小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教案

高一數(shù)學(xué)集合的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)。

擴(kuò)展閱讀

集合間的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師營造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編精心為您整理的“集合間的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

教學(xué)設(shè)計(jì)
1.1.2集合間的基本關(guān)系
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
課本從學(xué)生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā)，通過類比實(shí)數(shù)間的大小關(guān)系引入集合間的關(guān)系，同時(shí)，結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集等概念．在安排這部分內(nèi)容時(shí)，課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如類比等．
值得注意的問題：在集合間的關(guān)系教學(xué)中，建議重視使用Venn圖，這有助于學(xué)生通過體會直觀圖示來理解抽象概念；隨著學(xué)習(xí)的深入，集合符號越來越多，建議教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分一些容易混淆的關(guān)系和符號，例如∈與的區(qū)別．
三維目標(biāo)
1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的能力．
2．在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力，樹立數(shù)形結(jié)合的思想．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：理解集合間包含與相等的含義．
教學(xué)難點(diǎn)：理解空集的含義．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.實(shí)數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？(讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生)欲知誰正確，讓我們一起來觀察、研探．
思路2.復(fù)習(xí)元素與集合的關(guān)系——屬于與不屬于的關(guān)系，填空：(1)0____N；(2)2____Q；(3)－1.5____R.
類比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，如5＜7,2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？
(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)觀察下面幾個(gè)例子：
①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
②設(shè)A為國興中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合；
③設(shè)C＝{x|x是兩條邊相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2,4,6}，F(xiàn)＝{6,4,2}．
你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系嗎？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同樣是子集，有什么區(qū)別？
(3)結(jié)合例子④，類比實(shí)數(shù)中的結(jié)論：“若a≤b，且b≤a，則a＝b”，在集合中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
(4)升國旗時(shí)，每個(gè)班的同學(xué)都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi)，從樓頂向下看，每位同學(xué)是哪個(gè)班的，一目了然．試想一下，根據(jù)從樓頂向下看到的，要想直觀表示集合，聯(lián)想集合還能用什么表示？
(5)試用Venn圖表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知AB，試用Venn圖表示集合A和B的關(guān)系．
(7)任何方程的解都能組成集合，那么x2＋1＝0的實(shí)數(shù)根也能組成集合，你能用Venn圖表示這個(gè)集合嗎？
(8)一座房子內(nèi)沒有任何東西，我們稱為這座房子是空房子，那么一個(gè)集合沒有任何元素，應(yīng)該如何命名呢？
(9)與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若a≥b，且b≥c，則a≥c”相類比，在集合中，你能得出什么結(jié)論？
活動(dòng)：教師從以下方面引導(dǎo)學(xué)生：
(1)觀察兩個(gè)集合間元素的特點(diǎn)．
(2)從它們含有的元素間的關(guān)系來考慮．規(guī)定：如果AB，但存在x∈B，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．
(3)實(shí)數(shù)中的“≤”類比集合中的.
(4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的，學(xué)生看成集合中的元素，從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi)．教師指出：為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
(5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等，沒有限制．
(6)分類討論：當(dāng)AB時(shí)，AB或A＝B.
(7)方程x2＋1＝0沒有實(shí)數(shù)解．
(8)空集記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，即A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)．
(9)類比子集．
討論結(jié)果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．
(2)例子①中AB，但有一個(gè)元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．
