小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教案
發(fā)表時(shí)間：2021-08-14高一數(shù)學(xué)教案：《點(diǎn)到直線(xiàn)的距離》教學(xué)設(shè)計(jì)。
高一數(shù)學(xué)教案：《點(diǎn)到直線(xiàn)的距離》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)內(nèi)容解析
《點(diǎn)到直線(xiàn)的距離》這節(jié)課的內(nèi)容是從初中平面幾何的定性作圖向高中解析幾何定量計(jì)算的過(guò)渡.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是解析幾何后續(xù)學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ)工具，屬于概念性知識(shí).本節(jié)課蘊(yùn)含分類(lèi)與整合，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等豐富的數(shù)學(xué)思想；它既是兩點(diǎn)間距離公式的延續(xù)，又為導(dǎo)出兩平行線(xiàn)間距離公式作了鋪墊，具有承上啟下的重要作用.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是點(diǎn)到直線(xiàn)距離的探索與應(yīng)用；難點(diǎn)是點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo).
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
【知識(shí)與技能】
（1）探索并掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；
（2）學(xué)會(huì)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用.
【過(guò)程與方法】
通過(guò)經(jīng)歷公式多種推導(dǎo)方案的設(shè)計(jì)及比較，領(lǐng)會(huì)特殊到一般，轉(zhuǎn)化與化歸，分類(lèi)與整合，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.
【情感、態(tài)度、價(jià)值觀】
在探索問(wèn)題的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一，感受數(shù)學(xué)的形式美與簡(jiǎn)潔美.
三、學(xué)生學(xué)情分析
面授學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、思維活躍、有較強(qiáng)的創(chuàng)新能力。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式，且具備了相關(guān)的幾何知識(shí)，如：交點(diǎn)、垂直、三角函數(shù)等.學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題有初步的認(rèn)識(shí).
四、教學(xué)策略分析
本節(jié)課采用以引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)為主的教學(xué)方法，以歸納啟發(fā)式作為教學(xué)模式，結(jié)合多媒體輔助教學(xué).通過(guò)合作交流，類(lèi)比聯(lián)想，歸納化歸，總結(jié)提升，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.
五、教學(xué)過(guò)程
（一）溫故知新，引出課題
復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)中兩點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)，引出課題——點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.
【設(shè)計(jì)意圖】平面圖形最基本的要素是點(diǎn)和線(xiàn).在研究了兩點(diǎn)間距離公式后，很自然地會(huì)去研究點(diǎn)線(xiàn)間的距離，當(dāng)然還可以更深入地去探究?jī)善叫芯€(xiàn)間的距離.這三個(gè)距離公式是一脈相承的，因此，這樣引入自然、貼切，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.
（二）特例引入，巧作鋪墊
相關(guān)閱讀
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離
古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生能夠聽(tīng)懂教師所講的內(nèi)容，幫助教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。所以你在寫(xiě)教案時(shí)要注意些什么呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”，但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來(lái)幫助。
3.3.3點(diǎn)到直線(xiàn)的距離
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
理解點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)，熟練掌握點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式.
2．過(guò)程和方法
會(huì)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解兩平行線(xiàn)距離.
3．情感和價(jià)值
認(rèn)識(shí)事物之間在一定條件下的轉(zhuǎn)化，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.
教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的理解與應(yīng)用.
（三）教學(xué)方法
學(xué)導(dǎo)式
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
復(fù)習(xí)引入前面幾節(jié)課，我們一起研究學(xué)習(xí)了兩直線(xiàn)的平行或垂直的充要條件，兩直線(xiàn)的夾角公式，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，兩點(diǎn)間的距離公式。逐步熟悉了利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的思想方法.這一節(jié)，我們將研究怎樣由點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)的方程求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離.用POWERPOINT打出平面直角坐標(biāo)系中兩直線(xiàn)，進(jìn)行移動(dòng)，使學(xué)生回顧兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，且在直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，讓學(xué)生指出兩點(diǎn)間的距離公式，復(fù)習(xí)前面所學(xué).要求學(xué)生思考點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的計(jì)算？能否用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行推導(dǎo)？設(shè)置情境導(dǎo)入新課
概念形成1．點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式
點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax+By+C=0的距離為
推導(dǎo)過(guò)程
方案一：
設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段為PQ，垂足為Q，由PQ⊥l可知，直線(xiàn)PQ的斜率為(A≠0)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)PQ的方程，并由l與PQ的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：由此根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出|PQ|，得到點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為d.
