高中解三角形教案

第七章解三角形（高中數(shù)學(xué)競賽標準教材）。

第七章解三角形

一、基礎(chǔ)知識
在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內(nèi)角，a,b,c分別表示它們所對的各邊長，為半周長。
1．正弦定理：=2R（R為△ABC外接圓半徑）。
推論1：△ABC的面積為S△ABC=
推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推論3：在△ABC中，A+B=，解a滿足，則a=A.
正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=；再證推論2，因為B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等價于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等價于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因為0-A+a，-a+A.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得證。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理證明幾個常用的結(jié)論。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2=（1）
【證明】因為c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos，
所以c2=AD2+p2-2ADpcos①
同理b2=AD2+q2-2ADqcos，②
因為ADB+ADC=，
所以cosADB+cosADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式
（2）海倫公式：因為b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
這里
所以S△ABC=
二、方法與例題
1．面積法。
例1（共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足，另外OP，OQ，OR的長分別為u,w,v，這里α，β，α+β∈(0,)，則P，Q，R的共線的充要條件是
【證明】P，Q，R共線
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
，得證。
2．正弦定理的應(yīng)用。
例2如圖所示，△ABC內(nèi)有一點P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求證：APBC=BPCA=CPAB。
【證明】過點P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設(shè)及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，兩邊同時乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CPBA=APBC=BPAC，得證：
例3如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PABC。
【證明】延長PA交GD于M，
因為O1GBC，O2DBC，所以只需證
由正弦定理，
所以
另一方面，，
所以，
所以，所以PA//O1G，
即PABC，得證。
3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x,y,z，則a=y+z,b=z+x,c=x+y.
例4在△ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
【證明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y，則
abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
4．三角換元。
例5設(shè)a,b,c∈R+，且abc+a+c=b，試求的最大值。
【解】由題設(shè)，令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,
則tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤，
當且僅當α+β=，sinγ=，即a=時，Pmax=
例6在△ABC中，若a+b+c=1，求證:a2+b2+c2+4abc
【證明】設(shè)a=sin2αcos2β,b=cos2αcos2β,c=sin2β,β.
因為a,b,c為三邊長，所以c,c|a-b|，
從而，所以sin2β|cos2αcos2β|.
因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2αcos4βcos2β
=[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=.
所以a2+b2+c2+4abc
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB=，則cosAcosB的最大值為__________.
2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則的取值范圍是__________.
3．在△ABC中，a=4,b+c=5,tanC+tanB+tanCtanB，則△ABC的面積為__________.
4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1，則=__________.
5．在△ABC中，“ab”是“sinAsinB”的__________條件.
6．在△ABC中，sinA+cosA0,tanA-sinA0，則角A的取值范圍是__________.
7．在△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC=__________.
8．在△ABC中，“三邊a,b,c成等差數(shù)列”是“tan”的__________條件.
9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.
10．在△ABC中，tanAtanB1，則△ABC為__________角三角形.
11．三角形有一個角是600，夾這個角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12，求這個三角形的面積。
12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。
13．已知△ABC中，sinC=，試判斷其形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．在△ABC中，若tanA=,tanB=，且最長邊長為1，則最短邊長為__________.
2．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個.
3．已知p,q∈R+,p+q=1，比較大?。簆sin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC為__________角三角形.
5．若A為△ABC的內(nèi)角，比較大小：__________3.
6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.
7．滿足A=600，a=,b=4的三角形有__________個.
8．設(shè)為三角形最小內(nèi)角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，則a的取值范圍是__________.
9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。
10．求方程的實數(shù)解。
11．求證：
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在△ABC中，b2=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.
2．在△ABC中，若，則△ABC的形狀為____________.
3．對任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為____________.
4．在△ABC中，的最大值為____________.
5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|=，C，D為動點，且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S2+T2的取值范圍是____________.
6．在△ABC中，AC=BC，，O為△ABC的一點，，ABO=300，則ACO=____________.
7．在△ABC中，A≥B≥C≥，則乘積的最大值為____________，最小值為__________.
8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則=____________.
9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點共線。
10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。
11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀?！緒Ww.ZFw152.COM 趣祝?！?/p>

