小學(xué)奧數(shù)教案

無理數(shù)指數(shù)冪。

2.1.1-3無理數(shù)指數(shù)冪
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
理解無理數(shù)指數(shù)冪得實(shí)際意義。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
教材52頁至53頁的意義解讀。
三、提出疑惑
同學(xué)們，你們通過自主學(xué)習(xí)，還有哪些疑惑請寫在下面的橫線上—————————

課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能熟練進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪間的互化。
2.理解無理數(shù)指數(shù)冪的概念。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)指數(shù)冪的的運(yùn)算及無理數(shù)指數(shù)冪的理解
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：無理數(shù)指數(shù)冪的理解
二、學(xué)習(xí)過程
1.解釋的意義，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化。探究的實(shí)際意義。
2.反思總結(jié)
得出結(jié)論：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（是無理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪。
3.當(dāng)堂檢測
（1）參照以上過程，說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義。
（2）計(jì)算下列各式○1○2
課后練習(xí)與提高
1.化簡下列各式
（1）（2）
2.下列說法錯(cuò)誤的是（）
A.根式都可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪來表示
B.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表是相同式子的乘積，而是根式的一種新的寫法
C.無理數(shù)指數(shù)冪有的不是實(shí)數(shù)
D.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)適用于無理數(shù)指數(shù)冪

延伸閱讀

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

教案課件是老師上課做的提前準(zhǔn)備，大家開始動(dòng)筆寫自己的教案課件了。只有制定教案課件工作計(jì)劃，接下來的工作才會(huì)更順利！適合教案課件的范文有多少呢？以下是小編收集整理的“指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

§2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（練習(xí)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握n次方根的求解；
2.會(huì)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示根式；
3.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（復(fù)習(xí)教材P48~P53，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：什么叫做根式?運(yùn)算性質(zhì)？
像的式子就叫做，具有性質(zhì)：
=；=；=.

復(fù)習(xí)2：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪如何定義？運(yùn)算性質(zhì)？
①；.
其中
②；；
.

復(fù)習(xí)3：填空.
①n為時(shí)，.
②求下列各式的值：
=；=；=；
=；=；
=；=.

二、新課導(dǎo)學(xué)
※典型例題
例1已知=3，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
補(bǔ)充：立方和差公式.

小結(jié)：①平方法；②乘法公式；
③根式的基本性質(zhì)（a≥0）等.
注意，a≥0十分重要，無此條件則公式不成立.例如，.

變式：已知，求：
（1）；（2）.

例2從盛滿1升純酒精的容器中倒出升，然后用水填滿，再倒出升，又用水填滿，這樣進(jìn)行5次，則容器中剩下的純酒精的升數(shù)為多少？

變式：n次后？

小結(jié)：①方法：摘要→審題；探究→結(jié)論；
②解應(yīng)用問題四步曲：審題→建模→解答→作答.
※動(dòng)手試試
練1.化簡：.

練2.已知x+x-1=3，求下列各式的值.
（1）；（2）.

練3.已知，試求的值.

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算；
2.乘法公式的運(yùn)用.

※知識(shí)拓展
1.立方和差公式：
；
.
2.完全立方公式：
；
.
學(xué)習(xí)評價(jià)
※自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1.的值為（）.
A.B.C.3D.729
2.(a0)的值是（）.
A.1B.aC.D.
3.下列各式中成立的是（）.
A．B．
C．D．
4.化簡=.
5.化簡=.

課后作業(yè)
1.已知,求的值.
2.探究：時(shí),實(shí)數(shù)和整數(shù)所應(yīng)滿足的條件.

