高中地理魯教版教案

2018版高考數(shù)學理科一輪設計：第1~3章教師用書（人教A版）。

第1講集合
最新考綱1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算.
知識梳理
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
2.集合間的基本關系
(1)子集：若對任意x∈A，都有x∈B，則AB或BA.
(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則A?B或B?A.
(3)相等：若AB，且BA，則A＝B.
(4)空集的性質：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
集合的并集集合的交集集合的補集
符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為UA
圖形表示

集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且xA}
4.集合關系與運算的常用結論
(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個.
(2)子集的傳遞性：AB，BCAC.
(3)ABA∩B＝AA∪B＝B.
(4)U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
診斷自測
1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)任何集合都有兩個子集.()
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.()
(3)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.()
(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.()
解析(1)錯誤.空集只有一個子集，就是它本身，故該說法是錯誤的.
(2)錯誤.集合A是函數(shù)y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點集.因此A，B，C不相等.
(3)錯誤.當x＝1，不滿足互異性.
(4)錯誤.當A＝時，B，C可為任意集合.
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
2.(必修1P7練習2改編)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，則下列結論正確的是()
A.{a}AB.aAC.{a}∈AD.aA
解析由題意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知aA.
答案D
3.(2016全國Ⅰ卷)設集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2x－30}，則A∩B＝________.
A.－3，－32B.－3，32
C.1，32D.32，3
解析易知A＝(1，3)，B＝32，＋∞，所以A∩B＝32，3.
答案D
4.(2017石家莊模擬)設全集U＝{x|x∈N*，x6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則U(A∪B)等于()
A.{1，4}B.{1，5}
C.{2，5}D.{2，4}
解析由題意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴U(A∪B)＝{2，4}.
答案D
5.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個數(shù)為________.
解析集合A表示圓心在原點的單位圓，集合B表示直線y＝x，易知直線y＝x和圓x2＋y2＝1相交，且有2個交點，故A∩B中有2個元素.
答案2
考點一集合的基本概念
【例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是()
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝()
A.92B.98C.0D.0或98
解析(1)當x＝0，y＝0，1，2時，x－y＝0，－1，－2；
當x＝1，y＝0，1，2時，x－y＝1，0，－1；
當x＝2，y＝0，1，2時，x－y＝2，1，0.
根據(jù)集合中元素的互異性可知，B的元素為－2，－1，0，1，2，共5個.
(2)若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根.
當a＝0時，x＝23，符合題意；
當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，
所以a的取值為0或98.
答案(1)C(2)D
規(guī)律方法(1)第(1)題易忽視集合中元素的互異性誤選D.第(2)題集合A中只有一個元素，要分a＝0與a≠0兩種情況進行討論，此題易忽視a＝0的情形.
(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他的集合.
【訓練1】(1)設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，則b－a＝________.
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝，則實數(shù)a的取值范圍為________.
解析(1)因為{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，
所以a＋b＝0，且b＝1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
(2)由A＝知方程ax2＋3x－2＝0無實根，
當a＝0時，x＝23不合題意，舍去；
當a≠0時，Δ＝9＋8a0，∴a－98.
答案(1)2(2)－∞，－98
考點二集合間的基本關系
【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則()
A.A?BB.B?AC.ABD.B＝A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若BA，則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.
因此B?A.
(2)當B＝時，有m＋1≥2m－1，則m≤2.
當B≠時，若BA，如圖.
則m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，
解得2m≤4.
綜上，m的取值范圍為(－∞，4].
答案(1)B(2)(－∞，4]
規(guī)律方法(1)若BA，應分B＝和B≠兩種情況討論.
(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系.解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖，化抽象為直觀進行求解.
【訓練2】(1)(2017長郡中學質檢)若集合A＝{x|x0}，且BA，則集合B可能是()
A.{1，2}B.{x|x≤1}
C.{－1，0，1}D.R
(2)(2016鄭州調研)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若AB，則m的值為()
A.2B.－1
C.－1或2D.2或2
解析(1)因為A＝{x|x＞0}，且BA，再根據(jù)選項A，B，C，D可知選項A正確.
(2)由x＝x2－2，得x＝2，則A＝{2}.
因為B＝{1，m}且AB，
所以m＝2.
答案(1)A(2)A
考點三集合的基本運算
【例3】(1)(2015全國Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()
A.5B.4
C.3D.2
(2)(2016浙江卷)設集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(RQ)＝()
A.[2，3]B.(－2，3]
C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解析(1)集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個元素.
(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.
∴RQ＝{x|－2x2}，
又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(RQ)＝{x|－2x≤3}.
答案(1)D(2)B
規(guī)律方法(1)在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.
(2)一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍.
【訓練3】(1)(2017石家莊模擬)設集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x6}，則下列結論正確的是()
A.NMB.N∩M＝
C.MND.M∩N＝R
(2)(2016山東卷)設集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，則U(A∪B)＝()
A.{2，6}B.{3，6}
C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}
解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴MN.
(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，
又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此U(A∪B)＝{2，6}.
答案(1)C(2)A
[思想方法]
1.集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到.解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉化.
2.對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號能否取到.
3.對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖.這是數(shù)形結合思想的又一體現(xiàn).
[易錯防范]
1.集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合)，要對集合進行化簡.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關注對空集的討論，防止漏解.
3.解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系.
4.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心.
基礎鞏固題組
(建議用時：25分鐘)
一、選擇題
1.(2015全國Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，則()
A.A＝BB.A∩B＝
C.A?BD.B?A
解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1B，∴B?A.
答案D
2.(2016全國Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)0，x∈Z}，則A∪B＝()
A.{1}B.{1，2}
C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}
解析由(x＋1)(x－2)0，得－1x2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.
答案C
3.(2017肇慶模擬)已知集合A＝{x|lgx0}，B＝{x|x≤1}，則()
A.A∩B≠B.A∪B＝RC.BAD.AB
解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.
答案B
4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，則a的取值范圍是()
A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)
C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析因為P∪M＝P，所以MP，即a∈P，
得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范圍是[－1，1].
答案C
5.(2016山東卷)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－10}，則A∪B＝()
A.(－1，1)B.(0，1)
C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)
解析由y＝2x，x∈R，知y0，則A＝(0，＋∞).
又B＝{x|x2－10}＝(－1，1).
因此A∪B＝(－1，＋∞).
答案C
6.(2016浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，則(UP)∪Q＝()
A.{1}B.{3，5}
C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}
解析∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(UP)∪Q＝{1，2，4，6}.
答案C
7.若x∈A，則1x∈A，就稱A是伙伴關系集合，集合M＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數(shù)是()
A.1B.3
C.7D.31
解析具有伙伴關系的元素組是－1，12，2，所以具有伙伴關系的集合有3個：{－1}，12，2，－1，12，2.
答案B
8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合U(A∪B)＝()
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0x1}
解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在數(shù)軸上表示如圖.
∴U(A∪B)＝{x|0x1}.
答案D
二、填空題
9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a0}，且1A，則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析∵1{x|x2－2x＋a0}，
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案(－∞，1]
10.(2016天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，則A∩B＝________.
解析由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.
答案{1，3}
11.集合A＝{x|x0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且xB}，則A－B＝________.
解析由x(x＋1)0，得x－1或x0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1，0).
答案[－1，0)
12.(2017石家莊質檢)已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|xm＋1}，若AB，則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，
又B＝{x|xm＋1}，且AB，
所以m＋12017，則m2016.
答案(2016，＋∞)
能力提升題組
(建議用時：10分鐘)
13.(2016全國Ⅲ卷改編)設集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x0}，則(RS)∩T＝()
A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)
C.(2，3)D.(0，＋∞)
解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴RS＝(2，3)，
因此(RS)∩T＝(2，3).
答案C
14.(2016黃山模擬)集合U＝R，A＝{x|x2－x－20}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則圖中陰影部分所表示的集合是()
A.{x|x≥1}B.{x|1≤x2}
C.{x|0x≤1}D.{x|x≤1}
解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴UB＝[1，＋∞)，A∩(UB)＝[1，2).因此陰影部分表示的集合為A∩(UB)＝{x|1≤x2}.
答案B
15.(2017南昌十所省重點中學模擬)設集合A＝x∈N|14≤2x≤16，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，則A∩B中元素的個數(shù)是________.
解析由14≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.
又x2－3x0，知B＝{x|x3或x0}，
∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一個元素.
答案1
16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＋n＝________.
解析A＝{x∈R||x＋2|3}＝{x∈R|－5x1}，
由A∩B＝(－1，n)可知m1，
則B＝{x|mx2}，畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1.
所以m＋n＝0.
答案0
第2講命題及其關系、充分條件與必要條件
最新考綱1.理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系；2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.
知識梳理
1.命題
用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.
2.四種命題及其相互關系
(1)四種命題間的相互關系
(2)四種命題的真假關系
①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.
②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關系.
3.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件pq且qp
p是q的必要不充分條件p且qp
p是q的充要條件pq
p是q的既不充分也不必要條件pq且qp