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQBC，Q為垂足。求證：，此處=B。
2．設(shè)四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2MN。
3．已知△ABC，其中BC上有一點M，且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證：，此處(a+b+c),a,b,c分別為△ABC對應(yīng)三邊之長。
4．已知凸五邊形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD與CE交于點O，求證：AOBE。
5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E和F分別在AB和CD上，求證：AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。
6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知PAQ=QAR=RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。
7．已知一凸四邊形的邊長依次為a,b,c,d，外接圓半徑為R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，試問對此四邊形有何要求？
8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P，A，B，C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點Q，則
9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F(xiàn)是垂足），求證：PAPBPC≥(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD)，并討論等號成立之條件。

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解三角形

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第三章函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標準教材)

第三章函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識
定義1映射，對于任意兩個集合A，B，依對應(yīng)法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，則稱f:A→B為一個映射。
定義2單射，若f:A→B是一個映射且對任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)則稱之為單射。
定義3滿射，若f:A→B是映射且對任意y∈B，都有一個x∈A使得f(x)=y，則稱f:A→B是A到B上的滿射。
定義4一一映射，若f:A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1:A→B。
定義5函數(shù)，映射f:A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x對應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域為{x|x≥0,x∈R}.
定義6反函數(shù)，若函數(shù)f:A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1:A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x).這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x,y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).
定理1互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。
定理2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。
定義7函數(shù)的性質(zhì)。
（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1,x2∈I并且x1x2，總有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。
（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，且D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，若對于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。
（3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。
定義8如果實數(shù)ab，則數(shù)集{x|axb,x∈R}叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}記作閉區(qū)間[a,b]，集合{x|ax≤b}記作半開半閉區(qū)間（a,b]，集合{x|a≤xb}記作半閉半開區(qū)間[a,b)，集合{x|xa}記作開區(qū)間（a,+∞），集合{x|x≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞,a].
定義9函數(shù)的圖象，點集{(x,y)|y=f(x),x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。
定理3復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y=在（-∞,2）上是增函數(shù)。
注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。
二、方法與例題
1．數(shù)形結(jié)合法。
例1求方程|x-1|=的正根的個數(shù).
【解】分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。

例2求函數(shù)f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，記點P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。
因為|PA|-|PA|≤|AB|=,當且僅當P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。
所以f(x)max=
2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例3設(shè)x,y∈R，且滿足，求x+y.
【解】設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實上，若ab，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)遞增。
由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍。
【解】因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當x∈I0時，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】設(shè)x∈Ik，則2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，
所以當x∈Ik時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，則由①得n=0，但m,n不同時為0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，則由①得n0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。
綜上，方程有唯一實數(shù)解x=
3.配方法。
例7求函數(shù)y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當x=-時，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。
4．換元法。
例8求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因為x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以該函數(shù)值域為[2+，8]。
5．判別式法。
例9求函數(shù)y=的值域。
【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
當y1時，①式是關(guān)于x的方程有實根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又當y=1時，存在x=0使解析式成立，
所以函數(shù)值域為[，7]。
6．關(guān)于反函數(shù)。
例10若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函數(shù)。
【證明】設(shè)x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，則x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，則因為f(x)在(-∞,+∞)上遞增，所以x1≥x2與假設(shè)矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)遞增。
例11設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(x)定義域為（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，設(shè)x1,x2是定義域內(nèi)變量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，設(shè)xy，則f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因為x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y滿足：對任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個。
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個；若f為滿射，則f有_______個；滿足f[f(x)]=f(x)的映射有_______個。
3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個交點。
4．函數(shù)y=f(x)的值域為[]，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域為_______。
5．已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域為_______。
6．已知f(x)=|x+a|，當x≥3時f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。
7．設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_______。
8．若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_______對稱。
9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_______。
10.函數(shù)y=,x∈(1,+∞)的反函數(shù)是_______。
11．求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定義在R上，對任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當x∈[2,3]時，f(x)=x，則當x∈[-2,0]時，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知a∈,f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_______。
2．設(shè)0≤a1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域為_______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，這樣的映射f有_______個。
4．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的值域為R，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、、）。
5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x0)，對任意非零實數(shù)x1,x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_______。
7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P)∩f(M)=；②若P∩M，則f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,則f(P)∪f(M)=R；④若P∪MR，則f(P)∪f(M)R.其中正確的判斷是_______。
8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定義域為[-6，6]的奇函數(shù)，且當x∈[0，3]時是一次函數(shù)，當x∈[3，6]時是二次函數(shù)，又f(6)=2，當x∈[3，6]時，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．設(shè)a0，函數(shù)f(x)定義域為R，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。
11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（αβ），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1,x2，求證：2|α-β|.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關(guān)于直線y=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=________.
6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7.函數(shù)f(x)=的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8.函數(shù)y=x+的值域為________.
9．設(shè)f(x)=,
對任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組：（在實數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)k∈N+,f:N+→N+滿足：（1）f(x)嚴格遞增；（2）對任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求證：對任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x≠0,f(x)=xf；（2）對所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.設(shè)f(x)對一切x0有定義，且滿足：（?。ゝ(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，試求f(1).
3.f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當x,y,x+y∈[0,1]時，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4.試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．對給定的正數(shù)p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
當x∈時，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。
8．函數(shù)y=f(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個函數(shù)f:Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x,y∈Q+.