(3)若AB，且BA，則A＝B.
(4)可以把集合中元素寫在一個(gè)封閉曲線的內(nèi)部來表示集合．
(5)如圖1所示表示集合A，如圖2所示表示集合B.
圖1
圖2
(6)如圖3和圖4所示．
圖3
圖4
(7)不能．因?yàn)榉匠蘹2＋1＝0沒有實(shí)數(shù)解．
(8)空集．
(9)若AB，BC，則AC；若AB，BC，則AC.
應(yīng)用示例
思路1
例1某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長度上都合格時(shí)，該產(chǎn)品才合格．若用A表示合格產(chǎn)品的集合，B表示重量合格的產(chǎn)品的集合，C表示長度合格的產(chǎn)品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．
(1)則下列包含關(guān)系哪些成立？
AB，BA，AC，CA.
(2)試用Venn圖表示集合A，B，C間的關(guān)系．
活動(dòng)：學(xué)生思考集合間的關(guān)系以及Venn圖的表示形式．當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，則AB成立，否則AB不成立．用相同的方法判斷其他包含關(guān)系是否成立．教師提示學(xué)生注意以下兩點(diǎn)：
(1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定重量合格；
長度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定長度合格．
(2)根據(jù)集合A，B，C間的關(guān)系來畫出Venn圖．
解：(1)包含關(guān)系成立的有：AB，AC.
(2)集合A，B，C間的關(guān)系用Venn圖表示，如圖5所示．
圖5
變式訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)3.
點(diǎn)評：本題主要考查集合間的包含關(guān)系．其關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么．
判斷兩個(gè)集合A，B之間是否有包含關(guān)系的步驟是：先明確集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之間的關(guān)系，得：集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，有AB；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí)，有AB；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素也都屬于集合A時(shí)，有A＝B；當(dāng)集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B，并且集合B中至少有一個(gè)元素也不屬于集合A時(shí)，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.
例2寫出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活動(dòng)：學(xué)生思考子集和真子集的定義，教師提示學(xué)生空集是任何集合的子集，一個(gè)集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的個(gè)數(shù)分類討論．
解：集合{a，b}的所有子集為，{a}，，{a，b}．真子集為，{a}，.
變式訓(xùn)練
已知集合P＝{1,2}，那么滿足QP的集合Q的個(gè)數(shù)是()
A．4B．3C．2．1
解析：集合P＝{1,2}含有2個(gè)元素，其子集有22＝4個(gè)，
又集合QP，所以集合Q有4個(gè)．
答案：A
點(diǎn)評：本題主要考查子集和真子集的概念，以及分類討論的思想．通常按子集中所含元素的個(gè)數(shù)來寫出一個(gè)集合的所有子集，這樣可以避免重復(fù)和遺漏．
思考：集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有多少個(gè)子集？多少個(gè)真子集？
解：當(dāng)n＝0時(shí)，即空集的子集為，即子集的個(gè)數(shù)是1＝20；當(dāng)n＝1時(shí)，即含有一個(gè)元素的集合如{a}的子集為，{a}，即子集的個(gè)數(shù)是2＝21；當(dāng)n＝2時(shí)，即含有兩個(gè)元素的集合如{a，b}的子集為，{a}，，{a，b}，即子集的個(gè)數(shù)是4＝22.…
集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有2n個(gè)子集，由于一個(gè)集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)個(gè)真子集.
思路2
例1已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若BA，則實(shí)數(shù)m＝________.
活動(dòng)：先讓學(xué)生思考BA的含義，根據(jù)BA，知集合B中的元素都屬于集合A，由集合元素的互異性，列出方程求實(shí)數(shù)m的值．因?yàn)锽A，所以3∈A，m2∈A.對m2的值分類討論．
解析：∵BA，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
點(diǎn)評：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性．本題容易出現(xiàn)m2＝3，其原因是忽視了集合元素的互異性．避免此類錯(cuò)誤的方法是解得m的值后，再代入驗(yàn)證．
討論兩集合之間的關(guān)系時(shí)，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個(gè)集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式.
變式訓(xùn)練
已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：集合N是關(guān)于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，則N＝或N≠，要對集合N是否為空集分類討論．
解：由題意得M＝{x|x＞2}≠，則N＝或N≠.當(dāng)N＝時(shí)，關(guān)于x的方程ax＝1無解，則有a＝0；當(dāng)N≠時(shí)，關(guān)于x的方程ax＝1有解，則a≠0，此時(shí)x＝1a，又∵NM，∴1a∈M.∴1a＞2.∴0＜a＜12.綜上所得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＝0或0＜a＜12，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a0≤a12.

