高中三角函數(shù)教案

三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算。

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家都在十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南虢贪刚n件。只有規(guī)劃好教案課件計(jì)劃，新的工作才會(huì)更順利！你們清楚有哪些教案課件范文呢？小編收集并整理了“三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

相關(guān)推薦

三角函數(shù)值

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識(shí)點(diǎn)，老師需要提前準(zhǔn)備教案，準(zhǔn)備教案課件的時(shí)刻到來了。在寫好了教案課件計(jì)劃后，新的工作才會(huì)如魚得水！你們知道哪些教案課件的范文呢？以下是小編為大家收集的“三角函數(shù)值”但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

1.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值

本節(jié)在前兩節(jié)介紹了正切、正弦、余弦定義的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義，并能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

因此本節(jié)的重點(diǎn)是利用三角函數(shù)的定義求30°、45°、60°這些特殊角的特殊三角函數(shù)值，并能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.難點(diǎn)是利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出30°、45°、60°這些特殊角的三角函數(shù)值.

三角尺是學(xué)生非常熟悉的學(xué)習(xí)用具，教學(xué)中，教師應(yīng)大膽地鼓勵(lì)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)如“直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”的特性，經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力.

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理.進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義.

2.能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

3.能夠根據(jù)30°、45°、60°的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

(二)思維訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力.

2.培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

(三)情感與價(jià)值觀要求

1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣.

2.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

教具重點(diǎn)

1.探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

2.能夠進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

3.比較銳角三角函數(shù)值的大小.

教學(xué)難點(diǎn)

進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義.

教學(xué)方法

自主探索法

教學(xué)準(zhǔn)備

一副三角尺

多媒體演示

教學(xué)過程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

[問題]為了測(cè)量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測(cè)量工具：①含30°和60°兩個(gè)銳角的三角尺；②皮尺.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，能測(cè)出一棵大樹的高度.

(用多媒體演示上面的問題，并讓學(xué)生交流各自的想法)

[生]我們組設(shè)計(jì)的方案如下：

讓一位同學(xué)拿著三角尺站在一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢肂處，使這位同學(xué)拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢C點(diǎn)，30°的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測(cè)出AB的長(zhǎng)度，BE的長(zhǎng)度，因?yàn)镈E=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的長(zhǎng)度即可.

[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，設(shè)BE=a米，則AD＝a米，如何求CD呢?

[生]含30°角的直角三角形有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一

半，即AC＝2CD，根據(jù)勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.

CD＝a.

則樹的高度即可求出.

[師]我們前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，如果一個(gè)角的大小確定，那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定，如果能求出30°的正切值，在上圖中，tan30°=，則CD=

atan30°，豈不簡(jiǎn)單.

你能求出30°角的三個(gè)三角函數(shù)值嗎?

Ⅱ.講授新課

1.探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

[師]觀察一副三角尺，其中有幾個(gè)銳角?它們分別等于多少度?

[生]一副三角尺中有四個(gè)銳角，它們分別是30°、60°、45°、45°.

[師]sin30°等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.

[生]sin30°＝.

sin30°表示在直角三角

形中，30°角的對(duì)邊與

斜邊的比值，與直角三角形的大小無關(guān).我們不妨設(shè)30°角所對(duì)的邊為a(如圖所示)，根據(jù)“直角三角形中30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”的性質(zhì)，則斜邊等于2a.根據(jù)勾股定理，可知30°角的鄰邊為a，所以sin30°＝.

[師]cos30°等于多少?tan30°呢?

[生]cos30°＝.

tan30°=

[師]我們求出了30°角的三個(gè)三角函數(shù)值，還有兩個(gè)特殊角——45°、60°，它們的三角函數(shù)值分別是多少?你是如何得到的?

[生]求60°的三角函數(shù)值可以利用求30°角三角函數(shù)值的三角形.因?yàn)?0°角的對(duì)邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對(duì)邊.利用上圖，很容易求得sin60°=,

cos60°=,

tan60°＝.

[生]也可以利用上節(jié)課我們得出的結(jié)論：一銳角的正弦等于它余角的余弦，一銳角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-

60°)=sin30°=.

[師生共析]我們一同來

求45°角的三角函數(shù)值.含

45°角的直角三角形是等腰

直角三角形.(如圖)設(shè)其中一

條直角邊為a，則另一條直角

邊也為a，斜邊a.由此可求得

sin45°=,

cos45°＝,

tan45°=

[師]下面請(qǐng)同學(xué)們完成下表(用多媒體演示)

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)角

sinαcoαtanα

30°

45°1

60°

這個(gè)表格中的30°、45°、60°角的三角函數(shù)值需熟記，另一方面，要能夠根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)的銳角的大小.

為了幫助大家記憶，我們觀察表格中函數(shù)值的特點(diǎn).先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?

[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都為2，分子從小到大分別為，，，隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大.

[師]再來看第二列函數(shù)值，有何特點(diǎn)呢?

[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它們的分母也都是2，而分子從大到小分別為，，，余弦值隨角度的增大而減小.

[師]第三列呢?

[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一個(gè)銳角，所以tan45°=1比較特殊.

[師]很好，掌握了上述規(guī)律，記憶就方便多了.下面同桌之間可互相檢查一下對(duì)30°、

45°、60°角的三角函數(shù)值的記憶情況.相信同學(xué)們一定做得很棒.

2.例題講解(多媒體演示)

[例1]計(jì)算

(1)sin30°+cos45°；

(2)sin260°+cos260°-tan45°.

分析：本題旨在幫助學(xué)生鞏固特殊角的三角函數(shù)值，今后若無特別說明，用特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示

(cos60°)2.

解：(1)sin30°+cos45°=,

(2)sin260°+cos260°-tan45°

=()2+()2-1

=+-1

＝0.

[例2]一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動(dòng)角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差.(結(jié)果精確到0.01m)

分析：引導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)題意畫出示意圖，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

解：根據(jù)題意(如圖)

可知，∠BOD=60°，

OB=OA＝OD=2.5m，

∠AOD＝×60°＝30°，

∴OC=ODcos30°

=2.5×≈2.165(m).

∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).

所以，最高位置與最低位置的高度約為

0.34m.

Ⅲ.隨堂練習(xí)

多媒體演示

1.計(jì)算：

(1)sin60°-tan45°；

(2)cos60°+tan60°；

(3)sin45°+sin60°-2cos45°.

解：(1)原式＝-1=；

(2)原式=+=

(3)原式=×+×；

=

2.某商場(chǎng)有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為30°.高為7m，扶梯的長(zhǎng)度是多少?

解：扶梯的長(zhǎng)度為=14(m)，

所以扶梯的長(zhǎng)度為14m.

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課總結(jié)如下：

(1)探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；

cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；

tan30°=，tan45°

＝1，tan60°=.

(2)能進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

(3)能根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)銳角的大小.

Ⅴ.課后作業(yè)

習(xí)題1.3第1、2題

Ⅵ.活動(dòng)與探究

(2003年甘肅)如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB＝CD=30m，兩樓問的距離AC=24m，現(xiàn)需了解甲樓對(duì)乙樓的采光影響情況.當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30°時(shí)，求甲樓的影子在乙樓上有多高?

(精確到0.1m，≈1.41，≈1.73)

[過程]根據(jù)題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，當(dāng)光線從樓頂E，直射到乙樓D點(diǎn)，D點(diǎn)向下便接受不到光線，過D作DB⊥AE(甲樓).在Rt△BDE中.BD=AC＝24m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙樓一樣高，所以DF=BE.

[結(jié)果]在Kt△BDE中，BE=DBtan30°＝24×=8m.

∵DF＝BE，

∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).

甲樓的影子在乙樓上的高CD=30-13.84≈16.2(m).

板書設(shè)計(jì)

§1.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值

一、探索30°、45°、60°的三角函數(shù)值1.預(yù)備知識(shí)：含30°的直角三角形中，30°角

的對(duì)邊等于斜邊的一半.

含45°的直角三角形是等腰直角三角形.