診斷自測
1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)“x2＋2x－30”是命題.()
(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”.()
(3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件.()
(4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”.()
解析(1)錯誤.該語句不能判斷真假，故該說法是錯誤的.
(2)錯誤.否命題既否定條件，又否定結論.
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
2.(教材練習改編)命題“若α＝π4，則tanα＝1”的逆否命題是()
A.若α≠π4，則tanα≠1B.若α＝π4，則tanα≠1
C.若tanα≠1，則α≠π4D.若tanα≠1，則α＝π4
解析命題“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則綈p”，顯然綈q：tanα≠1，綈p：α≠π4，所以該命題的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠π4”.
答案C
3.(2016天津卷)設x0，y∈R，則“xy”是“x|y|”的()
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
解析xyx|y|(如x＝1，y＝－2).
但x|y|時，能有xy.
∴“xy”是“x|y|”的必要不充分條件.
答案C
4.命題“若a－3，則a－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
解析原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為“若a－6，則a－3”是假命題，從而其否命題也是假命題.因此四個命題中有2個假命題.
答案B
5.(2017大連雙基檢測)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則命題p：“函數(shù)f(x)為偶函數(shù)”是命題q：“x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解析若f(x)為偶函數(shù)，則有f(x)＝f(－x)，所以pq；若f(x)＝x，當x＝0時，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x為奇函數(shù)，所以qp.
∴“命題p”是“命題q”的充分不必要條件.
答案A
考點一四種命題的關系及其真假判斷
【例1】(1)命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為()
A.“若x＝4，則x2－3x－4＝0”為真命題
B.“若x≠4，則x2－3x－4≠0”為真命題
C.“若x≠4，則x2－3x－4≠0”為假命題
D.“若x＝4，則x2－3x－4＝0”為假命題
(2)原命題為“若z1，z2互為共軛復數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()
A.真、假、真B.假、假、真
C.真、真、假D.假、假、假
解析(1)根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命題為假命題，所以其逆否命題也是假命題.
(2)由共軛復數(shù)的性質，|z1|＝|z2|，∴原命題為真，因此其逆否命題為真；取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互為共軛復數(shù)，∴其逆命題為假，故其否命題也為假.
答案(1)C(2)B
規(guī)律方法(1)由原命題寫出其他三種命題，關鍵要分清原命題的條件和結論，如果命題不是“若p，則q”的形式，應先改寫成“若p，則q”的形式；如果命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提不變.
(2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題為假命題，只需舉出反例.
(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假.
【訓練1】已知：命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結論正確的是()
A.否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題
B.逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題
C.逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題
D.逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題
解析由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，
∴m≤1.
因此原命題是真命題，所以其逆否命題“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題.
答案D

