一元二次方程高中教案

九年級數(shù)學重要復習資料：實際問題與一元二次方程。

九年級數(shù)學重要復習資料：實際問題與一元二次方程

一、選一選(請將唯一正確答案的代號填入題后的括號內(nèi))

1.用22cm的鐵絲，折成一個面積為30cm2的矩形，則這個矩形的兩邊長為().

(A)5cm和6cm(B)6cm和7cm(C)4cm和7cm(D)4cm和5cm

2.一個多邊形的對角線有9條，則這個多邊形的邊數(shù)是().

(A)6(B)7(C)8(D)9

3.某超市一月份的營業(yè)額為100萬元，一、二、三月份的營業(yè)額共500萬元，若平均每月的增長率為x，則依題意列方程為().

(A)(B)

(C)(D)

4.某商品按標價的八折出售，可獲利20%;若按標價的七折出售，則().

(A)可獲利10%(B)可獲利5%(C)虧損10%(D)虧損5%

5.元旦期間,一個小組有若干人,新年互送賀卡一張,已知全組共送賀卡132張,則這個小組共有()人

(A)11(B)12(C)13(D)14

6.從一塊長30cm，寬12cm的長方形薄鐵片的四個角上，截去四個相同的小正方形，余下部分的面積為296cm2，則截去小正方形的邊長為().

(A)1cm(B)2cm(C)3cm(D)4cm

7.某公司向銀行貸款20萬元，約定兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的12%，

該公司用這筆貸款經(jīng)營，兩年到期時除還清貸款的本金、利息外，還盈利6.4萬元，若經(jīng)營期間的資金增長率的百分數(shù)相同，則這個百分數(shù)是().

(A)22%(B)10%(C)20%(D)15%

8.2005年《武漢市政府工作報告》預計今年我市農(nóng)民人均純收入將比上年增長6%;又

據(jù)武漢統(tǒng)計信息網(wǎng)資料表明2004年我市農(nóng)民人均純收入為3955元，比上年增長13.1%.則下列說法：①2003年我市農(nóng)民人均純收入為元;②預計2005年我市農(nóng)民人均純收入將達到3955×(1+6%)元;③預計2005年我市農(nóng)民人均純收入比2003年增長19.1%.其中正確的是().【W(wǎng)WW.YjS21.Com 幼兒教師教育網(wǎng)】

(A)①②③(B)①②(C)①③(D)②③

二、填一填

9.兩個數(shù)的和為15，積為56，則這兩個數(shù)是.

10.直角三角形的周長為，斜邊上的中線長為1，則它的面積為.

11.某市政府為了申辦2010年冬奧會，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃兩年時間綠地面積增加44%，這兩年平均綠地面積的增長率為.

12.小明的父親到銀行存入20000元人民幣，存期1年，年利率為1.98%，到期后應繳納所得利息的20%的利息稅，則小明父親的存款到期交利息稅后共得款.

三、做一做

13.一輛汽車從靜止開始啟動到達到最大速度20m/s時，汽車前行了25米.

(1)汽車從靜止開始啟動到達到最大速度時用了多少時間?

(2)汽車從靜止開始啟動到達到最大速度時平均每秒車速增加多少?

(3)汽車前行了15米時用了多少時間?

14.有一種電子工件上有一些焊接點，要在每兩個焊接點間連上漆包線，一共用了45條漆包線，問共有多少個焊接點?

15.某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)只熊貓的成本為R(元)，售價每只為P(元)，且R、P與的關(guān)系式分別為，.

⑴當日產(chǎn)量為多少時，每日獲得的利潤為1750元?

⑵若可獲得的最大利潤為1950元，問日產(chǎn)量應為多少?

參考答案：

一、1.A2.A3.D4.B5.B6.D7.C8.B

二、9.7和8;10.111.20%12.20316.8元

三、13.(1)2.5秒;(2)8(m/s);(3)s.14.10個

15.(1)解:依據(jù)題意有:解之得

即日產(chǎn)量為25只時,每月獲得的利潤為1750元.

(2)同理有解之得,即日產(chǎn)量為35只時,每月獲得的利潤為1950元.

延伸閱讀

用一元二次方程解決實際問題

一般給學生們上課之前，老師就早早地準備好了教案課件，大家靜下心來寫教案課件了。必須要寫好了教案課件計劃，未來的工作就會做得更好！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“用一元二次方程解決實際問題”，相信能對大家有所幫助。

28.3用一元二次方程解決實際問題

教學目的知識技能使學生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)面積、體積方面和經(jīng)濟方面的問題.

