小學(xué)三年級數(shù)學(xué)教案

九年級數(shù)學(xué)動態(tài)幾何與函數(shù)問題。

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在認真寫教案課件了。是時候?qū)ψ约航贪刚n件工作做個新的規(guī)劃了，未來的工作就會做得更好！究竟有沒有好的適合教案課件的范文？小編收集并整理了“九年級數(shù)學(xué)動態(tài)幾何與函數(shù)問題”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

中考數(shù)學(xué)重難點專題講座

第八講動態(tài)幾何與函數(shù)問題

【前言】在第三講中我們已經(jīng)研究了動態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個側(cè)重，第一個是側(cè)重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合代數(shù)知識來考察。而另一個則是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點放在了對函數(shù)，方程的應(yīng)用上。其中通過圖中已給幾何圖形構(gòu)建函數(shù)是重點考察對象。不過從近年北京中考的趨勢上看，要求所構(gòu)建的函數(shù)為很復(fù)雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個較為簡單的函數(shù)式，體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)的考試說明當(dāng)中“減少復(fù)雜性”“增大靈活性”的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復(fù)雜計算題僅供參考?！纠?】如圖①所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與軸負半軸上.過點B、C作直線.將直線平移，平移后的直線與軸交于點D，與軸交于點E.（1）將直線向右平移，設(shè)平移距離CD為（t≥0），直角梯形OABC被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點橫坐標(biāo)為4，求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.（2）當(dāng)時，求S關(guān)于的函數(shù)解析式.

【思路分析】本題雖然不難，但是非?？简灴忌鷮τ诤瘮?shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學(xué)感覺，反應(yīng)不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實M點就表示當(dāng)平移距離為2的時候整個陰影部分面積為8，相對的，N點表示移動距離超過4之后陰影部分面積就不動了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當(dāng)D移動過了0點的時候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數(shù)式則需要看出當(dāng)時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去△ODE的面積，于是根據(jù)這個構(gòu)造函數(shù)式即可。動態(tài)幾何連帶函數(shù)的問題往往需要找出圖形的移動與函數(shù)的變化之間的對應(yīng)關(guān)系，然后利用對應(yīng)關(guān)系去分段求解?！窘狻浚?）由圖（2）知，點的坐標(biāo)是（2，8）∴由此判斷：；∵點的橫坐標(biāo)是4，是平行于軸的射線，∴∴直角梯形的面積為：.....(3分)（2）當(dāng)時，陰影部分的面積=直角梯形的面積的面積(基本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關(guān)系)∴∵∴.∴.【例2】已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點．（1）求證：與的面積相等；

延伸閱讀

九年級數(shù)學(xué)動態(tài)幾何

中考數(shù)學(xué)重難點專題講座

第三講動態(tài)幾何問題

【前言】從歷年中考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動點，動直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼高分。在這一講，我們著重研究一下動態(tài)幾何問題的解法，

第一部分真題精講

【例1】（2010，密云，一模）如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設(shè)運動的時間為（秒）．

（1）當(dāng)時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形．【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學(xué)看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當(dāng)、運動到秒時，如圖①，過作交于點，則四邊形是平行四邊形．

∵，．∴．（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題）∴．（這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）∴．解得．【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】

九年級數(shù)學(xué)競賽動態(tài)幾何問題透視輔導(dǎo)教案

老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，是認真規(guī)劃好自己教案課件的時候了。對教案課件的工作進行一個詳細的計劃，接下來的工作才會更順利！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“九年級數(shù)學(xué)競賽動態(tài)幾何問題透視輔導(dǎo)教案”，希望能對您有所幫助，請收藏。

【例題求解】
【例1】如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時針方向在上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到A″B″C″的位置，設(shè)BC=1，AC=，則頂點A運動到點A″的位置時，點A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是．
(黃岡市中考題)
思路點撥解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動的圖形準(zhǔn)確分割．RtΔABC的兩次轉(zhuǎn)動，頂點A所經(jīng)過的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120°和90°，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個扇形面積之和．
【例2】如圖，在⊙O中，P是直徑AB上一動點，在AB同側(cè)作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，連結(jié)A′B′，當(dāng)點P從點A移到點B時，A′B′的中點的位置()
A．在平分AB的某直線上移動B．在垂直AB的某直線上移動
C．在AmB上移動D．保持固定不移動
(荊州市中考題)
思路點撥畫圖、操作、實驗，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

【例3】如圖，菱形OABC的長為4厘米，∠AOC＝60°，動點P從O出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路線運動，點P出發(fā)2秒后，動點Q從O出發(fā)，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路線運動，過P、Q兩點分別作對角線AC的平行線．設(shè)P點運動的時間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米，請你回答下列問題：
(1)當(dāng)=3時，的值是多少?
(2)就下列各種情形：
①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
(3)在給出的直角坐標(biāo)系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系．
(吉林省中考題)
思路點撥本例是一個動態(tài)幾何問題，又是一個“分段函數(shù)”問題，需運用動態(tài)的觀點，將各段分別討論、畫圖、計算．

