高中不等式教案

不等式的解法舉例。

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不等式的解法

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，高中教師要準備好教案為之后的教學做準備。教案可以讓上課時的教學氛圍非常活躍，幫助高中教師營造一個良好的教學氛圍。關于好的高中教案要怎么樣去寫呢？下面是小編精心為您整理的“不等式的解法”，希望能對您有所幫助，請收藏。

6.5不等式的解法（二）

●知識梳理
1.|x|＞ax＞a或x＜－a（a＞0）；
|x|＜a－a＜x＜a（a＞0）.
2.形如|x－a|+|x－b|≥c的不等式的求解通常采用“零點分段討論法”.
3.含參不等式的求解，通常對參數(shù)分類討論.
4.絕對值不等式的性質(zhì)：
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
思考討論
1.在|x|＞ax＞a或x＜－a（a＞0）、|x|＜a－a＜x＜a（a＞0）中的a＞0改為a∈R還成立嗎?
2.絕對值不等式的性質(zhì)中等號成立的條件是什么?
●點擊雙基
1.設a、b是滿足ab＜0的實數(shù)，那么
A.|a+b|＞|a－b|
B.|a+b|＜|a－b|
C.|a－b|＜||a|－|b||
D.|a－b|＜|a|+|b|
解析：用賦值法.令a=1，b=－1，代入檢驗.
答案：B
2.不等式|2x2－1|≤1的解集為
A.{x|－1≤x≤1}B.{x|－2≤x≤2}
C.{x|0≤x≤2}D.{x|－2≤x≤0}
解析：由|2x2－1|≤1得－1≤2x2－1≤1.
∴0≤x2≤1，即－1≤x≤1.
答案：A
3.不等式|x+log3x|＜|x|+|log3x|的解集為
A.（0，1）B.（1，+∞）
C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）
解析：∵x＞0，x與log3x異號，
∴l(xiāng)og3x＜0.∴0＜x＜1.
答案：A
4.已知不等式a≤對x取一切負數(shù)恒成立，則a的取值范圍是____________.
解析：要使a≤對x取一切負數(shù)恒成立，
令t=|x|＞0，則a≤.
而≥=2，
∴a≤2.
答案：a≤2
5.已知不等式|2x－t|+t－1＜0的解集為（－，），則t=____________.
解析：|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，
2t－1＜2x＜1，t－＜x＜.
∴t=0.
答案：0
●典例剖析
【例1】解不等式|2x+1|+|x－2|＞4.
剖析：解帶絕對值的不等式，需先去絕對值，多個絕對值的不等式必須利用零點分段法去絕對值求解.令2x+1=0，x－2=0，得兩個零點x1=－，x2=2.
解：當x≤－時，原不等式可化為
－2x－1+2－x＞4，
∴x＜－1.
當－＜x≤2時，原不等式可化為
2x+1+2－x＞4，
∴x＞1.又－＜x≤2，
∴1＜x≤2.
當x＞2時，原不等式可化為
2x+1+x－2＞4，∴x＞.
又x＞2，∴x＞2.
綜上，得原不等式的解集為{x|x＜－1或1＜x}.
深化拓展
若此題再多一個含絕對值式子.如：
|2x+1|+|x－2|+|x－1|＞4，你又如何去解？
分析：令2x+1=0，x－2=0，x－1=0，
得x1=－，x2=1，x3=2.
解：當x≤－時，原不等式化為
－2x－1+2－x+1－x＞4，∴x＜－.
當－＜x≤1時，原不等式可化為
2x+1+2－x+1－x＞4，4＞4（矛盾）.
當1＜x≤2時，原不等式可化為
2x+1+2－x+x－1＞4，∴x＞1.
又1＜x≤2，
∴1＜x≤2.
當x＞2時，原不等式可化為
2x+1+x－2+x－1＞4，∴x＞.
又x＞2，∴x＞2.
綜上所述，原不等式的解集為{x|x＜－或x＞1}.
【例2】解不等式｜x2－9｜≤x＋3.
剖析：需先去絕對值，可按定義去絕對值，也可利用|x|≤a－a≤x≤a去絕對值.
解法一：原不等式（1）或（2）
不等式（1）x＝－3或3≤x≤4；
不等式（2）2≤x＜3.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
解法二：原不等式等價于
或x≥2x=－3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
【例3】（理）已知函數(shù)f（x）=x|x－a|（a∈R）.
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關于x的不等式：f（x）≥2a2.
解：（1）當a=0時，
f（－x）=－x|－x|=－x|x|=－f（x），
∴f（x）是奇函數(shù).
當a≠0時，f（a）=0且f（－a）=－2a|a|.
故f（－a）≠f（a）且f（－a）≠－f（a）.
∴f（x）是非奇非偶函數(shù).
（2）由題設知x|x－a|≥2a2，
∴原不等式等價于①
或②
由①得x∈.
由②得
當a=0時，x≥0.
當a＞0時，
∴x≥2a.
當a＜0時，
即x≥－a.
綜上
a≥0時，f（x）≥2a2的解集為{x|x≥2a}；
a＜0時，f（x）≥2a2的解集為{x|x≥－a}.
（文）設函數(shù)f（x）=ax+2，不等式|f（x）|＜6的解集為（－1，2），試求不等式≤1的解集.
解：|ax+2|＜6，
∴（ax+2）2＜36，
即a2x2+4ax－32＜0.
由題設可得
解得a=－4.
∴f（x）=－4x+2.
由≤1，即≤1可得≥0.
解得x＞或x≤.
∴原不等式的解集為{x|x＞或x≤}.
●闖關訓練
夯實基礎
1.已知集合A={x|a－1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，則能使AB成立的實數(shù)a的取值范圍是
A.{a|3＜a≤4}B.{a|3≤a≤4}
C.{a|3＜a＜4}D.
解析：由題意知得3≤a≤4.
答案：B
2.不等式|x2+2x|＜3的解集為____________.
解析：－3＜x2+2x＜3，即
∴－3＜x＜1.
答案：－3＜x＜1
3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.
解法一：|x+2|≥|x|（x+2）2≥x24x+4≥0x≥－1.
解法二：在同一直角坐標系下作出f（x）=|x+2|與g（x）=|x|的圖象，根據(jù)圖象可得x≥－1.
解法三：根據(jù)絕對值的幾何意義，不等式|x+2|≥|x|表示數(shù)軸上x到－2的距離不小于到0的距離，∴x≥－1.
答案：{x|x≥－1}
評述：本題的三種解法均為解絕對值不等式的基本方法，必須掌握.
4.當0＜a＜1時，解關于x的不等式a＜ax－2.
解：由0＜a＜1，原不等式可化為＞x－2.
這個不等式的解集是下面不等式組①及②的解集的并集.①
或②
解不等式組①得解集為{x|≤x＜2}，
解不等式組②得解集為{x|2≤x＜5}，
所以原不等式的解集為{x|≤x＜5}.