例2(1)分別寫出下列集合的子集及其個(gè)數(shù)：，{a}，{a，b}，{a，b，c}．
(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)集合M中含有n個(gè)元素，則集合M有多少個(gè)子集？
活動(dòng)：學(xué)生思考子集的含義，并試著寫出子集．(1)按子集中所含元素的個(gè)數(shù)分類寫出子集；(2)由(1)總結(jié)當(dāng)n＝0，n＝1，n＝2，n＝3時(shí)子集的個(gè)數(shù)規(guī)律，歸納猜想出結(jié)論．
解：(1)的子集有：，即有1個(gè)子集；
{a}的子集有：，{a}，即{a}有2個(gè)子集；
{a，b}的子集有：，{a}，，{a，b}，即{a，b}有4個(gè)子集；
{a，b，c}的子集有：，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8個(gè)子集．
(2)由(1)可得：當(dāng)n＝0時(shí)，集合M有1＝20個(gè)子集；
當(dāng)n＝1時(shí)，集合M有2＝21個(gè)子集；
當(dāng)n＝2時(shí)，集合M有4＝22個(gè)子集；
當(dāng)n＝3時(shí)，集合M有8＝23個(gè)子集；
因此含有n個(gè)元素的集合M有2n個(gè)子集.
變式訓(xùn)練
已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A有()
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
解析：對集合A所含元素的個(gè)數(shù)分類討論．
A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6個(gè)．
答案：D
點(diǎn)評：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力．集合M中含有n個(gè)元素，則集合M有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)真子集，記住這個(gè)結(jié)論，可以提高解題速度．寫一個(gè)集合的子集時(shí)，按子集中元素的個(gè)數(shù)來寫不易發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象.
知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1,2.
【補(bǔ)充練習(xí)】
1．判斷正誤：
(1)空集沒有子集．()
(2)空集是任何一個(gè)集合的真子集．()
(3)任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集．()
(4)若BA，那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.()
分析：關(guān)于判斷題應(yīng)確實(shí)把握好概念的實(shí)質(zhì)．
解：該題的4個(gè)命題，只有(4)是正確的，其余全錯(cuò)．
對于(1)，(2)來講，由規(guī)定：空集是任何一個(gè)集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
對于(3)來講，可舉反例，空集這一個(gè)集合就只有自身一個(gè)子集．
對于(4)來講，當(dāng)x∈B時(shí)必有x∈A，則xA時(shí)也必有xB.
2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，寫出A的真子集．
分析：區(qū)分子集與真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一個(gè)含有n個(gè)元素的集合的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，則該題先找該集合的元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，
即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．
真子集：，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7個(gè)．
3．(1)下列命題正確的是()
A．無限集的真子集是有限集
B．任何一個(gè)集合必定有兩個(gè)子集
C．自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集
D．{1}是質(zhì)數(shù)集的真子集
(2)以下五個(gè)式子中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()
①{1}∈{0,1,2}②{1，－3}＝{－3,1}③{0,1,2}{1,0,2}④∈{0,1,2}⑤∈{0}
A．5B．2C．3D．4
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，則下列關(guān)系正確的是()
A．a(chǎn)MB．a(chǎn)M
C．{a}∈MD．{a}M
解析：(1)該題要在四個(gè)選擇項(xiàng)中找到符合條件的選擇項(xiàng)，必須對概念把握準(zhǔn)確，無限集的真子集有可能是無限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一個(gè)子集，即它本身，排除B；由于1不是質(zhì)數(shù)，排除D.
(2)該題涉及到的是元素與集合、集合與集合的關(guān)系．
①應(yīng)是{1}{0,1,2}，④應(yīng)是{0,1,2}，⑤應(yīng)是{0}．
故錯(cuò)誤的有①④⑤.
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一個(gè)元素，
因此{(lán)a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}M.
答案：(1)C(2)C(3)D
4．判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關(guān)系：