此方法雖思路自然，但運(yùn)算較繁，下面我們探討另一種方法.（1）教師提出問(wèn)題
已知P(x0，y0)，直線(xiàn)l：Ax+By+C=0，怎樣用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)方程直接求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離呢？
學(xué)生自由討論
（2）數(shù)形結(jié)合，分析問(wèn)題，提出解決方案.
把點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到l的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離.
畫(huà)出圖形，分析任務(wù)，理清思路，解決問(wèn)題.尋找最佳方案，附方案二.
方案二：設(shè)A≠0，B≠0，這時(shí)l與x軸、y軸都相交，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，交l于點(diǎn)R(x1，y0)；作y軸的平行線(xiàn)，交l于點(diǎn)S(x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面積公式可知d|RS|=|PR||PS|.
所以
可證明，當(dāng)A=0時(shí)仍適用.
這個(gè)過(guò)程比較繁瑣，但同時(shí)也使學(xué)生在知識(shí)、能力、意志品質(zhì)等方面得到了提高.通過(guò)這種轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生“化歸”的思想方法.
應(yīng)用舉例例1求點(diǎn)P=(–1，2)到直線(xiàn)3x=2的距離.
解：
例2已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面積.學(xué)生分析求解，老師板書(shū)
例2解：設(shè)AB邊上的高為h，則
AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到AB的距離.
AB邊所在直線(xiàn)方程為
即x+y–4=0.
點(diǎn)C到x+y–4=0的距離為h
，
因此，
通過(guò)這兩道簡(jiǎn)單的例題，使學(xué)生能夠進(jìn)一步對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離理解應(yīng)用，能逐步體會(huì)用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的優(yōu)越性.
概念深化2．兩平行線(xiàn)間的距離d
已知l1：Ax+By+C1=0
l2：Ax+By+C2=0
證明：設(shè)P0(x0，y0)是直線(xiàn)Ax+By+C2=0上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P0到直線(xiàn)Ax+By+C1=0的距離為
.
又Ax0+By0+C2=0
即Ax0+By0=–C2，
∴教師提問(wèn)：
能不能把兩平行直線(xiàn)間距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離呢？
學(xué)生交流后回答.
再寫(xiě)出推理過(guò)程進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化的思想.
應(yīng)用舉例例3求兩平行線(xiàn)
l1：2x+3y–8=0
l2：2x+3y–10=0的距離.
解法一：在直線(xiàn)l1上取一點(diǎn)P(4,0)，因?yàn)閘1∥l2，所以P到l2的距離等于l1與l2的距離，于是
解法二：直接由公式
課堂練習(xí)：已知一直線(xiàn)被兩平行線(xiàn)3x+4y–7=0與3x+4y+8=0所截線(xiàn)段長(zhǎng)為3，且該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2，3)，求該直線(xiàn)方程.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生分析思路，再由學(xué)生上臺(tái)板書(shū).開(kāi)拓學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生解題能力.
歸納總結(jié)小結(jié)：點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，能把求兩平行線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.老師和學(xué)生共同總結(jié)——交流——完善培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括能力，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).
課后作業(yè)布置作業(yè)
見(jiàn)習(xí)案3.3的第三課時(shí)獨(dú)立完成鞏固深化
備選例題
例1求過(guò)點(diǎn)M(–2，1)且與A(–1，2)，B(3，0)兩點(diǎn)距離相等的直線(xiàn)的方程.