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，使高中教師有一個(gè)簡單易懂的教學(xué)思路。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)
【同步教育信息】
一.本周教學(xué)內(nèi)容：
指數(shù)
二.本周重、難點(diǎn)：
1.重點(diǎn)：
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。
2.難點(diǎn)：
根式的概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念。
【典型例題】
[例1]求值：
（1）
（2）
解：
（1）
（2）原式
[例2]化簡：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
[例3]（1）已知，求的值。
（2）若，求的值。
解：
（1）原式
∵得
∴原式
（2）由即得
∴原式
[例4]（1）已知：，求，，。
（2）已知：，求。
解：
（1）由得∴
∵又
∴由
∴或
（2）
[例5]已知：，化簡。
解：
∵∴∴
∴，
∴原式
[例6]設(shè)、為不等于1的正數(shù)，且實(shí)數(shù)、、滿足。
求證：（1）若，則（2）若，則
證：
（1）由于結(jié)論中指數(shù)只與、有關(guān)，同時(shí)從條件和、、均為非零實(shí)數(shù)，且兩兩不相等，解關(guān)于的方程得
∵∴∴∴
兩邊同乘以，得
（2）由，得，再由，得或
∴即∴
兩邊同乘得
[例7]已知且，求證：
證：
設(shè)則，，
∴
又∴
∴
【模擬試題】
一.選擇題：
1.的化簡結(jié)果是（）
A.B.C.D.
2.已知且則的值為（）
A.2或B.C.D.2
3.若，則等于（）
A.B.C.3D.
4.若，那么等式成立的條件是（）
A.，B.，C.，D.，0
二.填空題：
1.若，，則。
2.，當(dāng)時(shí)，值為。
3.，，那么。
4.已知，且，，則等于。
三.解答題：
1.化簡：
（1）
（2）
2.已知，求下列各式的值。
（1）（2）（3）
3.求證：，這里，、、。

[參考答案]
一.
1.C2.D3.C4.C
二.
1.2.3.4.
三.
1.
（1）原式
（2）原式
2.解：
（1）
（2）
（3）
3.證：
左邊
右邊
∵左邊=右邊∴結(jié)論成立

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，高中教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？以下是小編收集整理的“指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