相關推薦

2018版高考數(shù)學（理科）一輪設計：第4章教師用書（人教A版）

第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)
最新考綱1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能進行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
知識梳理
1.角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.
(2)分類按旋轉方向不同分為正角、負角、零角Ｗ.按終邊位置不同分為象限角和軸線角.
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.
(2)公式
角α的弧度數(shù)公式|α|＝lr(弧長用l表示)

角度與弧度的換算①1°＝π180rad；②1rad＝

弧長公式弧長l＝|α|r
扇形面積公式S＝12lr＝12|α|r2

3.任意角的三角函數(shù)
三角函數(shù)正弦余弦正切
定義設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαyx叫做α的正切，記作tanα
各象限符號Ⅰ＋＋＋
Ⅱ＋－－
Ⅲ－－＋
Ⅳ－＋－
三角函數(shù)線
有向線段MP為正弦線
有向線段OM為余弦線
有向線段AT為正切線
診斷自測
1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)小于90°的角是銳角.()
(2)銳角是第一象限角，反之亦然.()
(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是30°.()
(4)若α∈0，π2，則tanα＞α＞sinα.()
(5)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等.()
解析(1)銳角的取值范圍是(0°，90°).
(2)第一象限角不一定是銳角.
(3)順時針旋轉得到的角是負角.
(5)終邊相同的角不一定相等.
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×
2.角－870°的終邊所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的終邊相同，在第三象限.
答案C
3.下列與9π4的終邊相同的角的表達式中正確的是()
A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k360°＋94π(k∈Z)
C.k360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)
解析與9π4的終邊相同的角可以寫成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確.
答案C
4.已知角α的終邊經(jīng)過點(－4，3)，則cosα＝()
A.45B.35C.－35D.－45
解析∵角α的終邊經(jīng)過點(－4，3)，
∴x＝－4，y＝3，r＝5.
∴cosα＝xr＝－45，故選D.
答案D
5.(必修4P10A6改編)一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為________弧度.
答案π3
考點一角的概念及其集合表示
【例1】(1)若角α是第二象限角，則α2是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
(2)終邊在直線y＝3x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________.
解析(1)∵α是第二象限角，
∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.
當k為偶數(shù)時，α2是第一象限角；
當k為奇數(shù)時，α2是第三象限角.
(2)如圖，在坐標系中畫出直線y＝3x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是π3，在[0，2π)內，終邊在直線y＝3x上的角有兩個：π3，43π；在[－2π，0)內滿足條件的角有兩個：－23π，－53π，故滿足條件的角α構成的集合為－53π，－23π，π3，43π.
答案(1)C(2)－53π，－23π，π3，43π
規(guī)律方法(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.
(2)確定kα，αk(k∈N*)的終邊位置的方法
先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或αk的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或αk的終邊所在位置.
【訓練1】(1)設集合M＝x|x＝k2180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4180°＋45°，k∈Z，那么()
A.M＝NB.MN
C.NMD.M∩N＝
(2)集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范圍(陰影部分)是()
解析(1)法一由于M＝x|x＝k2180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝x|x＝k4180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有MN，故選B.
法二由于M中，x＝k2180°＋45°＝k90°＋45°＝(2k＋1)45°，2k＋1是奇數(shù)；
而N中，x＝k4180°＋45°＝k45°＋45°＝(k＋1)45°，k＋1是整數(shù)，因此必有MN，故選B.
(2)當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此時α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍一樣；
當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋5π4≤α≤2nπ＋3π2，此時α表示的范圍與5π4≤α≤3π2表示的范圍一樣，故選C.
答案(1)B(2)C
考點二弧度制及其應用
【例2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；
(2)已知扇形的周長為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；
(3)若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
解(1)α＝60°＝π3rad，∴l(xiāng)＝αR＝π3×10＝10π3(cm).
(2)由題意得2R＋Rα＝10，12αR2＝4，解得R＝1，α＝8(舍去)，R＝4，α＝12.
故扇形圓心角為12.
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當R＝5時，S取得最大值25，
此時l＝10，α＝2.
規(guī)律方法應用弧度制解決問題的方法
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
【訓練2】已知一扇形的圓心角為α(α0)，所在圓的半徑為R.
(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；
(2)若扇形的周長是一定值C(C0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？
解(1)設弧長為l，弓形面積為S弓，則
α＝90°＝π2，R＝10，l＝π2×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝12×5π×10－12×102＝25π－50(cm2).
(2)扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝C2＋α，
∴S扇＝12αR2＝12αC2＋α2
＝C2α214＋4α＋α2＝C2214＋α＋4α≤C216.
當且僅當α2＝4，即α＝2時，扇形面積有最大值C216.
考點三三角函數(shù)的概念
【例3】(1)(2017洛陽一中月考)已知角α的終邊與單位圓x2＋y2＝1交于點P12，y0，則cos2α等于()
A.－12B.12C.－32D.1
(2)(2016蘭州模擬)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，則m的值為()
A.－12B.12C.－32D.32
解析(1)根據(jù)題意可知，cosα＝12，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×14－1＝－12.
(2)∵r＝64m2＋9，
∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，
∴m0，∴4m264m2＋9＝125，因此m＝12.
答案(1)A(2)B
規(guī)律方法(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r.
(2)利用三角函數(shù)線解三角不等式時要注意邊界角的取舍，結合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍.
【訓練3】(1)設θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，則θ2是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