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，
故A，B都是由奇數(shù)構(gòu)成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝22n，
在x＝2m中，m可以取奇數(shù)，也可以取偶數(shù)；而在x＝4n中，2n只能是偶數(shù)．
故集合A，B的元素都是偶數(shù)，但B中元素是由A中部分元素構(gòu)成，則有BA.
點(diǎn)評：此題是集合中較抽象的題目．要注意其元素的合理尋求．
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}滿足QP，求a所取的一切值．
解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，當(dāng)a＝0時(shí)，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．又當(dāng)a≠0時(shí)，Q＝{x|ax＋1＝0}＝－1a，要QP成立，則有－1a＝2或－1a＝－3，a＝－12或a＝13.綜上所述，a＝0或a＝－12或a＝13.
點(diǎn)評：這類題目給的條件中含有字母，一般需分類討論．本題易漏掉a＝0，ax＋1＝0無解，即Q為空集的情況，而當(dāng)Q＝時(shí)，滿足QP.
6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使APB，求滿足條件的集合P.
解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，
B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，
由APB知集合P非空，且其元素全屬于B，即有滿足條件的集合P為
{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．
點(diǎn)評：要解決該題，必須確定滿足條件的集合P的元素，而做到這點(diǎn)，必須明確A，B，充分把握子集、真子集的概念，準(zhǔn)確化簡集合是解決問題的首要條件．
7．設(shè)A＝{0,1}，B＝{x|xA}，則A與B應(yīng)具有何種關(guān)系？
解：因A＝{0,1}，B＝{x|xA}，
故x為，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B.
點(diǎn)評：注意該題的特殊性，一集合是另一集合的元素．
8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈Z時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；
(3)當(dāng)x∈R時(shí)，沒有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：(1)當(dāng)m＋1＞2m－1即m＜2時(shí)，B＝滿足BA.
當(dāng)m＋1≤2m－1即m≥2時(shí)，要使BA成立，需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3.
綜上所得實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤3.
(2)當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又沒有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立．
則①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2時(shí)滿足條件；
②若B≠，則要滿足條件：m＋1≤2m－1，m＋15或m＋1≤2m－1，2m－1－2，解之，得m＞4.
綜上有m＜2或m＞4.
點(diǎn)評：此問題解決要注意：不應(yīng)忽略；找A中的元素；分類討論思想的運(yùn)用．
拓展提升
問題：已知AB，且AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，則滿足上述條件的集合A共有多少個(gè)？
活動(dòng)：學(xué)生思考AB，且AC所表達(dá)的含義．AB說明集合A是集合B的子集，即集合A中元素屬于集合B，同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1：寫出由集合B和集合C的公共元素組成的集合，得滿足條件的集合A；
思路2：分析題意，僅求滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個(gè)數(shù)．
解法1：因AB，AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，滿足AB，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(個(gè))．
又滿足AC的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(個(gè))．
其中同時(shí)滿足AB，AC的有8個(gè)：，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，實(shí)際上到此就可看出，上述解法太繁．
解法2：題目只求集合A的個(gè)數(shù)，而未讓說明A的具體元素，故可將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求B，C的公共元素組成集合的子集數(shù)是多少．顯然公共元素有0,2,4，組成集合的子集有23＝8(個(gè))．
點(diǎn)評：有關(guān)集合間關(guān)系的問題，常用分類討論的思想來解決；關(guān)于集合的子集個(gè)數(shù)的結(jié)論要熟練掌握，其應(yīng)用非常廣泛．
課堂小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了：
①子集、真子集、空集、Venn圖等概念；
②能判斷存在子集關(guān)系的兩個(gè)集合誰是誰的子集，進(jìn)一步確定其是否是真子集；