2.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值列表如下：

三角函數(shù)角

角α

sinαcoαtanα

30°

45°1

60°

二、含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

三、實(shí)際應(yīng)用

備課資料

參考練習(xí)

1.(2003年北京石景山)計(jì)算：.

答案：3-

2.(2003年北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30°-

答案：-

3.(2003年廣東梅州)計(jì)算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.

答案：

4.(2003年廣西)計(jì)算：sin60°+

答案：-

5.(2003年內(nèi)蒙古赤峰)計(jì)算；2-3-(+π)0-cos60°-.

答案：-

銳角三角函數(shù)

第二十八章銳角三角函數(shù)
本章小結(jié)
小結(jié)1本章概述
銳角三角函數(shù)、解直角三角形，它們既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù)，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ)．本章知識(shí)首先從工作和生活中經(jīng)常遇到的問題人手，研究直角三角形的邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，進(jìn)而學(xué)習(xí)解直角三角形，進(jìn)一步解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．只有掌握銳角三角函數(shù)和直角三角形的解法，才能繼續(xù)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)和解斜三角形等知識(shí)，同時(shí)解直角三角形的知識(shí)有利于培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)牢固掌握．
小結(jié)2本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
【本章重點(diǎn)】通過實(shí)例認(rèn)識(shí)直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．
【本章難點(diǎn)】綜合運(yùn)用直角三角形的邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系來解決實(shí)際問題．
【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】
在本章的學(xué)習(xí)中，應(yīng)正確掌握四種三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，要善于運(yùn)用方程思想求直角三角形的某些未知元素，會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想通過添加輔助線把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形來求解，會(huì)用數(shù)學(xué)建模思想和轉(zhuǎn)化思想把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從而提高分析問題和解決問題的能力．
小結(jié)3中考透視
這一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函數(shù)值及幾個(gè)三角函數(shù)間的關(guān)系，主要題型是選擇題、填空題．另外解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用也是考查的一個(gè)重點(diǎn)，主要題型是填空題和解答題，約占3～7分．
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識(shí)性專題
專題1：銳角三角函數(shù)的定義
【專題解讀】銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主．
例1如圖28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是()
A．sinA＝B．tanA＝
C．cosB＝D．tanB＝
分析sinA＝＝，tanA＝＝，cosB＝＝．故選D.
例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,則tanA等于()
A．B．C．D．
分析在Rt△ABC中，設(shè)AC＝3k，AB＝5k，則BC＝4k，由定義可知tanA＝．故選D.
分析在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴sinA＝．故填．
專題2特殊角的三角函數(shù)值
【專題解讀】要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
例4計(jì)算|－3|＋2cos45°－(－1)0．
分析cos45°＝．
解：原式＝3＋2×－1＝＋2．
例5計(jì)算－＋＋(－1)2007－cos60°．
分析cos60°＝．
解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．
例6計(jì)算|－|＋(cos60°－tan30°)0＋．
分析cos60°＝，tan30°＝，∴cos60°－tan30°≠0，∴(cos60°－tan30°)0＝1，
解：原式＝＋1十＋2＝3＋1．
例7計(jì)算－(π－3.14)0－|1－tan60°|－.
分析tan60°＝.
解：原式＝8－1－＋1＋＋2＝10.
專題3銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用
【專題解讀】銳角三角函數(shù)常與其他知識(shí)綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.
例8如圖28－124所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC邊的中點(diǎn)，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
(1)求線段DC的長(zhǎng)；
(2)求tan∠EDC的值.
分析在Rt△ABD中，由sinB＝，可求得BD，從而求得CD．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得DE＝AC＝EC，則∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以轉(zhuǎn)化為求tanC.
解：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，sinB＝．
∵AD＝12，sinB＝，∴AB＝15，
∴BD＝＝＝9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C
∵tanC＝＝,∴tan∠EDC＝tanC＝．
例9如圖28－125所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求證AC＝BD；
(2)若sinC＝，BC＝12，求AD的長(zhǎng)．
分析(1)利用銳角三角函數(shù)的定義可得AC＝BD．(2)利用銳角三角函數(shù)與勾股定理可求得AD的長(zhǎng)．
證明：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝，cos∠DAC＝，tanB＝cos∠DAC，
∴＝，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sinC＝，設(shè)AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝＝5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝，
∴AD＝12k＝12×＝8．
例10如圖28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30，求AB的長(zhǎng)．
分析過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用AD是兩個(gè)直角三角形的公共邊，設(shè)AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出來，再由BD＋CD＝BC這一等量關(guān)系列方程，求得AD，則AB可在Rt△ABD中求得．
解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)AD＝x.
在Rt△ADB中，tanB＝，∴BD＝＝x，
在Rt△ADC中，tanC＝，∴CD＝＝＝x．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋30，
∴x＋x＝30＋30,∴x＝30．
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AB＝＝＝30.
專題4用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題
【專題解讀】加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問題逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測(cè)量問題、高度測(cè)量問題等，解決各類應(yīng)用問題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法．
例11如圖28－127所示，小山上有一棵樹，現(xiàn)有一測(cè)角儀和皮尺兩種測(cè)量工具，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，在山腳的水平地面上測(cè)出小樹頂端A到水平地面上的距離AB．
(1)畫出測(cè)量示意圖；
(2)寫出測(cè)量步驟(測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示)；
(3)根據(jù)(2)中的數(shù)據(jù)計(jì)算AB．
解：(1)測(cè)量示意圖如圖28—128所示．
(2)測(cè)量步驟．
第一步：在地面上選擇點(diǎn)C安裝測(cè)角儀，測(cè)得此時(shí)小樹頂端A的仰角∠AHE＝α.
第二步：沿CB方向前進(jìn)到點(diǎn)D，用皮尺量出C，D之間的距離
CD＝m．
第三步：在點(diǎn)D安裝測(cè)角儀，測(cè)得此時(shí)小樹頂端A的仰角
∠AFE＝β.
第四步：用皮尺測(cè)出測(cè)角儀的高h(yuǎn)．
(3)令A(yù)E＝x，則tanα＝，得HE＝.
又tanβ＝，得EF＝，
∵HE－FE＝HF＝CD＝m，
∴＝m，解得x＝．
∴AB＝＋h．
例12如圖28－129所示，一條小船從港口A出發(fā)，沿北偏東40°方向航行20海里后到達(dá)B處，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到達(dá)C處，則此時(shí)小船距港口A多少海里?(結(jié)果保留整數(shù)，提示：sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0．8391，≈1.732)
分析此題可作CD⊥AP構(gòu)造直角三角形求AC，而CD，AD的長(zhǎng)可轉(zhuǎn)移到其他三角形中解決，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，進(jìn)而求解．
解：如圖28－130所示，過點(diǎn)B作BE⊥AP，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)C分別作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分別為點(diǎn)D，F(xiàn)，則四邊形CDEF為矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF．
∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．
∵AB＝20，∠BAD＝40°，
∴AE＝ABcos40°≈20×0.7660≈15.3，
BE＝ABsin40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．
又∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴CF＝BCsin60°≈10×＝5≈8.7，
BF＝BCcos60°＝10×0.5＝5，
∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．
∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，
由勾股定理得AC＝≈＝≈25，
即此時(shí)小船距港口A約25海里．
【解題策略】正確理解方位角，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
例13如圖28－131所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量沱江流經(jīng)我市某段的河寬．小凡同學(xué)在點(diǎn)A處觀測(cè)到對(duì)岸C點(diǎn)，測(cè)得∠CAD＝45°，又在距A處60米遠(yuǎn)的B處測(cè)得∠CBA＝30°，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)
分析本題可作CE⊥AB，垂足為E，求出CE的長(zhǎng)即為河寬．
解：如圖28－131所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則CE即為河寬，
設(shè)CE＝x(米)，則BE＝x＋60(米)．
在Rt△BCE中，tan30°＝，即＝,
解得x＝30(＋1)≈81.96(米)．
答：河寬約為81．96米．
【解題策略】解本題的關(guān)鍵是設(shè)CE＝x，然后根據(jù)BE＝AB＋AE列方程求解．
例14如圖28－132所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營(yíng)救．1號(hào)救生員從A點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線)向前跑到C點(diǎn)再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生員同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說明誰先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)B．(參考數(shù)據(jù)≈1.4，≈1.7)
