高中不等式教案

課題：不等式小結(jié)與復(fù)習(xí)（1）。

教學(xué)目的：

1．理解不等式的性質(zhì)及其證明，掌握證明不等式的常用方法；

2．掌握常用基本不等式，并能用之證明不等式和求最值；

3．掌握含絕對值的不等式的性質(zhì)；

4．會(huì)解一元二次不等式、分式不等式、含絕對值的不等式、簡單的高次不等式學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想方法分析和解決有關(guān)不等式的問題，形成良好的思維品質(zhì)

授課類型：復(fù)習(xí)課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：

1．基本不等式、極值定理；

2．簡述不等式證明的幾種常用方法:比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構(gòu)造

二、講解范例：

例1求函數(shù)的最大值，下列解法是否正確？為什么？

解一：，∴

解二：當(dāng)即時(shí)，

答：以上兩種解法均有錯(cuò)誤

解一錯(cuò)在取不到“=”，即不存在使得；

解二錯(cuò)在不是定值（常數(shù)）

正確的解法是：

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

例2若，求的最值

解：

∵∴

從而

即

例3設(shè)且，求的最大值

解：∵∴

又，∴

即

例4已知且，求的最小值

解：

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

例5將一塊邊長為的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè)無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？

解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為則其容積為

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”

即當(dāng)剪去的小正方形的邊長為時(shí)，鐵盒的容積為

例6已知0x1,0a1，試比較的大小

解一：

∵01-x21,∴

∴

解二：

∵01-x21,1+x1,∴

∴∴

解三：∵0x1，∴01-x1,11+x2,∴

∴左-右=

∵01-x21,且0a1∴∴

例7已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

證一：（分析法）∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)

∴要證：xy≥ac+bd

只需證：(xy)2≥(ac+bd)2

即(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，顯然成立,∴xy≥ac+bd

證二：（綜合法）xy=

≥

證三：（三角代換法）∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)a=xsina,b=xcosa

∵y2=c2+d2∴不妨設(shè)c=ysinb,d=ycosb

∴ac+bd=xysinasinb+xycosacosb=xycos(a-b)≤xy

例8已知x1,x2均為正數(shù)，求證：

證一：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證：

即

再平方

A

B

C

D

P

M化簡整理得（顯然成立）∴原式成立

證二：（反證法）假設(shè)

化簡可得（不可能）∴原式成立

證三：（構(gòu)造法）構(gòu)造矩形ABCD，使AB=CD=1,BP=x1,PC=x2

當(dāng)APB=DPC時(shí)，AP+PD為最短取BC中點(diǎn)M，有AMB=DMC,BM=MC=,∴AP+PD≥AM+MD

即

∴

三、課堂練習(xí)：1．求下列函數(shù)的最值：

1°(min=6)

2°()

2．1°時(shí)求的最小值，的最小值

2°設(shè)，求的最大值(5)

3°若,求的最大值

4°若且，求的最小值

3．若，求證：的最小值為3

4．制作一個(gè)容積為的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和

高各取多少時(shí)，用料最?。浚ú挥?jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料）

四、小結(jié)：

五、課后作業(yè)：

六、板書設(shè)計(jì)（略）七、課后記：

相關(guān)閱讀

不等關(guān)系與不等式教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
3．1.1不等關(guān)系與不等式
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用．對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程．即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望．根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系．要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識(shí)．
三維目標(biāo)
1．在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系．
2．會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍．
3．通過溫故知新，提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍．
教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課．
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系．這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢？讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著．這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎？
3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同．不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的．
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系．在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容．
實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.
實(shí)例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA＜xB.教師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖如下圖．
實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零．
實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短．
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
實(shí)例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識(shí)來表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系．那么不等式就是用不等號將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來．實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下圖．
|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.
|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以．
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的．但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論．
討論結(jié)果：
(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)大．
(4)對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三種關(guān)系中有且僅有一種關(guān)系成立．用邏輯用語表達(dá)為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動(dòng)：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法．
點(diǎn)評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
變式訓(xùn)練
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()
A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＜g(x)D．隨x值變化而變化
答案：A
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
2．已知x≠0，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大小．
解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，得x2＞0.從而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b)．
(1)a＋b2與21a＋1b(a＞0，b＞0)；
(2)a4－b4與4a3(a－b)．
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定．本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn)．
解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.
∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.
(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．
∵2a2＋(a＋b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)取等號)，
又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.
∴a4－b4＜4a3(a－b)．
點(diǎn)評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓(xùn)練
已知x＞y，且y≠0，比較xy與1的大?。?br> 活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系．
解：xy－1＝x－yy.
∵x＞y，∴x－y＞0.
當(dāng)y＜0時(shí)，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；
當(dāng)y＞0時(shí)，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.
點(diǎn)評：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy－1的正負(fù)情況不同，所以需對y分類討論.

例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積．但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好．試問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由．
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法．
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a＜b，且ab≥10%，
由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，
因此a＋mb＋m＞ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．
點(diǎn)評：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a＜b，m＞0，則a＋mb＋m＞ab.
變式訓(xùn)練
已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()
A．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5
C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不確定
答案：A
解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．
∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.
又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.