教學(xué)設(shè)計(jì)
2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
我們在初中的學(xué)習(xí)過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)．從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)．進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪．
教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題．前一個(gè)問題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值．后一個(gè)問題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊．
本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持．
三維目標(biāo)
1．通過與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)．掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力．
2．掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想．通過運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理．
3．能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力．
4．通過訓(xùn)練及點(diǎn)評，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過觀察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)
(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解．
(2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
(3)運(yùn)用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值．
教學(xué)難點(diǎn)
(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解．
(2)有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用．
課時(shí)安排
3課時(shí)
教學(xué)過程
第1課時(shí)
作者：路致芳
導(dǎo)入新課
思路1．同學(xué)們在預(yù)習(xí)的過程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它們所處的年代？(考古學(xué)家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問題我們不太清楚)考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的．教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算．
思路2．同學(xué)們，我們在初中學(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？
(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？
(3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？
(4)可否用一個(gè)式子表達(dá)呢？
活動(dòng)：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價(jià)學(xué)生的思維．
討論結(jié)果：(1)若x2＝a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負(fù)數(shù)沒有平方根，同理，若x3＝a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如：－8的立方根為－2.
(2)類比平方根、立方根的定義，一個(gè)數(shù)的四次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根．一個(gè)數(shù)的五次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根．一個(gè)數(shù)的六次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根．
(3)類比(2)得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根．
(4)用一個(gè)式子表達(dá)是，若xn＝a，則x叫a的n次方根．
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n＞1且n∈N*.
可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．
提出問題
(1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？(多媒體顯示以下題目).
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點(diǎn)？4，±8，16，－32，32，0，a6分別對應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點(diǎn)？
(3)問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，還有零，結(jié)論有一個(gè)的，也有兩個(gè)的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？
(4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢？
活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求出的那個(gè)數(shù)的n次方等于a，及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來，觀察數(shù)的特點(diǎn)，對問題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路．
討論結(jié)果：(1)因?yàn)椤?的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.
(2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù)．總的來看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零．
(3)一個(gè)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù).0的任何次方根都是0.
(4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在，因?yàn)闆]有一個(gè)數(shù)的偶次方是一個(gè)負(fù)數(shù)．
類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用－na表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成±na(a＞0)．
②n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示．
③負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零．
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個(gè)為na，n為偶數(shù)，a的n次方根有兩個(gè)為±na.
a為負(fù)數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個(gè)為na，n為偶數(shù)，a的n次方根不存在.
零的n次方根為零，記為n0＝0.
可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例．
思考
根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種情況？
活動(dòng)：教師提示學(xué)生對方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時(shí)巡視學(xué)生，隨機(jī)給出一個(gè)數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過程中的問題．
解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，－27的5次方根為5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個(gè)名稱——根式．
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)．
如3－27中，3叫根指數(shù)，－27叫被開方數(shù)．
思考
nan表示an的n次方根，式子nan＝a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號(hào)，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論．教師點(diǎn)撥，注意歸納整理．
〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕．
解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n＝a.
通過探究得到：n為奇數(shù)，nan＝a.
n為偶數(shù)，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a0.
因此我們得到n次方根的運(yùn)算性質(zhì)：
①(na)n＝a.先開方，再乘方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)．
②n為奇數(shù)，nan＝a.先奇次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)．
n為偶數(shù)，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a0.先偶次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)的絕對值．
應(yīng)用示例
思路1
例求下列各式的值：
(1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a－b)2(a＞b)．
活動(dòng)：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識(shí)，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個(gè)題目仔細(xì)分析．觀察學(xué)生的解題情況，讓學(xué)生展示結(jié)果，抓住學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的問題并對癥下藥．求下列各式的值實(shí)際上是求數(shù)的方根，可按方根的運(yùn)算性質(zhì)來解，首先要搞清楚運(yùn)算順序，目的是把被開方數(shù)的符號(hào)定準(zhǔn)，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無需考慮符號(hào)，如果是偶數(shù)，開方的結(jié)果必須是非負(fù)數(shù)．
解：(1)3(－8)3＝－8；
(2)(－10)2＝10；
(3)4(3－π)4＝π－3；
(4)(a－b)2＝a－b(a＞b)．
點(diǎn)評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導(dǎo)致問題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會(huì)用，活用．
變式訓(xùn)練
求出下列各式的值：
(1)7(－2)7；
(2)3(3a－3)3(a≤1)；
(3)4(3a－3)4.
解：(1)7(－2)7＝－2，
(2)3(3a－3)3(a≤1)＝3a－3，
(3)4(3a－3)4＝
點(diǎn)評：本題易錯(cuò)的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯(cuò)解.
思路2
例1下列各式中正確的是()
A．4a4＝a
B．6(－2)2＝3－2
C．a(chǎn)0＝1
D．10(2－1)5＝2－1
活動(dòng)：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運(yùn)算性質(zhì)來解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴(yán)格按求方根的步驟，體會(huì)方根運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，學(xué)生先思考哪些地方容易出錯(cuò)，再回答．
解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫nan＝|a|，故A項(xiàng)錯(cuò)．
(2)6(－2)2＝3－2，本質(zhì)上與上題相同，是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，結(jié)論為6(－2)2＝32，故B項(xiàng)錯(cuò)．
(3)a0＝1是有條件的，即a≠0，故C項(xiàng)也錯(cuò)．
(4)D項(xiàng)是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，故D項(xiàng)正確．所以答案選D.
答案：D
點(diǎn)評：本題由于考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算順序，有時(shí)極易選錯(cuò)，選四個(gè)答案的情況都會(huì)有，因此解題時(shí)千萬要細(xì)心．
例23＋22＋3－22＝__________.
活動(dòng)：讓同學(xué)們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無關(guān)，但仔細(xì)一想，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號(hào)的式子，去掉一層根號(hào)，根據(jù)方根的運(yùn)算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式．正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導(dǎo)學(xué)生解題的思路．
解析：因?yàn)?＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，
3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，
所以3＋22＋3－22＝22.
答案：22
點(diǎn)評：不難看出3－22與3＋22形式上有些特點(diǎn)，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式．