分析在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根據(jù)計(jì)算出的數(shù)據(jù)判斷誰先到達(dá)．
解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，
∴AB＝＝300.
＝tan45°，即BD＝ADtan45°＝300．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，
∴BC＝＝200，CD＝＝＝100.
1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為＝150≈210(秒)，
2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為＝50＋≈192(秒)，
3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為＋＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2號(hào)求生員先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)B.
【解題策略】本題為閱讀理解題，題目中的數(shù)據(jù)比較多，正確分析題意是解題的關(guān)鍵．
例15如圖28－133所示，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在它的北偏東60°方向上，該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測(cè)得該島在它的北偏東30°方向上；已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)?試說明理由．
分析本題可作CD⊥AM于點(diǎn)D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足為點(diǎn)D，
由題意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin60°＝6(海里)．
∵6＞9，∴貨船繼續(xù)向正東方向航行無觸礁危險(xiǎn)．
【解題策略】此題實(shí)際上是通過⊙C(半徑為9海里)與直線AM相離判斷出無觸礁危險(xiǎn).
例16如圖28－134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD，甲、乙兩人分別在相距8米的A，B兩處測(cè)得D點(diǎn)和C點(diǎn)的仰角分別為45°和60°，且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若BE＝15米，求這塊廣告牌的高度．(≈1.73，結(jié)果保留整數(shù))
分析由于CD＝CE－DE，所以可分別在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的長(zhǎng)，從而得出結(jié)論．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BEtan60°＝15，
∴CD＝CE－DE＝15－23≈3，
即這塊廣告牌的高度約為3米．
例17如圖28－135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD＝2.5m，壩高4m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC.
分析坡度即坡角的正切值，所以分別過A，D兩點(diǎn)向壩底引垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形．
解：過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
由題意可知tanB＝1，tanC＝，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：壩底寬BC為12．5m．
【解題策略】背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
例18如圖28－136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高CD＝30m，某人在點(diǎn)A處測(cè)得塔底C的仰角為20°，塔頂D的仰角為23°，求此人距CD的水平距離AB．(參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)
分析要求AB的值，由于兩個(gè)直角三角形中都只有角的已知條件，不能直接求解，所以設(shè)AB為未知量，即用AB表示BD和BC，根據(jù)BD－BC＝CD＝30，列出關(guān)于AB的方程．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan23°．
∴CD＝BD－BC＝ABtan23°－ABtan20°＝AB(tan23°－tan20°)．
∴AB＝≈＝500(m)．
答：此人距CD的水平距離AB約為500m．
二、規(guī)律方法專題
專題5公式法
【專題解讀】本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關(guān)鍵．
例19當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，求的值．
分析由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α
解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．
∴.
∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．
∴原式＝＝1．
【解題策略】以上解法中，應(yīng)用了關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，這一關(guān)系式在解題中經(jīng)常用到，應(yīng)當(dāng)牢記，并靈活運(yùn)用．
三、思想方法專題
專題6類比思想
【專題解讀】求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形，因此對(duì)解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念．我們可以像解方程(組)一樣求直角三角形中的未知元素．
例20在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝，解這個(gè)直角三角形．
分析已知兩直角邊長(zhǎng)a，b，可由勾股定理c＝求出c，再利用sinA＝求出∠A，進(jìn)而求出∠B＝90°－∠A．
解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴c＝.
又∵sinA＝，∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
【解題策略】除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形．
專題7數(shù)形結(jié)合思想
【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)”，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一．
例21如圖28－137所示，已知∠α的終邊OP⊥AB，直線AB的方程為y＝－x＋，則cosα等于()
A．B．
C．D．
分析∵y＝－x＋，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故選A.
專題8分類討論思想
【專題解讀】當(dāng)結(jié)果不能確定，且有多種情況時(shí)，對(duì)每一種可能的情況都要進(jìn)行討論．
例22一條東西走向的高速公路上有兩個(gè)加油站A，B，在A的北偏東45°方向上還有一個(gè)加油站C，C到高速公路的最短距離是30km，B，C間的距離是60km．要經(jīng)過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，求交叉口P與加油站A的距離．(結(jié)果可保留根號(hào))
解：①如圖28－138(1)所示，
在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．
又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝10．
故AP＝AD＋DP＝(30＋10)km．
②同理，如圖28－138(2)所示，可求得AP＝(30－10)km，
故交叉口P與加油站A的距離為(30＋10)km或(30－10)km．
【解題策略】此題針對(duì)P點(diǎn)的位置分兩種情況進(jìn)行討論，即點(diǎn)P在線段AB上或點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上．
專題9轉(zhuǎn)化思想
【專題解讀】本章中的轉(zhuǎn)化思想主要應(yīng)用在把直角三角形的線段比轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值、把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、把斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題等．
例23如圖28－139所示，某校教學(xué)樓的后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，BC∥AD，斜坡AB的長(zhǎng)為22m，坡角∠BAD＝68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．
(1)求改造前坡頂與地面的距離；
(2)為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，坡頂B沿BC改到F點(diǎn)處，則BF至少是多少米?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)
分析將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題關(guān)鍵．
解：(1)過B作BE⊥AD于E，
則在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴BE＝ABsin68°＝22sin68°≈20.4(m)．
(2)過F作FG⊥AD于G，連接FA，則FG＝BE．
∵AG＝≈17.12，AE＝ABcos68°＝22cos68°≈8．24，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．
例24如圖28－140所示，A，B兩城市相距100km．現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市中間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)．請(qǐng)問計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．為什么?(參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414)
解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足，
則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PCtan30°，BC＝PCtan45°，
∵AC＋BC＝AB，
∴PCtan30°＋PCtan45°＝100，
∴(＋1)PC＝100，
∴PC＝50(3－)≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．
例25小鵑學(xué)完解直角三角形知識(shí)后，給同桌小艷出了一道題：“如圖28－141所示，把一張長(zhǎng)方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上．已知α＝36°，求長(zhǎng)方形卡片的周長(zhǎng)．”請(qǐng)你幫小艷解答這道題．(結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0．6，cos36°≈0．8，tan36°≈0.7)
解：作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根據(jù)題意，得BE＝24mm，DF＝48mm．
在Rt△ABE中，sinα＝，
∴AB＝≈＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，
∴AD＝≈＝60(mm)．
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26如圖28－142所示，某居民樓I高20米，窗戶朝南．該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺(tái)離地面距離CM為2米，窗戶CD高1．8米．現(xiàn)計(jì)劃在I樓的正南方距1樓30米處新建一居民樓Ⅱ．當(dāng)正午時(shí)刻太陽光線與地面成30°角時(shí)，要使Ⅱ樓的影子不影響I樓所有住戶的采光，新建Ⅱ樓最高只能蓋多少米?
解：設(shè)正午時(shí)光線正好照在I樓的一樓窗臺(tái)處，此時(shí)新建居民樓
Ⅱ高x米．
過C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，F(xiàn)C＝30米，∠ECF＝30°，
∴tan30°＝,∴＝10＋2．
答：新建居民樓Ⅱ最高只能建(10＋2)米．
2011中考真題精選
一、選擇題
1.（2011江蘇連云港，14，3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=_______.
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：網(wǎng)格型。
分析：設(shè)小方格的長(zhǎng)度為1，過C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出sinA．
解答：解：過C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)小方格的長(zhǎng)度為1，
在Rt△ACD中，AC==2.∴sinA==，
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的知識(shí)點(diǎn)，此題比較簡(jiǎn)單，構(gòu)造一個(gè)直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
