5給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值。
【解】將I的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得對，每一對不能同在這個子集中，因此，；其次，每一對中必有一個在這個子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A與A，并設(shè)，則，從而可以在個子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。
6．競賽常用方法與例問題。
定理4容斥原理；用表示集合A的元素個數(shù)，則
，需要xy此結(jié)論可以推廣到個集合的情況，即
定義8集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個-劃分。
定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。
定理6抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有一個抽屜放有不少于個元素，也必有一個抽屜放有不多于個元素；將無窮多個元素放入個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。
例6求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)。
【解】記，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個。
例7S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？
【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于S，將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數(shù)，若S含有這11個數(shù)中至少6個，則必有兩個數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個數(shù)。又因為2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個元素，另一方面，當(dāng)時，恰有，且S滿足題目條件，所以最少含有912個元素。
例8求所有自然數(shù)，使得存在實數(shù)滿足：
【解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。下證當(dāng)時，不存在滿足條件。
令，則
所以必存在某兩個下標(biāo)，使得，所以或，即，所以或，。
（?。┤?，考慮，有或，即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有
考慮，有或，即，設(shè)，則，推出矛盾，設(shè)，則，又推出矛盾，所以故當(dāng)時，不存在滿足條件的實數(shù)。
（ⅱ）若，考慮，有或，即，這時，推出矛盾，故。考慮，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當(dāng)時，不存在滿足條件的實數(shù)。
例9設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三個數(shù)，B中取兩個數(shù)組成五個元素的集合，求的最小值。
【解】
設(shè)B中每個數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合{1，}，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數(shù)，這不可能，所以
20個中，B中的數(shù)有40個，因此至少是10個不同的，所以。當(dāng)時，如下20個集合滿足要求：
{1，2，3，7，8}，{1，2，4，12，14}，{1，2，5，15，16}，{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，{1，3，6，12，15}，{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，{2，3，4，13，15}，{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，{2，4，6，7，11}，{2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}。
例10集合{1，2，…，3n}可以劃分成個互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)
【解】設(shè)其中第個三元集為則1+2+…+
所以。當(dāng)為偶數(shù)時，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，有，所以，當(dāng)時，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，所以的最小值為5。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．給定三元集合，則實數(shù)的取值范圍是___________。
2．若集合中只有一個元素，則=___________。
3．集合的非空真子集有___________個。
4．已知集合，若，則由滿足條件的實數(shù)組成的集合P=___________。
5．已知，且，則常數(shù)的取值范圍是___________。
6．若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有___________個。
7．集合之間的關(guān)系是___________。
8．若集合，其中，且，若，則A中元素之和是___________。
9．集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為___________。
10．集合，則
___________。
11．已知S是由實數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1））若，則。如果，S中至少含有多少個元素？說明理由。
12．已知，又C為單元素集合，求實數(shù)的取值范圍。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知集合，且A=B，則___________，___________。

2．
，則___________。
3．已知集合，當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是___________。
4．若實數(shù)為常數(shù)，且___________。
5．集合，若，則___________。
6．集合，則中的最小元素是___________。
7．集合，且A=B，則___________。
8．已知集合，且，則的取值范圍是___________。
9．設(shè)集合，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。
10．集合A和B各含有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合C的個數(shù)：1）且C中含有3個元素；2）。
11．判斷以下命題是否正確：設(shè)A，B是平面上兩個點集，，若對任何，都有，則必有，證明你的結(jié)論。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知集合，則實數(shù)的取值范圍是___________。
2．集合的子集B滿足：對任意的，則集合B中元素個數(shù)的最大值是___________。
3．已知集合，其中，且，若P=Q，則實數(shù)___________。
4．已知集合，若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則___________。
5．集合，集合，則集合M與N的關(guān)系是___________。
6．設(shè)集合，集合A滿足：，且當(dāng)時，，則A中元素最多有___________個。
7．非空集合，≤則使成立的所有的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相異）的并集,則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個數(shù)是___________。
9．已知集合，問：當(dāng)取何值時，為恰有2個元素的集合？說明理由，若改為3個元素集合，結(jié)論如何？
10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。
11．S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個成立，并且若，則，試確定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．是三個非空整數(shù)集，已知對于1，2，3的任意一個排列，如果，，則。求證：中必有兩個相等。
2．求證：集合{1，2，…，1989}可以劃分為117個互不相交的子集，使得（1）每個恰有17個元素；（2）每個中各元素之和相同。
3．某人寫了封信，同時寫了個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？
4．設(shè)是20個兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個不同的元素，求集合中不同元素個數(shù)的最小可能值。
5．設(shè)S是由個人組成的集合。求證：其中必定有兩個人，他們的公共朋友的個數(shù)為偶數(shù)。
6．對于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對于任何正整數(shù)，集合的任一個元子集中，均有至少3個兩兩互質(zhì)的元素。
7．設(shè)集合S={1，2，…，50}，求最小自然數(shù)，使S的任意一個元子集中都存在兩個不同的數(shù)a和b，滿足。
8．集合，試作出X的三元子集族，滿足：
（1）X的任意一個二元子集至少被族中的一個三元子集包含；
（2）。
9．設(shè)集合，求最小的正整數(shù)，使得對A的任意一個14-分劃，一定存在某個集合，在中有兩個元素a和b滿足。