注：動與靜是對立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運動變化的哪一類問題，都真實地反映了現(xiàn)實世界中數(shù)與形的變與不變兩個方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略．
建立運動函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值．
【例4】如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點E、F，分別從點B、點A同時出發(fā)，點E沿線段BA以1m／秒的速度向點A運動，點F沿折線A—D—C以2cm／秒的速度向點C運動，設(shè)點E離開點B的時間為2(秒)．
(1)當(dāng)為何值時，線段EF與BC平行?
(2)設(shè)12，當(dāng)為何值時，EF與半圓相切?
(3)當(dāng)1≤2時，設(shè)EF與AC相交于點P，問點E、F運動時，點P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求AP：PC的值．
(江西省中考題)
思路點撥動中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策略，對于(1)、(2)，運用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方程；對于(3)，點P的位置是否發(fā)生變化，只需看是否為一定值．

注：動態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律，而把特定的運動狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想．

【例5】⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點；如圖(1)，連結(jié)O2O1并延長交⊙O1于P點，連結(jié)PA、PB并分別延長交⊙O2于C、D兩點，連結(jié)CO2并延長交⊙O2于E點．已知⊙O2的半徑為R，設(shè)∠CAD=．
(1)求：CD的長(用含R、的式子表示)；
(2)試判斷CD與PO1的位置關(guān)系，并說明理由；
(3)設(shè)點P′為⊙O1上(⊙O2外)的動點，連結(jié)P′A、P′B并分別延長交⊙O2于C′、D′，請你探究∠C′AD′是否等于?C′D′與P′Ol的位置關(guān)系如何?并說明理由．
(濟南市中考題)
思路點撥對于(1)、(2)，作出圓中常見輔助線；對于(3)，P點雖為OOl上的一個動點，但⊙O1、⊙O2一些量(如半徑、AB)都是定值或定弧，運用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，將ΔABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積是cm(π=3.14159…，最后結(jié)果保留三個有效數(shù)字)．(濟南市中考題)
2．如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，將ΔABC繞點B旋轉(zhuǎn)至ΔABC的位置，且使A、B、C三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的最短路線的長度是cm．
(黃岡市中考題)
3．一塊等邊三角形的木板，邊長為l，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點從開始至結(jié)束走過的路徑長度為()
A．B．C．4D．
(煙臺市中考題)
4．把ΔABC沿AB邊平移到ΔABC的位置，它們的重疊部分的面積是ΔABC的面積的一半，若AB=，則此三角形移動的距離AA是()
A．B．C．1D．
(荊門市中考題)
5．如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，⊙O的半徑為r厘米，當(dāng)圓心O從點A出發(fā)，沿著線路AB—BC—CA運動，回到點A時，⊙O隨著點O的運動而移動．
(1)若r=厘米，求⊙O首次與BC邊相切時AO的長；
(2)在O移動過程中，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，r的取值范圍及相應(yīng)的切點個數(shù)；
(3)設(shè)O在整個移動過程中，在ΔABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S，在S0時，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍．
(江西省中考題)

6．已知：如圖，⊙O韻直徑為10，弦AC=8，點B在圓周上運動(與A、C兩點不重合)，連結(jié)BC、BA，過點C作CD⊥AB于D．設(shè)CB的長為，CD的長為．
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時，求的值；
(2)在點B運動的過程中，以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時的取值范圍；
(3)在點B運動的過程中，如果過B作BE⊥AC于E，那么以BE為直徑的圓與⊙O能內(nèi)切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長．
(太原市中考題)
7．如圖，已知A為∠POQ的邊OQ上一點，以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且∠MAN=∠POQ=(為銳角)．當(dāng)∠MAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(∠MAN保持不變)時，M、N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平移移動．設(shè)OM=，ON=(≥0)，ΔAOM的面積為S，若cos、OA是方程的兩個根．
(1)當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°(即∠OAM=30°)時，求點N移動的距離；
(2)求證：AN2=ONMN；
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；
(4)試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍．
(河北省中考題)
8．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．
(1)求BC、AD的長度；
(2)若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm／s的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm／s的速度運動，當(dāng)P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(不包含點P在B、C兩點的情況)；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一時刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
(青島市中考)