解法一：當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)為x=–2，它到A、B兩點(diǎn)距離不相等.
所以可設(shè)直線(xiàn)方程為：y–1=k(x+2)即kx–y+2k+1=0.
由，
解得k=0或.
故所求的直線(xiàn)方程為y–1=0或x+2y=0.
解法二：由平面幾何知識(shí)：l∥AB或l過(guò)AB的中點(diǎn).
若l∥AB且，則l的方程為x+2y=0.
若l過(guò)AB的中點(diǎn)N(1，1)則直線(xiàn)的方程為y=1.
所以所求直線(xiàn)方程為y–1=0或x+2y=0.
例2（1）求直線(xiàn)2x+11y+16=0關(guān)于點(diǎn)P(0，1)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程.
（2）兩平行直線(xiàn)3x+4y–1=0與6x+8y+3=0關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，求l的方程.
【解析】（1）當(dāng)所求直線(xiàn)與直線(xiàn)2x+11y+16=0平行時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為2x+11y+C=0
由P點(diǎn)到兩直線(xiàn)的距離相等，即
，所以C=–38.
所求直線(xiàn)的方程為2x+11y–38=0.
（2）依題可知直線(xiàn)l的方程為：6x+8y+C=0.
則它到直線(xiàn)6x+8y–2=0的距離，
到直線(xiàn)6x+8y+3=0的距離為
所以d1=d2即，所以.
即l的方程為：.
例3等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C和頂點(diǎn)B都在直線(xiàn)2x+3y–6=0上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，–2).求邊AB、AC所在直線(xiàn)方程.
【解析】已知BC的斜率為，因?yàn)锽C⊥AC
所以直線(xiàn)AC的斜率為，從而方程
即3x–2y–7=0
又點(diǎn)A(1，–2)到直線(xiàn)BC：2x+3y–6=0的距離為，
且.
由于點(diǎn)B在直線(xiàn)2x+3y–6=0上，可設(shè)，
且點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離為
所以或，所以或
所以或
所以直線(xiàn)AB的方程為或
即x–5y–11=0或5x+y–3=0
所以AC的直線(xiàn)方程為：3x–2y–7=0
AB的直線(xiàn)方程為：x–5y–11=0或5x+y–3=0.
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式
2.1.8兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系―點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式
一、三維目標(biāo)：
1、知識(shí)與技能：理解點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)，熟練掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；??
2、能力和方法：會(huì)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解兩平行線(xiàn)距離
3、情感和價(jià)值：認(rèn)識(shí)事物之間在一定條件下的轉(zhuǎn)化。用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題
二、教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式
教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的理解與應(yīng)用.
三、教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
四、教學(xué)過(guò)程
（一）、情境設(shè)置，導(dǎo)入新課
前面幾節(jié)課，我們一起研究學(xué)習(xí)了兩直線(xiàn)的平行或垂直的充要條件，兩直線(xiàn)的夾角公式，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，兩點(diǎn)間的距離公式。逐步熟悉了利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的思想方法.這一節(jié)，我們將研究怎樣由點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)的方程直接求點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離。
用POWERPOINT打出平面直角坐標(biāo)系中兩直線(xiàn)，進(jìn)行移動(dòng)，使學(xué)生回顧兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，且在直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，讓學(xué)生指出兩點(diǎn)間的距離公式，復(fù)習(xí)前面所學(xué)。要求學(xué)生思考一直線(xiàn)上的計(jì)算？能否用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行推導(dǎo)？
兩條直線(xiàn)方程如下：
（二）、研探新課
1．點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：
（1）提出問(wèn)題
在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線(xiàn)＝0或B＝0時(shí)，以上公式，怎樣用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)的方程直接求點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離呢?
學(xué)生可自由討論。
（2）數(shù)行結(jié)合，分析問(wèn)題，提出解決方案
學(xué)生已有了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的概念，即由點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離d是點(diǎn)P到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng).