(2)滿足cosα≤－12的角α的集合為________.
解析(1)由θ是第三象限角，知θ2為第二或第四象限角，
∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，
綜上知θ2為第二象限角.
(2)作直線x＝－12交單位圓于C，D兩點，
連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為
α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.
答案(1)B(2)α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
[思想方法]
1.在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點.|OP|＝r一定是正值.
2.三角函數(shù)符號是重點，也是難點，在理解的基礎上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.在解決簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧.
[易錯防范]
1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角.
2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.
3.已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.
基礎鞏固題組
(建議用時：30分鐘)
一、選擇題
1.給出下列四個命題：
①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正確的命題有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
解析－3π4是第三象限角，故①錯誤.4π3＝π＋π3，從而4π3是第三象限角，
②正確.－400°＝－360°－40°，從而③正確.－315°＝－360°＋45°，從而④正確.
答案C
2.已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊所在象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析由題意知tanα＜0，cosα＜0，∴α是第二象限角.
答案B
3.(2017福州模擬)已知角θ的終邊經(jīng)過點P(4，m)，且sinθ＝35，則m等于()
A.－3B.3C.163D.±3
解析sinθ＝m16＋m2＝35，解得m＝3.
答案B
4.點P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動2π3弧長到達Q點，則Q點的坐標為()
A.(－12，32)B.(－32，－12)
C.(－12，－32)D.(－32，12)
解析由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(x，y)滿足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.
答案A
5.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0.則實數(shù)a的取值范圍是()
A.(－2，3]B.(－2，3)
C.[－2，3)D.[－2，3]
解析∵cosα≤0，sinα0，
∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.
∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.
答案A
6.若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為()
A.π3B.π2C.3D.2
解析設圓半徑為r，則其內接正三角形的邊長為3r，所以3r＝αr，∴α＝3.
答案C
7.給出下列命題：
①第二象限角大于第一象限角；②三角形的內角是第一象限角或第二象限角；③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關；④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；⑤若cosθ0，則θ是第二或第三象限的角.
其中正確命題的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
解析舉反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯；當三角形的內角為90°時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯；③正確；由于sinπ6＝sin5π6，但π6與5π6的終邊不相同，故④錯；當cosθ＝－1，θ＝π時既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤錯.綜上可知只有③正確.
答案A
8.(2016合肥模擬)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()
A.－45B.－35
C.35D.45
解析由題意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，將其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝15，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－35.
答案B
二、填空題
9.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________.
解析在[0，2π)內，終邊落在陰影部分角的集合為π4，56π，
所以，所求角的集合為2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z).
答案2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)
10.設P是角α終邊上一點，且|OP|＝1，若點P關于原點的對稱點為Q，則Q點的坐標是________.
解析由已知P(cosα，sinα)，則Q(－cosα，－sinα).
答案(－cosα，－sinα)
11.已知扇形的圓心角為π6，面積為π3，則扇形的弧長等于________.
解析設扇形半徑為r，弧長為l，則lr＝π6，12lr＝π3，
解得l＝π3，r＝2.
答案π3
12.(2017九江模擬)若390°角的終邊上有一點P(a，3)，則a的值是________.
解析tan390°＝3a，又tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.∴3a＝33，∴a＝33.
答案33
能力提升題組
(建議用時：15分鐘)
13.已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點為M，點M沿圓O順時針運動π2弧長到達點N，以ON為終邊的角記為α，則tanα＝()
A.－1B.1C.－2D.2
解析圓的半徑為2，π2的弧長對應的圓心角為π4，故以ON為終邊的角為αα＝2kπ＋π4，k∈Z，故tanα＝1.
答案B
14.(2016鄭州一模)設α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點，且cosα＝15x，則tanα等于()
A.43B.34C.－34D.－43
解析因為α是第二象限角，所以cosα＝15x0，即x0.
又cosα＝15x＝xx2＋16，
解得x＝－3，所以tanα＝4x＝－43.
答案D
15.函數(shù)y＝2sinx－1的定義域為________.
解析∵2sinx－1≥0，∴sinx≥12.
由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).
∴x∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z).
答案2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)
16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時圓上一點P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動，當圓滾動到圓心位于(2，1)時，OP→的坐標為________.
解析如圖，作CQ∥x軸，PQ⊥CQ,Q為垂足.根據(jù)題意得劣弧DP︵＝2，故∠DCP＝2，則在△PCQ中，∠PCQ＝2－π2，
|CQ|＝cos2－π2＝sin2，|PQ|＝sin2－π2＝－cos2，
所以P點的橫坐標為2－|CQ|＝2－sin2，P點的縱坐標為1＋|PQ|＝1－cos2，所以P點的坐標為(2－sin2，1－cos2)，故OP→＝(2－sin2，1－cos2).
答案(2－sin2，1－cos2)
第2講同角三角函數(shù)基本關系式與誘導公式
最新考綱1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.
知識梳理
1.同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關系：sinαcosα＝tan__αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函數(shù)的誘導公式
公式一二三四五六
角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－α
π2＋α

