小學數(shù)字教案

高中數(shù)學必修三導學案2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征（2）。

一名優(yōu)秀的教師在每次教學前有自己的事先計劃，教師要準備好教案，這是教師的任務之一。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助教師提前熟悉所教學的內(nèi)容。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫呢？下面是小編精心為您整理的“高中數(shù)學必修三導學案2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征（2）”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征（2）
【學習目標】
1．通過實例理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)標準差．
2．進一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.
【新知自學】
知識回顧：
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

新知梳理：
1.標準差
考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是.標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．樣本數(shù)據(jù)的標準差的算法：
（1）算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).
（2）算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：.
（3）算出（2）中的平方.
（4）算出（3）中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差.
（5）算出（4）中平均數(shù)的算術平方根，即為樣本標準差.
其計算公式為：

顯然，標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較?。?br> 【感悟】現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的，如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢？
2.方差
從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方（即方差）來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。
對點練習：
1．可以描述總體穩(wěn)定性的統(tǒng)計量是（）．
(A)樣本平均數(shù)(B)樣本中位數(shù)
（C）樣本方差(D)樣本最大值
2．已知容量為40的樣本方差，那么s等于（）．
(A)4(B)2（C）(D)1
3．與總體單位不一致的量是（）．
(A)s(B)B
（C）(D)
【合作探究】
典例精析
例題1.在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：
甲：78795491074
乙：9578768677
（1）甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？
（2）使用標準差判斷哪位運動員的成績更加穩(wěn)定？JaB88.com

變式訓練1.甲乙兩人在同樣的條件下練習射擊，每人5發(fā)子彈，命中環(huán)數(shù)如下：
甲：6，8，9，9，8；
乙：10，7，7，7，9，則兩人射擊成績的穩(wěn)定程度是（）
A.甲比乙穩(wěn)定B.乙比甲穩(wěn)定
C.甲乙穩(wěn)定程度相同D.無法比較
例題2.對自行車運動員甲乙兩人在相同條件下進行了6次測試，測試成績的莖葉圖如圖所示
甲乙
7289
0157833468

(1)分別求出甲乙的中位數(shù)和平均數(shù)；
(2)試用方差判斷選誰參加該項比賽更合適。

變式訓練2.在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6，9.4,9.7，去掉最高分和最低分，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別是（）
A.9.4，0.4884B.9.4，0.016
C.9.5，0.04D.9.5，0.016

【課堂小結】
【當堂達標】
1、下列說法正確的是（）
A.在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)較大的一組方差較大
B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均數(shù)的波動大小
C.方差的求法是求出各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方后再求和
D.在記錄兩個人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大的表示射擊水平高．
2、已知兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為h，的平均數(shù)為k，則把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為()
A.B.
C.D.
3、某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9，5,4,9,10,7,4則平均命中環(huán)數(shù)為___________;命中環(huán)數(shù)的標準差為___________.
【課時作業(yè)】
1.已知五個數(shù)據(jù)3，5，7，4，6，則該樣本的方差是（）
A、1B、2C、3D、4
2.一組數(shù)據(jù)的方差為，將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都擴大倍，所得一組新數(shù)據(jù)的方差為（）
A.B.
C.D.
3.若樣本的平均數(shù)為10，其方差為2，則對于樣本的下列結論正確的是（）．
(A)平均數(shù)為10，方差為2
(B)平均數(shù)為11，方差為3
（C）平均數(shù)為11、方差為2
(D)平均數(shù)為14，方差為4
4.一個樣本的方差是，則這個樣本的平均數(shù)與樣本容量分別是(）．
(A)10，10(B)6，15
（C）15、10(D)由確定，10
5.從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100人成績的標準差為（）
A.B.C.3D.
分數(shù)54321
人數(shù)2010303010

6.已知一個樣本1，3，2，5，x，它的平均數(shù)為3，則該樣本的標準差是
7.若40個數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的方差是，標準差是
8.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標準差等于1，則這組數(shù)據(jù)為
(從小到大排列)
9．甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）
其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是．
品種第1年第2年第3年第4年第5年
甲9.89.910.11010.2
乙9.410.310.89.79.8

10.某鹽場有甲、乙兩套設備包裝食鹽，在自動包裝傳送帶上，每隔3分鐘抽一包稱其重量是否合格，分別記錄數(shù)據(jù)如下：
甲套設備：504，510，505，490，485，485，515，510，496，500；
乙套設備：496，502，501，499，505，498，499，498，497，505．
（1）試確定這是何種抽樣方法？
（2）比較甲、乙兩套設備的平均值與方差，
說明哪套包裝設備誤差較少？

11.隨機抽取某中學甲乙兩班各10名同學,測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
(2)計算甲班的樣本方差.