高中數(shù)學(xué)競賽標準教材(第五章數(shù)列)

第五章數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識
定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項，an是關(guān)于n的具體表達式，稱為數(shù)列的通項。
定理1若Sn表示{an}的前n項和，則S1=a1,當n1時，an=Sn-Sn-1.
定義2等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d,則a=b-d,c=b+d.
定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項公式an=a1+(n-1)d；2）前n項和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對任意正整數(shù)p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.
定義3等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，都有，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。
定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項和Sn，當q1時，Sn=；當q=1時，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a,c的等比中項；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。
定義4極限，給定數(shù)列{an}和實數(shù)A，若對任意的0，存在M，對任意的nM(n∈N),都有|an-A|，則稱A為n→+∞時數(shù)列{an}的極限，記作
定義5無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列{an}的公比q滿足|q|1，則稱之為無窮遞增等比數(shù)列，其前n項和Sn的極限（即其所有項的和）為（由極限的定義可得）。
定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。

競賽常用定理
定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)對一切n≤k的自然數(shù)n都成立時（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。
定理5對于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個根為α,β:(1)若αβ，則xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始條件x1,x2的值確定；(2)若α=β，則xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值確定。
二、方法與例題
1．不完全歸納法。
這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。
例1試給出以下幾個數(shù)列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2已知數(shù)列{an}滿足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1，求通項an.
【解】因為a1=,又a1+a2=22a2,
所以a2=，a3=,猜想(n≥1).
證明；1）當n=1時，a1=，猜想正確。2）假設(shè)當n≤k時猜想成立。
當n=k+1時，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,，
所以=k(k+2)ak+1,
即=k(k+2)ak+1,
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以
例3設(shè)0a1，數(shù)列{an}滿足an=1+a,an-1=a+，求證：對任意n∈N+,有an1.
【證明】證明更強的結(jié)論：1an≤1+a.
1)當n=1時，1a1=1+a，①式成立；
2)假設(shè)n=k時，①式成立，即1an≤1+a，則當n=k+1時，有
由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。
2．迭代法。
數(shù)列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。
例4數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求證：存在常數(shù)c，使得an+
【證明】an+1+(pan+1+an+2)+=an+2(-qan)+=
+an(pqn+1+qan)]=q().
若=0，則對任意n,+=0，取c=0即可.
若0，則{+}是首項為，公式為q的等比數(shù)列。
所以+=qn.
取即可.
綜上，結(jié)論成立。
例5已知a1=0,an+1=5an+，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.
【證明】因為a1=0,a2=1，所以由題設(shè)知當n≥1時an+1an.
又由an+1=5an+移項、平方得
①
當n≥2時，把①式中的n換成n-1得，即
②
因為an-1an+1，所以①式和②式說明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的兩個不等根。由韋達定理得an+1+an-1=10an(n≥2).
再由a1=0,a2=1及③式可知，當n∈N+時，an都是整數(shù)。
3．數(shù)列求和法。
數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。
例6已知an=(n=1,2,…)，求S99=a1+a2+…+a99.
【解】因為an+a100-n=+=，
所以S99=
例7求和：+…+
【解】一般地，
，
所以Sn=