這里體現(xiàn)了“畫(huà)歸”思想方法，把一個(gè)新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)曾今解決過(guò)的問(wèn)題，一個(gè)自己熟悉的問(wèn)題。
畫(huà)出圖形，分析任務(wù)，理清思路，解決問(wèn)題。
方案一：
設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段為PQ，垂足為Q，由PQ⊥可
知，直線(xiàn)PQ的斜率為（A≠0），根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直
線(xiàn)PQ的方程，并由與PQ的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
由此根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出｜PQ｜，得到點(diǎn)P到直線(xiàn)
的距離為d
此方法雖思路自然，但運(yùn)算較繁.下面我們探討別一種方法
方案二：設(shè)A≠0，B≠0，這時(shí)與軸、軸都相交，過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)；作軸的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，
由得.
所以，｜PＲ｜＝｜｜＝，｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面積公式可知：｜ＲS｜＝｜PＲ｜｜PS｜，所以?？勺C明，當(dāng)A=0時(shí)仍適用
這個(gè)過(guò)程比較繁瑣，但同時(shí)也使學(xué)生在知識(shí)，能力。意志品質(zhì)等方面得到了提高。
2、例題應(yīng)用，解決問(wèn)題。
例1求點(diǎn)P=（-1，2）到直線(xiàn)3x=2的距離。
解：d=
例2已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面積。
解：設(shè)AB邊上的高為h，則S=
，AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到AB的距離。
AB邊所在直線(xiàn)方程為，即x+y-4=0。點(diǎn)C到X+Y-4=0的距離為h
h=，因此，S=
通過(guò)這兩道簡(jiǎn)單的例題，使學(xué)生能夠進(jìn)一步對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離理解應(yīng)用，能逐步體會(huì)用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的優(yōu)越性。
3、同步練習(xí)：114頁(yè)第1，2題。
（三）、拓展延伸，評(píng)價(jià)反思
1、應(yīng)用推導(dǎo)兩平行線(xiàn)間的距離公式
已知兩條平行線(xiàn)直線(xiàn)和的一般式方程為：，
：，則與的距離為
證明：設(shè)是直線(xiàn)上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P0到直線(xiàn)的距離為又
即，∴d＝
例3求兩平行線(xiàn)：，：的距離.
解法一：在直線(xiàn)上取一點(diǎn)P(４，0)，因?yàn)椤?，所以點(diǎn)P到的距離等于與的距離.于是
解法二：∥又.
由兩平行線(xiàn)間的距離公式得
（四）、課堂練習(xí)
已知一直線(xiàn)被兩平行線(xiàn)3x+4y-7=0與3x+4y+8=0所截線(xiàn)段長(zhǎng)為3。且該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，3），求該直線(xiàn)方程。
（五）、小結(jié)：點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，能把求兩平行線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式
（六）、課后作業(yè)：1、求點(diǎn)P（2，-1）到直線(xiàn)2＋3－3＝0的距離.
2、已知點(diǎn)A（，6）到直線(xiàn)3－４＝2的距離d=4，求的值：
3、已知兩條平行線(xiàn)直線(xiàn)和的一般式方程為：，：，則與的距離為
五、教后反思：
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離教案2
俗話(huà)說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。作為教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的教師教學(xué)。教案的內(nèi)容要寫(xiě)些什么更好呢？以下是小編收集整理的“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離教案2”，但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來(lái)幫助。
教學(xué)目標(biāo):1.讓學(xué)生理解點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)和掌握點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式及其應(yīng)用,會(huì)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離求兩平行線(xiàn)間的距離.
2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、歸納等數(shù)學(xué)能力,數(shù)形結(jié)合、化歸(或轉(zhuǎn)化)、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).
3.讓學(xué)生了解和感受探索問(wèn)題的方法,以及用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.在探索問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)成功的喜悅.