12.甲、乙兩臺包裝機同時包裝質量為200克的糖果，從中各抽出10袋，測得其實際質量分別如下（單位：克）：
甲：203204202196199201205197
202199
乙：201200208206210209200193
194194
（1）分別計算兩個樣本的平均數(shù)和方差.
（2）從計算結果看，哪臺包裝機的10袋糖果的平均質量更接近于200克？哪臺包裝機包裝的10袋糖果的質量比較穩(wěn)定？

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２.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

２.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
教學目標：
知識與技能
（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差。
（2）能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋。
（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。
（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。
過程與方法
在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法。
情感態(tài)度與價值觀
會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統(tǒng)計的作用，能夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。
重點與難點
重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差。
難點：能應用相關知識解決簡單的實際問題。
教學設想
【創(chuàng)設情境】
在一次射擊比賽中甲、乙兩名運動員各射擊次，命中環(huán)數(shù)如下﹕
甲運動員﹕，，，，，，，，，；
乙運動員﹕，，，，，，，，，
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究?！脴颖镜臄?shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（板出課題）。
【探究新知】
一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
〖探究〗：P62
（1）怎樣將各個樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值，并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點”？
（2）能否用一個數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些統(tǒng)計知識，思考后展開討論）
初中我們曾經(jīng)學過眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應當說，這些數(shù)字都能夠為我們提供關于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。例如前面一節(jié)在調查位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是（最高的矩形的中點）（圖略見課本第頁）它告訴我們，該市的月均用水量為的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少。
〖提問〗：請大家翻回到課本第頁看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，怎么會是眾數(shù)呢？為什么？（請大家思考作答）
分析：這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。
〖提問〗：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？
分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。由此可以估計出中位數(shù)的值為。（圖略見課本63頁圖）
〖思考〗：這個中位數(shù)的估計值，與樣本的中位數(shù)值不一樣，你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）
（課本63頁圖）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學生討論，并舉例）
二、標準差、方差
１．標準差
平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，可是，有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷。某地區(qū)的統(tǒng)計顯示，該地區(qū)的中學生的平均身高為１７６㎝，給我們的印象是該地區(qū)的中學生生長發(fā)育好，身高較高。但是，假如這個平均數(shù)是從五十萬名中學生抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話，那么，這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學生的身體素質。因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)。
例如，在一次射擊選拔比賽中甲、乙兩名運動員各射擊次，命中環(huán)數(shù)如下﹕
甲運動員﹕，，，，，，，，，；
乙運動員﹕，，，，，，，，，
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？
我們知道，。
兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察Ｐ６６圖２.２-８）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)。
考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標準差。標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。
樣本數(shù)據(jù)的標準差的算法：
（１）、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)。
（２）、算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：
（３）、算出（２）中的平方。
（４）、算出（３）中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差。
（５）、算出（４）中平均數(shù)的算術平方根，，即為樣本標準差。
其計算公式為：

顯然，標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。
〖提問〗：標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？
從標準差的定義和計算公式都可以得出：。當時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。
（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學生簡單的介紹一下利用計算機來計算標準差的方法。）
２．方差
從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方（即方差）來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。
【例題精析】
〖例1〗：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說明他們的異同點。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先畫出數(shù)據(jù)的直方圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標準差的計算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標準差。
解：（圖略，可查閱課本Ｐ６８）
四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是５.０，標準差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他們有相同的平均數(shù)，但他們有不同的標準差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的。
〖例2〗：（見課本Ｐ６９）
分析：比較兩個人的生產(chǎn)質量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標準差的大小即可，根據(jù)用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標準差，以此作為兩個總體之間的差異的估計值。
【課堂精練】
P７１練習1.2.3４
【課堂小結】
1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：
a)用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。
b)用樣本標準差估計總體標準差。樣本容量越大，估計就越精確。
2．平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。
3．標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度。
【評價設計】
1．P７２習題A組３、４、１０

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為教師就要早早地準備好適合的教案課件。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的教案呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征”，希望能為您提供更多的參考。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