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα
余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα
正切tanαtanα－tanα－tanα

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限
診斷自測
1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角.()
(2)六組誘導公式中的角α可以是任意角.()
(3)誘導公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.()
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，則sinα＝13.()
解析(1)對于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立.
(4)當k為奇數(shù)時，sinα＝13，
當k為偶數(shù)時，sinα＝－13.
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
2.(2017泰安模擬)sin600°的值為()
A.－12B.－32C.12D.32
解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.
答案B
3.已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()
A.－25B.－15C.15D.25
解析∵sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，∴cosα＝15.故選C.
答案C
4.已知sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，則tan(2π－α)的值為()
A.－255B.255C.±255D.52
解析sin(π－α)＝sinα＝log814＝－23，
又α∈－π2，0，得cosα＝1－sin2α＝53，
tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝255.
答案B
5.(必修4P22B3改編)已知tanα＝2，則sinα＋cosαsinα－cosα的值為________.
解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.
答案3

2018版高考數(shù)學（理科）一輪設計：第5~6章教師用書（人教A版）

作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，高中教師在教學前就要準備好教案，做好充分的準備。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，有效的提高課堂的教學效率。寫好一份優(yōu)質的高中教案要怎么做呢？下面是小編精心為您整理的“2018版高考數(shù)學（理科）一輪設計：第5~6章教師用書（人教A版）”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

第1講平面向量的概念及線性運算
最新考綱1.了解向量的實際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
知識梳理
1.向量的有關概念
名稱定義備注
向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量
零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0
單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±a|a|

