垂直與平行教學(xué)設(shè)計

高一數(shù)學(xué)教案：《兩條直線的平行與垂直》教學(xué)設(shè)計。

高一數(shù)學(xué)教案：《兩條直線的平行與垂直》教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)

(一)知識教學(xué)

理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.

(二)能力訓(xùn)練

通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運用已有知識解決新問題的能力, 以及數(shù)形結(jié)合能力．

(三)學(xué)科滲透

通過對兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識，合作交流的學(xué)習(xí)方式,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

重點：兩條直線平行和垂直的條件是重點，要求學(xué)生能熟練掌握，并靈活運用．

難點：啟發(fā)學(xué)生, 把研究兩條直線的平行或垂直問題, 轉(zhuǎn)化為研究兩條直線的斜率的關(guān)系問題．

注意：對于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況, 在課堂上老師應(yīng)提醒學(xué)生注意解決好這個問題．

教學(xué)過程

(一)先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直

上一節(jié)課, 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的傾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用傾斜角和斜率來表示直線相對于x軸的傾斜程度, 并推導(dǎo)出了斜率的坐標(biāo)計算公式. 現(xiàn)在, 我們來研究能否通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直．jAb88.COm

討論: 兩條直線中有一條直線沒有斜率, (1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．

(二)兩條直線的斜率都存在時, 兩直線的平行與垂直

設(shè)直線 L1和L2的斜率分別為k1和k2. 我們知道, 兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的, 而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的. 所以我們下面要研究的問題是: 兩條互相平行或垂直的直線, 它們的斜率有什么關(guān)系?

首先研究兩條直線互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．(借助計算機, 讓學(xué)生通過度量, 感知α1, α2的關(guān)系)

∴tgα1=tgα2．

即　 k1=k2．

相關(guān)知識

兩條直線平行與垂直的判定

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.
2．過程與方法
通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運用正確知識解決新問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合能力.
3．情感、態(tài)度與價值觀
通過對兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識，合作交流的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
（二）教學(xué)重點、難點
重點：兩條直線平行和垂直的條件.
難點：啟發(fā)學(xué)生，把研究兩條直線的平行或垂直問題，轉(zhuǎn)化為研究兩條直線的斜率的關(guān)系問題.
（三）教學(xué)方法
嘗試指導(dǎo)與合作交流相結(jié)合，通過提出問題，觀察實例，引導(dǎo)學(xué)生理解掌握兩條直線平行與垂直的判定方法.
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
復(fù)習(xí)引入上一節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的傾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用傾斜角和斜率來表示直線相對于x軸的傾斜程度，并推導(dǎo)出了斜率的坐標(biāo)計算公式.現(xiàn)在，我們來研究能否通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直.由學(xué)生回憶上節(jié)課內(nèi)容，再由老師引入新課.設(shè)置情境引入新課
概念形成1．特殊情況下，兩條直線平行與垂直.
兩條直線中有一條直線沒有斜率，（1）當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；（2）當(dāng)另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直.由學(xué)生討論得出答案
概念深化2．兩條直線的斜率都存在時，兩直線的平行與垂直.
設(shè)直線l1和l2的斜率分別為k1和k2.我們知道，兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的，而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的，所以我們下面要研究的問題是：兩條互相平行或垂直的直線，它們的斜率有什么關(guān)系？
首先研究兩條直線互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（圖），那么它們的傾斜角相等；a1=a2.（借助計算機，讓學(xué)生通過度量，感知a1，a2的關(guān)系）
∴tga1=tga2.
即k1=k2.
反過來，如果兩條直線的斜率相等：即k1=k2，那么tga1=tga2.
由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，
∴a1=a2
又∵兩條直線不重合，
∴l(xiāng)1∥l2.
結(jié)論：兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即l1∥l2k1=k2.
注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立.即如果k1=k2那么一定有l(wèi)1∥l2；反之則不一定.借助計算機，讓學(xué)生通過度量，感知的關(guān)系.
通過斜率相等判定兩直線平行，是通過代數(shù)方法得到幾何結(jié)論，體現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問題的思想.
下面我們研究兩條直線垂直的情形.
如果l1⊥l2，這時，否則兩直線平行.
設(shè)（圖）甲圖的特征是l1與l2的交點在x軸上方；乙圖的特征是l1與l2的交點在x軸下方；丙圖的特征是l1與l2的交點在x軸上，無論哪種情況下都有
.
因為l1、l2的斜率分別是k1、k2，即，所以.
∴.
即或k1k2=–1，
反過來，如果即k1k2=–1不失一般性，設(shè)k1＜0.
k2＞0，
那么.
可以推出a1=90°+.
l1⊥l2.
結(jié)論：兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即
注意：結(jié)論成立的條件，即如果k1k2=–1，那么一定有l(wèi)1⊥l2；反之則不一定.借助計算機，讓學(xué)生通過度量，感知k1，k2的關(guān)系，并使l1(或l2)轉(zhuǎn)動起來，但仍保持l1⊥l2，觀察k1，k2的關(guān)系，得到猜想，再加以驗證，可使為銳角，鈍角等.通過計算機的演示，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想，歸納的數(shù)學(xué)思想方法.
應(yīng)用舉例