5.關于x的方程3x2－6（m－1）x+m2+1=0的兩實根為x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.
解：x1、x2為方程兩實根，
∴Δ=36（m－1）2－12（m2+1）≥0.
∴m≥或m≤.
又∵x1x2=＞0，∴x1、x2同號.
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m－1|.
于是有2|m－1|=2，∴m=0或2.
∴m=0.
培養(yǎng)能力
6.解不等式≤.
解：（1）當x2－2＜0且x≠0，即當－＜x＜且x≠0時，原不等式顯然成立．
（2）當x2－2＞0時，原不等式與不等式組等價．
x2－2≥｜x｜，即｜x｜2－｜x｜－2≥0.
∴｜x｜≥2.∴不等式組的解為｜x｜≥2，
即x≤－2或x≥2．
∴原不等式的解集為（－∞，－2］∪（－，0）∪（0，）∪［2，＋∞）．
7.已知函數(shù)f（x）=的定義域恰為不等式log2（x+3）+logx≤3的解集，且f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.
解：由log2（x+3）+logx≤3得
x≥，
即f（x）的定義域為［，+∞）.
∵f（x）在定義域［，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴當x2＞x1≥時，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即有（ax1－+2）－（ax2－+2）＞0a（x1－x2）－（－）＞0
（x1－x2）（a+）＞0恒成立.
∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+）＞0
a+＜0.
∵x1x2＞－＞－，
要使a＜－恒成立，
則a的取值范圍是a≤－.
8.有點難度喲！
已知f（x）=x2－x+c定義在區(qū)間［0，1］上，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2，求證：
（1）f（0）=f（1）；
（2）|f（x2）－f（x1）|＜|x1－x2|；
（3）|f（x1）－f（x2）|＜；
（4）|f（x1）－f（x2）|≤.
證明：（1）f（0）=c，f（1）=c，
∴f（0）=f（1）.
（2）|f（x2）－f（x1）|=|x2－x1||x2+x1－1|.
∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）.
∴－1＜x1+x2－1＜1.
∴|f（x2）－f（x1）|＜|x2－x1|.
（3）不妨設x2＞x1，由（2）知
|f（x2）－f（x1）|＜x2－x1.①
而由f（0）=f（1），從而
|f（x2）－f（x1）|=|f（x2）－f（1）+f（0）－f（x1）|≤|f（x2）－f（1）|+|f（0）－
f（x1）|＜|1－x2|+|x1|＜1－x2+x1.②
①+②得2|f（x2）－f（x1）|＜1，
即|f（x2）－f（x1）|＜.
（4）|f（x2）－f（x1）|≤fmax－fmin=f（0）－f（）=.
探究創(chuàng)新
9.（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求證：||＞1；
（2）求實數(shù)λ的取值范圍，使不等式||＞1對滿足|a|＜1，|b|＜1的一切實數(shù)a、b恒成立；
（3）已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范圍.
（1）證明：|1－ab|2－|a－b|2=1+a2b2－a2－b2=（a2－1）（b2－1）.
∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.
∴|1－ab|2－|a－b|2＞0.
∴|1－ab|＞|a－b|，
=＞1.
（2）解：∵||＞1|1－abλ|2－|aλ－b|2=（a2λ2－1）（b2－1）＞0.
∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0對于任意滿足|a|＜1的a恒成立.
當a=0時，a2λ2－1＜0成立；
當a≠0時，要使λ2＜對于任意滿足|a|＜1的a恒成立，而＞1，
∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.
（3）||＜1（）2＜1（a+b）2＜（1+ab）2a2+b2－1－a2b2＜0（a2－1）（b2－1）＜0.
∵|a|＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.
●思悟小結
1.解含有絕對值的不等式的指導思想是去掉絕對值.常用的方法是：（1）由定義分段討論；（2）利用絕對值不等式的性質(zhì)；（3）平方.
2.解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時與參數(shù)的取值范圍有關，就必須分類討論.注意：（1）要考慮參數(shù)的總取值范圍.（2）用同一標準對參數(shù)進行劃分，做到不重不漏.
●教師下載中心
教學點睛
1.絕對值是歷年高考的重點，而絕對值不等式更是?？汲Ｐ?在教學中要從絕對值的定義和幾何意義來分析，絕對值的特點是帶有絕對值符號，如何去掉絕對值符號，一定要教給學生方法，切不可以題論題.
2.無理不等式在新課程書本并未出現(xiàn)，但可以利用不等式的性質(zhì)把其等價轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.
3.指數(shù)、對數(shù)不等式能利用單調(diào)性求解.
拓展題例
【例1】設x1、x2、y1、y2是實數(shù)，且滿足x12+x22≤1，證明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
分析：要證原不等式成立，也就是證（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.
證明：（1）當x12+x22=1時，原不等式成立.
（2）當x12+x22＜1時，聯(lián)想根的判別式，可構造函數(shù)f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判別式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
由題意x12+x22＜1，函數(shù)f（x）的圖象開口向下.
又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，
因此拋物線與x軸必有公共點.
∴Δ≥0.
∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，
即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.