平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線
共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量
相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小
相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向量的線性運算
向量運算定義法則(或幾何意義)運算律
加法求兩個向量和的運算
(1)交換律：
a＋b＝b＋a
(2)結合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.診斷自測
1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)零向量與任意向量平行.()
(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()
(3)向量AB→與向量CD→是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上.()
(4)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立.()
(5)在△ABC中，D是BC中點，則AD→＝12(AC→＋AB→).()
解析(2)若b＝0，則a與c不一定平行.
(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上.
答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√
2.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量AB→與BA→相等.則所有正確命題的序號是()
A.①B.③C.①③D.①②
解析根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量AB→與BA→互為相反向量，故③錯誤.
答案A
3.(2017棗莊模擬)設D為△ABC所在平面內一點，AD→＝－13AB→＋43AC→，若BC→＝λDC→(λ∈R)，則λ＝()
A.2B.3C.－2D.－3
解析由AD→＝－13AB→＋43AC→，可得3AD→＝－AB→＋4AC→，即4AD→－4AC→＝AD→－AB→，則4CD→＝BD→，即BD→＝－4DC→，可得BD→＋DC→＝－3DC→，故BC→＝－3DC→，則λ＝－3，故選D.
答案D
4.(2015全國Ⅱ卷)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝____________.
解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，
又向量λa＋b與a＋2b平行，
則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則得λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.
答案12
5.(必修4P92A12改編)已知ABCD的對角線AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，則DC→＝______，BC→＝________(用a，b表示).
解析如圖，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.
答案b－a－a－b
考點一平面向量的概念
【例1】下列命題中，不正確的是________(填序號).
①若|a|＝|b|，則a＝b；
②若A，B，C，D是不共線的四點，則“AB→＝DC→”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；
③若a＝b，b＝c，則a＝c.
解析①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.
②正確.∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|AB→|＝|DC→|，
AB→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→.
③正確.∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.
答案①
規(guī)律方法(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談.
(4)非零向量a與a|a|的關系：a|a|是與a同方向的單位向量.
【訓練1】下列命題中，正確的是________(填序號).
①有向線段就是向量，向量就是有向線段；
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；
③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.
解析①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；
②不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；
③正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大??；向量的模均為實數(shù)，可以比較大小.
答案③
考點二平面向量的線性運算
【例2】(1)(2017濰坊模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝13AB，BQ＝13BC.若AB→＝a，AC→＝b，則PQ→＝()
A.13a＋13bB.－13a＋13b
C.13a－13bD.－13a－13b
(2)(2015北京卷)在△ABC中，點M，N滿足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，則x＝________；y＝________.
解析(1)PQ→＝PB→＋BQ→＝23AB→＋13BC→＝23AB→＋
13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b，故選A.
(2)由題中條件得，MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→＝xAB→＋yAC→，所以x＝12，y＝－16.
答案(1)A(2)12－16
規(guī)律方法(1)解題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.
(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.
【訓練2】(1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個靠近B點的三等分點，那么EF→等于()
A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→
C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→
(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若AO→＝λAB→＋μBC→，則λ＋μ等于()
A.1B.12C.13D.23
解析(1)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.
因為點E為DC的中點，所以EC→＝12DC→.
因為點F為BC的一個靠近B點的三等分點，
所以CF→＝23CB→.
所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→
＝12AB→－23AD→，故選D.
(2)∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→，
∴2AO→＝AB→＋13BC→，即AO→＝12AB→＋16BC→.
故λ＋μ＝12＋16＝23.
答案(1)D(2)D
考點三共線向量定理及其應用
【例3】設兩個非零向量a與b不共線.
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.
(1)證明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).
∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共線，
又它們有公共點B，
∴A，B，D三點共線.
(2)解∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共線的兩個非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
規(guī)律方法(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.
(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.
【訓練3】(1)(2017資陽模擬)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，則()
A.A，B，C三點共線B.A，B，D三點共線
C.A，C，D三點共線D.B，C，D三點共線
(2)已知A，B，C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的實數(shù)x的取值集合為()
A.{0}B.C.{－1}D.{0，－1}
解析(1)∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，
∴BD→、AB→共線，又有公共點B，
∴A，B，D三點共線.故選B.
(2)因為BC→＝OC→－OB→，所以x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，即OC→＝－x2OA→－(x－1)OB→，因為A，B，C三點共線，
所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，
解得x＝0或x＝－1.
答案(1)B(2)D
[思想方法]
1.向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.
2.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.
3.對于三點共線有以下結論：對于平面上的任一點O，OA→，OB→不共線，滿足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，則P，A，B共線x＋y＝1.
[易錯防范]
1.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.
2.在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤.
基礎鞏固題組
(建議用時：30分鐘)
一、選擇題
1.已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→.其中結果為零向量的個數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
解析由題知結果為零向量的是①④，故選B.
答案B
2.設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結論中正確的是()
A.a與λa的方向相反B.a與λ2a的方向相同
C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|a
解析對于A，當λ＞0時，a與λa的方向相同，當λ＜0時，a與λa的方向相反；B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小.
答案B
3.如圖，在正六邊形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()
A.0B.BE→
C.AD→D.CF→
解析由題圖知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→.
答案D
4.設a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.
答案D
5.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()
A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→
解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.故選D.
答案D
6.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若點D滿足BD→＝2DC→，則AD→等于()
A.23b＋13cB.53c－23b
C.23b－13cD.13b＋23c
解析∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，
∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.
答案A
7.(2017溫州八校檢測)設a，b不共線，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為()
A.－2B.－1C.1D.2
解析∵BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，
∴BD→＝BC→＋CD→＝2a－b.
又∵A，B，D三點共線，∴AB→，BD→共線.
設AB→＝λBD→，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案B
8.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，AB→＝a，AC→＝b，則AD→＝()
A.a－12bB.12a－b
C.a＋12bD.12a＋b
解析連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，
所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.
答案D
二、填空題
9.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量OA→相等的向量有________個.
解析根據(jù)正六邊形的性質和相等向量的定義，易知與向量OA→相等的向量有CB→，DO→，EF→，共3個.
答案3
10.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AB→＋AD→＝λAO→，則λ＝________.
解析因為ABCD為平行四邊形，所以AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，已知AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝2.
答案2
11.向量e1，e2不共線，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，給出下列結論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線.其中所有正確結論的序號為________.
解析由AC→＝AB→－CB→＝4e1＋2e2＝2CD→，且AB→與CB→不共線，可得A，C，D共線，且B不在此直線上.
答案④
12.已知△ABC和點M滿足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在實數(shù)m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，則m＝________.
解析由已知條件得MB→＋MC→＝－MA→，如圖，延長AM交BC于D點，則D為BC的中點.
延長BM交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，即M為△ABC的重心，
∴AM→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，則m＝3.
答案3
能力提升題組
(建議用時：15分鐘)
13.(2017延安模擬)設e1與e2是兩個不共線向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()
A.－94B.－49
C.－38D.不存在
解析由題意，A，B，D三點共線，故必存在一個實數(shù)λ，使得AB→＝λBD→.
又AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，
所以BD→＝CD→－CB→＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以3＝λ（3－k），2＝－λ（2k＋1），解得k＝－94.
答案A
14.已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2OP→＝2OA→＋BA→，則()
A.點P在線段AB上B.點P在線段AB的反向延長線上
C.點P在線段AB的延長線上D.點P不在直線AB上
解析因為2OP→＝2OA→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以點P在線段AB的反向延長線上，故選B.
答案B
15.O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的()
A.外心B.內心C.重心D.垂心
解析作∠BAC的平分線AD.∵OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，
∴AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|＝λ′AD→|AD→|(λ′∈[0，＋∞))，
∴AP→＝λ′|AD→|AD→，∴AP→∥AD→.
∴P的軌跡一定通過△ABC的內心.
答案B
16.若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，則△ABC的形狀為________.
解析OB→＋OC→－2OA→＝(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.
故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形.
答案直角三角形
第2講平面向量基本定理及坐標表示
最新考綱1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

高考數(shù)學理科一輪復習導數(shù)的綜合應用學案（有答案）

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，教師要準備好教案為之后的教學做準備。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。教案的內容要寫些什么更好呢？下面是由小編為大家整理的“高考數(shù)學理科一輪復習導數(shù)的綜合應用學案（有答案）”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

學案15導數(shù)的綜合應用
導學目標：1.應用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，并會根據(jù)函數(shù)的性質求參數(shù)范圍.2.會利用導數(shù)解決某些實際問題．
自主梳理
1．函數(shù)的最值
(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最值的條件
如果函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟：
①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內的________；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與________比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
2．實際應用問題：首先要充分理解題意，列出適當?shù)暮瘮?shù)關系式，再利用導數(shù)求出該函數(shù)的最大值或最小值，最后回到實際問題中，得出最優(yōu)解．
自我檢測
1．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內有最小值，則a的取值范圍為()
A．0≤a1B．0a1
C．－1a1D．0a12
2．(2011汕頭月考)設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是()
3．對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有()
A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)
4．(2011新鄉(xiāng)模擬)函數(shù)f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在區(qū)間0，π2上的值域為______________．
5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則常數(shù)c的值為________．
探究點一求含參數(shù)的函數(shù)的最值
例1已知函數(shù)f(x)＝x2e－ax(a0)，求函數(shù)在[1,2]上的最大值．

變式遷移1設a0，函數(shù)f(x)＝alnxx.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)求f(x)在區(qū)間[a,2a]上的最小值．

探究點二用導數(shù)證明不等式
例2(2011張家口模擬)已知f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
(2)求證：當x1時，12x2＋lnx23x3.