③清楚兩個(gè)集合包含關(guān)系的確定，主要靠其元素與集合關(guān)系來說明．
作業(yè)
課本習(xí)題1.1A組5.
設(shè)計(jì)感想
本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)注重引導(dǎo)學(xué)生通過類比來獲得新知，在實(shí)際教學(xué)中，要留給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r(shí)間，使學(xué)生自己通過類比得到正確結(jié)論．豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能僅限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探索、合作交流、閱讀自學(xué)等都應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．
備課資料
【備選例題】
【例1】下面的Venn圖中反映的是四邊形、梯形、平行四邊形、菱形、正方形這五種幾何圖形之間的關(guān)系，問集合A，B，C，D，E分別是哪種圖形的集合？
圖6
思路分析：結(jié)合Venn圖，利用平面幾何中梯形、平行四邊形、菱形、正方形的定義來確定．
解：梯形、平行四邊形、菱形、正方形都是四邊形，故A＝{四邊形}；梯形不是平行四邊形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四邊形，故B＝{梯形}，C＝{平行四邊形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四邊形}，B＝{梯形}，C＝{平行四邊形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．
【例2】設(shè)集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，則滿足BA的a的值共有()
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
解析：由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是關(guān)于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠.當(dāng)B＝時(shí)，關(guān)于x的方程(a－2)x＝2無解，∴a－2＝0.∴a＝2.當(dāng)B≠時(shí)，關(guān)于x的方程(a－2)x＝2的解x＝2a－2∈A，∴2a－2＝－2或2a－2＝－1或2a－2＝1或2a－2＝2.解得a＝1或0或4或3，綜上所得，a的值共有5個(gè)．
答案：D
【例3】集合A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}的真子集的個(gè)數(shù)是()
A．16B．8C．7D．4
解析：A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}＝{0,1,2}，則A的真子集有23－1＝7(個(gè))．
答案：C
【例4】已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，試判斷集合B是不是集合A的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使A＝B成立？
思路分析：先在數(shù)軸上表示集合A，然后化簡集合B，由集合元素的互異性，可知此時(shí)應(yīng)考慮a的取值是否為1，要使集合B成為集合A的子集，集合B的元素在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)必須在集合A對應(yīng)的線段上，從而確定字母a的分類標(biāo)準(zhǔn)．
解：當(dāng)a＝1時(shí)，B＝{1}，所以B是A的子集；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，B也是A的子集；當(dāng)a＜1或a＞3時(shí)，B不是A的子集．綜上可知，當(dāng)1≤a≤3時(shí)，B是A的子集．
由于集合B最多只有兩個(gè)元素，而集合A有無數(shù)個(gè)元素，故不存在實(shí)數(shù)a，使B＝A.
點(diǎn)評：分類討論思想，就是科學(xué)合理地劃分類別，通過“各個(gè)擊破”，再求整體解決(即先化整為零，再聚零為整)的策略思想．類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求，探索劃分的數(shù)量界限是分類討論的關(guān)鍵．
【思考】
(1)空集中沒有元素，怎么還是集合？(2)符號“∈”和“”有什么區(qū)別？
剖析：(1)疑點(diǎn)是總是對空集這個(gè)概念迷惑不解，并產(chǎn)生懷疑的想法．產(chǎn)生這種想法的原因是沒有了解建立空集這個(gè)概念的背景，其突破方法是通過實(shí)例來體會．例如，根據(jù)集合元素的性質(zhì)，方程的解能夠組成集合，這個(gè)集合叫做方程的解集．對于1x＝0，x2＋4＝0等方程來說，它們的解集中沒有元素．也就是說確實(shí)存在沒有任何元素的集合，那么如何用數(shù)學(xué)符號來刻畫沒有元素的集合呢？為此引進(jìn)了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．這就是建立空集這個(gè)概念的背景．由此看出，空集的概念是一個(gè)規(guī)定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就稱不等式|x|＜0的解集是空集．
(2)難點(diǎn)是經(jīng)常把這兩個(gè)符號混淆，其突破方法是準(zhǔn)確把握這兩個(gè)符號的含義及其應(yīng)用范圍，并加以對比．符號∈只能適用于元素與集合之間，其左邊只能寫元素，其右邊只能寫集合，說明左邊的元素屬于右邊的集合，表示元素與集合之間的關(guān)系，如－1∈Z，12Z；符號只能適用于集合與集合之間，其左右兩邊都必須寫集合，說明左邊的集合是右邊集合的子集，表示集合與集合之間的關(guān)系，如{1}{1,0}，{x|x＜0}．