〖教學目標〗
1.正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差
2.能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋；
3.會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。
〖教學重難點〗
教學重點用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差。
教學難點能應用相關知識解決簡單的實際問題。
〖教學過程〗
一、復習回顧
作頻率分布直方圖分幾個步驟？各步驟需要注意哪些問題？
二、創(chuàng)設情境
在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕
甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？上節(jié)課我們學習了用圖表的方法來研究，為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們這節(jié)課要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特。
三、新知探究
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
眾數(shù)—一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；在頻率分布直方圖中，我們?nèi)∽罡叩哪莻€小長方形橫坐標的中點。
中位數(shù)——當一組數(shù)有奇數(shù)個時等于中間的數(shù)，當有偶數(shù)個時等于中間兩數(shù)的平均數(shù)；在頻率分布直方圖中，是使圖形左右兩邊面積相等的線所在的橫坐標。
平均數(shù)——將所有數(shù)相加再除以這組數(shù)的個數(shù)；在頻率分布直方圖中，等于每個小長方形的面積乘以其底邊中點的橫坐標的和。
思考探究：
分別利用原始數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，觀察所得的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么
問題？為什么會這樣呢？
你能說說這幾個數(shù)據(jù)在描述樣本信息時有什么特點嗎？由此你有什么樣的體會？
答：（1）從頻率分布直方圖得到的眾數(shù)和中位數(shù)與從數(shù)據(jù)中得到的不一樣，因為頻率分布直方圖損失了一部分樣本信息，所以不如原始數(shù)據(jù)準確。
（2）眾數(shù)和中位數(shù)不受極端值的影響，平均數(shù)反應樣本總體的信息，容易受極端值的影響。
練一練：
假如你是一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公路項目投資的平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設投資為2000萬元人民幣，另外25個項目的投資是20～100萬元。中位數(shù)是25萬元，平均數(shù)是100萬元，眾數(shù)是20萬元。你會選擇哪一種數(shù)字特征來表示國家對每一個項目投資的平均金額？
解析：平均數(shù)。
一、標準差、方差
在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕
甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？
我們知道，。
兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察圖2.2－7）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)。
1、標準差
標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。

思考探究：
1、標準差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關系？
2、標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？
答：（1）顯然，標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。
（2）從標準差的定義和計算公式都可以得出：。當時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)
都等于樣本平均數(shù)。
2、方差

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。
四、例題精析
例1：農(nóng)場種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田連續(xù)6年的年平均產(chǎn)量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？
[分析]采用求標準差的方法
解：

所以甲水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。
點評：在平均值相等的情況下，比較方差或標準差。
變式訓練：在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：
90899095939493
去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為
（A）92,2(B)92,2.8(C)93,2(D)93,2.8
【答案】B
【解析】由題意知，所剩數(shù)據(jù)為90，90，93，94，93，所以其平均值為
90+=92；方差為2.8，故選B。

例2、例1.為了調查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為

由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在
的人數(shù)是.

(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù).

(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù).

點評：在直方圖中估計中位數(shù)、平均數(shù)。
變式訓練：
某醫(yī)院急診中心關于其病人等待急診的時間記錄如下：
等待時間（分鐘）
人數(shù)48521
用上述分組資料計算得病人平均等待時間的估計值=，病人等待時間的標準差的估計值=

五、反饋測評
1．在一次知識競賽中，抽取20名選手，成績分布如下：
成績678910
人數(shù)分布12467
則選手的平均成績是（）
A．4B.4.4C.8D.8.8
2．8名新生兒的身長（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長的估計為，約有一半的新生兒身長大于等于，新生兒身長的最可能值是.
3.．樣本的平均數(shù)為5，方差為7，則3的平均數(shù)、方差，標準差分別為

4．某工廠甲，乙兩個車間包裝同一產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔30min抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲車間：102，101，99，103，98，99，98；乙車間：110，105，90，85，75，115，110.
（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？
（2）估計甲、乙兩車間的均值與方差，并說明哪個車間的產(chǎn)品較穩(wěn)定.

六、課堂小結
1、在頻率分布直方圖中，如何求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？
2、標準差的公式；標準差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關系？
〖板書設計〗
〖書面作業(yè)〗
課本67

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

課前預習學案
一、預習目標：
通過預習，初步理解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差的概念。
二、預習內(nèi)容：
1、知識回顧：
作頻率分布直方圖分幾個步驟？各步驟需要注意哪些問題？

2、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念
眾數(shù):____________________________________________________________________

中位數(shù):___________________________________________________________________

平均數(shù):____________________________________________________________________
3.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系：
眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是______________________________________
中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的________應該相等，由此可估計中位數(shù)的值。
平均數(shù)是直方圖的___________.
4.標準差、方差
標準差s=_________________________________________________________________