高二數(shù)學教案：《不等式的解法舉例》教學設計

高二數(shù)學教案：《不等式的解法舉例》教學設計

教學目標

（1）能熟練運用不等式的基本性質(zhì)來解不等式；

（2）在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；

（3）能將較復雜的絕對值不等式轉(zhuǎn)化為簡單的絕對值不等式、一元二次不等式（組）來解；

（4）通過解不等式，要向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合、換元、分類討論等數(shù)學思想；

（5）通過解各種類型的不等式，培養(yǎng)學生的觀察、比較及概括能力，培養(yǎng)學生的勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)學生的學習興趣．

教學建議

一、知識結構

本節(jié)內(nèi)容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，簡單的絕對值不等式及分式不等式的解法基礎上，進一步深入研究較為復雜的絕對值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運用不等式的性質(zhì)和有關定理、法則，將這些不等式等價轉(zhuǎn)化為一次不等式（組）或二次不等式的求解，具體地說就是含有絕對值符號的不等式去掉絕對值符號，無理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式為：

教學設計示例

分式不等式的解法

教學目標

1．掌握分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化；

2．進一步熟悉并掌握數(shù)軸標根法；

3．掌握分式不等式基本解法.

教學重點難點

重點是分式不等式解法

難點是分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化

教學方法

啟發(fā)式和引導式

教具準備

三角板、幻燈片

教學過程

1．復習回顧：

前面，我們學習了含有絕對值的不等式的基本解法，還了解了數(shù)軸標根法的解題思路，本節(jié)課，我們將繼續(xù)研究分式不等式的解法.