知能訓(xùn)練
1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為()
A．3B．2C．1D．0
2．比較2x2＋5x＋9與x2＋5x＋6的大?。?br> 答案：
1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.
∴只有①恒成立．
2．解：因?yàn)?x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法；從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中．
2．教師畫龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方．鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組3；習(xí)題3—1B組2.
設(shè)計(jì)感想
1．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化．經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程，不宜長期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ剑鞣N教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng)．也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法．針對個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥．
2．本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制．不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)．作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過多向外拓展，以免對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響．
3．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線．采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化．變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
備課資料
備用習(xí)題
1．比較(x－3)2與(x－2)(x－4)的大?。?br> 2．試判斷下列各對整式的大?。?1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.
3．已知x＞0，求證：1＋x2＞1＋x.
4．若x＜y＜0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。?br> 5．設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小．
參考答案：
1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)
＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5
＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)
＝a2－4a＋3＋4a－1
＝a2＋2.
∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.
∴a2－4a＋3＞－4a＋1.
3．證明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2
＝1＋x＋x24－(x＋1)
＝x24，
又∵x＞0，∴x24＞0.
∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.
由x＞0，得1＋x2＞1＋x.
4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，ab＞1，a－b＞0，
則(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.
當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜ab＜1，a－b＜0.
則(ab)a－b＞1.
于是aabb＞abba.
綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb＞abba.

課題：不等式的解法舉（2）

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學(xué)。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？下面是由小編為大家整理的“課題：不等式的解法舉（2）”，相信能對大家有所幫助。

教學(xué)目的：

1．對含有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對參數(shù)分區(qū)間討論；

2．進(jìn)一步熟悉并掌握數(shù)軸標(biāo)根法；

3．掌握分式不等式和高次不等式基本解法4．要求學(xué)生能正確地解答無理不等式

教學(xué)重點(diǎn)：分式不等式和高次不等式解法

教學(xué)難點(diǎn)：正確地對參數(shù)分區(qū)間討論

授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：

一元一次與一元二次不等式

1．解不等式：

2．解不等式組：（）

3．解不等式：

4．解不等式：

5．解不等式：

二、講解新課：

1．含有參數(shù)的不等式

2．分式不等式與高次不等式

3．無理不等式：

4．指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

三、講解范例：

例1解關(guān)于x的不等式

解：將原不等式展開，整理得：

討論：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，若≥0時(shí)；若0時(shí)

當(dāng)時(shí)，

例2關(guān)于x的不等式對于恒成立，求a的取值范圍．

解：當(dāng)a0時(shí)不合，a=0也不合

∴必有：

例3解不等式

解：原不等式等價(jià)于

即

∴

例4k為何值時(shí)，式恒成立

解：原不等式可化為：

而

∴原不等式等價(jià)于

由得1k3

例5⑴解不等式

解：∵根式有意義∴必須有：

又有∵原不等式可化為

兩邊平方得：解之：

∴

⑵解不等式

解：原不等式等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組得解集的并集：

Ⅰ：Ⅱ：

解Ⅰ：解Ⅱ：

∴原不等式的解集為

⑶解不等式

解：原不等式等價(jià)于

特別提醒注意：取等號的情況

例6解不等式

解：原不等式可化為：

即

解之或

∴x2或∴不等式的解集為{x|x2或}

例7解不等式

解：原不等式等價(jià)于或

解之得4x≤5

∴原不等式的解集為{x|4x≤5}

四、課堂練習(xí)：解下列不等式

1．

2．

3．()s

4．

5．

6．解關(guān)于x的不等式：

解：原不等式可化為

當(dāng)a1時(shí)有

（其實(shí)中間一個(gè)不等式可?。?p>當(dāng)0a1時(shí)有

∴當(dāng)a1時(shí)不等式的解集為；

當(dāng)0a1時(shí)不等式的解集為

7．解關(guān)于x的不等式

解：原不等式等價(jià)于

Ⅰ：或Ⅱ：

解Ⅰ：解Ⅱ：∴

當(dāng)a1時(shí)有0xa當(dāng)0a1時(shí)有xa

∴原不等式的解集為{x|0xa,a1}或{x|xa,0a1}

8．解不等式

解：兩邊取以a為底的對數(shù)：

當(dāng)0a1時(shí)原不等式化為：

∴∴

當(dāng)a1時(shí)原不等式化為：

∴

∴∴

∴原不等式的解集為

或

五、小結(jié)：

六、課后作業(yè)：1．k為何值時(shí)，不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立

2．求不等式的解集

3．解不等式

4．求適合不等式的x的整數(shù)解(x=2)

5．若不等式的解為,求的值6．

(當(dāng)a1時(shí)當(dāng)0a1時(shí))

7．(-2x1或4x7)

8．(-1x3)

9．

10．當(dāng)，求不等式：(ax1)

11．，求證：

12．(-1x0)

13．時(shí)解關(guān)于x的不等式

(；；)

七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：

不等式的性質(zhì)1

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師營造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？下面是由小編為大家整理的“不等式的性質(zhì)1”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

不等式的證實(shí)1

古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的不等式的證實(shí)1，僅供參考，歡迎大家閱讀。