方差s2=_________________________________________________________________
三、提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學案
一、學習目標：
1.能說出樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)的標準差
2.能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋；
3.會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。
二、學習內(nèi)容
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
思考1：分別利用原始數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，觀察所得的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么問題？為什么會這樣呢？

思考2：你能說說這幾個數(shù)據(jù)在描述樣本信息時有什么特點嗎？由此你有什么樣的體會？
練一練：
假如你是一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公路項目投資的平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設投資為2000萬元人民幣，另外25個項目的投資是20～100萬元。中位數(shù)是25萬元，平均數(shù)是100萬元，眾數(shù)是20萬元。你會選擇哪一種數(shù)字特征來表示國家對每一個項目投資的平均金額？

2.標準差、方差
在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕
甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？

思考1：標準差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關系？

思考2：標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？

3、〖典型例題〗
例1.為了調查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為

由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在
的人數(shù)是.

(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù).

(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù).

例2：農(nóng)場種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田連續(xù)6年的年平均產(chǎn)量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？
三、反思總結
1、在頻率分布直方圖中，如何求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？
2、標準差的公式；標準差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關系?

四、當堂檢測

1．在一次知識競賽中，抽取20名選手，成績分布如下：
成績678910
人數(shù)分布12467
則選手的平均成績是（）
A．4B.4.4C.8D.8.8
2．8名新生兒的身長（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長的估計為，約有一半的新生兒身長大于等于，新生兒身長的最可能值是.
3．某醫(yī)院急診中心關于其病人等待急診的時間記錄如下：
等待時間（分鐘）
人數(shù)48521
用上述分組資料計算得病人平均等待時間的估計值=，病人等待時間的標準差的估計值=

4．樣本的平均數(shù)為5，方差為7，則3的平均數(shù)、方差，標準差分別為

5．某工廠甲，乙兩個車間包裝同一產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔30min抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲車間：102，101，99，103，98，99，98；乙車間：110，105，90，85，75，115，110.
（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？
（2）估計甲、乙兩車間的均值與方差，并說明哪個車間的產(chǎn)品較穩(wěn)定.

課后練習與提高
1.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則的值為（）
A．1B.2C.3D.4
解：由平均數(shù)公式為10，得，則，又由于方差為2，則得
所以有，故選D.
2.某房間中10個人的平均身高為1.74米，身高為1.85米的第11個人，進入房間后，這11個人的平均身高是多少？
解：原來的10個人的身高之和為17.4米，所以，這11個人的平均身高為=1.75.即這11個人的平均身高為1075米
[例4]若有一個企業(yè)，70%的人年收入1萬，25%的人年收入3萬，5%的人年收入11萬，求這個企業(yè)的年平均收入及年收入的中位數(shù)和眾數(shù)
解：年平均收入為1（萬）；中位數(shù)和眾數(shù)均為1萬
3.下面是某快餐店所有工作人員的收入表：
老板大廚二廚采購員雜工服務生會計
3000元450元350元400元320元320元410元
（1）計算所有人員的月平均收入；
（2）這個平均收入能反映打工人員的月收入的一般水平嗎？為什么？
（3）去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的月收入的水平嗎？
（4）根據(jù)以上計算，以統(tǒng)計的觀點對（3）的結果作出分析
解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）這個平均收入不能反映打工人員的月收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員
（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.這能代表打工人員的月收入水平
（4）由上可見，個別特殊數(shù)據(jù)可能對平均值產(chǎn)生大的影響，因此在進行統(tǒng)計分析時，對異常值要進行專門討論，有時應剔除之

高二數(shù)學用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（第一課時）
【學習目標】理解樣本數(shù)據(jù)的方差，標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的方差、標準差，并使學生領會通過合理的抽樣對總體的穩(wěn)定性水平作出科學的估計的思想。
【重點難點】掌握從實際問題中提取數(shù)據(jù)，利用樣本數(shù)據(jù)計算方差，標準差，并對總體穩(wěn)定性水平估計的方法。
【學習過程】
一、學習引導
①．方差和標準差計算公式：
設一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則
樣本方差：s2=
樣本標準差：s=
②．方差和標準差的意義：
二．合作交流
①若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為
②若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為；特別地，當時，則有的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去相同的一個常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性；
③方差刻畫了程度；對于不同的數(shù)據(jù)集，當越大時，方差越大；
④方差的單位是，對數(shù)據(jù)中的極值較為敏感，標準差的單位與原始測量數(shù)據(jù)單位相同，可以減弱極值的影響。
二、隨堂練習
例：要從甲乙兩名跳遠運動員中選拔一名去參加運動會，選拔的標準是：先看他們的平均成績，如果兩人的平均成績相差無幾，就要再看他們成績的穩(wěn)定程度。為此對兩人進行了15次比賽，得到如下數(shù)據(jù)：（單位：cm）：
甲755752757744743729721731778768761773764736741
乙729767744750745753745752769743760755748752747
如何通過對上述數(shù)據(jù)的處理，來作出選人的決定呢？