集合的基本關(guān)系

1.1.2集合間的基本關(guān)系
一、內(nèi)容及其解析
（一）內(nèi)容：集合間的基本關(guān)系。
（二）解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容有集合間的基本關(guān)系指的是集合間的包含和相等關(guān)系,其核心（或關(guān)鍵）是弄清楚集合中的元素之間的關(guān)系理解它關(guān)鍵就是分析清楚集合中的元素，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了集合的含義與表示并且學(xué)習(xí)過實(shí)數(shù)間的大小關(guān)系。本節(jié)課的內(nèi)容集合間的基本關(guān)系就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展（或就是它的下位概念,就可以類比它，等等）（定起點(diǎn)）。由于它還與后續(xù)很多內(nèi)容，比如圓錐曲線有思想方法上（都通過類比的想法來進(jìn)行學(xué)習(xí)）聯(lián)系,所以在本學(xué)科有著很重要的地位，是學(xué)習(xí)后面知識的基礎(chǔ),是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點(diǎn)是子集、真子集、等集和空集所以解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是分析好集合間的關(guān)系、弄清楚集合中的元素。
二、目標(biāo)及其解析
（一）教學(xué)目標(biāo)
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集、真子集；
（2）在具體情境中，了解空集的含義；
（二）解析
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集就是指集合兩個(gè)集合之間是子集、真子集還是相等，掌握相應(yīng)的含義以及數(shù)學(xué)表示、數(shù)學(xué)記號，并不致混淆；；
（2）在具體情境中，了解空集的含義。就是指要掌握空集的含義，能分析給出的集合是否為空集；對關(guān)于空集的規(guī)定即空集是任何非空集合的子集，是任何非空集合的真子集要牢記。
三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學(xué)中,學(xué)生可能遇到的問題是解題中對空集是任意集合的子集這一條件容易忽略,產(chǎn)生這一問題的原因是對這一新規(guī)定接受度不強(qiáng).要解決這一問題,就是要依據(jù)實(shí)例反復(fù)操練,其中關(guān)鍵是師生的互動(dòng)要到位.
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、導(dǎo)入新課
實(shí)數(shù)有相等.大小關(guān)系，如5=5，5＜7，5＞3等等，類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？
二、提出問題
問題1：觀察下面幾個(gè)例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系了嗎？
(1)；
(2)設(shè)A為某中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合；
(3)設(shè)
(4).
問題2：同樣是子集，會不會有差別呢？
(1)請看幻燈片上的例子，你能發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？
(2)這兩種不同的情形該如何表述呢？
(3)學(xué)生回答，師生共同歸納出真子集和集合相等的數(shù)學(xué)定義及數(shù)學(xué)語言表述。
問題3：請看幻燈片上給出的幾個(gè)集合，你能發(fā)現(xiàn)什么問題？
(1)這些集合有什么共同特征？
(2)你能舉出更多的空集的例子嗎？
(3)你認(rèn)為空集和其它集合是什么關(guān)系？和非空集合又是什么關(guān)系
三．概念的鞏固和應(yīng)用
四．課堂目標(biāo)檢測
優(yōu)化設(shè)計(jì)：隨堂練習(xí).
五．小結(jié)
1、集合之間的關(guān)系，子集，集合相等，真子集等概念；
2、Venn圖的運(yùn)用；
3、空集的定義和性質(zhì)；
4、集合之間的基本關(guān)系的主要結(jié)論；
5、當(dāng)一個(gè)集合有n個(gè)元素的時(shí)候，其子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)。

集合間的基本關(guān)系

1.1.2集合間的基本關(guān)系

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：
初步理解子集的含義，能說明集合的基本關(guān)系。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
閱讀教材第7頁中的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下例問題：
(1)集合A是集合B的真子集的含義是什么?什么叫空集?
(2)集合A是集合B的真子集與集合A是集合B的子集之間有什么區(qū)別?
(3)0，{0}與三者之間有什么關(guān)系?
(4)包含關(guān)系與屬于關(guān)系正義有什么區(qū)別?試結(jié)合實(shí)例作出解釋.
(5)空集是任何集合的子集嗎?空集是任何集合的真子集嗎?
(6)能否說任何一人集合是它本身的子集，即?
(7)對于集合A，B，C，D，如果AB，BC，那么集合A與C有什么關(guān)系?

三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
(1)了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用圖表達(dá)集合間的關(guān)系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：集合間的包含與相等關(guān)系，子集與其子集的概念.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：難點(diǎn)是屬于關(guān)系與包含關(guān)系的區(qū)別．
二、學(xué)習(xí)過程
1、思考下列問題
問題l：實(shí)數(shù)有相等.大小關(guān)系，如5=5，5＜7，5＞3等等，類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？
問題2：觀察下面幾個(gè)例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系了嗎？
（1）；
(2)設(shè)A為某中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合；
(3)設(shè)
(4).
問題3：與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若”相類比，在集合中，你能得出什么結(jié)論?
你對上面3個(gè)問題的結(jié)論是
2、例題
例題1.．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在質(zhì)量和長度上都合格時(shí)，該產(chǎn)品才合格。若用A表示合格產(chǎn)品，B表示質(zhì)量合格的產(chǎn)品的集合,C表示長度合格的產(chǎn)品的集合．則下列包含關(guān)系哪些成立？
試用Venn圖表示這三個(gè)集合的關(guān)系。.