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)，去根號(hào)常常利用完全平方公式，有時(shí)平方差公式也可，同學(xué)們觀察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個(gè)是“＋”，一個(gè)是“－”，去掉一層根號(hào)后，相加正好抵消．同時(shí)借助平方差，又可去掉根號(hào)，因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法．
另解：利用整體思想，x＝3＋22＋3－22，
兩邊平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝22.
點(diǎn)評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式，問題迎刃而解，另外對A＋2B±A－2B的式子，我們可以把它們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解．
變式訓(xùn)練
若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范圍．
解：因?yàn)閍2－2a＋1＝a－1，而a2－2a＋1＝(a－1)2＝|a－1|＝a－1，
即a－1≥0，
所以a≥1.
點(diǎn)評：利用方根的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵.
知能訓(xùn)練
(教師用多媒體顯示在屏幕上)
1．以下說法正確的是()
A．正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)
B．負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)
C．0的n次方根是零
D．a(chǎn)的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)
答案：C
2．化簡下列各式：
(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x8；(4)6x6y3；(5)(x－y)2.
答案：(1)2；(2)3；(3)x2；(4)|x|y；(5)|x－y|.
3．計(jì)算7＋40＋7－40＝__________.
解析：7＋40＋7－40
＝(5)2＋252＋(2)2＋(5)2－252＋(2)2
＝(5＋2)2＋(5－2)2
＝5＋2＋5－2
＝25.
答案：25
拓展提升
問題：nan＝a與(na)n＝a(n＞1，n∈N)哪一個(gè)是恒等式，為什么？請舉例說明．
活動(dòng)：組織學(xué)生結(jié)合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義．
通過歸納，得出問題結(jié)果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下．再對a是負(fù)數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論．
解：(1)(na)n＝a(n＞1，n∈N)．
如果xn＝a(n＞1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x＝na一定是它的一個(gè)n次方根，所以(na)n＝a恒成立．
例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.
(2)nan＝a，|a|，當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù).
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∈R，nan＝a恒成立．
例如：525＝2，5(－2)5＝－2.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan＝a.例如434＝3，40＝0；如果a＜0，那么nan＝|a|＝－a，如(－3)2＝32＝3，
即(na)n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，nan＝a(n＞1，n∈N)是有條件的．
點(diǎn)評：實(shí)質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)的深刻理解．
課堂小結(jié)
學(xué)生仔細(xì)交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上．
1．如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù)．
(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用－na表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成±na(a＞0)．
(2)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示．
(3)負(fù)數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是零．
2．掌握兩個(gè)公式：n為奇數(shù)時(shí)，(na)n＝a，n為偶數(shù)時(shí)，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a0.
作業(yè)
課本習(xí)題2.1A組1.
補(bǔ)充作業(yè)：
1．化簡下列各式：
(1)681；(2)15－32；(3)6a2b4.
解：(1)681＝634＝332＝39；
(2)15－32＝－1525＝－32；
(3)6a2b4＝6(|a|b2)2＝3|a|b2.
2．若5＜a＜8，則式子(a－5)2－(a－8)2的值為__________．
解析：因?yàn)?＜a＜8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.
答案：2a－13
3．5＋26＋5－26＝__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋2.
同理5－26＝(3－2)2＝3－2.
所以5＋26＋5－26＝23.
答案：23
設(shè)計(jì)感想
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時(shí)，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉具體實(shí)例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進(jìn)行，每種情況又分a＞0，a＜0，a＝0三種情況，并結(jié)合具體例子講解，因此設(shè)計(jì)了大量的類比和練習(xí)題目，要靈活處理這些題目，幫助學(xué)生加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)．
第2課時(shí)
作者：郝云靜
導(dǎo)入新課
思路1．碳14測年法．原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平．而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5730年的半衰期開始衰變并消失．對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代(半衰期：經(jīng)過一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉淼囊话?．引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．
思路2．同學(xué)們，我們在初中學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的．這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？
(2)觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a＞0，
①；
②a8＝(a4)2＝a4＝，；
③4a12＝4(a3)4＝a3＝；
④2a10＝2(a5)2＝a5＝.
(3)利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x0，m，n∈N*，且n1).
(4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
(5)你能推廣到一般的情形嗎？
活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì)，仔細(xì)觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學(xué)及時(shí)表揚(yáng)，其他學(xué)生鼓勵(lì)提示．
討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：an＝aaa…a，a0＝1(a≠0)；00無意義；
a－n＝1an(a≠0)；aman＝am＋n；(am)n＝amn；(an)m＝amn；(ab)n＝anbn.
(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．實(shí)質(zhì)上①5a10＝，②a8＝，③4a12＝，④2a10＝結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒變．
根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式)．
(3)利用(2)的規(guī)律，453＝，375＝，5a7＝，nxm＝.
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是.
結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的．
(5)如果a＞0，那么am的n次方根可表示為nam＝，即＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：
規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
提出問題
(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？
(2)你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎？
(3)你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？
(4)綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？
(5)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a＞0，去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？
(6)既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？
活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比，把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，教師在黑板上板書，學(xué)生合作交流，以具體的實(shí)例說明a＞0的必要性，教師及時(shí)作出評價(jià)．
討論結(jié)果：(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a－n＝1an(a≠0)，n∈N*.
(2)既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義．
規(guī)定：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(4)教師板書分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：
正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(5)若沒有a＞0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢？
如＝3－1＝－1，＝6(－1)2＝1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無意義的．因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零，如無a＞0的條件，比如式子3a2＝，同時(shí)負(fù)數(shù)開奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開奇次方時(shí)，應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也就是說，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上．
(6)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)．
有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問題，來看下面的例題．
應(yīng)用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12－5；(4).
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2－1，1681寫成234，利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來．
解：(1)＝22＝4；
(2)＝5－1＝15；
(3)12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32；
(4)＝23－3＝278.
點(diǎn)評：本例主要考查冪值運(yùn)算，要按規(guī)定來解．在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如＝382＝364＝4.
例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式．
a3a；a23a2；a3a(a＞0)．
活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié)．
解：a3a＝a3＝；
a23a2＝a2＝；
a3a＝.
點(diǎn)評：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算．對于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)．
例3計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))．
(1)；
(2).
活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算，可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行，要注意符號(hào)，第(2)小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，熟悉后可以簡化步驟．
解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a；
(2)＝m2n－3＝m2n3.
點(diǎn)評：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法．有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了．
本例主要是指數(shù)冪的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用．
變式訓(xùn)練
求值：(1)333363；
(2)627m3125n64.
解：(1)333363＝＝32＝9；
(2)627m3125n64＝＝9m225n4＝925m2n－4.