1.證明方差的兩個性質
①．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為
②．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為；

【小結反思】1.方差和標準差計算公式：
設一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則
樣本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
樣本標準差：s=
2.方差和標準差的意義：描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)。標準差大說明波動大。

【自我測評】
1．若的方差為3，則的方差為.
2．在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（）
A．B．C．D．
3.從甲乙兩個總體中各抽取了一個樣本：
甲658496
乙876582
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，說明哪個波動??？
4.甲乙兩人在相同條件下個射擊20次，命中的環(huán)數(shù)如下：
甲7868659107456678791096
乙95787686779658696877
問誰射擊的情況比較穩(wěn)定？
5．為了考察甲乙兩種小麥的長勢，分別從中抽取10株苗，測得苗高如下：
甲12131415101613111511
乙111617141319681016
哪種小麥長得比較整齊？
6．從A、B兩種棉花中各抽10株，測得它們的株高如下：(CM)
A、25414037221419392142
B、27164427441640164040
(1)哪種棉花的苗長得高？
(2)哪種棉花的苗長得整齊？
7．“用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)?？梢月牭降囊痪湓?，但數(shù)據(jù)有時也會被利用，從而產(chǎn)生誤導。例如，一個企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達到幾十萬元。這時年收入的平均數(shù)會比中位數(shù)大得多。盡管這時中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個企業(yè)的老板到人力市場去招聘工人時，也許更可能用平均數(shù)來回答有關工資待遇方面的提問。你認為“我們單位的收入比別的單位高”這句話應當怎么理解？

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（第二課時）

【學習目標】理解樣本數(shù)據(jù)的方差，標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的方差、標準差，并使學生領會通過合理的抽樣對總體的穩(wěn)定性水平作出科學的估計的思想。
【重點難點】掌握從實際問題中提取數(shù)據(jù)，利用樣本數(shù)據(jù)計算方差，標準差，并對總體穩(wěn)定性水平估計的方法。
【學習過程】
三、學習引導
①．方差和標準差計算公式：
設一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則
樣本方差：s2=
樣本標準差：s=
②．方差和標準差的意義：
二．合作交流
①若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為
②若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為；特別地，當時，則有的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去相同的一個常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性；
③方差刻畫了程度；對于不同的數(shù)據(jù)集，當越大時，方差越大；
④方差的單位是，對數(shù)據(jù)中的極值較為敏感，標準差的單位與原始測量數(shù)據(jù)單位相同，可以減弱極值的影響。
四、隨堂練習
例：要從甲乙兩名跳遠運動員中選拔一名去參加運動會，選拔的標準是：先看他們的平均成績，如果兩人的平均成績相差無幾，就要再看他們成績的穩(wěn)定程度。為此對兩人進行了15次比賽，得到如下數(shù)據(jù)：（單位：cm）：
甲755752757744743729721731778768761773764736741
乙729767744750745753745752769743760755748752747
如何通過對上述數(shù)據(jù)的處理，來作出選人的決定呢？
1.證明方差的兩個性質
①．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為
②．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為；

【小結反思】1.方差和標準差計算公式：
設一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則
樣本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
樣本標準差：s=
2.方差和標準差的意義：描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)。標準差大說明波動大。

【自我測評】
1．若的方差為3，則的方差為.
2．在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（）
A．B．C．D．
3.從甲乙兩個總體中各抽取了一個樣本：
甲658496
乙876582
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，說明哪個波動??？
4.甲乙兩人在相同條件下個射擊20次，命中的環(huán)數(shù)如下：
甲7868659107456678791096
乙95787686779658696877
問誰射擊的情況比較穩(wěn)定？
5．為了考察甲乙兩種小麥的長勢，分別從中抽取10株苗，測得苗高如下：
甲12131415101613111511
乙111617141319681016
哪種小麥長得比較整齊？
6．從A、B兩種棉花中各抽10株，測得它們的株高如下：(CM)
A、25414037221419392142
B、27164427441640164040
(1)哪種棉花的苗長得高？
(2)哪種棉花的苗長得整齊？
7．“用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)?？梢月牭降囊痪湓?，但數(shù)據(jù)有時也會被利用，從而產(chǎn)生誤導。例如，一個企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達到幾十萬元。這時年收入的平均數(shù)會比中位數(shù)大得多。盡管這時中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個企業(yè)的老板到人力市場去招聘工人時，也許更可能用平均數(shù)來回答有關工資待遇方面的提問。你認為“我們單位的收入比別的單位高”這句話應當怎么理解？