9．已知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運動．
設(shè)AE=，四邊形EFGH的面積為S．
(1)當(dāng)n=l、2時，如圖②、③，觀察運動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使?
(2)當(dāng)n=3時，如圖④，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使；
(3)當(dāng)n=k(k≥1)時，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由．
(福建省三明市中考題)
10．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點E從O點出發(fā)，以1個單位／秒的速度沿軸正方向運動，點F從O點出發(fā)，以2個單位／秒的速度沿軸正方向運動，B(4，2)，以BE為直徑作⊙O1．
(1)若點E、F同時出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點G，試判斷點G與⊙O1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)在(1)的條件下，連結(jié)FB，幾秒時FB與⊙O1相切?
(3)如圖2，若E點提前2秒出發(fā)，點F再出發(fā)，當(dāng)點F出發(fā)后，E點在A點左側(cè)時，設(shè)BA⊥軸于A點，連結(jié)AF交⊙O1于點P，試問PAFA的值是否會發(fā)生變化?若不變，請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍．
(武漢市中考題)

參考答案

中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何問題

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，規(guī)劃教案課件的時刻悄悄來臨了。在寫好了教案課件計劃后，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們會寫多少教案課件范文呢？小編特地為您收集整理“中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何問題”，希望對您的工作和生活有所幫助。

中考數(shù)學(xué)專題3動態(tài)幾何問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設(shè)運動的時間為（秒）．

（1）當(dāng)時，求的值；

（2）試探究：為何值時，為等腰三角形．

【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學(xué)看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果。

【解析】

解：（1）由題意知，當(dāng)、運動到秒時，如圖①，過作交于點，則四邊形是平行四邊形．

∵，．

∴．（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題）

∴．（這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）

∴．解得．

【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解

【解析】

（2）分三種情況討論：

①當(dāng)時，如圖②作交于，則有即．（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)）

∵，

②當(dāng)時，如圖③，過作于H．

則，

③當(dāng)時，

則．

．

綜上所述，當(dāng)、或時，為等腰三角形．

【例2】在△ABC中，∠ACB=45．點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如圖①，且點D在線段BC上運動．試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）如果AB≠AC，如圖②，且點D在線段BC上運動．（1）中結(jié)論是否成立，為什么？

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設(shè)AC＝，，CD=，求線段CP的長．（用含的式子表示）

【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運動產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進行傳遞，就可以得解。

【解析】：

（1）結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：AB=AC，∠ACB=45，∴∠ABC=45．

由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90，

∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD．

【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。

（2）CF⊥BD．(1)中結(jié)論成立．

理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD

【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.

（3）過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，

①點D在線段BC上運動時，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，

易證△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

②點D在線段BC延長線上運動時，

∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．

過A作交CB延長線于點G，則．CF⊥BD，

△AQD∽△DCP，∴，∴，

【例3】已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形．

（1）求證：梯形是等腰梯形；

（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變．設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時，判斷的形狀，并說明理由．

【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定∠MPQ=60°，這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢?當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

（1）證明：∵是等邊三角形

∴

∵是中點

∴

（2）解：在等邊中，

∴(這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩)

∵∴

∴∴(設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)

【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求△PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點，于是問題輕松求解。

（3）解：為直角三角形

∵

∴當(dāng)取最小值時，

∴是的中點，而

以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.

【例4】已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于，連接，為中點，連接．

（1）直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點，連接，．

你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．

（3）將圖1中繞點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）

【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關(guān)系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將△BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。

（1）

（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即．

證明：連接，過點作于，與的延長線交于點．

在與中，

∵，

∴．

∴．

在與中，

∵，

∴．

∴

在矩形中，

在與中，

∵，

∴．

∴．

∴

【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果△BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在△BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。可以延長一倍EG到H，從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．

【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B′處．

（1）當(dāng)=1時，CF=______cm，

（2）當(dāng)=2時，求sin∠DAB′的值；

（3）當(dāng)=x時（點C與點E不重合），請寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）．

【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學(xué)們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延長之后一眼看出，EAZY）

（2）①如圖1，當(dāng)點E在BC上時，延長AB′交DC于點M，

∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．

∵=2，∴CF=3．

∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．

設(shè)MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．

在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k2=(9-k)2+62，解得k=MA=．∴DM=．（設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方法）

∴sin∠DAB′=；

②如圖2，當(dāng)點E在BC延長線上時，延長AD交B′E于點N，

同①可得NA=NE．

設(shè)NA=NE=m，則B′N=12-m．

在Rt△AB′N中，由勾股定理，得

m2=(12-m)2+62，解得m=AN=．∴B′N=．

∴sin∠DAB′=．

（3）①當(dāng)點E在BC上時，y=；

（所求△AB′E的面積即為△ABE的面積，再由相似表示出邊長）

②當(dāng)點E在BC延長線上時，y=．

【總結(jié)】通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當(dāng)中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：

第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。

第二、畫出圖形，進行分析，尤其在于找準(zhǔn)運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關(guān)系。如果沒有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。