教學(xué)重點(diǎn):點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式及其應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn):點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo).
教學(xué)方法:啟發(fā)式講解法、討論法.
教學(xué)工具:電腦多媒體.
教學(xué)過(guò)程:
一、提出問(wèn)題
多媒體顯示實(shí)際的例子:
某電信局計(jì)劃年底解決本地區(qū)最后一個(gè)小區(qū)的電話(huà)通信問(wèn)題.經(jīng)過(guò)測(cè)量,若按照部門(mén)內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖(即以電信局為原點(diǎn)),得知這個(gè)小區(qū)的坐標(biāo)為P(-1,5),離它最近的只有一條線(xiàn)路通過(guò),其方程為2xy10=0.要完成這項(xiàng)任務(wù),至少需要多長(zhǎng)的電纜線(xiàn)?
這個(gè)實(shí)際問(wèn)題要解決,要轉(zhuǎn)化成什么樣的
數(shù)學(xué)問(wèn)題?學(xué)生得出就是求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.教師提出這堂課我們就來(lái)學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,并板書(shū)寫(xiě)課題:點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.
二、解決問(wèn)題
多媒體顯示:已知點(diǎn)P(x0,y0),直線(xiàn):AxByC=0,求點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離.
怎樣求點(diǎn)到直線(xiàn)距離呢?學(xué)生應(yīng)該很快能回答出,做垂線(xiàn)找垂足Q,求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度.怎樣用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)方程求和表示點(diǎn)到直線(xiàn)距離呢?
教師提示在解決問(wèn)題時(shí)先可以考慮特殊情況,再考慮一般情況.學(xué)生提出平行于x軸和y軸的特殊情況.顯示圖形:
板書(shū):
如何求?
學(xué)生思考回答下列想法:
思路一:過(guò)作于點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程,由與聯(lián)立方程組解得點(diǎn)坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)距離公式求得.
教師評(píng)價(jià):此方法思路自然,但是運(yùn)算繁瑣.并多媒體展示求解過(guò)程.
解:直線(xiàn):,即
由,
說(shuō)明:本過(guò)程只展示,不在課堂推導(dǎo).
教師提問(wèn):能否用其它方法,不求點(diǎn)Q的坐標(biāo),求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度?
學(xué)生思考:放在三角形---特殊三角形---直角三角形中.
教師提問(wèn):如何構(gòu)造三角形?第三個(gè)頂點(diǎn)選在什么位置?
學(xué)生思考:可能在直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)M或與y軸交點(diǎn)N,或過(guò)P點(diǎn)做x,y軸的平行線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)R、S.
教師根據(jù)學(xué)生提出的點(diǎn)的位置作分析,求解過(guò)程的繁與簡(jiǎn),最后決定方法.下列是學(xué)生可能提到的情況:
思路二:在直角△PQM,或直角△PQN中,求邊長(zhǎng)與角(角與直線(xiàn)到直線(xiàn)角有關(guān)),用余弦值.
思路三:在直角△PQR,或直角△PQS中,求邊長(zhǎng)與角(角與直線(xiàn)傾斜角有關(guān),但分情況),用余弦值.
思路四:在直角△PRS中,求線(xiàn)段PR、PS、RS,利用等面積法(不涉及角和分情況),求得線(xiàn)段PQ長(zhǎng).
學(xué)生練習(xí)求解思路四.教師巡視,根據(jù)學(xué)生情況演示過(guò)程.
解:設(shè),,,
,;,
由,
而
說(shuō)明:如果學(xué)生沒(méi)有想到思路二、三,教師提示做課后思考作業(yè)題目.
教師提問(wèn):①上式是由條件下得出,對(duì)成立嗎?
②點(diǎn)P在直線(xiàn)上成立嗎?
③公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么?用公式時(shí)直線(xiàn)方程是什么形式?