變式訓(xùn)練1用適當(dāng)?shù)姆枺ǎ┨羁眨?br> ①4②11
③④
例題2．寫出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

變式訓(xùn)練2寫出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
5課堂小結(jié)

三、當(dāng)堂檢測
（1）討論下列集合的包含關(guān)系
①A={本年天陰的日子}，B={本年天下雨的日子}；
②A={-2，-1，0，1，2，3}，B={-1，0，1}。
（2）寫出集合A={1，2，3}的所有非空真子集和非空子集
課后練習(xí)與提高
1用連接下列集合對：
①A={濟(jì)南人}，B={山東人}；
②A=N，B=R；
③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；
④A={本校田徑隊(duì)隊(duì)員}，B={本校長跑隊(duì)隊(duì)員}；
⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}
2若A={，，},則有幾個(gè)子集，幾個(gè)真子集？寫出A所有的子集。
3設(shè)A={3,Z},B={6，Z},則A、B之間是什么關(guān)系？

高一數(shù)學(xué)空間圖形的基本關(guān)系與公理教案

俗話說，磨刀不誤砍柴工。教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)教師都不可缺少的。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識點(diǎn)，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道教案要怎么寫呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“高一數(shù)學(xué)空間圖形的基本關(guān)系與公理教案”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

空間圖形的基本關(guān)系與公理

一.教學(xué)內(nèi)容：
空間圖形的基本關(guān)系與公理
二.學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、學(xué)會觀察長方體模型中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，并能結(jié)合長方體模型，掌握空間圖形的有關(guān)概念和有關(guān)定理；掌握平面的基本性質(zhì)、公理4和等角定理；
2、培養(yǎng)和發(fā)展自己的空間想象能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力、通過典型例子的學(xué)習(xí)和自主探索活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，體會蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法；
3、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣與嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度；體會推理論證中反映出的辯證思維的價(jià)值觀。
三、知識要點(diǎn)
（一）空間位置關(guān)系：
I、空間點(diǎn)與線的關(guān)系
空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)P在直線上：；點(diǎn)P在直線外：；
II、空間點(diǎn)與平面的關(guān)系
空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)P在平面上：點(diǎn)P在平面外：；
III、空間直線與直線的位置關(guān)系：
IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：
V、空間平面與平面的位置關(guān)系：平行；相交
說明：本模塊中所說的“兩個(gè)平面”“兩條直線”等均指不重合的情形。
（二）異面直線的判定
1、定義法：采取反證法的思路，否定平行與相交兩種情形即可；
2、判定定理：已知P點(diǎn)在平面上，則平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的直線與平面外經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。
（三）平面的基本性質(zhì)公理
1、公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)，或曰平面經(jīng)過這條直線）。
2、公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即確定一個(gè)平面）。
3、公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過該點(diǎn)的公共直線。
4、平面的基本性質(zhì)公理的三個(gè)推論
經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；
經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；
經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面
思考：
公理是公認(rèn)為正確而不需要證明的命題，那么推論呢？
平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫平面的性質(zhì)的？
（四）平行公理（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線平行。
（五）等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
（六）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。
【典型例題】
考點(diǎn)一空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。
例1.下列命題：
空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；
有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；
空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；
④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；
⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。
其中正確的命題是。
解：⑥。
例2.空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說明。
解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：
考點(diǎn)二異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。
例3.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？
解：3對，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
考點(diǎn)三“有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。
例4.求證：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。
已知：直線a∥b。
求證：過a，b有且只有一個(gè)平面。
證明：存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個(gè)平面。
唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個(gè)平面。在直線上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取一點(diǎn)C，則A、B、C三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面都過直線a，b，因此由公理1可知：都過點(diǎn)A、B、C。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個(gè)平面。
綜上所述：過a，b有且只有一個(gè)平面。