例4計(jì)算下列各式：
(1)(325－125)÷425；
(2)a2a3a2(a＞0)．
活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，化為同底．利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算，最后寫出解答．
解：(1)原式＝
＝＝65－5；
(2)a2a3a2＝＝6a5.
知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1,2,3
【補(bǔ)充練習(xí)】
教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答，教師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學(xué)給予表揚(yáng)鼓勵(lì)．
1．(1)下列運(yùn)算中，正確的是()
A．a(chǎn)2a3＝a6B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(a－1)0＝0D．(－a2)3＝－a6
(2)下列各式①4(－4)2n，②4(－4)2n＋1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意義的是()
A．①②B．①③C．①②③④D．①③④
(3)(34a6)2(43a6)2等于()
A．a(chǎn)B．a(chǎn)2C．a(chǎn)3D．a(chǎn)4
(4)把根式－25(a－b)－2改寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為()
A．B．
C．D．
(5)化簡的結(jié)果是()
A．6aB．－aC．－9aD．9a
2．計(jì)算：(1)－－17－2＋－3－1＋(2－1)0＝__________.
(2)設(shè)5x＝4,5y＝2，則52x－y＝__________.
3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．
答案：1．(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2．(1)19(2)8
3．解：.
因?yàn)閤＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.
又因?yàn)閤＜y，所以x－y＝－2×33＝－63.
所以原式＝＝12－6－63＝－33.
拓展提升
1．化簡：.
活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn)，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對原式進(jìn)行因式分解，根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到：
x－1＝－13＝；
x＋1＝＋13＝；
．
構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示．
解：
＝
＝
＝
＝.
點(diǎn)撥：解這類題目，要注意運(yùn)用以下公式，
＝a－b，
＝a±＋b，
＝a±b.
2．已知，探究下列各式的值的求法．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
解：(1)將，兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；
(2)將a＋a－1＝7兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47；
(3)由于，
所以有＝a＋a－1＋1＝8.
點(diǎn)撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值．
課堂小結(jié)
活動(dòng)：教師，本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲？請把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上，同學(xué)們之間相互交流．同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識(shí)要點(diǎn)：
(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)．
(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(4)說明兩點(diǎn)：
①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系．
②整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用．因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用＝am來計(jì)算．
作業(yè)
課本習(xí)題2.1A組2,4.
設(shè)計(jì)感想
本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中可以通過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習(xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固知識(shí)，要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)．
第3課時(shí)
作者：鄭芳鳴
導(dǎo)入新課
思路1．同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴(kuò)充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實(shí)數(shù)．并且知道，在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)．對無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴(kuò)充而來．既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)〕之無理數(shù)指數(shù)冪．
思路2．同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，對函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)我們知道2＝1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是2的什么近似值？
(2)多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？
2的過剩近似值
的近似值