例8已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn為數(shù)列的前n項和，求證：Sn2。
【證明】由遞推公式可知，數(shù)列{an}前幾項為1，1，2，3，5，8，13。
因為，①
所以。②
由①-②得，
所以。
又因為Sn-2Sn且0,
所以Sn,所以，
所以Sn2，得證。
4．特征方程法。
例9已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.
【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故設(shè)an=(α+βn)2n-1，其中，
所以α=3，β=0，
所以an=32n-1.
例10已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通項an.
【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,
所以an=α3n+β(-1)n，其中，
解得α=，β，
所以3]。
5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。
例11正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項。
【解】由得=1，
即
令bn=+1，則{bn}是首項為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，
所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，
所以an=…a0=
注：C1C2…Cn.
例12已知數(shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通項。
【解】考慮函數(shù)f(x)=的不動點，由=x得x=
因為x1=2,xn+1=,可知{xn}的每項均為正數(shù)。
又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又
Xn+1-==,①
Xn+1+==,②
由①÷②得。③
又0，
由③可知對任意n∈N+，0且,
所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列。
所以，所以，
解得。
注：本例解法是借助于不動點，具有普遍意義。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．數(shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項和，當n≥2時，xn=_________.
2.數(shù)列{xn}滿足x1=，xn+1=,則{xn}的通項xn=_________.
3.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項xn=_________.
4.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a10,Sn為前n項之和，則當Sn最大時，n=_________.
5.等比數(shù)列{an}前n項之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.
6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，則S100=_________.
7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.
8.若，并且x1+x2+…+xn=8，則x1=_________.
9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若，則=_________.
10.若n!=n(n-1)…21,則=_________.
11．若{an}是無窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48,log2a2log2a3+log2a2log2a5+log2a2log2a6+log2a5log2a6=36，求的通項。
12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項和Sn。

四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知函數(shù)f(x)=，若數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，則a2006=_____________.
2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項an=.
3.若an=n2+,且{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是__________.
4.設(shè)正項等比數(shù)列{an}的首項a1=,前n項和為Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_____________.
5.已知，則a的取值范圍是______________.
6．數(shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n∈N+)，存在_________個a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個a1值，使{an}成等比數(shù)列。
7．已知(n∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項中，最大項與最小項分別是____________.
8．有4個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和中16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，則這四個數(shù)分別為____________.
9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，則an=____________.
10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項是在100與1000之間的整數(shù).
11．已知數(shù)列{an}中，an0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是
（n≥2）①恒成立。
12．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),當a1=p,b1=q(p0,q0)且p+q=1時，（1）求證：an0,bn0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=；（3）求數(shù)列
13．是否存在常數(shù)a,b,c，使題設(shè)等式
122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)
對于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項和為972，這樣的數(shù)列共有_________個。
2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn=，則通項xn=__________.
3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an0，且，則通項an=__________.
4.已知數(shù)列a0,a1,a2,…,an,…滿足關(guān)系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，則=__________.
5.等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比為=__________.
6.各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有__________項.
7.數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=6,且=2，則
________.
8.數(shù)列{an}稱為等差比數(shù)列，當且僅當此數(shù)列滿足a0=0,{an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時，項數(shù)最多有__________項.
9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1,an+1=。問：對于怎樣的h，存在大于0的整數(shù)n，使得an=1？
10．設(shè){ak}k≥1為一非負整數(shù)列，且對任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個連續(xù)項為0；（2）求出一個滿足以上條件，且其存在無限個非零項的數(shù)列。
11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得
a1=1,a21,an+1(an+1-1)=