由此推導(dǎo)出點(diǎn)P(x0,y0)到直線(xiàn):AxByC=0距離公式:
教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考,不構(gòu)造三角形可以求嗎?(在前面學(xué)習(xí)的向量知識(shí)中,有向量的模.由于在證明兩直線(xiàn)垂直時(shí)已經(jīng)用到向量知識(shí),且也提出過(guò)直線(xiàn)的法向量的概念.)能否用向量知識(shí)求解呢?
思路五:已知直線(xiàn)的法向量,則,,如何選取法向量?直線(xiàn)的方向向量,則法向量為,或,或其它.由師生一起分析得出取=.
教師板演:
,
,由于點(diǎn)Q在直線(xiàn)上,所以滿(mǎn)足直線(xiàn)方程,解得
教師評(píng)析:向量是新教材內(nèi)容,是一種很好的數(shù)學(xué)工具,和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在新教材知識(shí)的交匯點(diǎn).而且上述方法在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中,用坐標(biāo)聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法.
三、公式應(yīng)用
練習(xí):
1.解決課堂提出的實(shí)際問(wèn)題.(學(xué)生口答)
2.求點(diǎn)P0(-1,2)到下列直線(xiàn)的距離:
①3x=2②5y=3③2xy=10④y=-4x1
練習(xí)選擇:平行坐標(biāo)軸的特殊直線(xiàn),直線(xiàn)方程的非一般形式.
練習(xí)目的:熟悉公式結(jié)構(gòu),記憶并簡(jiǎn)單應(yīng)用公式.
教師強(qiáng)調(diào):直線(xiàn)方程的一般形式.
例題:
3.求平行線(xiàn)2x-7y8=0和2x-7y-6=0的距離.
教師提問(wèn):如何求兩平行線(xiàn)間的距離?距離如何轉(zhuǎn)化?
學(xué)生回答:選其中一條直線(xiàn)上的點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離.
師生共同分析:點(diǎn)所在直線(xiàn)的任意性、點(diǎn)的任意性.
學(xué)生自己練習(xí),教師巡視.教師提問(wèn)幾個(gè)學(xué)生回答自己選取的點(diǎn)和直線(xiàn)以及結(jié)果.然后選擇一種取任意點(diǎn)的方法進(jìn)行板書(shū).
解:在直線(xiàn)2x-7y-6=0上任取點(diǎn)P(x0,y0),則2x0-7y0-6=0,點(diǎn)P(x0,y0)到直線(xiàn)2x-7y8=0的距離是.
教師評(píng)述:本例題選取課本例題,但解法較多.除了選擇直線(xiàn)上的點(diǎn),還可以選取原點(diǎn),求它到兩條直線(xiàn)的距離,然后作和.或者選取直線(xiàn)外的點(diǎn)P,求它到兩條直線(xiàn)的距離,然后作差.
引申思考:與兩平行線(xiàn)間距離公式.
四、課堂小結(jié):(由學(xué)生總結(jié))
①
②總結(jié)寫(xiě)出點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的多種方法.