1.511.18033989
1.429.829635328
1.4159.750851808
1.41439.73987262
1.414229.738618643
1.4142149.738524602
1.41421369.738518332
1.414213579.738517862
1.4142135639.738517752
……

的近似值
2的不足近似值

9.5182696941.4
9.6726699731.41
9.7351710391.414
9.7383051741.4142
9.7384619071.41421
9.7385089281.414213
9.7385167651.4142135
9.7385177051.41421356
9.7385177361.414213562
……
(3)你能給上述思想起個(gè)名字嗎？
(4)一個(gè)正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，根據(jù)你學(xué)過的知識(shí)，能作出判斷并合理地解釋嗎？
(5)借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：
問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向．
問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)．
問題(3)上述方法實(shí)際上是無限接近，最后是逼近．
問題(4)對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋．
問題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般．
討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過剩近似值．
(2)第一個(gè)表：從大于2的方向逼近2時(shí)，就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向逼近.
第二個(gè)表：從小于2的方向逼近2時(shí)，就從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向逼近.
從另一角度來看這個(gè)問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向接近，可以說從兩個(gè)方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，即51.4＜51.41＜51.414＜51.4142＜51.41421＜…＜＜…＜51.41422＜51.4143＜51.415＜51.42＜51.5.
充分表明是一個(gè)實(shí)數(shù)．
(3)逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識(shí)．
(4)根據(jù)(2)(3)我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數(shù)，猜測一個(gè)正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù)．
(5)無理數(shù)指數(shù)冪的意義：
一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．
也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪．
提出問題
(1)為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？
(2)無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢？
(3)你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎？
活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說明問題，注意類比，歸納．
對問題(1)回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明．
對問題(2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類似，并且相通．
對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了．
討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a＝－1，那么aα是＋1還是－1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，就不會(huì)再造成混亂．
(2)因?yàn)闊o理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行冪的運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪．類比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s都是無理數(shù))．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是無理數(shù))．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r是無理數(shù))．
(3)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪．
實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：
對任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
應(yīng)用示例
例1利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算．(精確到0.001)
(1)0.32.1；(2)3.14－3；(3)；(4).
活動(dòng)：教師教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算，熟悉計(jì)算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按＝，即可求得它的值；
對于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負(fù)號(hào)－鍵，再按3，最后按＝即可；
對于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按＝即可；
對于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按＝鍵．有時(shí)也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運(yùn)算．
學(xué)生可以相互交流，挖掘計(jì)算器的用途．
解：(1)0.32.1≈0.080；(2)3.14－3≈0.032；(3)≈2.336；(4)≈6.705.
點(diǎn)評：熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會(huì)；用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點(diǎn)后n位，只需看第(n＋1)位能否進(jìn)位即可．
例2求值或化簡．
(1)a－4b23ab2(a＞0，b＞0)；
(2)(a＞0，b＞0)；
(3)5－26＋7－43－6－42.
活動(dòng)：學(xué)生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡，對既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，教師有針對性地提示引導(dǎo)，對(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)，對(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來，化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，對(3)有多重根號(hào)的式子，應(yīng)先去根號(hào)，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2＋(2)2,22＋(3)2,22＋(2)2，并對學(xué)生作及時(shí)的評價(jià)，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律．
解：(1)a－4b23ab2＝＝3b46a11.