考點(diǎn)四共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。
例5.三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。
已知：平面，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。
證明：因?yàn)?，故a，b共面。
I、若a∥b：由于，故，因直線，故a，c無公共點(diǎn)。又a，c都在平面內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。
II、若，則，故知
綜上所述：命題成立。
說明：證明三點(diǎn)共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。
考點(diǎn)五共線的判斷與證明：常見題型是三點(diǎn)共線。
例6.如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：O1、M、A三點(diǎn)共線。
證明：連結(jié)AC.因?yàn)锳1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O(shè)1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A三點(diǎn)在平面B1D1A和AA1C1C的交線上，故O1、M、A三點(diǎn)共線。
說明：證明三線共點(diǎn)問題的常見思路是證明第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上；或者證明三點(diǎn)是兩相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上。
考點(diǎn)六共面問題的判斷與證明：此類題型常見的是四點(diǎn)共面或三線共面，如證明某個(gè)圖形是平面圖形。
例7.如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；直線FH、EG、AC共點(diǎn)。
證明：如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點(diǎn)，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個(gè)平面，即G、H、E、F四點(diǎn)共面。
由于E、F、G、H四點(diǎn)共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點(diǎn)為M，則M∈FH，F(xiàn)H面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。從而M是面ACD和面ABC的公共點(diǎn)，由公理3可知，M在這兩個(gè)平面的交線AC上，從而FH、EG、AC三線共點(diǎn)。
說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個(gè)推論，先證明部分元素確定一個(gè)平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時(shí)也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個(gè)平面重合（此時(shí)也可用反證法）。
［本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法］
1、數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)表述和數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具，必須能將這三種語言即文字語言、符號語言和圖形語言進(jìn)行準(zhǔn)確的互譯和表達(dá)，這在空間關(guān)系的證明與判斷中顯得十分重要；
2、空間觀念和空間想象能力：高考中立體幾何題的題型功能最重要的一點(diǎn)就是考查考生的空間觀念和空間想象能力，因?yàn)槲覀兪峭ㄟ^平面圖形（直觀圖）去研究空間關(guān)系，所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中一定要多觀察、多思考，動(dòng)手做一些空間模型或通過電腦動(dòng)畫模擬一些空間圖形，培養(yǎng)空間概念，提高空間想象能力。

【模擬試題】
一、選擇題
1、在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是（）
A.兩兩相交的三條直線
B.三條直線，其中的一條與另兩條分別相交
C.三個(gè)點(diǎn)
D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)
2、（2008遼寧卷）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（）
A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條
*3、已知平面外一點(diǎn)P和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分別在PA、PB、PC上，若延長A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇與平面分別交于D、E、F三點(diǎn)，則D、E、F三點(diǎn)（）
A.成鈍角三角形B.成銳角三角形C.成直角三角形D.在一條直線上
4、空間中有三條線段AB、BC、CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（）
A.平行B.異面C.相交D.平行或異面或相交均有可能
5、下列敘述中正確的是（）
A.因?yàn)镻∈α，Q∈α，所以PQ∈α。
B.因?yàn)镻∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。
C.因?yàn)?，C∈AB，D∈AB，因此CD∈α。
D.因?yàn)?，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。
6、已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)且α∩β＝c，那么c（）
A.至少與a，b中的一條相交；
B.至多與a，b中的一條相交；
C.至少與a，b中的一條平行；
D.與a，b中的一條平行，與另一條相交
7、已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）
二、填空題
8、在空間四邊形ABCD中，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，則2MN與AB+CD的大小關(guān)系是。
9、對于空間中的三條直線，有下列四個(gè)條件：三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；三條直線兩兩平行；三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交。其中，能推出三條直線共面的有。
三、解答題
10、正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)。
求證：CE、D1F、DA三線共點(diǎn)；
求證：E、C、D1、F四點(diǎn)共面；
11、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若Q是A1C與平面ABC1D1的交點(diǎn)，求證：B、Q、D1三點(diǎn)共線。
12、如圖，已知α∩β＝a，bα，cβ，b∩a＝A，c//a.求證：b與c是異面直線。
*13、（2005高考題改編）正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、C1B1的中點(diǎn)，試作出正方體過P、Q、R三點(diǎn)的截面。