變式遷移2(2010安徽)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；
(2)求證：當aln2－1且x0時，exx2－2ax＋1.

探究點三實際生活中的優(yōu)化問題
例3(2011孝感月考)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元(9≤x≤11)時，一年的銷售量為(12－x)2萬件．
(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關系式；
(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a)．

變式遷移3甲方是一農場，乙方是一工廠．由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關系x＝2000t.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格)．
(1)將乙方的年利潤ω(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；
(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y＝0.002t2(元)，在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是多少？

轉化與化歸思想的應用
例(12分)(2010全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范圍；
(2)證明：(x－1)f(x)≥0.
【答題模板】
(1)解∵f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x0，
∴xf′(x)＝xlnx＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1，
得a≥lnx－x，令g(x)＝lnx－x，則g′(x)＝1x－1，[2分]
當0x1時，g′(x)0；
當x1時，g′(x)0，[4分]
∴x＝1是最大值點，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，
∴a的取值范圍為[－1，＋∞)．[6分]
(2)證明由(1)知g(x)＝lnx－x≤g(1)＝－1，∴l(xiāng)nx－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解決(2)的關鍵．)[8分]
當0x1時，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋lnx－x＋1≤0，
∴(x－1)f(x)≥0.
當x≥1時，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1
＝lnx＋xlnx－x＋1
＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，
∴(x－1)f(x)≥0.[11分]
綜上，(x－1)f(x)≥0.[12分]
【突破思維障礙】
本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式證明等知識，通過運用導數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題，考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力以及計算能力，同時也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想．通過轉化，本題實質還是利用單調性求最值問題．
1．求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要分類討論參數(shù)的范圍．若已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍時，隱含恒成立思想．
2．利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：
(1)分析實際問題中各變量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出相應的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)；
(2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比較函數(shù)的區(qū)間端點對應的函數(shù)值和極值，確定最值；
(4)回到實際問題，作出解答．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011皖南模擬)已知曲線C：y＝2x2－x3，點P(0，－4)，直線l過點P且與曲線C相切于點Q，則點Q的橫坐標為()
A．－1B．1C．－2D．2
2．已知函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是()
3．設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是()
4．函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函數(shù)，則t的取值范圍是()
A．t5B．t5
C．t≥5D．t≤5
5．(2011滄州模擬)若函數(shù)f(x)＝sinxx，且0x1x21，設a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，則a，b的大小關系是()
A．a(chǎn)bB．a(chǎn)b
C．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)、b的大小不能確定
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為________．(強度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)
7．要建造一個長方體形狀的倉庫，其內部的高為3m，長和寬的和為20m，則倉庫容積的最大值為_____________________________________________________________m3.
8．若函數(shù)f(x)＝4xx2＋1在區(qū)間(m,2m＋1)上是單調遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)．
(1)求f(x)的單調區(qū)間；
(2)若x∈[1e－1，e－1]時，f(x)m恒成立，求m的取值范圍．

10．(12分)(2010湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．

11．(14分)設函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點也在函數(shù)g(x)的圖象上，且在此點有公共切線．
(1)求a、b的值；
(2)對任意x0，試比較f(x)與g(x)的大小．

答案自主梳理
1．(1)連續(xù)(2)①極值②端點值
自我檢測
1．B2.D3.C
4.12，12eπ25.6
課堂活動區(qū)
例1解題導引求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，首先應判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的單調性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判斷函數(shù)在各區(qū)間上的單調性，在這里一般要用到分類討論的思想，討論的標準通常是極值點與區(qū)間端點的大小關系，確定單調性或具體情況．
解∵f(x)＝x2e－ax(a0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)0，即e－ax(－ax2＋2x)0，
得0x2a.
∴f(x)在(－∞，0)，2a，＋∞上是減函數(shù)，
在0，2a上是增函數(shù)．
①當02a1，即a2時，f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，
∴f(x)max＝f(1)＝e－a.
②當1≤2a≤2，即1≤a≤2時，f(x)在1，2a上是增函數(shù)，在2a，2上是減函數(shù)，
∴f(x)max＝f2a＝4a－2e－2.
③當2a2，即0a1時，f(x)在[1,2]上是增函數(shù)，
∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.
綜上所述，
當0a1時，f(x)的最大值為4e－2a；
當1≤a≤2時，f(x)的最大值為4a－2e－2；
當a2時，f(x)的最大值為e－a.
變式遷移1解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝a1－lnxx2(a0)，
由f′(x)＝a1－lnxx20，得0xe；
由f′(x)0，得xe.
故f(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減．
(2)∵f(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減，
∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．∵f(a)－f(2a)＝12lna2，
∴當0a≤2時，[f(x)]min＝lna；
當a2時，[f(x)]min＝ln2a2.
例2解題導引利用導數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構造函數(shù)，通過研究函數(shù)的性質進而解決不等式問題．
(1)解f′(x)＝x－ax＝x2－ax(x0)，
若a≤0時，f′(x)0恒成立，
∴函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(0，＋∞)．
若a0時，令f′(x)0，得xa，
∴函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(a，＋∞)，減區(qū)間為(0，a)．
(2)證明設F(x)＝23x3－(12x2＋lnx)，
故F′(x)＝2x2－x－1x.
∴F′(x)＝x－12x2＋x＋1x.
∵x1，∴F′(x)0.
∴F(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．
又F(x)在(1，＋∞)上連續(xù)，F(xiàn)(1)＝160，
∴F(x)16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)0.
∴當x1時，12x2＋lnx23x3.
變式遷移2(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當x變化時，
f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)
f′(x)－0＋
f(x)?
極小值?