2.（2011江蘇蘇州，9，3分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理；三角形中位線定理．
專題：幾何圖形問題．
分析：根據(jù)三角形的中位線定理即可求得BD的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△BCD是直角三角形，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
解答：解：連接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線定義，勾股定理的逆定理，和三角函數(shù)的定義，正確證明△BCD是直角三角形是解題關(guān)鍵．
3.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州，6，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
專題：應(yīng)用題．
分析：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD轉(zhuǎn)化為求sinB．
解答：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB===3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B==，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系，難度適中．
4.（2011山東日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA=．則下列關(guān)系式中不成立的是（）
A．tanAcotA=1B．sinA=tanAcosAC．cosA=cotAsinAD．tan2A+cot2A=1
考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系。
專題：計(jì)算題。
分析：可根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系；正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）；正切之間的關(guān)系進(jìn)行解答．
解答：解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得
A、tanAcotA==1，關(guān)系式成立；
B、sinA=，tanAcosA=，關(guān)系式成立；
C、cosA=，cotAsinA=，關(guān)系式成立；
D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，關(guān)系式不成立．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA=或sinA=tanAcosA．
（3）正切之間的關(guān)系：tanAtanB=1．
5.（2011陜西，5，3分）在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)三角形余弦表達(dá)式即可得出結(jié)果．
解答：解：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)cosB==，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及比例關(guān)系，比較簡(jiǎn)單．
6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（）
A.B.C.D.1
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值解答即可．
解答：解：sin45°=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題比較簡(jiǎn)單，只要熟記特殊角度的三角函數(shù)值即可．
7.（2011貴港）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2，則tan∠CAD的值是（）
A、2B、
C、D、
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：常規(guī)題型。
分析：根據(jù)中線的定義可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)正切等于對(duì)邊：鄰邊列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC邊上的中線，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC===2，
∴tan∠CAD===2．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正切的定義以及勾股定理的應(yīng)用，熟記直角三角形中，銳角的正切等于對(duì)邊：鄰邊是解題的關(guān)鍵．
8.（2011山東煙臺(tái)，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，則下列最確切的結(jié)論是（）
A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是銳角三角形
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，直接得出∠A，∠B的角度從而得出答案．
解答：解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確的記憶特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．
10.（2011四川達(dá)州，8，3分）如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)x的范圍是（）
A、B、
C、D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)與數(shù)軸。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)數(shù)軸上A點(diǎn)的位置確定出其范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
解答：解：由數(shù)軸上A點(diǎn)的位置可知，＜A＜2．
A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及在數(shù)軸的特點(diǎn)，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
9.（2011甘肅蘭州，4，4分）如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC’B’，則tanB’的值為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=CD：BD=，
∴tanB′=tanB=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．
10（2011甘肅蘭州，8，4分）點(diǎn)M（－sin60°，cos60°）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：先根據(jù)特殊三角函數(shù)值求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性解答．
解答：解：∵sin60°=，cos60°=，∴點(diǎn)M（－，）．
∵點(diǎn)P（m，n）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)P′（m，-n），
∴M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（－，－）．故選B．
點(diǎn)評(píng)：考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值．
11.（2011廣東省茂名，8，3分）如圖，已知：45°＜A＜90°，則下列各式成立的是（）
A、sinA=cosAB、sinA＞cosA
C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的增減性。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，直接得出答案即可．
解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根據(jù)sin45°=cos45°，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，
當(dāng)∠A＞45°時(shí)，sinA＞cosA，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正確的利用銳角三角函數(shù)的增減性是解決問題的關(guān)鍵．
12.（2011宜昌，11，3分）如圖是教學(xué)用直角三角板，邊AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，則邊BC的長(zhǎng)為（）
A、30cmB、20cmC、10cmD、5cm
考點(diǎn)：解直角三角形；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：因?yàn)榻虒W(xué)用的直角三角板為直角三角形，所以利用三角函數(shù)定義，一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的對(duì)邊比鄰邊可知角BAC的對(duì)邊為BC，鄰邊為AC，根據(jù)角BAC的正切值，即可求出BC的長(zhǎng)度．
解答：解：在直角三角形ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：
tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，
則BC=ACtan∠BAC=30×=10cm．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握三角函數(shù)正弦、余弦及正切的定義，是一道基礎(chǔ)題．要求注意觀察生活中的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來自于生活且服務(wù)于生活．
13.（2011湖北隨州，9，3）cos30°＝（）
A、B、C、D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：直接根據(jù)cos30°＝進(jìn)行解答即可．
解答：解：因?yàn)閏os30°＝，
所以C正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
14.（2011玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（）
A、B、C、D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．
解答：解：∠α=90°﹣30°=60°，
cosα=cos60°=．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．
【相關(guān)鏈接】特殊角三角函數(shù)值：
sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；
sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．
互余角的性質(zhì)：兩角互余其和等于90度．
15.（2011廣西防城港2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值
專題：解直角三角形
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝．
解答：A
點(diǎn)評(píng)：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題．填空題為主．特殊角三角函數(shù)值：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
16.（2011年廣西桂林，6，3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
則sinA的值為（）．
A．B．
C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
分析：直角三角形中，正弦值是角的對(duì)邊與斜邊的比值；先求出斜邊AB的值，然后，即可解答．
答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5；
∴sinA==．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)值的求法及勾股定理的應(yīng)用，熟記公式才能正確運(yùn)用．
17.（2011廣西來賓，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則∠A的余弦值是
A.B.C.D.
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=鄰邊÷斜邊計(jì)算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA==．
故選C．
18.（2011湖州，4，3分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則tanA的值為（）
A．2B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義.
分析：根據(jù)tanA是角A的對(duì)邊比鄰邊，直接得出答案tanA的值．
解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA=．故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．
19.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）A、B、C、D、
【答案】A
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
【專題】待定系數(shù)法．
【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，sinA為∠A的對(duì)邊比上斜邊，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA=．故選A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．
20．（2011福建莆田，8，4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為（）
A．B．C．D．