數(shù)學思考提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力以及用數(shù)學的意識，滲透轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想及數(shù)形結(jié)合的思想.

解決問題通過列一元二次方程的方法解決日常生活及生產(chǎn)實際中遇到的有關(guān)面積、體積方面和經(jīng)濟方面的問題.

情感態(tài)度通過探究性學習,抓住問題的關(guān)鍵，揭示它的規(guī)律性，展示解題的簡潔性的數(shù)學美.

教學難點審題，從文字語言中挖掘有價值的信息.

知識重點會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面和經(jīng)濟方面的問題.

教學過程設計意圖

教

學

過

程

問題一：列方程解應用題的一般步驟？

師生共同回憶

列方程解應用題的步驟：

（1）審題；（2）設未知數(shù)；

（3）列方程；（4）求解；

（5）檢驗；（6）答.

問題二：矩形的周長和面積？長方體的體積？

問題三：如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊長、寬比為1：2的矩形空地，計劃在該空地上修筑兩條寬均為2m的互相垂直的小路，余下的四塊小矩形空地鋪成草坪，如果四塊草坪的面積之和為312m2，請求出原來大矩形空地的長和寬.

教師活動：引導學生讀題，找到題目中的關(guān)鍵語句.

學生活動：在關(guān)鍵語句中找到反映相等關(guān)系的語句，探究解決辦法.

教師活動：用多媒體演示分析，解題方法.

做一做

如圖，有一塊長80cm，寬60cm的硬紙片，在四個角各剪去一個同樣的小正方形，用剩余部分做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子.求剪去的小正方形的邊長.

課堂練習：將一個長方形的長縮短5cm，寬增長3cm，正好得到一個正方形.已知原長方形的面積是正方形面積的，求這個正方形的邊長.

問題四：某商場銷售一種服裝，平均每天可售出20件，每件贏利40元.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價1元，平均每天能多售出2件.在國慶節(jié)期間，商場決定采取降價促銷的措施，以達到減少庫存、擴大銷售量的目的.如果銷售這種服裝每天贏利1200元，那么每件服裝應降價多少元？

學生活動：在眾多的文字中，找到關(guān)鍵語句，分析相等關(guān)系.

教師活動：用多媒體幫助學生分析試題.提示學生檢驗解的合理性.

課堂練習：1.經(jīng)銷商以每雙21元的價格從廠家購進一批運動鞋，如果每雙鞋售價為a元，那么可以賣出這種運動鞋（350-10a）雙.物價局限定每雙鞋的售價不得超過進價的120％.如果商店要賺400元，每雙鞋的售價應定為多少元？需要賣出多少雙鞋？

2.某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價．據(jù)市場調(diào)查，該商品的售價與銷售量的關(guān)系是：若每件售價a元，則可賣出(320-10a)件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價25％的．如果商店計劃要獲利400元，則每件商品的售價應定為多少元？需要賣出這種商品多少件？（每件商品的利潤＝售價進貨價）

復習列方程解應用題的一般步驟.

本題為后面解決有關(guān)面積、體積方面問題做鋪墊.

提高學生的審題能力.使學生會解決有關(guān)面積的問題.

解決體積問題的問題

培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法.

強調(diào)對方程的解進行雙重檢驗.

小結(jié)與作業(yè)

課堂

小結(jié)利用一元二次方程解決實際問題時，要注意通過實際要求檢驗根的合理性，要注意審題能力的培養(yǎng).