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1,2,….
2．設(shè)a1,a2,…,an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1。
試問f(2007)能否被3整除？
3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且
求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。
4．無窮正實數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1xi(i=0,1,2,…),
（1）求證：對具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個n≥1，使≥3.999均成立；
（2）尋求這樣的一個數(shù)列使不等式4對任一n均成立。
5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問這樣的序列最多有多少項？
6．設(shè)a1=a2=，且當n=3,4,5,…時，an=,
(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(ⅱ)求證：是整數(shù)的平方。
7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對每個正整數(shù)n,un+1un-1=kuu，這里k是某個固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。
8．求證：存在無窮有界數(shù)列{xn}，使得對任何不同的m,k，有|xm-xk|≥
9.已知n個正整數(shù)a0,a1,…，an和實數(shù)q，其中0q1，求證：n個實數(shù)b0,b1,…，bn和滿足：（1）akbk(k=1,2,…,n)；
（2）q(k=1,2,…,n)；
（3）b1+b2+…+bn(a0+a1+…+an).

解斜三角形

5.4解斜三角形

●知識梳理
1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）
2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即
a2=b2+c2－2bccosA；①
b2=c2+a2－2cacosB；②
c2=a2+b2－2abcosC.③
在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得
cosA=；
cosB=；
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
特別提示
兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的實例.另外，解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”.
●點擊雙基
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等邊三角形
解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是
A.sinA+cosA=B.＞0
C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解析：由sinA+cosA=
得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
3.△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b等于
A.B.1+
C.D.2+
解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b為邊長，∴b=1+.
答案：B
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______.
解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=.
答案：
5.在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_______.
解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜.
答案：（1，）
●典例剖析
【例1】△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.
剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC
－=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因為A、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.
評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論
（1）該題若用余弦定理如何解決?
解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=.
所以cosA=cos2B.因為A、B是△ABC的內(nèi)角，所以A=2B.
（2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個符合條件的三角形，利用幾何知識解決?
解：由題設(shè)a2=b（b+c），得=①，
作出△ABC，延長CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.
因為∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，
所以A=2B.
評述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.
【例2】已知銳角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.
（1）求證：tanA=2tanB；
（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.
剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.
（1）證明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=－，
即=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（負值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.
設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.
評述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計算能力.
【例3】在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cosA===，∴∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△ABC中，
由面積公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實基礎(chǔ)
1.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.
答案：B
2.如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為
A.75°B.60°C.50°D.45°
解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=.
∴DF=.
∵CF為定值，∴當α=50°時，DF最大.
答案：C
3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2－c2），則∠C的度數(shù)是_______.
解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴C=.
答案：45°
4.在△ABC中，若∠C=60°，則=_______.
解析：=
=.（*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
答案：1
5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是
A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°
C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°
解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有兩值.
答案：C
培養(yǎng)能力
6.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.
解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥.
∴0＜B≤，
y===sinB+cosB=sin（B+）.∵＜B+≤，
∴＜sin（B+）≤1.故1＜y≤.
7.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面積的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）.
又∵R=，
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+
=sin（2A－30°）+.
∴當2A=120°，即A=60°時，Smax=.
8.在△ABC中，BC=a，頂點A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動，求的取值范圍.
解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=，sinC=（圖略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤.
所以的取值范圍為［，］.
探究創(chuàng)新
9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到市中心O點后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計算）
解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.
因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.
則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，當且僅當a=b時，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=，b=，
ab=
=
=
=
=≥，
當且僅當α=22°30′時，“=”成立.
所以|AB|2≥=400（+1）2，
當且僅當a=b，α=22°30′時，“=”成立.
所以當a=b==10時，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當AB分別在OA、OB上離O點10km處，能使|AB|最短，最短距離為20（－1）.
●思悟小結(jié)
1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot.
2.∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°.
3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實施邊角轉(zhuǎn)化.
5.用正（余）弦定理解三角形問題可適當應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長.
6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補.
●教師下載中心
教學(xué)點睛
1.一方面要讓學(xué)生體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會解三角形是重要的測量手段，通過數(shù)值計算進一步提高使用計算器的技能技巧和解決實際問題的能力.
2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.
拓展題例
【例1】已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，y=cotA+.
（1）若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.
故當A=B=C=時，ymin=.
評述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第（2）問實際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥.
【例2】在△ABC中，sinA=，判斷這個三角形的形狀.
分析：判斷一個三角形的形狀，可由三個內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.
解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
評述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.