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：由四邊形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折疊的性質(zhì)可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF==．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
21.（2011四川遂寧，8，4分）計(jì)算2sin30°﹣sin245°+cot60°的結(jié)果是（）
A、+3B、+C、+D、1－+
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：分別把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：2sin30°﹣sin245°+cot60°=2×－（）2+（）2+=1﹣+=+．故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°，45°，60°角的特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
22.（2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則sinB=（）
A.B.C.D.
考點(diǎn)：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長(zhǎng)交圓于E，連CE）構(gòu)造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對(duì)的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：解：連接AO并延長(zhǎng)交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E=；
又∵∠B=∠E（同弧所對(duì)的的圓周角相等），
∴sinB=．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時(shí)，一般是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．
23.(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則（）
ABCD
考點(diǎn)：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長(zhǎng)交圓于E，連CE）構(gòu)造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對(duì)的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：連接AO并延長(zhǎng)交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E==；
又∵∠B=∠E（同弧所對(duì)的的圓周角相等），
∴sinB=．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時(shí)，一般是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．

二、填空題
1.（2011江蘇南京，11，2分）如圖，以0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；等邊三角形的判定與性質(zhì)。
分析：根據(jù)作圖可以證明△ABC是等邊三角形，則∠AOB=60°，據(jù)此即可求解．
解答：解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故答案是：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確理解△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
2.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州，11，3分）若∠α的補(bǔ)角為120°，則∠α=60°，sinα=．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；余角和補(bǔ)角．
專題：計(jì)算題．
分析：根據(jù)補(bǔ)角的定義，即可求出∠α的度數(shù)，從而求出sinα的值．
解答：解：根據(jù)補(bǔ)角定義，∠α=180°﹣120°=60°，
于是sinα=sin60°=．
故答案為60°，．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了特殊角的三角函數(shù)值和余角和補(bǔ)角的定義，要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
3.（2010福建泉州，16，4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則AB=5，sinA=．
考點(diǎn)銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理
分析先利用勾股定理計(jì)算出AB，然后根據(jù)正弦的定義即可得到∠A的正弦．
解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，∴sinA==．故答案為：5，．
點(diǎn)評(píng)本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值．也考查了勾股定理．
4.（2011福建廈門，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，則sinB=．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：數(shù)形結(jié)合。
分析：利用銳角三角函數(shù)的定義知：銳角的正弦值=．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如圖），
sinB==．
故答案是：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．①正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊；②余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；③正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；④余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊；⑤正割（sec）等于斜邊比鄰邊；⑥余割（csc）等于斜邊比對(duì)邊．
5.（2011天水，16，4）計(jì)算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°=．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算．tanAtan（90°﹣A）=1．
解答：解：原式=+1+=2．
故答案為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，牢記三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
6.（2011山東日照，13，4分）計(jì)算sin30°﹣|﹣2|=．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；絕對(duì)值。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值，針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
解答：解：原式=﹣2=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．
7.（2011重慶江津區(qū)，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：計(jì)算題。
分析：在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義sinA＝即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義得：sinA＝＝，
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：此題比較簡(jiǎn)單，考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解答此類題目的關(guān)鍵是畫出圖形便可直觀解答．
8.（2011內(nèi)蒙古呼和浩特，24，8）如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．
考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
專題：綜合題．
分析：（1）連接OB、OP，由，且∠D=∠D，根據(jù)三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設(shè)PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，則OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
設(shè)PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=×2a=a，
∴OA=a，
∴OP=，
∴cos∠BCA=cos∠POA=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)和判定：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．
9.（2011安順）如圖，點(diǎn)E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦．則tan∠OBE=．
考點(diǎn)：圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可證∠ECO=∠OBE．由銳角三角函數(shù)可求tan∠ECO=，即tan∠OBE=．
解答：解：連接EC．
根據(jù)圓周角定理∠ECO=∠OBE．
在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，
則tan∠ECO=．故tan∠OBE=．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了同弧所對(duì)的圓周角相等及解直角三角形的知識(shí)．
注意銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)比斜；余弦等于鄰比斜；正切等于對(duì)比鄰．
10.（2011黑龍江大慶，11，3分）計(jì)算sin230°+cos230°﹣tan245°=﹣．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：把三角函數(shù)的數(shù)值代入計(jì)算即可．
解答：解：原式=（）2+（）2﹣1=+﹣1，=﹣．故答案是：﹣．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
11.（2011西寧）計(jì)算：sin45°=1．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．
解答：解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：sin45°=，
∴sin45°=×=1．
故答案為1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主，比較簡(jiǎn)單．
12.（2011山東濱州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°則tanA=________.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；等腰直角三角形．
【分析】根據(jù)△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，從而求出角A的正切值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形、特殊角的三角函數(shù)值，解題時(shí)牢記特殊角的三角函數(shù)值．
13.（2011萊蕪）若a=3﹣tan60°，則=。
考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值；分式的基本性質(zhì)；約分；通分；最簡(jiǎn)分式；最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除法；分式的加減法；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：求出a的值，把分式進(jìn)行計(jì)算，先算括號(hào)里面的減法，把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再進(jìn)行約分即可．
解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣，
∴原式=
=
=
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)分式的基本性質(zhì)，約分、通分，最簡(jiǎn)分式，最簡(jiǎn)公分母，分式的加減、乘除運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
14.（2011山東淄博16，4分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則tan∠NPH的值為．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行線分線段成比例定理得出，進(jìn)而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH=，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出PH的長(zhǎng)再利用銳角三角函數(shù)的定義求出是解決問題的關(guān)鍵．
15.（2011黑龍江省哈爾濱,19，3分）已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，若DP=1，則tan∠BPC的值是．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；正方形的性質(zhì)。
分析：本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質(zhì)求解．
解答：解：此題有兩種可能：
（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴tan∠BPC==2；
（2）∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
又∵BC=2，∠C=90°，
∴tan∠BPC=．
故答案為：2或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圖形考慮此題有兩種可能，要依次求解．
16.（2011湖北武漢，13，3分）sin30°的值為．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．
解答：解：sin30°=，故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．