例1已知A(2,3)，B(–4,0)，P（–3，1），Q（–1，2），試判斷直線BA與PQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.借助計算機作圖，使學(xué)生通過觀察猜想：BA∥PQ，再通過計算機加以驗證.（圖略）
例1解：直線BA的斜率k1=(3–0)/(2–(–4))=0.5，
直線PQ的斜率k2=(2–1)/(–1–(–3))=0.5，
因為k1=k2=0.5，所以直線BA∥PQ.通過例題的講解，使學(xué)生進一步理解掌握直線平行與垂直的條件.

例2已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0)，B(2,–1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.

例3已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.
例4已知A(5,–1)，B(1,1)，C(2,3)，試判斷三角形ABC的形狀.
分析：借助計算機作圖，通過觀察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，再通過計算加以驗證.（圖略）
課堂練習(xí)P94練習(xí)1、2.
借助計算機作圖，使學(xué)生通過觀察猜想：四邊形ABCD是平行四邊形，再通過計算加以驗證.
例2解：直線BA的斜率k1=(3–0)/(2–(–4))=0.5，
直線PQ的斜率k2=(2–1)/(–1–(–3))=0.5，
因為k1=k2=0.5，所以直線BA∥PQ.
例3解：直線AB的斜率k1=(6–0)/(3–(–6))=2/3，
直線PQ的斜率k2=(6–3)(–2–0)=3/2，
因為k1k2=–1，所以AB⊥PQ.
歸納總結(jié)（1）兩條直線平行或垂直的真實等價條件；
（2）應(yīng)用條件，判定兩條直線平行或垂直.
（3）應(yīng)用直線平行的條件，判定三點共線.由學(xué)生歸納，教師再補充完善.培養(yǎng)學(xué)生的概括能力
課后作業(yè)見習(xí)案3.1的第二課時由學(xué)生獨立完成鞏固深化新學(xué)知識
備選例題
例1試確定M的值，使過點A(m+1，0)，B(–5，m)的直線與過點C(–4，3)，D(0，5)的直線平行.
【解析】由題意得：
由于AB∥CD，即kAB=kCD，
所以，所以m=–2.
例2已知長方形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四個頂點D的坐標(biāo).
【解析】設(shè)第四個頂點D的坐標(biāo)為(x，y)
因為AD⊥CD，AD∥BC所以kADkCD=–1，且kAD=kBC
，
所以第四個頂點D的坐標(biāo)為(2，3).
例3已知定點A(–1，3)，B(4，2)，以A、B為直徑的端點，作圓與x軸有交點C，求交點C的坐標(biāo).
【解析】以線段AB為直徑的圓與x軸交點為C.
則AC⊥BC，設(shè)C(x，0)
則
所以
所以x=1或2，所以C(1，0)或(2，0)

《兩條直線平行與垂直的判定》學(xué)案分析

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？小編特地為大家精心收集和整理了“《兩條直線平行與垂直的判定》學(xué)案分析”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

