小學(xué)三年級數(shù)學(xué)教案

九年級數(shù)學(xué)上冊《因式分解法》知識點總結(jié)人教版。

九年級數(shù)學(xué)上冊《因式分解法》知識點總結(jié)人教版

21.2．3因式分解法

知識點一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求

兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的詳細(xì)步驟：

①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知識點二用合適的方法解一元一次方程

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1,x2,則有x1+x2=，?,x1x2=22.3實際問題與一元二次方程

知識點一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間

的等量關(guān)系。

（2）設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

（3）列：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等

含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。

（4）解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。

（5）驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。（6）答：寫出答案。

知識點二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型

b

a

ca

（1）數(shù)字問題

三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1。三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個三位數(shù)是100a+10b+c.（2）增長率問題

設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a（1?x）2=b。（3）利潤問題

利潤問題常用的相等關(guān)系式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率（4）圖形的面積問題

根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程。

二次函數(shù)知識點歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)知識

1.定義：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常數(shù)，a?0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)y?ax2的性質(zhì)

（1）拋物線y?ax2的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸.（2）函數(shù)y?ax2的圖像與a的符號關(guān)系.

①當(dāng)a?0時?拋物線開口向上?頂點為其最低點；

②當(dāng)a?0時?拋物線開口向下?頂點為其最高點.

（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為y?ax2（a?0）.

延伸閱讀

八年級數(shù)學(xué)上冊知識點：因式分解

八年級數(shù)學(xué)上冊知識點：因式分解

因式分解
1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。
2、常用的因式分解方法：
(1)提取公因式法：
(2)運用公式法：平方差公式：;完全平方公式：
(3)十字相乘法：(4)分組分解法：將多項式的項適當(dāng)分組后能提公因式或運用公式分解。
(5)運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：
3、因式分解的一般步驟：
(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式;
(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法;
(3)對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4)最后考慮用分組分解法。

因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。
因式分解要素：
①結(jié)果必須是整式
②結(jié)果必須是積的形式
③結(jié)果是等式
④因式分解與整式乘法的關(guān)系：m（a+b+c）
公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。
公因式確定方法：
①系數(shù)是整數(shù)時取各項最大公約數(shù)。
②相同字母取最低次冪
③系數(shù)最大公約數(shù)與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。
提取公因式步驟：
①確定公因式。
②確定商式。
③公因式與商式寫成積的形式。
分解因式注意事項：
①不準(zhǔn)丟字母
②不準(zhǔn)丟常數(shù)項注意查項數(shù)
③雙重括號化成單括號
④結(jié)果按數(shù)單字母單項式多項式順序排列
⑤相同因式寫成冪的形式
⑥首項負(fù)號放括號外
⑦括號內(nèi)同類項合并。

八年級數(shù)學(xué)上冊14.3因式分解14.3.1提公因式法因式分解學(xué)案新版新人教版

14.3.1提公因式法因式分解
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、理解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關(guān)系．
2、理解公因式的概念
3、會用提公因式法因式分解。
【學(xué)習(xí)重點】會找公因式，會用提公因式法因式分解。
【學(xué)習(xí)難點】找公因式。
【學(xué)習(xí)過程】
一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境
1、請把下列各式寫成整式的乘積的形式：
（1）x2+x=；（2）x2-1=；
（3）am+bm+cm=；（4）x2－2xy+y2=．
總結(jié)概念：把一個化成幾個整式的的形式的變形叫做把這個多項式因式分解，也叫分解因式．
2、辯一辯：下列變形是否是因式分解？為什么？
（1）7x－7=7（x－1）．
(2)3a2b-ab+b=b(3a2-a)
（3）x2-2x+3=(x-1)2+2
（4）2m（n+c）-3（n+c）=（n+c）(2m-3)
(5)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)
(6)（x+1）（x－1）=x2－1
（7）x2-4=（x+2）(x-2)
（8）x+x2y=x2（+y）

3、問題：對于多項式：各項有何特點？你能把它分解因式嗎？
=.
歸納：公因式：如多項式：的各項都有一個，我們把這個.
叫做這個多項式的。
提公因式法：如果一個多項式的各項含有，那么就可以把這個公因式，從而將多項式化成兩個因式形式，這種分解因式的方法叫做．
4、請同學(xué)們指出下列各多項式中各項的公因式：
ax+ay+a4a2+10ah

4x2－8x6x2y+xy2

3mx-6mx212xyz-9x2y2

16a3b2－4a3b2－8ab4

通過以上學(xué)習(xí)探究活動，你能總結(jié)一下最大公因式的方法：
①一看系數(shù)：公因式的系數(shù)取各項系數(shù)的；
②二看字母：公因式字母取各項的字母，
③三看指數(shù)：公因式字母的指數(shù)取相同字母的最次冪．
二、范例學(xué)習(xí)：
例1將多項式分解因式8a3b2+12ab2c

即時訓(xùn)練：分解因式
（1）3x3-6xy+3x（2）-4a3+16a2-18a
例2、把2a（b+c）-3（b+c）分解因式.