點(diǎn)評：根式的運(yùn)算常?；蓛绲倪\(yùn)算進(jìn)行，計(jì)算結(jié)果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示．
(2)
＝
＝425a0b0＝425.
點(diǎn)評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負(fù)指數(shù)冪的定義把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)，另一個(gè)方法是采用分式的基本性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)．
(3)5－26＋7－43－6－42
＝(3－2)2＋(2－3)2－(2－2)2
＝3－2＋2－3－2＋2＝0.
點(diǎn)評：考慮根號(hào)里面的數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，千萬注意方根的性質(zhì)的運(yùn)用．
例3已知，n∈N*，求(x＋1＋x2)n的值．
活動(dòng)：學(xué)生思考，觀察題目的特點(diǎn)，從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值，要有預(yù)見性，與具有對稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路，必要時(shí)給予提示．
＝.
這時(shí)應(yīng)看到1＋x2＝，
這樣先算出1＋x2，再算出1＋x2，代入即可．
解：將代入1＋x2，得1＋x2＝，
所以(x＋1＋x2)n＝
＝
＝＝5.
點(diǎn)評：運(yùn)用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法．
知能訓(xùn)練
課本習(xí)題2.1A組3.
利用投影儀投射下列補(bǔ)充練習(xí)：
1．化簡：的結(jié)果是()
A．B．
C．D．
解析：根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?br> 因?yàn)?，所以原式的分子分母同乘以?br> 依次類推，所以.
答案：A
2．計(jì)算2790.5＋0.1－2＋－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.
解：原式＝
＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100.
3．計(jì)算a＋2a－1＋a－2a－1(a≥1)．
解：原式＝(a－1＋1)2＋(a－1－1)2＝a－1＋1＋|a－1－1|(a≥1)．
本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習(xí)．
4．設(shè)a＞0，，則(x＋1＋x2)n的值為__________．
解析：1＋x2＝.
這樣先算出1＋x2，再算出1＋x2，
將代入1＋x2，得1＋x2＝.
所以(x＋1＋x2)n＝
＝＝a.
答案：a
拓展提升
參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，利用計(jì)算器計(jì)算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計(jì)算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學(xué)生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果．
解：3＝1.73205080…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表．
3的過剩近似值
的過剩近似值
3的不足近似值
的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585
1.743.3403516781.733.317278183
1.7333.3241834461.7313.319578342
1.73213.322110361.73193.321649849
1.732063.3220202521.732043.3219722
1.7320513.3219975291.7320493.321992923
1.73205093.3219972981.73205073.321996838
1.732050813.3219970911.732050793.321997045
…………
我們把用2作底數(shù)，3的不足近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從小到大的一列數(shù)
21.7,21.72,21.731,21.7319，…，
同樣把用2作底數(shù)，3的過剩近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從大到小的一列數(shù)：
21．8,21.74,21.733,21.7321，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α?xí)絹碓节吔谕粋€(gè)數(shù)，我們把這個(gè)數(shù)記為，
即21.7＜21.73＜21.731＜21.7319＜…＜＜…＜21.7321＜21.733＜21.74＜21.8.
也就是說是一個(gè)實(shí)數(shù)，＝3.321997…也可以這樣解釋：
當(dāng)3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時(shí)，23的近似值從大于的方向逼近；
當(dāng)3的不足近似值從小于3的方向逼近3時(shí)，23的近似值從小于的方向逼近.
所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述規(guī)律變化的結(jié)果，即≈3.321997.
課堂小結(jié)
(1)無理指數(shù)冪的意義．
一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．
(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：
對任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
(3)逼近的思想，體會(huì)無限接近的含義．
作業(yè)
課本習(xí)題2.1B組2.
設(shè)計(jì)感想
無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，教學(xué)中要讓學(xué)生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過實(shí)際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進(jìn)行推理，只能通過多媒體的教學(xué)手段，讓學(xué)生體會(huì)，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習(xí)，提高學(xué)生理解問題、分析問題的能力．
備課資料
【備用習(xí)題】
1．以下各式中成立且結(jié)果為最簡根式的是()
A．a(chǎn)5a3a10a7＝10a4
B．3xy2(xy)2＝y(tǒng)3x2
C．a(chǎn)2bb3aab3＝8a7b15
D．(35－125)3＝5＋125125－235125
答案：B
2．對于a＞0，r，s∈Q，以下運(yùn)算中正確的是()
A．a(chǎn)ras＝arsB．(ar)s＝ars
C．a(chǎn)br＝arbsD．a(chǎn)rbs＝(ab)r＋s
答案：B
3．式子x－2x－1＝x－2x－1成立當(dāng)且僅當(dāng)()
A．x－2x－1≥0B．x≠1C．x＜1D．x≥2
解析：方法一：
要使式子x－2x－1＝x－2x－1成立，需x－1＞0，x－2≥0，即x≥2.
若x≥2，則式子x－2x－1＝x－2x－1成立．
故選D.
方法二：
對A，式子x－2x－1≥0連式子成立也保證不了，尤其x－2≤0，x－1＜0時(shí)式子不成立．
對B，x－1＜0時(shí)式子不成立．
對C，x＜1時(shí)x－1無意義．
對D正確．
答案：D
4．化簡b－(2b－1)(1＜b＜2)．
解：b－(2b－1)＝(b－1)2＝b－1(1＜b＜2)．
5．計(jì)算32＋5＋32－5.
解：令x＝32＋5＋32－5，
兩邊立方得x3＝2＋5＋2－5＋332＋532－5(32＋5＋32－5)，即x3＝4－3x，x3＋3x－4＝0.∴(x－1)(x2＋x＋4)＝0.
∵x2＋x＋4＝x＋122＋154＞0，∴x－1＝0，即x＝1.
∴32＋5＋32－5＝1.

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