《兩條直線平行與垂直的判定》學(xué)案分析

一、教材
首先談?wù)勎覍滩牡睦斫?，《兩條直線平行與垂直的判定》是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第三章3.1.2的內(nèi)容，本節(jié)課的內(nèi)容是兩條直線平行與垂直的判定的推導(dǎo)及其應(yīng)用，學(xué)生對于直線平行和垂直的概念已經(jīng)十分熟悉，并且在上節(jié)課學(xué)習(xí)了直線的傾斜角與斜率，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。
二、學(xué)情
教材是我們教學(xué)的工具，是載體。但我們的教學(xué)是要面向?qū)W生的，高中學(xué)生本身身心已經(jīng)趨于成熟，管理與教學(xué)難度較大，那么為了能夠成為一個合格的高中教師，深入了解所面對的學(xué)生可以說是必修課。本階段的學(xué)生思維能力已經(jīng)非常成熟，能夠有自己獨立的思考，所以應(yīng)該積極發(fā)揮這種優(yōu)勢，讓學(xué)生獨立思考探索。
三、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)以上對教材的分析以及對學(xué)情的把握，我制定了如下三維教學(xué)目標(biāo)：
(一)知識與技能
掌握兩條直線平行與垂直的判定，能夠根據(jù)其判定兩條直線的位置關(guān)系。
(二)過程與方法
在經(jīng)歷兩條直線平行與垂直的判定過程中，提升邏輯推理能力。
(三)情感態(tài)度價值觀
在猜想論證的過程中，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
四、教學(xué)重難點
我認(rèn)為一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，從教學(xué)內(nèi)容上說一定要突出重點、突破難點。而教學(xué)重點的確立與我本節(jié)課的內(nèi)容肯定是密不可分的。那么根據(jù)授課內(nèi)容可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：兩條直線平行與垂直的判定。本節(jié)課的教學(xué)難點是：兩條直線平行與垂直的判定的推導(dǎo)。
五、教法和學(xué)法
現(xiàn)代教學(xué)理論認(rèn)為，在教學(xué)過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者，教學(xué)的一切活動都必須以強調(diào)學(xué)生的主動性、積極性為出發(fā)點。根據(jù)這一教學(xué)理念，結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點和學(xué)生的年齡特征，本節(jié)課我采用講授法、練習(xí)法、小組合作等教學(xué)方法。
六、教學(xué)過程
下面我將重點談?wù)勎覍虒W(xué)過程的設(shè)計。

(一)新課導(dǎo)入
首先是導(dǎo)入環(huán)節(jié)，那么我采用復(fù)習(xí)導(dǎo)入，回顧上節(jié)課所學(xué)的直線的傾斜角與斜率并順勢提問：能否通過直線的斜率，來判斷兩條直線的位置關(guān)系呢?
利用上節(jié)課所學(xué)的知識進行導(dǎo)入，很好的克服學(xué)生的畏難情緒。
(二)新知探索
接下來是教學(xué)中最重要的新知探索環(huán)節(jié)，我主要采用講解法、小組合作、啟發(fā)法等。

兩條直線垂直

總課題兩條直線的平行與垂直總課時第24課時
分課題兩條直線垂直分課時第2課時
教學(xué)目標(biāo)掌握用斜率判斷兩條直線垂直的方法.
重點難點兩直線垂直的判斷.
引入新課
1．過點且平行于過兩點的直線的方程為_______________．
2．直線：與直線：平行，
則的值為________________．
3．已知點，判斷四邊形的形狀，
并說明此四邊形的對角線之間有什么關(guān)系？

4．當(dāng)兩條不重合的直線的斜率都存在時，若它們相互垂直，則它們的斜率的乘積等于_____________，反之，若它們的斜率的乘積_____________，那么它們互相___________，即______________________．當(dāng)一條直線的斜率為零且另一條直線的斜率不存在時，則它們______________________．
5．練習(xí)：
判斷下列兩條直線是否垂直，并說明理由
（1）；
（2）；（3）．