2．講授新課：

課題：不等式解法舉例（第四課時）

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，作為教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓上課時的教學氛圍非?；钴S，幫助教師營造一個良好的教學氛圍。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的“課題：不等式解法舉例（第四課時）”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

授課教師：石家莊市第一中學張海江

教學目的

1．掌握指數(shù)與對數(shù)不等式的解法；2．掌握簡單的無理不等式的解法。（例5以后可不講）

教學難點

指數(shù)與對數(shù)不等式中單調(diào)性的使用

知識重點

指數(shù)與對數(shù)不等式的解法

教學過程

教學方法和手段

引入

概念分析及例題講解

指數(shù)不等式和對數(shù)不等式一般情況下是利用函數(shù)的單調(diào)性或其他相關變換思想將指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式問題來解。解指數(shù)不等式和對數(shù)不等式除了應用不等式的基本解法外，還要應用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?！纠?】解下列不等式：（1）（2）答案：（1）（2）【例2】解下列不等式：（1）（2）答案：（1）當時，不等式的解集為（2）當時，不等式的解集為小結：例1，例2是利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題?！纠?】解下列不等式：（1）（2）答案：（1）（2）當a1時，解集為當0a1時，解集為小結：例3是利用代換法解題的。二．簡單的無理不等式

1．形如不等式解法：【例4】解不等式解：＞等價于即∴原不等式的解集是｛x｜x≥3｝.小結：

小結與作業(yè)

課堂小結

1．解指數(shù)或?qū)?shù)不等式的方法：（1）利用單調(diào)性（2）利用代換2．簡單無理不等式的解法。

本課作業(yè)

1．解不等式2．解不等式3．解不等式4．解不等式

課后反思

課題：不等式的解法舉（2）

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準備好教案，這是高中教師的任務之一。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？下面是由小編為大家整理的“課題：不等式的解法舉（2）”，相信能對大家有所幫助。

教學目的：

1．對含有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對參數(shù)分區(qū)間討論；

2．進一步熟悉并掌握數(shù)軸標根法；

3．掌握分式不等式和高次不等式基本解法4．要求學生能正確地解答無理不等式

教學重點：分式不等式和高次不等式解法

教學難點：正確地對參數(shù)分區(qū)間討論

授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀

教學過程：一、復習引入：

一元一次與一元二次不等式

1．解不等式：

2．解不等式組：（）

3．解不等式：

4．解不等式：

5．解不等式：

二、講解新課：

1．含有參數(shù)的不等式

2．分式不等式與高次不等式

3．無理不等式：

4．指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

三、講解范例：

例1解關于x的不等式

解：將原不等式展開，整理得：

討論：當時，

當時，若≥0時；若0時

當時，

例2關于x的不等式對于恒成立，求a的取值范圍．

解：當a0時不合，a=0也不合

∴必有：

例3解不等式

解：原不等式等價于

即

∴

例4k為何值時，式恒成立

解：原不等式可化為：

而

∴原不等式等價于

由得1k3

例5⑴解不等式

解：∵根式有意義∴必須有：

又有∵原不等式可化為

兩邊平方得：解之：

∴

⑵解不等式

解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集：

Ⅰ：Ⅱ：

解Ⅰ：解Ⅱ：

∴原不等式的解集為

⑶解不等式

解：原不等式等價于

特別提醒注意：取等號的情況

例6解不等式

解：原不等式可化為：

即

解之或

∴x2或∴不等式的解集為{x|x2或}

例7解不等式

解：原不等式等價于或

解之得4x≤5

∴原不等式的解集為{x|4x≤5}

四、課堂練習：解下列不等式

1．

2．

3．()s

4．

5．

6．解關于x的不等式：

解：原不等式可化為

當a1時有

（其實中間一個不等式可?。?p>當0a1時有

∴當a1時不等式的解集為；

當0a1時不等式的解集為

7．解關于x的不等式

解：原不等式等價于

Ⅰ：或Ⅱ：

解Ⅰ：解Ⅱ：∴

當a1時有0xa當0a1時有xa

∴原不等式的解集為{x|0xa,a1}或{x|xa,0a1}

8．解不等式

解：兩邊取以a為底的對數(shù)：

當0a1時原不等式化為：

∴∴

當a1時原不等式化為：

∴

∴∴

∴原不等式的解集為

或

五、小結：

六、課后作業(yè)：1．k為何值時，不等式對任意實數(shù)x恒成立

2．求不等式的解集

3．解不等式

4．求適合不等式的x的整數(shù)解(x=2)

5．若不等式的解為,求的值6．

(當a1時當0a1時)

7．(-2x1或4x7)

8．(-1x3)

9．

10．當，求不等式：(ax1)

11．，求證：

12．(-1x0)

13．時解關于x的不等式

(；；)

七、板書設計（略）八、課后記：