教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明:
一、教材分析
我主要從三方面:教材的地位和作用、教學(xué)目標(biāo)分析、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)來(lái)說(shuō)明的。教學(xué)目標(biāo)包括:知識(shí)、能力、德育等方面的內(nèi)容。我確定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)有教學(xué)大綱、考試大綱的要求、新教材的特點(diǎn)、所教學(xué)生的實(shí)際情況。
二、教學(xué)方法和手段
1、教學(xué)方法的選擇
(1)指導(dǎo)思想:教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體,引導(dǎo)學(xué)生參與對(duì)事物的認(rèn)識(shí)過(guò)程。
(2)教學(xué)方法:啟發(fā)式講解法、討論法。
2.教學(xué)手段的選用
采用了電腦多媒體教具,不僅將數(shù)學(xué)問(wèn)題形象、直觀顯示,便于學(xué)生思考,而且迅速展示部分純計(jì)算的解題過(guò)程,提高課堂效率。
三、教學(xué)過(guò)程
這節(jié)課我分:提出問(wèn)題--解決問(wèn)題--公式應(yīng)用--課堂小結(jié)--布置作業(yè)五個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)完成。
首先多媒體顯示實(shí)例,引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣和求知欲望,從而引出數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)一系列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形觀察,進(jìn)而分析、歸納總結(jié)選擇較好的方法具體實(shí)施。關(guān)于思路五,在課本中沒(méi)有出現(xiàn)這樣的證法,我在課堂上選取這樣的證法。主要是考慮到:向量是新教材內(nèi)容,是一種很好的數(shù)學(xué)工具,和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在新教材知識(shí)的交匯點(diǎn)。而且上述方法在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中,用坐標(biāo)聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法,這樣思路五的給出不僅符合新教材的要求,也為今后的學(xué)習(xí)方法奠定了基礎(chǔ)。
我選擇練習(xí)目的:熟悉公式結(jié)構(gòu),記憶并簡(jiǎn)單應(yīng)用公式,主要通過(guò)學(xué)生口答完成。我強(qiáng)調(diào)注意在公式中直線(xiàn)方程的一般式。例題的選取來(lái)自課本,但是課本只有一種特殊點(diǎn)的解法。我把本例題進(jìn)行挖掘,引導(dǎo)學(xué)生多角度考慮問(wèn)題。在整個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生注意體會(huì)解題方法中的靈活性。本節(jié)課小結(jié)主要由學(xué)生總結(jié),教師補(bǔ)充,尤其數(shù)學(xué)思想方法教師加以解釋。在整節(jié)課的處理中,采取了知識(shí)、方法來(lái)源于課本,挖掘其深度、廣度,符合現(xiàn)代教學(xué)要求
高一數(shù)學(xué)教案：《直線(xiàn)的一般式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
高一數(shù)學(xué)教案：《直線(xiàn)的一般式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能
（1）明確直線(xiàn)方程一般式的形式特征；
（2）會(huì)把直線(xiàn)方程的一般式化為斜截式，進(jìn)而求斜率和截距；
（3）會(huì)把直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式化為一般式。
2、過(guò)程與方法
學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想方法解決問(wèn)題。
3、情態(tài)與價(jià)值觀
（1）認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化；
（2）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1、重點(diǎn)：直線(xiàn)方程的一般式。
2、難點(diǎn)：對(duì)直線(xiàn)方程一般式的理解與應(yīng)用。
三、教學(xué)設(shè)想
問(wèn) 題
設(shè)計(jì)意圖
師生活動(dòng)
1、（1）平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線(xiàn)都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示嗎？
（2）每一個(gè)關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）都表示一條直線(xiàn)嗎？
使學(xué)生理解直線(xiàn)和二元一次方程的關(guān)系。
教師引導(dǎo)學(xué)生用分類(lèi)討論的方法思考探究問(wèn)題（1），即直線(xiàn)存在斜率和直線(xiàn)不存在斜率時(shí)求出的直線(xiàn)方程是否都為二元一次方程。對(duì)于問(wèn)題（2），教師引導(dǎo)學(xué)生理解要判斷某一個(gè)方程是否表示一條直線(xiàn)，只需看這個(gè)方程是否可以轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)方程的某種形式。為此要對(duì)B分類(lèi)討論，即當(dāng)時(shí)和當(dāng)B=0時(shí)兩種情形進(jìn)行變形。然后由學(xué)生去變形判斷，得出結(jié)論：
關(guān)于的二元一次方程，它都表示一條直線(xiàn)。
教師概括指出：由于任何一條直線(xiàn)都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示；同時(shí)，任何一個(gè)關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)。
我們把關(guān)于關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線(xiàn)的一般式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)一般式（general form）.