三、解答題
1.（2011新疆建設(shè)兵團(tuán)，20，8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，作出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖形△AB1C1（保留作圖痕跡）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
考點(diǎn)：作圖－旋轉(zhuǎn)變換；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：（1）作出∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂線，即可得出答案．
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB1＝3，AC1＝4，再利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出．
解答：解：（1）作∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如圖所示即是所求．
（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了做旋轉(zhuǎn)圖形和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)已知熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．
2.（2011浙江金華，17，6分）(本題6分)
計(jì)算：|－1|－－（5－π）0+4cos45°.
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運(yùn)算。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對(duì)值、二次根式化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個(gè)考點(diǎn)．針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
【解】原式=1－×2－1+4×=
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
3.（2011浙江麗水，17，6分）計(jì)算：．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運(yùn)算。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對(duì)值、二次根式化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個(gè)考點(diǎn)．針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
解答：解：，
=，
=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
4.（2011浙江衢州，17，6分）（1）計(jì)算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；分式的加減法；零指數(shù)冪。
專題：計(jì)算題。
分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果，
解答：解：（1）原式=，
=；
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了絕對(duì)值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質(zhì)、實(shí)數(shù)運(yùn)算法則及同分母分式加減法法則，難度適中．
5.（1）（2011浙江義烏，17（1），3分）計(jì)算：20110＋－2sin45°；
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；解分式方程。
專題：計(jì)算題。
分析：（1）根據(jù)零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值即可解答本題，
（2）觀察方程可得最簡(jiǎn)公分母是：2（x－2），兩邊同時(shí)乘最簡(jiǎn)公分母可把分式方程化為整式方程來解答．
解答：解：（1）原式＝1＋2－，
＝1＋；
（2）2（x＋3）＝3（x－2），
解得：x＝12，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝12時(shí)，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，以及解分式方程需轉(zhuǎn)化為整式方程，還要注意一定要驗(yàn)根．
6.（2011黑龍江省哈爾濱,21，6分）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中x=2cos45°﹣3．
考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：探究型。
分析：先把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x=2cos45°﹣3代入進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：原式=
=
當(dāng)x=2cos45°﹣3時(shí)，
原式=
=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值及特殊角的三角函數(shù)值，熟知分式混合運(yùn)算的法則把原式化為的形式是解答此題的關(guān)鍵．
7.（2011甘肅蘭州，21，7分）已知α是銳角，且sin(α+15°)=.
計(jì)算的值.
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則即可計(jì)算出結(jié)果．
解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)及實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，難度適中．
8.（2011甘肅蘭州，26，9分）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：
（1）sad60°=.
（2）對(duì)于0°A180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是.
（3）如圖②，已知sinA，其中∠A為銳角，試求sadA的值.
考點(diǎn)：解直角三角形
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構(gòu)造等腰三角形ACD，根據(jù)正對(duì)的定義解答．
解答：解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，則sad60°==1．故答案為1．
（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadα接近0，
當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．
（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．
在AB上取點(diǎn)D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC==4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，
AH==k．
則在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．
由正對(duì)的定義可得：sadA==，即sadα=．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義的題目，考查了正對(duì)這一新內(nèi)容，要熟悉三角函數(shù)的定義，可進(jìn)行類比解答．
綜合驗(yàn)收評(píng)估測(cè)試題
(時(shí)間：120分鐘滿分：120分)
一、選擇題
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB的值為()
A．B．C．D．
2．已知α為銳角，tanα＝，則cosα等于()
A．B．C．D．
3．如圖28－143所示，為了確定一條小河的寬度BC，可在C左側(cè)的岸邊選擇一點(diǎn)A，使得AC⊥BC，若測(cè)得AC＝a，∠CAB＝θ，則BC等于()
A．a(chǎn)sinθB．a(chǎn)cosθC．a(chǎn)tanθD.
4．某同學(xué)想用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量旗桿的高度，在地面距旗桿底部5m遠(yuǎn)的地方，他用測(cè)傾器測(cè)得旗桿頂部的仰角為α，且tanα＝3，則旗桿高等于(不計(jì)測(cè)傾器的高度)()
A．10mB．12mC．15mD．20m
5．如圖28－144所示，測(cè)量人員在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45°，沿著傾角為30°的山坡前進(jìn)1000米到達(dá)D處，在D處測(cè)得山頂B的仰角為60°，則山的高度BC大約是(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)()
A．1366．03米B．1482．12米
C．1295．93米D．1508.21米
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝6，sinB＝，那么AB的長(zhǎng)是()
A．4B．9C．3D．2
7．如圖28－145所示，在高樓前的D點(diǎn)測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?0°，向高樓前進(jìn)60米到達(dá)C點(diǎn)，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?5°，則該高樓的高度大約為()
A．82米B．163米C．52米D．70米
8．某人沿傾斜角為B的斜坡前進(jìn)100米，則他上升的最大高度是()
A.米B.100sinβ米C．米D．100cosβ米
9．鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為2：3，上底寬6米，路基高4米，則路基的下底寬為()
A．18米B．15米C．12米D．10米
10．觀察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1(α是銳角)；③tan30°＋tan60°＝tan90°；④tan44°＜1．其中成立的有()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
11．計(jì)算2sin30°－tan60°＋tan45°＝．
12．如圖28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，BC＝，
則AB的長(zhǎng)為．
13．當(dāng)x＝sin60°時(shí)，代數(shù)式＋的值是．
14．已知cos59°24′≈0.509，則sin30°36′≈．
15．若∠A，∠B互余，且tanA－tanB＝2，則tan2A＋tan2B＝．
16．如圖28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝，則這個(gè)菱形的面積是.
17．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，若將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D′處，則∠BAD′的正弦值為.
18．如圖28－148所示，若將四根木條釘成的矩形木框變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角等于．
19．在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝2，AB＝2，則BC＝．
20．設(shè)θ為銳角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的兩根之差為．則θ＝．
三、解答題
21．如圖28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝．
(1)求DC的長(zhǎng)；
(2)求sinB的值．
22．如圖28－150所示，已知燈塔A的周圍7海里的范圍內(nèi)有暗礁，一艘漁船在B處測(cè)得燈塔A在它的北偏東60°方向上，向正東方向航行8海里后到達(dá)C處，又測(cè)得該燈塔在它的北偏東30°方向上，若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)?通過計(jì)算說明理由．
23．如圖28－151所示，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處、樓底D處測(cè)得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高與樓高．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)
24．如圖28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)為1：，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．
25．閱讀下面的材料并回答問題．
如圖28－153所示，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，過A作AD⊥BC于D，則sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即＝，同理，＝，＝，所以＝＝，即在—個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等．
(1)在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a，b，∠A，運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素c，∠B，∠C，請(qǐng)你按照下面的步驟填空，完成求解過程；
第一步：由條件a，b，∠A求出∠B；
第二步：由條件∠A，∠B求出∠C；
第三步：由條件求出c；
(2)一貨輪在C處測(cè)得燈塔A在它的北偏西30°方向上，隨后貨輪以28．4海里／時(shí)的速度沿北偏東45°方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西70°方向上(如圖28－154所示)，求此時(shí)貨輪與燈塔A的距離AB．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0．643，sin65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin75°≈0．966)
參考答案
1．A[提示：設(shè)∠A的對(duì)邊為3k，斜邊為5k，則b＝4k，∴tanB＝．]
2．A[提示：∵tanα＝，∴α＝60°，∴cosα＝.]
3．C
4．C[提示：tanα＝＝3，∴旗桿高為15m．]
5．A[提示：過點(diǎn)D作DF⊥AC，易求DF＝EC＝500，AF＝500，由已知條件可知AC＝BC，DE＝FC，∴DE＝BE＋EC－AF＝BE＋500－500.由tan∠BDE＝列方程求解．]6．B[提示：∵sinB＝，∴AB＝＝9．]
7．A[提示：設(shè)AB＝x，則BC＝x，BD＝60＋x，在Rt△ABD中，tan30°＝∴x＝(60＋x)，∴x≈82．]
8．B
9．A[提示：由題意畫圖可得答案．]
10．C[提示：sin59°＞sin28°成立，0＜cosα＜1(α是銳角)成立，tan30°＋tan60°＝＋≠tan90°，tan44°＜tan45°，即tan44°＜1．]
11．2－[提示：2sin30°－tan60°＋tan45°＝2×－＋1＝2－.]
12．3＋[提示：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BDC中，tanB＝．∴，∴BD＝3CD，∵BC＝，∴CD2＋(3CD)2＝()2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tanA＝，∴AD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.]
13．[提示：∵＋＝2x，∴原式＝2sin60°＝．]
14．0.509[提示：sin30°36′＝cos59°24′．]
15．6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tanAtanB＝1，tan2A＋tan2B＝(tanA－tanB)2＋2tanAtanB＝22＋2＝6．]
16．[提示：∵cosB＝，設(shè)BE＝5x，則AB＝13x，∴AE＝＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝，則AE＝12x＝12×＝，BC＝5x＋1＝5×＋1＝，∴S＝×＝．]
17．[提示:如圖28－155所示，根據(jù)題意得DD′＝2DC，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根據(jù)勾股定理得AD′＝＝x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝＝.∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝．]
18．30°[提示：如圖28＝156所示，∵SABCD＝S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)，∴GC＝FC．∵CF＝DC，∴GC＝DC，．∵∠DGC＝90°，sin30°＝，∴∠CDG＝30°，即這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角為30°．]
19．＋
20．30°[提示：x1x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．]
21．解：(1)∵cos∠ADC＝，∴設(shè)CD＝3x，則AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6．(2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝，∴sinB＝．
22．解：在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于D，設(shè)AD＝x，∵∠ACD＝60°，∠ABD＝30°，∴BD＝＝x，CD＝＝x.∵BD－CD＝8，∴x－x＝8，∴x＝4，即AD＝4＝＜7，∴若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行；有觸礁的危險(xiǎn)．
23．解：在Rt△ABD中，BD＝80，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴AB＝BDtan∠ADB＝80≈138．56(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝80，∴CD＝BE＝AB－AE＝80－80＝80（－1)≈58.56(米)．答：塔高AB約為138．56米，樓高CD約為58．56米．
24．解：延長(zhǎng)BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比為1：可知∠CAE＝30°．∴CE＝ACsin30°＝10×＝5，AE＝ACcos30°＝10×＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6(米)．
25．(1)∠A＋∠B＋∠C＝180°a，∠A，∠C(2)解：依題意可知∠ABC＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC＝28．4×＝14．2．∵，∴AB＝≈≈21．3（海里）.即此時(shí)貨輪與燈塔A的距離AB約為21.3海里．

銳角的三角函數(shù)值

21.2銳角的三角函數(shù)值

一、教法設(shè)想：

通過同學(xué)們經(jīng)常使用的三角板，讓同學(xué)們計(jì)算一下，當(dāng)∠A=30°,∠A=45°,由于同學(xué)們所使用三角板大小不一，但他（她）們求得的比值都是和，這是為什么呢？

由相似三角形有關(guān)性質(zhì)得出：在這些直角三角形中，銳角A取一個(gè)固定值，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值仍是一個(gè)固定值，進(jìn)而再引入正弦，余弦的概念，并向同學(xué)說明0sinA1,0cosA1（∠A為銳角）.

再分別求出30°，45°，60°特殊三角函數(shù)值并應(yīng)用其進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)一步研究任意銳角的正弦值與余角的余弦值關(guān)系.

根據(jù)30°，45°，60°正、余弦值分析，引導(dǎo)同學(xué)歸納出：當(dāng)角度在0°—90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；當(dāng)角度在0°—90°間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?

適時(shí)介紹正弦和余弦表的構(gòu)造.結(jié)合實(shí)例進(jìn)行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然.正確處理好修正值.

對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，也可適當(dāng)介紹“sin2A+cos2A=1”這一重要關(guān)系式.

在學(xué)習(xí)正弦、余弦的概念后，再進(jìn)一步學(xué)正切、余切較容易，可仿正弦、余弦的教法進(jìn)行，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生也可講授這些重要關(guān)系式.

在教學(xué)中對(duì)0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函數(shù)值要求學(xué)生一定要熟記，為此，我們可分別列出表并編出口決讓學(xué)生記易，省時(shí)易記.

表I：

三角函數(shù)30°45°60°

Sinα

Cosα

tgα

口決：一，二，三，三，二，一，三九二十七.

表II.

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

Sinα

Cosα

tgα0

1

──

ctgα──

1

口決：0，一，二，三，四帶根號(hào)，比上2要記牢.