第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點、分別在、上運動（點與點不重合、點與點不重合），是邊上的動點（點與、不重合），在運動過程中始終保持，且．

（1）求證：∽；

（2）如圖（2），當(dāng)點為邊的中點時，求證：；

（3）設(shè)，請?zhí)骄浚旱闹荛L是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有的代數(shù)式表示的周長；若無關(guān)，請說明理由．

【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了。

【思考2】△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，

且∠PBC平分線上的一點D滿足DB=DA，

（1）當(dāng)BP與BA重合時（如圖1），∠BPD=°；

（2）當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時（如圖2），求∠BPD的度數(shù)；

（3）當(dāng)BP在∠ABC的外部時，請你直接寫出∠BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形．

【思路分析】本題中，和動點P相關(guān)的動量有∠PBC，以及D點的位置，但是不動的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實上，P點的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點是什么呢？留給大家思考一下~

【思考3】如圖：已知，四邊形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．

點O為BC邊上的一個動點，連結(jié)OD，以O(shè)為圓心，BO為半徑的⊙O分別交邊AB于點P，交線段OD于點M，交射線BC于點N，連結(jié)MN．

（1）當(dāng)BO=AD時，求BP的長；

（2）點O運動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當(dāng)BO為多長時BP=MN；若不存在，請說明理由；

（3）在點O運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作⊙C，請直接寫出當(dāng)⊙C存在時，⊙O與⊙C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的⊙C半徑CN的取值范圍。

【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動點問題。在和圓有關(guān)的問題當(dāng)中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP，從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論。

【思考4】在中，過點C作CE⊥CD交AD于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)

（1）在圖1中畫圖探究：

①當(dāng)P為射線CD上任意一點（P1不與C重合）時，連結(jié)EP1繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.

（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的條件下，設(shè)CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.

【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來，難倒了不少同學(xué)。事實上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn)90°的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實際過程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建議大家仔細研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

（1）證明：∵，∴．∴．

又∵，∴．

∴．∴∽．

（2）證明：如圖，過點作，交于點，

∵是的中點，容易證明．

在中，∵，∴．

∴．

∴．

（3）解：的周長，．

設(shè)，則．

∵，∴．即．

∴．

由（1）知∽，

∴．

∴的周長的周長．

∴的周長與值無關(guān)．

【思考2答案】

解：（1）∠BPD=30°；

（2）如圖8，連結(jié)CD．

解一：∵點D在∠PBC的平分線上，

∴∠1=∠2．

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC=AC，∠ACB=60°．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵BD=BD，

∴△PBD≌△CBD．

∴∠BPD=∠3．-----------------3分

∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，

∴△BCD≌△ACD．

∴．

∴∠BPD=30°．

解二：∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC=AC．

∵DB=DA，

∴CD垂直平分AB．

∴．

∵BP=BA，

∴BP=BC．

∵點D在∠PBC的平分線上，

∴△PBD與△CBD關(guān)于BD所在直線對稱．

∴∠BPD=∠3．

∴∠BPD=30°．

（3）∠BPD=30°或150°．

圖形見圖9、圖10．

【思考3解析】

解：（1）過點A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．

∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，

∴AD=EC=BC－BE=3．

當(dāng)BO=AD=3時，在⊙O中，過點O作OH⊥AB,則BH=HP

∵,∴BH=．

∴BP=．

（2）不存在BP=MN的情況-

假設(shè)BP=MN成立，

∵BP和MN為⊙O的弦，則必有∠BOP=∠DOC.

過P作PQ⊥BC，過點O作OH⊥AB,

∵CD⊥BC，則有△PQO∽△DOC-

設(shè)BO=x，則PO=x,由，得BH=,

∴BP=2BH=.

∴BQ=BP×cosB=，PQ=．

∴OQ=．

∵△PQO∽△DOC，∴即，得．

當(dāng)時，BP==＞5=AB，與點P應(yīng)在邊AB上不符，

∴不存在BP=MN的情況.

（3）情況一：⊙O與⊙C相外切，此時，0＜CN＜6；------7分

情況二：⊙O與⊙C相內(nèi)切，此時，0＜CN≤.-------8分

【思考4解析】

解：（1）①直線與直線的位置關(guān)系為互相垂直．

證明：如圖1，設(shè)直線與直線的交點為．

∵線段分別繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線段，

②按題目要求所畫圖形見圖1，直線與直線的位置關(guān)系為互相垂直．

（2）∵四邊形是平行四邊形，

∴．

∴．

可得．

由（1）可得四邊形為正方形．

∴．

①如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，

∵，

∴．

∴．

②如圖3，當(dāng)點在線段上（不與兩點重合）時，

∵，

∴．

③當(dāng)點與點重合時，即時，不存在．

綜上所述，與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍是或．