即時訓(xùn)練：分解因式

三、鞏固練習(xí)：
1、把下列各式分解因式：
（1）（2）（3）

2、先分解因式，再求值：

四、課堂小結(jié)：
1．利用提公因式法因式分解，關(guān)鍵是找準(zhǔn)．在找最大公因式時應(yīng)注意：
.
2．因式分解應(yīng)注意分解徹底，也就是說，分解到不能再分解為止．
五、課后反思：,
（實際用課時）

九年級數(shù)學(xué)重要復(fù)習(xí)資料：因式分解法九大方式

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識點，老師需要提前準(zhǔn)備教案，大家應(yīng)該在準(zhǔn)備教案課件了。用心制定好教案課件的工作計劃，這對我們接下來發(fā)展有著重要的意義！有沒有出色的范文是關(guān)于教案課件的？為滿足您的需求，小編特地編輯了“九年級數(shù)學(xué)重要復(fù)習(xí)資料：因式分解法九大方式”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

九年級數(shù)學(xué)重要復(fù)習(xí)資料：因式分解法九大方式

(一)運用公式法：
我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。于是有：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。
(二)平方差公式
1.平方差公式
(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)語言：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。這個公式就是平方差公式。
(三)因式分解
1.因式分解時，各項如果有公因式應(yīng)先提公因式，再進(jìn)一步分解。
2.因式分解，必須進(jìn)行到每一個多項式因式不能再分解為止。
(四)完全平方公式
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反過來，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。
上面兩個公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特點
①項數(shù)：三項
②有兩項是兩個數(shù)的的平方和，這兩項的符號相同。
③有一項是這兩個數(shù)的積的兩倍。
(3)當(dāng)多項式中有公因式時，應(yīng)該先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示單項式，也可以表示多項式。這里只要將多項式看成一個整體就可以了。
(5)分解因式，必須分解到每一個多項式因式都不能再分解為止。
(五)分組分解法
我們看多項式am+an+bm+bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.
如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式.
原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義.但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以
原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)?(a+b).
這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.從上面的例子可以看出，如果把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式.
(六)提公因式法
1.在運用提取公因式法把一個多項式因式分解時，首先觀察多項式的結(jié)構(gòu)特點，確定多項式的公因式.當(dāng)多項式各項的公因式是一個多項式時，可以用設(shè)輔助元的方法把它轉(zhuǎn)化為單項式，也可以把這個多項式因式看作一個整體，直接提取公因式;當(dāng)多項式各項的公因式是隱含的時候，要把多項式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或改變符號，直到可確定多項式的公因式.
2.運用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)進(jìn)行因式分解要注意：
1.必須先將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和等于一次項的系數(shù).
2.將常數(shù)項分解成滿足要求的兩個因數(shù)積的多次嘗試，一般步驟：①列出常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積各種可能情況;
②嘗試其中的哪兩個因數(shù)的和恰好等于一次項系數(shù).
3.將原多項式分解成(x+q)(x+p)的形式.
(七)分式的乘除法
1.把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.
2.分式進(jìn)行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式.
3.如果分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式.如果分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分.
4.分式約分中注意正確運用乘方的符號法則，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.
5.分式的分子或分母帶符號的n次方，可按分式符號法則，變成整個分式的符號，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負(fù)來處理.當(dāng)然，簡單的分式之分子分母可直接乘方.
6.注意混合運算中應(yīng)先算括號，再算乘方，然后乘除，最后算加減.
(八)分?jǐn)?shù)的加減法
1.通分與約分雖都是針對分式而言，但卻是兩種相反的變形.約分是針對一個分式而言，而通分是針對多個分式而言;約分是把分式化簡，而通分是把分式化繁，從而把各分式的分母統(tǒng)一起來.
2.通分和約分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形，其共同點是保持分式的值不變.
3.一般地，通分結(jié)果中，分母不展開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項式，為進(jìn)一步運算作準(zhǔn)備.
4.通分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì).
5.通分的關(guān)鍵：確定幾個分式的公分母.
通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母.
6.類比分?jǐn)?shù)的通分得到分式的通分：
把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
7.同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。
同分母的分式加減運算，分母不變，把分子相加減，這就是把分式的運算轉(zhuǎn)化為整式運算。
8.異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減.
9.同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運算，但注意每個分子是個整體，要適時添上括號.
10.對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分.
11.異分母分式的加減運算，首先觀察每個公式是否最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算簡化.
12.作為最后結(jié)果，如果是分式則應(yīng)該是最簡分式.
(九)含有字母系數(shù)的一元一次方程
1.含有字母系數(shù)的一元一次方程
引例：一數(shù)的a倍(a≠0)等于b，求這個數(shù)。用x表示這個數(shù)，根據(jù)題意，可得方程ax=b(a≠0)
在這個方程中，x是未知數(shù)，a和b是用字母表示的已知數(shù)。對x來說，字母a是x的系數(shù)，b是常數(shù)項。這個方程就是一個含有字母系數(shù)的一元一次方程。含有字母系數(shù)的方程的解法與以前學(xué)過的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。