2、直線(xiàn)方程的一般式與其他幾種形式的直線(xiàn)方程相比，它有什么優(yōu)點(diǎn)？
使學(xué)生理解直線(xiàn)方程的一般式的與其他形
學(xué)生通過(guò)對(duì)比、討論，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)方程的一般式與其他形式的直線(xiàn)方程的一個(gè)不同點(diǎn)是：
問(wèn) 題
設(shè)計(jì)意圖
師生活動(dòng)
式的不同點(diǎn)。
直線(xiàn)的一般式方程能夠表示平面上的所有直線(xiàn)，而點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式方程，都不能表示與軸垂直的直線(xiàn)。
3、在方程中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線(xiàn)
（1）平行于軸；（2）平行于軸；（3）與軸重合；（4）與重合。
使學(xué)生理解二元一次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)對(duì)直線(xiàn)的位置的影響。
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)過(guò)的與軸平行和重合、與軸平行和重合的直線(xiàn)方程的形式。然后由學(xué)生自主探索得到問(wèn)題的答案。
4、例5的教學(xué)
已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，-4），斜率為，求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式和一般式方程。
使學(xué)生體會(huì)把直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式轉(zhuǎn)化為一般式，把握直線(xiàn)方程一般式的特點(diǎn)。
學(xué)生獨(dú)立完成。然后教師檢查、評(píng)價(jià)、反饋。指出：對(duì)于直線(xiàn)方程的一般式，一般作如下約定：一般按含項(xiàng)、含項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列；項(xiàng)的系數(shù)為正；，的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無(wú)特加要時(shí)，求直線(xiàn)方程的結(jié)果寫(xiě)成一般式。
5、例6的教學(xué)
把直線(xiàn)的一般式方程化成斜截式，求出直線(xiàn)的斜率以及它在軸與軸上的截距，并畫(huà)出圖形。
使學(xué)生體會(huì)直線(xiàn)方程的一般式化為斜截式，和已知直線(xiàn)方程的一般式求直線(xiàn)的斜率和截距的方法。
先由學(xué)生思考解答，并讓一個(gè)學(xué)生上黑板板書(shū)。然后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出由直線(xiàn)方程的一般式，求直線(xiàn)的斜率和截距的方法：把一般式轉(zhuǎn)化為斜截式可求出直線(xiàn)的斜率的和直線(xiàn)在軸上的截距。求直線(xiàn)與軸的截距，即求直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為此可在方程中令=0，解出值，即為與直線(xiàn)與軸的截距。
在直角坐標(biāo)系中畫(huà)直線(xiàn)時(shí)，通常找出直線(xiàn)下兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。
6、二元一次方程的每一個(gè)解與坐標(biāo)平面中點(diǎn)的有什么關(guān)系？直線(xiàn)與二元一次方程的解之間有什么關(guān)系？
使學(xué)生進(jìn)一步理解二元一次方程與直線(xiàn)的關(guān)系，體會(huì)直解坐標(biāo)系把直線(xiàn)與方程聯(lián)系起來(lái)。
學(xué)生閱讀教材第105頁(yè)，從中獲得對(duì)問(wèn)題的理解。
7、課堂練習(xí)
第105練習(xí)第2題和第3（2）
鞏固所學(xué)知識(shí)和方法。
學(xué)生獨(dú)立完成，教師檢查、評(píng)價(jià)。
問(wèn) 題
設(shè)計(jì)意圖
師生活動(dòng)
8、小結(jié)
使學(xué)生對(duì)直線(xiàn)方程的理解有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。
（1）請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出直線(xiàn)方程常見(jiàn)的幾種形式，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。
（2）比較各種直線(xiàn)方程的形式特點(diǎn)和適用范圍。
（3）求直線(xiàn)方程應(yīng)具有多少個(gè)條件？
（4）學(xué)習(xí)本節(jié)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？
9、布置作業(yè)
第106頁(yè)習(xí)題3.2第10題和第11題。
鞏固課堂上所學(xué)的知識(shí)和方法。
學(xué)生課后獨(dú)立思考完成。