第二行左右倒，三，四行靠推導(dǎo).

【指點(diǎn)迷津】

本單元銳角三角函數(shù)的引進(jìn)，使形與數(shù)緊密結(jié)合為一體，開辟了數(shù)形結(jié)合的新航向.因此，在本單元教學(xué)中，務(wù)必注意數(shù)形結(jié)合思維方法的引導(dǎo)，應(yīng)用.用其法解決生活中的實(shí)際問題.達(dá)到得心應(yīng)手.

二、學(xué)海導(dǎo)航：

【思維基礎(chǔ)】

1.銳角三角函數(shù)定義

Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則∠A的正弦，余弦，正切，余切分別是：SinA=________CosA=_______tgA=________CtgA=________.它們統(tǒng)稱為∠A的銳角三角函數(shù).（1）一銳角的三角函數(shù)值是四個(gè)_______；銳角三角函數(shù)都不可能取_________，且A為銳角時(shí)，SinA，CosA均在______~______內(nèi)取值.

2.特殊角的三角函數(shù)值（完成下表）

0°30°45°60°90°增減值

Sinα

Cosα

tgα

ctgα

3.互余角間的三角函數(shù)關(guān)系，△ABC中，∠C=90°，A+B=90°，∠B=90°－A，則有：

Sin(90°－A)=___________

Cos(90°－A)=___________

tg(90°－A)=___________

Ctg(90°－A)=___________.

4.同角三角函數(shù)關(guān)系公式：（∠A為銳角）.

（1）Sin2A+Cos2A=___________;Cos2A=___________,Sin2A=____________.

【學(xué)法指要】

例1.如果∠A為銳角，CosA=，那么（）

A.0°A≤30°B.30°A≤45°

C.45°A≤60°D.60°A90°

思路分析：

當(dāng)角度在0°~90°間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大（或減少）而減小（或增大）.

∴60°A90°應(yīng)選D

例2.當(dāng)45°X90°時(shí)，有（）

A.SinxCosxtgxB.tgxCosxSinx

C.CosxSinxtgxD.tgxSinxCosx

思路分析：∵45°x90°∴取A=60°

，∴tgxSinxCosx

∴應(yīng)選D

解選擇題，采取特例法可出奇制勝，如本例取x=60°在45°x90°的范圍內(nèi)，很快可知Sin60°,Cos60°,tg60°的值，誰大誰小，相形見絀.因之，在解決有關(guān)選擇題時(shí)，根據(jù)題目的限制條件，靈活選取特殊值（也可畫特殊圖形，特殊點(diǎn)，特殊位置，特殊線等），可巧奪天工.

例3.計(jì)算：

思咯分析：若a≠0時(shí),a0=1

對(duì)此項(xiàng)中的Sin36°是一項(xiàng)干擾支.迷惑同學(xué)們，因?yàn)镾in36°，不是表內(nèi)特殊值，求不出來，至使解題陷入僵局，其實(shí)不然.不需要求Sin36°之值，只需要知道即可.因而，解題時(shí)，必須善于排除干擾支，解除困惑，準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)概念，正確求出答案，對(duì)于特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，一.要準(zhǔn)確無誤代入三角函數(shù)值；二.要按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；三.運(yùn)算的結(jié)果必須是最簡(jiǎn)關(guān)系式.于是對(duì)上式便一目了然了.

例4.已知方程的兩根為tgθ,ctgθ,求k和θ，（θ為銳角）

思路分析：∵tgθ,ctgθ為二次方程的二根，根據(jù)與系數(shù)關(guān)系式，得

∵tgθctgθ=1∴k=1

∴原方程為

即tgθ=,ctgθ=或tgθ=,ctg=

故θ1=30°θ2=60°

銳角三角函數(shù)與二次方程等有著千絲萬縷的聯(lián)系，各種知識(shí)交織在一起，因而必須把綜合知識(shí)進(jìn)行剖析，分解，然后各個(gè)擊破，便可打通思路.如本例，首先運(yùn)用二次方程的有關(guān)知識(shí)──根與系數(shù)關(guān)系；再運(yùn)用銳角三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求出K，又回到解一元二次方程來，解出二根，從中求出tgθ,ctgθ之值，再求出對(duì)應(yīng)的θ之值，總之，善于剖析，化整為零，一個(gè)一個(gè)解決，對(duì)復(fù)雜的綜合題便可攻破了.

例5.在△ABC中，三邊之比a：b：c=1：：2，則SinA+tgA等于（）

A.B.

C.D.

思路分析：∵a：b：c=1：：2

∴可設(shè)a=k,b=k,c=2k(k0)

∴a2+b2=k2+(k)2=4k2=(2k)2=c2

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴SinA+tgA

∴應(yīng)選（A）

對(duì)于題設(shè)是以連比形式出現(xiàn)的，通常都是增設(shè)參數(shù)K，將未知轉(zhuǎn)化已知，使問題明朗化，進(jìn)而再研究三角形三邊的關(guān)系，從而判定為直角三角形，又轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題，找到思路，這是解決此類問題的常用方法，而且又比較方便，請(qǐng)同學(xué)們今后遇到此類問題，可小試“牛刀”.

【思維體操】

例1.已知AD是直角△ABC的斜邊BC上的高，在△ADB及△ADC中分別作內(nèi)接正方形，使每個(gè)正方形有兩條邊分別在DB，DA及DC，DA上，而兩個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)各在AB，AC上，求證：AE=AF.

揭示思路1：設(shè)∠ABC=α.正方形EMDG與正方形DNFH的邊長(zhǎng)分別為a,b

∵AD=AG+DG=atgα+a

AD=AH+DH=bCtgα+b

∴atgα+a=bctgα+b

∴

=bctgα=AH.

∴AE=AF

揭示思路2：

設(shè)BC=a,且∠ABC=α，則有

AB=acosα

同理：

∴AE=AF

由上兩種思路證得AE=AF，可發(fā)現(xiàn)用三角法研究幾何問題，開門見山，直截了當(dāng)，只要所給定的幾何圖形中有直角三角形.便可應(yīng)用銳角三角函數(shù)列出它們的邊角關(guān)系式，再應(yīng)用代數(shù)法計(jì)算一下，便可達(dá)到目的.題設(shè)所給的問題中，未有給定直角三角形，只要能構(gòu)造出直角三角形，同樣也可轉(zhuǎn)化為用三角法證解之，而且也比較方便，由此可見，用三角法證（解）幾何問題為解幾何問題又開拓了新的渠道.為數(shù)與形結(jié)合提供了新的條件，我們應(yīng)在這條新渠道不斷探索，取得新的成果.現(xiàn)沿這思路繼續(xù)擴(kuò)散.

擴(kuò)散一：

如圖，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分別在AB，AC上，E，F(xiàn)在斜邊BC上，求證：EF2=BEFC

揭示思路：從題設(shè)及圖形中都可發(fā)現(xiàn)有直角三角形，所以用三角法證之比較順暢.

在Rt△BDE中，

在Rt△GFC中，

∵∠B+∠C=90°，∴tgB=tg(90°－C)=ctgC

∴

∵DE=GF=EF

∴EF2=BECF

擴(kuò)散二：

在△ABC外側(cè)作正方形ABDM和ACEN，過D，E向BC作垂線DF，EG，垂足分別為F，G，求證：BC=DF+EG

提示思路：觀察圖形可發(fā)現(xiàn)直角三角形DFB及直角三角形EGC.便萌生用三角法證明，可是此時(shí)DF，EG比較分散.設(shè)法作AH⊥BC再構(gòu)兩個(gè)直角三角形，通過正方形為“媒介”，這樣把DF，EG就有了聯(lián)系.此時(shí)，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義建立邊角關(guān)系，便可馬到成功！

在Rt△EGC中，

∴EG=bcosβ

在Rt△DBF中，同理，DF=ccosα（設(shè)b,c,α,β如圖）

∴EG+DF=bCosβ+ccosα

在Rt△ABH中，BH=ccosα

在Rt△ACH中，CH=bcosβ

∵BC=BH+CH,∴BC=bcosβ+ccosα

∴BC=EG+DF

擴(kuò)散三：

設(shè)頂角A=108°的等腰三角形的高為h，∠A的三等分線及其外角的四等分線分別為P1，P2，求證：

揭示思路：從圖形中可發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)直角三角形存在，這個(gè)信息向我們提供用三角法證明是得天獨(dú)厚的條件，不要猶豫，不然，將會(huì)失去良機(jī).