第2節(jié)第2課時用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征教學案

俗話說，凡事預則立，不預則廢。高中教師要準備好教案，這是高中教師的任務之一。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師營造一個良好的教學氛圍。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編幫大家編輯的《第2節(jié)第2課時用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征教學案》，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

第2課時用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
[核心必知]
1．預習教材，問題導入
根據(jù)以下提綱，預習教材P71～P78，回答下列問題．
(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各是什么樣的數(shù)？
提示：見本課時[歸納總結，核心必記](1)．
(2)你能說出教材P72思考中樣本的中位數(shù)與樣本中位數(shù)估計值為什么不一樣嗎？
提示：頻率分布直方圖已經(jīng)損失了一些基本的信息，因而通過頻率分布直方圖只能估計樣本的中位數(shù)，而不能得到樣本的準確的中位數(shù)．
(3)標準差和方差各指什么？
提示：見本課時[歸納總結，核心必記](2)．
2．歸納總結，核心必記
(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)．
②中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
③平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)取得的商叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一般記為x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)標準差、方差
①標準差：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．假設樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
則s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].
②方差：標準差的平方s2即為方差，則s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
[問題思考]
(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有多個嗎？中位數(shù)是否也有相同的結論？
提示：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，但中位數(shù)有且只有一個．
(2)在頻率分布直方圖中如何求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？
提示：①在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點的橫坐標；
②中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；
③平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
[課前反思]
通過以上預習，必須掌握的幾個知識點：
(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念：；
(2)標準差、方差的公式：.
現(xiàn)從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命進行跟蹤調查，其結果如下(單位：年)
甲：3,4,5,6,8,8,8,10
乙：4,6,6,6,8,9,12,13
丙：3,3,4,7,9,10,11,12
[思考1]三家廣告中都稱其產(chǎn)品使用壽命為8年，你能說明為什么嗎？
名師指津：三個廠家從不同的角度進行了說明，以宣傳自己的產(chǎn)品．其中甲：眾數(shù)為8年，乙：平均數(shù)為8年，丙：中位數(shù)為8年．
[思考2]眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各有什么優(yōu)缺點？
名師指津：三種數(shù)字特征的比較：
眾數(shù)：優(yōu)點是體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，容易計算；缺點是只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息，無法客觀地反映總體的特征．
中位數(shù)：優(yōu)點是不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響，容易計算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息；缺點是對極端值不敏感．
平均數(shù)：優(yōu)點是代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量，一般情況下可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息；缺點是任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，數(shù)據(jù)越“離群”對平均值的影響越大．
?講一講
1．某工廠人員及月工資構成如下：
人員經(jīng)理管理
人員高級
技工工人學徒合計
月工
資(元)22000250022002000100029700
人數(shù)16510123
合計22000150001100020000100069000
(1)指出這個表格中月工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；
(2)這個表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？
[嘗試解答](1)由表格可知，眾數(shù)為2000元．
把23個數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，排在中間的數(shù)應是第12個數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．
平均數(shù)為69000÷23＝3000(元)．
(2)雖然平均數(shù)為3000元，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理的工資在平均數(shù)以上，其余人的工資都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平．
對眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的幾點說明
(1)如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值．在實際應用中，樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端數(shù)據(jù)信息，幫助我們作出決策．
(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的特征，它是各個數(shù)據(jù)的重心．
?練一練
1．某校在一次考試中，甲、乙兩班學生的數(shù)學成績統(tǒng)計如下：
分數(shù)5060708090100