本課

作業(yè)課本第43頁習題2

課后隨筆（課堂設計理念，實際教學效果及改進設想）

九年級上冊《實際問題與一元二次方程》教案新人教版

九年級上冊《實際問題與一元二次方程》教案新人教版

一、出示學習目標：
1.繼續(xù)感受用一元二次方程解決實際問題的過程；
2.通過自學探究掌握裁邊分割問題。
二、自學指導：（閱讀課本P47頁，思考下列問題）
1.閱讀探究3并進行填空；
2.完成P48的思考并掌握裁邊分割問題的特點；
3.在理解的基礎上完成P48-49第8、9題（不精確，只留根號即可）。
探究3：要設計一本書的封面，封面長27cm,寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？
分析：封面的長寬之比為27﹕21=9﹕7，中央矩形的長寬之比也應是9﹕7，則上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是。9﹕7
設上、下邊襯的寬均為9xcm,左、右邊襯的寬均為7xcm,則：
由中下層學生口答書中填空，老師再給予補充。
思考:如果換一種設法，是否可以更簡單?
設正中央的長方形長為9acm，寬為7acm，依題意得
9a·7a=（可讓上層學生在自學時，先上來板演）
2.P48-49第8、9題中下層學生在自學完之后先板演
效果檢測時，由同座的同學給予點評與糾正
9.如圖，要設計一幅寬20m，長30m的圖案，兩橫兩豎寬度之比為3∶2，若使彩條面積是圖案面積的四分之一，應怎樣設計彩條的寬帶？（討論用多種方法列方程比較）
注意點：要善于利用圖形的平移把問題簡單化！
四、當堂訓練：
1.如圖,在一幅長90cm,寬40cm的風景畫四周鑲上一條寬度相同的金色紙邊,制成一幅掛畫.如果要求風景畫的面積是整個掛畫面積的72%,那么金邊的寬應是多少?
(只要求設元、列方程)
2.要設計一個等腰梯形的花壇，上底長100m，下底長180m。上下底相距80m，在兩腰中點連線出有一橫向甬道，上下兩底之見有兩條縱向的甬道，各甬道寬度相等，甬道的面積是梯形面積的六分之一,甬道的寬應是多少

（二）探索新知
列方程解應用題：
一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共多少人？
分析：設這個小組有x人，那么每個人要送給除了他自己以外的人，共送張賀卡，由此可列方程：
二、學習過程
列方程解應用題：
有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染后有人患了流感，第二輪傳染后有人患了流感.
于是可列方程：
思考：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？
三、達標鞏固
1．生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182
件，如果全組有x名同學，那么根據(jù)題意列出的方程是（）
A．x（x+1）=182B．x（x-1）=182
C．2x（x+1）=182D．x（1-x）=182×2
2．參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行了兩次比賽（雙循環(huán)比賽），共要比賽90場，共有多少個隊參加了比賽？
五、課時訓練
1．一個多邊形有70條對角線，則這個多邊形有________條邊．
2．九年級（3）班文學小組在舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學都把自己的圖書向
本組其他成員贈送一本，全組共互贈了240本圖書，如果設全組共有x名同學，依題意，可
列出的方程是（）
A．x（x+1）=240B．x（x-1）=240
C．2x（x+1）=240D．x（x+1）=240
3．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳
染的人數(shù)
三、達標鞏固1.如圖所示，李萍要在一幅長90cm、寬40cm的風景畫的四周外圍，鑲上一條寬度相同的金
色紙邊，制成一幅掛圖，使風景畫的面積占整個掛圖面積的54%，設金色紙邊的寬為xcm，
根據(jù)題意可列方程（）
A．（90+x）（40+x）×54%=90×40
B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40
C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40
D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40
2．張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15立方米的無蓋長方體運輸箱，且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米，現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔買這張矩形鐵皮共花了多少錢？
五、課時訓練
基礎過關(guān)
1．三角形一邊的長是該邊上高的2倍，且面積是32，則該邊的長是（）
A．8B．4C．4D．82．將一塊正方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，
盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的邊長．
3．如圖所示，要用防護網(wǎng)圍成長方形花壇，其中一面利用現(xiàn)有的一段墻，且在與墻平行的
一邊開一個2米寬的門，現(xiàn)有防護網(wǎng)的長度為91米，花壇的面積需要1080平方米，若墻長
50米，求花壇的長和寬．（1）一變：若墻長46米，求花壇的長和寬．
（2）二變：若墻長40米，求花壇的長和寬．
（3）通過對上面三題的討論，你覺得墻長對題目有何影響？
4．一條長64cm的鐵絲被剪成兩段，每段均折成正方形，若兩個正方形的面積和等于160cm2，求兩個正方形的邊長

八年級數(shù)學重要復習資料：二次函數(shù)與一元二次方程

八年級數(shù)學重要復習資料：二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同。
當h0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h0,k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0,k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0,k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0,k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x-x|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△0.圖象與x軸沒有交點.當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y0;當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0).

二次函數(shù)
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點A(x，0)和B(x，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a0時，拋物線向上開口;當a0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
當h0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h0,k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0,k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0,k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0,k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x-x|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△0.圖象與x軸沒有交點.當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y0;當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn).