垂直與平行教案
發(fā)表時(shí)間：2021-04-08線段的垂直平分線。
線段的垂直平分線（第二課時(shí)）
教學(xué)目標(biāo)：
1、經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力。
2、能夠證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論。
3、能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線；已知底邊及底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形。
教學(xué)過程：
引入：
剪一個(gè)三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？當(dāng)利用尺規(guī)作出三角形三條邊的垂直平分線時(shí)，你是否也發(fā)現(xiàn)了同樣的結(jié)論？
定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
證明：在△ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，
∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
∴PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等）
同理：PB=PC
∴PA=PC
∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上
（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）。
∴AB，BC，AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P。
議一議：1、已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？所作的三角形都全等嗎？（這樣的三角形能作出無數(shù)多個(gè)，它們不都全等）
2、已知等腰三角形底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個(gè)？（滿足條件的等腰三角形可和出兩個(gè)，分加位于已知邊的兩側(cè)，它們?nèi)龋?/p>
做一做：
已知底邊上的高，求作等腰三角形。
已知：線段a、b
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
]
作法：
（1）作線段BC=a（如圖）；（2）作線段BC的垂直平分線L，交BC于點(diǎn)D，
（3）在L上作線段DA，使DA=h（4）連接AB，AC作業(yè)：6.教學(xué)后記：
相關(guān)閱讀
線段的垂直平分線教案
線段的垂直平分線
教學(xué)內(nèi)容:
線段的垂直平分線
教學(xué)目的:
1、使學(xué)生理解線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理,掌握這兩個(gè)定理的關(guān)系并會(huì)用這兩個(gè)定理解決有關(guān)幾何問題。
2、了解線段垂直平分線的軌跡問題。
3、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)作思維、形象思維和抽象思維能力。
教學(xué)重點(diǎn):
線段的垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理的引入證明及運(yùn)用。
教學(xué)難點(diǎn):
線段的垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理的關(guān)系。
教學(xué)關(guān)鍵:
1、垂直平分線上所有的點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)的距離相等。
2、到線段兩端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)都在這條線段的垂直平分線上。
教具:投影儀及投影膠片。
教學(xué)過程:
一、提問
1、角平分線的性質(zhì)定理及逆定理是什么?
2、怎樣做一條線段的垂直平分線?
二、新課
1、請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n堂練習(xí)本上做線段AB的垂直平分線EF(請(qǐng)一名同學(xué)在黑板上做)。
2、在EF上任取一點(diǎn)P,連結(jié)PA、PB量出PA=?,PB=?引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)值有什么關(guān)系?
通過學(xué)生的觀察、分析得出結(jié)果PA=PB,再取一點(diǎn)P試一試仍然有PA=PB,引導(dǎo)學(xué)生猜想EF上的所有點(diǎn)和點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離都相等,再請(qǐng)同學(xué)把這一結(jié)論敘述成命題(用幻燈展示)。
定理:線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
這個(gè)命題,是我們通過作圖、觀察、猜想得到的,還得在理論上加以證明是真命題才能做為定理。
已知:如圖,直線EF⊥AB,垂足為C,且AC=CB,點(diǎn)P在EF上
求證:PA=PB
如何證明PA=PB學(xué)生分析得出只要證RTΔPCA≌RTΔPCB
證明:∵PC⊥AB(已知)
∴∠PCA=∠PCB(垂直的定義)
在ΔPCA和ΔPCB中
∴ΔPCA≌ΔPCB(SAS)
即:PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。
反過來,如果PA=PB,P1A=P1B,點(diǎn)P,P1在什么線上?
過P,P1做直線EF交AB于C,可證明ΔPAP1≌PBP1(SSS)
∴EF是等腰三角型ΔPAB的頂角平分線
∴EF是AB的垂直平分線(等腰三角形三線合一性質(zhì))
∴P,P1在AB的垂直平分線上,于是得出上述定理的逆定理(啟發(fā)學(xué)生敘述)(用幻燈展示)。
逆定理:和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。
根據(jù)上述定理和逆定理可以知道:直線MN可以看作和兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合。
線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。
三、舉例(用幻燈展示)
例:已知,如圖ΔABC中,邊AB,BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,求證:PA=PB=PC。
證明:∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
∴PA=PB
同理PB=PC
∴PA=PB=PC
由例題PA=PC知點(diǎn)P在AC的垂直平分線上,所以三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)P,這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
四、小結(jié)
正確的運(yùn)用這兩個(gè)定理的關(guān)鍵是區(qū)別它們的條件與結(jié)論,加強(qiáng)證明前的分析,找出證明的途徑。定理的作用是可證明兩條線段相等或點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
五、練習(xí)與作業(yè)
練習(xí):第87頁1、2
作業(yè):第95頁2、3、4
《教案設(shè)計(jì)說明》
線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理,都是幾何中的重要定理,也是一條重要軌跡。在幾何證明、計(jì)算、作圖中都有重要應(yīng)用。我講授這節(jié)課是線段垂直平分線的第一節(jié)課,主要完成定理的引出、證明和初步的運(yùn)用。
在設(shè)計(jì)教案時(shí),我結(jié)合教材內(nèi)容,對(duì)如何導(dǎo)入新課,引出定理以及證明進(jìn)行了探索。在導(dǎo)入新課這一環(huán)節(jié)上我先讓學(xué)生做一條線段AB的垂直平分線EF,在EF上取一點(diǎn)P,讓學(xué)生量出PA、PB的長度,引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論每個(gè)人量得的這兩個(gè)長度之間有什么關(guān)系:得到什么結(jié)論?學(xué)生回答:PA=PB。然后再讓學(xué)生取一點(diǎn)試一試,這兩個(gè)長度也相等,由此引導(dǎo)學(xué)生猜想到線段垂直平分線的性質(zhì)定理。在這一過程中讓學(xué)生主動(dòng)積極的參與到教學(xué)中來,使學(xué)生通過作圖、觀察、量一量再得出結(jié)論。從而把知識(shí)的形成過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生親自參與、發(fā)現(xiàn)、探索的過程。在教學(xué)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)定理的題設(shè)與結(jié)論,畫圖寫出已知、求證,通過分析由學(xué)生得出證明性質(zhì)定理的方法,這個(gè)過程既是探索過程也是調(diào)動(dòng)學(xué)生動(dòng)腦思考的過程,只有學(xué)生動(dòng)腦思考了,才能真正理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理,以及證明方法。在此基礎(chǔ)上再提出如果有兩點(diǎn)到線段的兩端點(diǎn)的距離相等,這樣的點(diǎn)應(yīng)在什么樣的直線上?由條件得出這樣的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,從而引出性質(zhì)定理的逆定理,由上述兩個(gè)定理使學(xué)生再進(jìn)一步知道線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離的所有點(diǎn)的集合。這樣可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)理論來源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐的道理,也能提高他們學(xué)習(xí)的積極性,加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。在講解例題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的線段垂直平分線的性質(zhì)定理以及逆定理來證,避免用三角形全等來證。最后總結(jié)點(diǎn)P是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。為了使學(xué)生當(dāng)堂掌握兩個(gè)定理的靈活運(yùn)用,讓學(xué)生做87頁的兩個(gè)練習(xí),以達(dá)到鞏固知識(shí)的目的。
《線段的垂直平分線》聽課反思
教案課件是老師不可缺少的課件，大家應(yīng)該在準(zhǔn)備教案課件了。只有規(guī)劃好教案課件工作計(jì)劃，才能使接下來的工作更加有序！你們會(huì)寫多少教案課件范文呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“《線段的垂直平分線》聽課反思”，供您參考，希望能夠幫助到大家。
這學(xué)期，年級(jí)實(shí)行了三全同課異構(gòu)，每周一個(gè)學(xué)科所有老師備同一節(jié)課，其他學(xué)科沒課的老師也要去聽。剛聽到這個(gè)消息，高興的同時(shí)，心里又有點(diǎn)小抱怨，高興的是，同課異構(gòu)對(duì)教師的專業(yè)成長有很大的幫助，我可以多向其他老師學(xué)習(xí)了，抱怨的是，感覺工作量有點(diǎn)大，我一個(gè)數(shù)學(xué)老師沒必要去聽文科的課。第一周，便是數(shù)學(xué)老師的課，聽了其他老師的課，尤其是賽賽老師的《線段的垂直平分線》，收獲頗多，也改變了我對(duì)同課異構(gòu)的看法。
賽賽老師的課很扎實(shí)，簡明扼要，條理清晰，重點(diǎn)突出。
開門見山，類比以前探究幾何圖形（如：等腰、等邊、直角三角形）的三方面，直接引入本節(jié)課也要研究線段的垂直平分線的定義、性質(zhì)、判定，這樣，學(xué)生對(duì)這節(jié)課的整體框架就有了了解。
這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：
1.能準(zhǔn)確說出線段垂直平分線的定義、性質(zhì)和判定條件；
2.通過小組交流合作，會(huì)用多種方法證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理；
3.能利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理進(jìn)行計(jì)算或證明.
賽賽老師設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，真的寫的比我的好，這是針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，站在學(xué)生的角度，看了之后，就會(huì)明白，這節(jié)課我要通過哪些活動(dòng)，來掌握哪些知識(shí)，我掌握了沒？整節(jié)課的設(shè)計(jì)也是依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，每個(gè)活動(dòng)后面都有針對(duì)某個(gè)目標(biāo)的診斷練習(xí)。再想想我的學(xué)習(xí)目標(biāo)，太籠統(tǒng)，不夠具體，以后真的多學(xué)習(xí)。
這節(jié)課老師講的不多，因?yàn)樽寣W(xué)生預(yù)習(xí)了，并寫下了自己的證明方法，上課的時(shí)候，便是學(xué)生交流，小老師上臺(tái)展示講解，不僅展示了學(xué)生的不同角度的證明方法，同時(shí)也暴露了學(xué)生書寫和證明中存在的問題。感覺這樣的課堂，才是素質(zhì)教育應(yīng)該有的課堂，把課堂還給了學(xué)生，學(xué)生自己來學(xué)習(xí)掌握知識(shí)，有漏洞的時(shí)候，老師再來補(bǔ)充，重要的是，老師還能發(fā)現(xiàn)學(xué)生身上的閃光點(diǎn)和不足之處，也就是了解了學(xué)情，這樣上課的時(shí)候就能更好的因材施教。
還有就是在學(xué)生回答完問題的時(shí)候，賽賽老師會(huì)追問，這個(gè)問題考察了哪個(gè)或哪些知識(shí)點(diǎn)。我感覺這一點(diǎn)做的真的特別好，有時(shí)候?qū)W生回答對(duì)了，可能他并不知道為什么，教師要有刨根問底的精神，學(xué)生才能學(xué)的扎實(shí)。
另外，本節(jié)課還有很多其他的亮點(diǎn)。比如，賽賽老師的板書大氣、清晰、重點(diǎn)突出；整節(jié)課老師都面帶微笑，語言也是抑揚(yáng)頓挫，一點(diǎn)都不啰嗦；課間和課尾穿插小視頻來點(diǎn)播總結(jié)，錦上添花。
一節(jié)課聽先來，感覺自己收獲了很多，需要努力的地方也很多。對(duì)于三全同課異構(gòu)也沒了怨言，本學(xué)科的課肯定得聽，并且得多聽。我是一個(gè)典型的理科生，平時(shí)寫個(gè)東西全是大白話，文科老師的課多聽聽，或欣賞，或?qū)W習(xí)，說不定也能文雅起來呢？
線段的垂直平分線教學(xué)設(shè)計(jì)
15.2線段的垂直平分線
教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與技能】
1.經(jīng)歷探究、猜想、驗(yàn)證的過程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理論證能力.
2.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.
3.已知底邊及底邊上的高,能應(yīng)用尺規(guī)作出線段的垂直平分線.
【過程與方法】
在探究過程中,增強(qiáng)協(xié)作交流,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力.
【情感、態(tài)度及價(jià)值觀】
1.積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.
2.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn),鍛煉克服困難的意志,建立自信心.
重點(diǎn)難點(diǎn)
【重點(diǎn)】
寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題.
【難點(diǎn)】
線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的應(yīng)用上的區(qū)別和各自的應(yīng)用.
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新知
師:上節(jié)課我們共同探討了軸對(duì)稱圖形,知道現(xiàn)實(shí)生活中由于有軸對(duì)稱圖形,而使得世界非常美麗.那么大家想一想,什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形呢?
生:如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸.
師:什么是線段的垂直平分線呢?
學(xué)生思考搶答.
生:經(jīng)過線段的中點(diǎn),并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線,又叫做線段的中垂線.
師:很好!這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的有關(guān)內(nèi)容(板書課題).
二、共同探究,獲取新知
教師引導(dǎo)學(xué)生作圖:作已知線段AB的垂直平分線.
學(xué)生討論作法.
教師總結(jié)作法.
1.分別以點(diǎn)A和B為圓心,以大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)C和D.
2.作直線CD.
直線CD就是線段AB的垂直平分線.
學(xué)生作圖.
師:你能說明為什么這樣作出的直線CD就是線段AB的垂直平分線嗎?
學(xué)生交流討論.
師:因?yàn)橹本€CD與線段AB的交點(diǎn)就是AB的中點(diǎn),所以我們也可以用這種方法作線段的中點(diǎn).線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等.怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢?
學(xué)生交流討論,教師參與.
師:這個(gè)命題的條件是什么?
生:一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn).
師:結(jié)論呢?
生:這個(gè)點(diǎn)與線段兩端距離相等.
師:請(qǐng)同學(xué)們寫出已知、求證,并證明.
教師找一名學(xué)生板演,其余同學(xué)在下面做,然后集體訂正.
已知:如圖,直線MN經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)O,且MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn).
求證:PA=PB.
證明:∵M(jìn)N⊥AB.(已知)
∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定義)
在△AOP與△BOP中,
∵
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA=PB.(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
三、合作交流,深化理解
師:你能寫出上面定理的逆命題嗎?
生:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.
師:它是真命題嗎?
學(xué)生思考.
生:是.
師:你能證明這個(gè)定理嗎?
學(xué)生思考證明,教師找學(xué)生板演,集體糾正.
四、乘勝追擊,學(xué)以致用
教師出示課本第123頁例題.
【例】已知:如圖所示,△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.
求證:點(diǎn)P在BC的垂直平分線上.
學(xué)生討論證明方法,并板演,然后集體證正.
證明:連接PA、PB、PC.
∵點(diǎn)P在AB、AC的垂直平分線上.
∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上.
師:由此你能得出什么結(jié)論?
生:三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
師:很好!這個(gè)結(jié)論很有用,請(qǐng)大家記一下.
學(xué)生熟記.
五、遷移鞏固,解決問題
1.教材該節(jié)練習(xí)的第1題,學(xué)生口述作法,獨(dú)立完成.
作AB的垂直平分線,這條線與直線l的交點(diǎn)即為要確定的?？空綜的位置.
2.教材該節(jié)練習(xí)的第2題,學(xué)生小組合作,集體糾正.
C、D兩點(diǎn)的位置可分為兩點(diǎn)在線段AB同側(cè)、一點(diǎn)在AB外一點(diǎn)在AB上、兩點(diǎn)在AB異側(cè)三種情況.下面就第一種情況進(jìn)行證明,其余兩種情況下的證明與此類似.
(1)證明:∵C、D是線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn),
∴CA=CB,DA=DB.(線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等)
∴△ABC、△ABD是等腰三角形.
(2)∵CA=CB,DA=DB,(已證)
CD=CD,(公共邊)
∴△CAD≌△CBD.(SSS)
∴∠CAD=∠CBD.(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).
六、課堂小結(jié)
師:今天你學(xué)習(xí)了什么知識(shí)?你有哪些收獲?
生:線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.
師:你能敘述它們的內(nèi)容嗎?
生甲:線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等.
生乙:與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
師:你還有哪些疑問?
學(xué)生提問,教師解答.
教學(xué)反思
本節(jié)課先復(fù)習(xí)線段垂直平分線的概念,然后用尺規(guī)作圖畫出垂直平分線,并讓學(xué)生思考為什么用這種方法畫出的就是垂直平分線,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.由垂直平分線的作圖過程可得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理,隨后我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生對(duì)這個(gè)定理進(jìn)行了嚴(yán)格的證明,讓學(xué)生自己思考怎么寫已知、求證.然后讓學(xué)生說出這個(gè)命題的逆命題,并證明它是真命題,并把這個(gè)命題作為定理熟記,鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力,培養(yǎng)了學(xué)生求真務(wù)實(shí)的精神.