人數(shù)甲班161211155
乙班351531311
選用平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)評估這兩個班的成績．
解：甲班平均數(shù)79.6分，乙班平均數(shù)80.2分，從平均分看成績較好的是乙班；
甲班眾數(shù)為90分，乙班眾數(shù)為70分，從眾數(shù)看成績較好的是甲班；
按從高到低(或從低到高)的順序排列之后，甲班的第25個和第26個數(shù)據(jù)都是80，所以中位數(shù)是80分，同理乙班中位數(shù)也是80分，但是甲班成績在中位數(shù)以上(含中位數(shù))的學生有31人，占全班學生的62%，同理乙班有27人，占全班學生的54%，所以從中位數(shù)看成績較好的是甲班．
如果記90分以上(含90分)為優(yōu)秀，甲班有20人，優(yōu)秀率為40%，乙班有24人，優(yōu)秀率為48%，從優(yōu)秀率來看成績較好的是乙班．可見，一個班學生成績的評估方法很多，需視要求而定．如果不考慮優(yōu)秀率的話，顯然以中位數(shù)去評估比較合適.
甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
[思考1]通過計算可以知道，甲、乙兩人的平均成績相等，那么甲、乙兩人的成績誰的更穩(wěn)定一些？怎樣用數(shù)字刻畫這種穩(wěn)定性？
名師指津：乙的成績相對穩(wěn)定，樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性(或分散程度)常用標準差來刻畫．
[思考2]怎樣理解方差與標準差？
名師指津：(1)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．
(2)標準差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．
(3)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．
?講一講
2．甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：
甲：9910098100100103
乙：9910010299100100
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；
(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定．
[嘗試解答](1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，
s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，
又s2甲s2乙，
所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定．
(1)求一組數(shù)據(jù)的方差和標準差的步驟：
①先求平均數(shù)x.
②代入公式得方差和標準差
s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，
s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].
(2)實際問題中方差、標準差的意義
在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，穩(wěn)定性越高．
?練一練
2．甲、乙兩臺機床在相同的條件下同時生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中各抽測10個，它們的尺寸分別為(單位：mm)：
甲：10.210.110.98.99.910.39.7109.910.1
乙：10.310.49.69.910.1109.89.710.210
分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)與標準差．如果圖紙上的設計尺寸為10mm，從計算結果看，用哪臺機床加工這種零件較合適？
解：x甲＝110(10.2＋10.1＋10.9＋…＋10.1)＝10(mm)，
x乙＝110(10.3＋10.4＋9.6＋…＋10)＝10(mm)，
s甲＝
110[10.2－102＋10.1－102＋…＋10.1－102]
＝0.228＝0.477(mm)．
s乙＝110[10.3－102＋10.4－102＋…＋10－102]
＝0.06＝0.245(mm)．
∵x甲＝x乙＝10，s甲＞s乙，∴乙比甲穩(wěn)定，用乙較合適．
?講一講
3．某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求這次測試數(shù)學成績的眾數(shù)；
(2)求這次測試數(shù)學成績的中位數(shù)；
(3)求這次測試數(shù)學成績的平均分．
[嘗試解答](1)由圖知眾數(shù)為70＋802＝75.
(2)由圖知，設中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.40.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由圖知這次數(shù)學成績的平均分為：
40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72.
用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
(1)眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)．
(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．?
練一練
3．為了調查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，
則：(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是________；
(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù)為________；
(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的平均數(shù)為________．
解析：(1)(0.04×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)設中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13(2)62.5(3)64
——————————————[課堂歸納感悟提升]———————————————
1．本節(jié)課的重點是會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差，難點是理解用樣本的數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的方法．
2．本節(jié)課要掌握以下幾類問題：
(1)當平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在較小的極端值，見講1.
(2)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，見講2.
(3)利用頻率分布直方圖求出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，見講3.
3．本節(jié)課的易錯點有兩個：
(1)計算標準差或方差時易將公式記錯而致誤，如講2；
(2)利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征時易出現(xiàn)理解錯誤而致錯，如講3.
課下能力提升(十三)
[學業(yè)水平達標練]
題組1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應用
1．某學習小組在一次數(shù)學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()
A．85,85,85B．87,85,86
C．87,85,85D．87,85,90
解析：選C從小到大列出所有數(shù)學成績：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，觀察知眾數(shù)和中位數(shù)均為85，計算得平均數(shù)為87.
2．某高校有甲、乙兩個數(shù)學建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學建模興趣班的平均成績是________分．
解析：由題意得，該校數(shù)學建模興趣班的平均成績是40×90＋50×8190＝85(分)．
答案：85
題組2標準差(方差)的計算及應用
3．現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)為3，且這10個數(shù)的平方和是100，那么這組數(shù)據(jù)的標準差是()
A．1B．2C．3D．4
解析：選A由s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，得s2＝110×100－32＝1，即標準差s＝1.