如圖，設(shè)△ABC的底邊上的高AH=h,∠A的三等分線AD=P1，∠A的外角四等線AE=P2，∠BAC=108°，AB=AC，

∴∠DAH=18°

在Rt△ADH中，cos18°=

∵∠CAE=(180°－108°)=18°

∠ACB=(180°－108°)=36°

∴∠AEC=18°

在Rt△AHE中，Sin18°=

擴(kuò)散四：

已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為D、E、F.

求證：

揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法證之更不宜遲，用銳角三角函數(shù)定義，列出邊角關(guān)系，可十分巧妙就證得結(jié)論.

設(shè)∠ABC=α，則∠DAF=∠CDF=α

擴(kuò)散五：

在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求證：EC=20F

揭示思路：觀察圖形，圖中有許多直角三角形，它啟示我們用三角法作為“向?qū)А?，可直達(dá)目的地.

∠BEF=∠ACB+∠EAC=45°+∠BAE

∵∠BFE=∠CAE,∴∠BEF=∠BFE,

∴BE=BF

進(jìn)而可知AD=DF

設(shè)正方表ABCD邊長(zhǎng)為1，又設(shè)∠BAE=∠CAE=α

則OA=OB=

在Rt△ABE中，BE=ABtgα=BF

BF=OB－OF=OB－OAtgα

∴ABtgα=OB－OAtgα

∴OF=OAtgα=(－1)

EC=BC－BE=1－1tgα=1－+1=2－=(－1)

∴EC=20F

應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義研究幾何問題；直觀，又少添或不添設(shè)輔助線，充分發(fā)揮數(shù)的長(zhǎng)處.把幾何問題通過銳角三角形邊角關(guān)系，應(yīng)用計(jì)算法，便可曲徑通幽，柳暗花明.同學(xué)們應(yīng)加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)，以拓寬幾何證題思路.

三、智能顯示

【動(dòng)腦動(dòng)手】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，則SinB+CosB的值（）

（A）大于1（B）小于1

（C）等于1（D）不確定

2.在△ABC中，它的邊角同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx+1=0的兩個(gè)根，求a，b，c及S△ABC

3.證明：“從平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D向形外的任意直線MN引垂線AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下圖）

求證：AA＇+CC＇=BB＇+DD＇，現(xiàn)將直線MN向上移動(dòng)，使得A點(diǎn)在直線的一側(cè)，B、C、D三點(diǎn)在直線的另一側(cè)（如中圖），這時(shí)，從A、B、C、D向直線MN作垂線，垂足為A＇B＇C＇D＇，那么垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間存在什么關(guān)系？如將直線MN再問上移動(dòng)，使兩側(cè)各有兩個(gè)頂點(diǎn)（如下圖）.從A，B，C，D向直線MN作的垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間又有什么關(guān)系？根據(jù)左圖，中圖，右圖寫出你的猜想，并加以證明.

揭示思路：1.在Rt△ABC中，∠C=90°

由銳角三角函數(shù)定義，得

∵a+bc

∴SinB+CosB1,應(yīng)選A.

2.∵SinC=1,∴∠C=90°

∵SinA+CosB=,SinACosB=

又A+B=90°,∴B=90°－A

∴CosB=Cos(90°－A)=SinA

∴c=4,A=30°,a=2,b=

3.猜想如下：

對(duì)于中圖有：CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

對(duì)于右圖有：CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法1.如圖,設(shè)∠AEA＇=α,則AA＇=AESinα=(OA－OE)Sinα=OASinα－OESinα，又CC＇=CESinα=(OC+OE)Sinα=(OA+OE)Sinα=OASinα+OESinα

∴CC＇－AA＇=2OESinα

∵OO＇=OESinα,∴CC＇－AA＇=2OO＇

由題設(shè)知，OO’為梯形BB’D’D的中位線.

∴BB＇+DD＇=2OO＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）如圖，仿（1）證法可得

CC＇－AA＇=2OESinα

DD＇－BB=2OFSinβ

∵OESinα=OFSinβ,

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法二：（1）延長(zhǎng)CB交MN于E，設(shè)AD與MN交于F，又設(shè)∠AFA＇=α，則∠BEB＇=α，在Rt△EBB＇中，

∵BE=CE－CB

∴BB＇=BESinα－CBSinα

在Rt△ECC＇中，Sinα=,

∴CC’=CESinα

∵CC＇－BB＇=BCSinα

在Rt△AA＇F與Rt△FDD＇中.

AA＇=AFSinα,DD＇=DFSinα

∵DF=AD－AF

∴DD＇=ADSinα－AFSinA＇

∴DD＇=ADSinα－AA＇

∴DD＇+AA＇=ADSinα

∵AD=BC,∴CC＇－BB＇=DD＇+AA＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）仿證法（1）同樣可證得

CC＇+BB＇=BCSinα

AA＇+DD＇=ADSinα

∴CC＇+BB＇=AA＇+DD＇，

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法三：（1）如圖，作DE⊥CC＇，則DD＇C＇E為矩形，∴CE=CC＇－DD＇

設(shè)∠AFA＇=α，則易知∠CDE=α在Rt△CDE中，

∴CC＇－DD＇=CDSinα

在Rt△AFA＇中，AA＇=AFSinα

在Rt△FBB＇中，BB＇=BFSinα

∴BB＇=(AB－AF)Sinα=ABSinα－AFSinα

∴AA＇+BB＇=ABSinα

∵AB=CD,∵AA＇+BB＇=CC＇－DD＇

∴CC＇－AA＇=DD＇+BB＇

（2）如圖，仿（1）同法可證：

CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

【創(chuàng)新園地】

已知△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，

∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a,b,c那么a：b：c=_________（本結(jié)論中不含任何三角函數(shù)，但保留根號(hào)，請(qǐng)考慮多種解法）.

解法一：過點(diǎn)B作BD⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

∴∠BAC=120°，

∠ABC=15°,∴∠ACB=∠DBC=45°,∠ABD=30°

在Rt△ABD中，Sin30°=∴AD=c

Cos30°=，∴BD=

∴b－BD－AD=

a=

∴a：b：c=

=

解法二：如圖，作AD⊥BC，交BC于D，在AB上取AE=AC，連CE，作AF⊥CE，交CE于F，則∠ACE=∠AEC=，∠BCE=∠ACB－30°=45°－30°=15°

∴△BEC為等腰三角形，∴BE=CE

設(shè)AD=CD=1，則AC=，即b=

∴CE=2ACCos30°=

∴AB=AE+EB=+，即c=+

∴BD=

∴BC=BD+DC=3+，即a=3+

∴a：b：c=（3+）：：（+）

=

解法三：如圖，作AD⊥BC,交BC于D,在BC上取點(diǎn)E，使∠BAE=∠B=15°,那么，連接AE，得：∠AEC=30°，AE=BE.設(shè)AD=DC=1，則AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AECos30°=

∴

即c=+

∴a：b：c=(3+)：：(+)

=

解法四：如圖，BD=x，則2x2=a2，

∴x=

=（參照解法一圖）

解法五：

以BC為直徑作⊙o，延長(zhǎng)CA交⊙o于在，連BD，設(shè)a=2r，則BD=r,AD=

=

解法六：建立如圖坐標(biāo)系，則可求：

解法七：建立如圖坐標(biāo)系，由B點(diǎn)引X軸的垂線，垂足為D，則

解法八：建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)C(－1，0)，B(1，0)，延長(zhǎng)CA交Y軸于點(diǎn)D，連結(jié)BD，則D點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，那么|BD|=|CD|=

本例還可用面積法證明，如S△CBD=aBD，Sin45°=BD2∴BD=……