例題剖析
（1）已知四點，求證：；
（2）已知直線的斜率為，直線經(jīng)過點，
且，求實數(shù)的值．

如圖，已知三角形的頂點為求邊上的高
所在的直線方程．

例3在路邊安裝路燈，路寬，且與燈柱成角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直，當(dāng)燈柱高為多少米是，燈罩軸線正好通過道路路面的中線？
（精確到）

鞏固練習(xí)
1．求滿足下列條件的直線的方程：
（1）過點且與直線垂直；

（2）過點且與直線垂直；

（3）過點且與直線垂直．

2．如果直線與直線垂直，則___________________．
3．直線：與直線：垂直，
則的值為____________________．
4．若直線在軸上的截距為，且與直線：垂直，
則直線的方程是_____________________________．
5．以為頂點的三角形的形狀是______________________．

課堂小結(jié)
（均存在），若兩條直線中的一條斜率不存在，另一條的斜率為時，．
課后訓(xùn)練
班級：高一（）班姓名：____________
一基礎(chǔ)題
1．與垂直，且過點的直線方程是_________________________．
2．若直線在軸上的截距為，且與直線垂直，
則直線的方程是_________________________．
3．經(jīng)過點，且垂直于過兩點的直線的
直線方程為__________________．
4．求與直線垂直，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為的直線方程．

二提高題
5．求與直線垂直，且在軸上的截距比在軸上的截距大的直線方程．

三能力題
6．（1）已知直線：，且直線，
求證：直線的方程總可以寫成；

（2）直線和的方程分別是和，其中，
不全為，也不全為試探求：當(dāng)時，直線方程中的系數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？

7．已知直線：和直線：，
當(dāng)實數(shù)為何值時，？

兩條直線平行

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗少的高中教師教學(xué)。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？小編收集并整理了“兩條直線平行”，相信能對大家有所幫助。

總課題兩直線的平行與垂直總課時第23課時
分課題兩條直線平行分課時第1課時
教學(xué)目標(biāo)掌握用斜率判斷兩條直線平行的方法，感受用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的思想，運用分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、辯證性．
重點難點兩直線平行的判斷．
引入新課
1．解下列各題
（1）直線，在軸上的截距是它在軸上的截距的倍，則
______________
（2）已知點在經(jīng)過兩點的直線上，則的值是_____
2．（1）當(dāng)兩條不重合的直線的斜率都存在時，若它們相互平行，則它們的斜率______，
反之，若它們的斜率相等，那么它們互相___________，即//____________．
當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時，那么它們都與軸_________，故．
3．練習(xí)：
分別判斷下列直線與是否平行：
（1），；
（2），．

例題剖析
已知兩直線，求證：//．

求證：順次連結(jié)所得的四邊形是梯形．

例3求過點，且與直線平行的直線的方程．

求與直線平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為的直線的方程．

鞏固練習(xí)
1．如果直線與直線平行，則____________________．
2．過點且與直線平行的直線方程是____________________________．
3．兩直線和的位置關(guān)系是___________________．
4．已知直線與經(jīng)過點與的直線平行，若直線在軸上的截距為，
則直線的方程是_____________________________．
5．已知，求證：四邊形是梯形．

課堂小結(jié)
//或//斜率不存在且橫截距不相等，即如果，那么一定有//，反之不一定成立．
課后訓(xùn)練
班級：高一（）班姓名：____________
一基礎(chǔ)題
1．下列所給直線中，與直線平行的是（）
A．B．
C．D．
2．經(jīng)過點，且平行于過兩點和的直線的方程是____________．
3．將直線沿軸負(fù)方向平移個單位，則所得的直線方程為____________．
4．若直線與直線平行，則_________________．
二提高題
5．已知直線與與直線：平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，
求直線的方程．

6．當(dāng)為何值時，直線和直線平行．

三能力題
7．（1）已知直線：，且直線//，
求證：直線的方程總可以寫成；
（2）直線和的方程分別是和，其中，
不全為，也不全為，試探求：當(dāng)//時，直線方程中的系數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？

8．已知平行于直線的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，
求直線的方程．