4．國家射擊隊要從甲、乙、丙、丁四名隊員中選出一名選手去參加射擊比賽，四人的平均成績和方差如下表：
甲乙丙丁
平均成績x
8.58.88.88
方差s23.53.52.18.7
則應派________參賽最為合適．
解析：由表可知，丙的平均成績較高，且發(fā)揮比較穩(wěn)定，應派丙去參賽最合適．
答案：丙
5．用一組樣本數(shù)據(jù)8，x,10,11,9來估計總體的標準差，若該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則總體標準差s＝________.
解析：∵該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，
∴(8＋x＋10＋11＋9)÷5＝10，∴x＝12，
∴s2＝15(4＋4＋0＋1＋1)＝2，∴s＝2.
答案：2
題組3頻率分布與數(shù)字特征的綜合應用
6．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，
則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是________．
解析：甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36，所以甲、乙兩人得分的中位數(shù)之和為64.
答案：64
7．樣本容量為100的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)樣本頻率分布直方圖，則平均數(shù)為________．
解析：平均數(shù)x＝10×0.06＋12×0.2＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.1＝14.24.
答案：14.24
8．某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進行對照試驗．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：
品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,
445,451,454
品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,
416,422,430.
(1)完成數(shù)據(jù)的莖葉圖；
(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？
(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結論．
解：(1)如圖
(2)由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)．
(3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標準差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．
[能力提升綜合練]
1．有一筆統(tǒng)計資料，共有11個數(shù)據(jù)如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為()
A．6B.6
C．66D．6.5
解析：選A∵x＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝111(61＋x)＝6，∴x＝5.方差數(shù)為：s2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6.
2．(2016衡陽高一檢測)甲乙兩名學生六次數(shù)學測驗成績(百分制)如圖所示．
①甲同學成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù)；
②甲同學的平均分比乙同學高；
③甲同學的平均分比乙同學低；
④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差．
上面說法正確的是()
A．③④B．①②④
C．②④D．①③
解析：選A甲的中位數(shù)81，乙的中位數(shù)87.5，故①錯，排除B、D；甲的平均分x＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②錯，③對，排除C，故選A.
3．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()
甲乙
A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)
B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)
C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差
D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差
解析：選C由條形圖易知甲的平均數(shù)為x甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6，方差為s2甲＝－22＋－12＋02＋12＋225＝2，中位數(shù)為6，極差為4；乙的平均數(shù)為x乙＝3×5＋6＋95＝6，方差為s2乙＝3×－12＋0＋325＝125，中位數(shù)為5，極差為4，故x甲＝x乙，s2乙＞s2甲，且甲的成績的中位數(shù)大于乙的成績的中位數(shù)，兩人成績的極差相等．
4．某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一兩個班參賽學生的成績進行整理后分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05，則參賽的選手成績的眾數(shù)和中位數(shù)可能是()
A．65,65B．70,65
C．65,50D．70,50
解析：選A眾數(shù)為第二組中間值65.設中位數(shù)為x，則0.03×10＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65.故選A.
5．已知k1，k2，…，kn的方差為5，則3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差為________．
解析：設k1、k2、…kn的平均數(shù)為k，則3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均數(shù)為3(k－4)，∴s2＝1ni＝1n[3(ki－4)－3(k－4)]2＝1ni＝1n[3(ki－k)]2＝9×1ni＝1n(ki－k)2＝9×5＝45.
答案：45
6．將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示：
則7個剩余分數(shù)的方差為________．
解析：根據(jù)莖葉圖，去掉1個最低分87,1個最高分99，
則17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，∴x＝4.
∴s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.
答案：367
7．甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績情況如圖．
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；
(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價．
解：(1)甲、乙兩人五次測試的成績分別為：
甲10分13分12分14分16分
乙13分14分12分12分14分
甲得分的平均數(shù)為10＋13＋12＋14＋165＝13，
乙得分的平均數(shù)為13＋14＋12＋12＋145＝13.
s2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s2甲s2乙可知乙的成績較穩(wěn)定．
從折線圖看，甲的成績基本上呈上升狀態(tài)，而乙的成績在平均線上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績無明顯提高．
8．甲、乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如圖所示：
(1)求出這兩名同學的數(shù)學成績的平均數(shù)、標準差；
(2)比較兩名同學的成績，談談你的看法．
解：(1)x甲＝110(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.
s2甲＝110[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝199.2，
∴s甲≈14.1.
x乙＝110(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.
s2乙＝110[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.
∴s乙≈9.8.
(2)∵x甲＜x乙且s甲＞s乙，
∴乙同學的平均成績較高且標準差較小．
說明乙同學比甲同學的成績扎實，穩(wěn)定．