故f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，
單調遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為
f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)證明設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知當aln2－1時，
g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.
于是對任意x∈R，都有g′(x)0，
所以g(x)在R內單調遞增，于是當aln2－1時，
對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．
而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0，
即ex－x2＋2ax－10，
故exx2－2ax＋1.
例3解(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關系式為L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)
＝(12－x)(18＋2a－3x)．
令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12(不合題意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.
在x＝6＋23a兩側L′的值由正變負．
∴①當8≤6＋23a9，即3≤a92時，
Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．
②當9≤6＋23a≤283，即92≤a≤5時，
Lmax＝L(6＋23a)＝(6＋23a－3－a)[12－(6＋23a)]2
＝4(3－13a)3.
所以Q(a)＝96－a，3≤a92，43－13a3，92≤a≤5.
綜上，若3≤a92，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(萬元)；
若92≤a≤5，則當每件售價為(6＋23a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝4(3－13a)3(萬元)．
變式遷移3解(1)因為賠付價格為S元/噸，
所以乙方的實際年利潤為ω＝2000t－St.
由ω′＝1000t－S＝1000－Stt，
令ω′＝0，得t＝t0＝(1000S)2.
當tt0時，ω′0；當tt0時，ω′0.
所以當t＝t0時，ω取得最大值．
因此乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量為(1000S)2噸．
(2)設甲方凈收入為v元，則v＝St－0.002t2.
將t＝(1000S)2代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格S之間的函數(shù)關系式：
v＝10002S－2×10003S4.
又v′＝－10002S2＋8×10003S5＝10002×8000－S3S5，
令v′＝0，得S＝20.
當S20時，v′0；
當S20時，v′0，
所以S＝20時，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求賠付價格S＝20元/噸時，可獲得最大凈收入．
課后練習區(qū)
1．A2.D3.C4.C5.A
6.63d
解析如圖所示，為圓木的橫截面，
由b2＋h2＝d2，
∴bh2＝b(d2－b2)．
設f(b)＝b(d2－b2)，
∴f′(b)＝－3b2＋d2.
令f′(b)＝0，由b0，
∴b＝33d，且在(0，33d)上f′(b)0，在[33d，d]上f′(b)0.
∴函數(shù)f(b)在b＝33d處取極大值，也是最大值，即抗彎強度最大，此時長h＝63d.
7．300
解析設長為xm，則寬為(20－x)m，倉庫的容積為V，則V＝x(20－x)3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，
令V′＝0得x＝10.
當0x10時，V′0；當x10時，V′0，
∴x＝10時，V最大＝300(m3)．
8．(－1,0]
解析f′(x)＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1.
由已知得(m,2m＋1)[－1,1]，即m≥－12m＋1≤1m2m＋1，
解得－1m≤0.
9．解(1)∵f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)，
∴f′(x)＝(1＋x)－11＋x＝x2＋x1＋x(x－1)．
……………………………………………………………………………………………(4分)
∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
在(－1,0)上單調遞減．…………………………………………………………………(6分)
(2)令f′(x)＝0，即x＝0，則
x(1e－1,0)
0(0，e－1)
f′(x)－0＋
f(x)?
極小值?

……………………………………………………………………………………………(9分)
又∵f(1e－1)＝12e2＋1，f(e－1)＝12e2－112e2＋1，
又f(x)m在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，
∴m12e2－1.………………………………………………………………………………(12分)
10．解(1)設隔熱層厚度為xcm，由題設，
每年能源消耗費用為C(x)＝k3x＋5，(2分)
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5，…………………………………………(4分)
而建造費用為C1(x)＝6x.…………………………………………………………………(5分)
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x
＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．………………………………………………………………(6分)
(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，
即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．…………………………………………(8分)
當0x5時，f′(x)0，
當5x10時，f′(x)0，………………………………………………………………(10分)
故x＝5是f(x)的最小值點，
對應的最小值為f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.
當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元．
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝lnx的圖象與x軸的交點坐標是(1,0)，
依題意，得g(1)＝a＋b＝0.①……………………………………………………………(2分)
又f′(x)＝1x，g′(x)＝a－bx2，
且f(x)與g(x)在點(1,0)處有公共切線，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②……………………………………………………(4分)
由①②得a＝12，b＝－12.…………………………………………………………………(6分)
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，則
F(x)＝lnx－(12x－12x)＝lnx－12x＋12x，
∴F′(x)＝1x－12－12x2＝－12(1x－1)2≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．………………………………………………………(10分)
當0x1時，F(xiàn)(x)F(1)＝0，即f(x)g(x)；
當x＝1時，F(xiàn)(1)＝0，即f(x)＝g(x)；
當x1時，F(xiàn)(x)F(1)＝0，即f(x)g(x)．
綜上，0x1時，f(x)g(x)；
x＝1時，f(x)＝g(x)；
x1時f(x)g(x)．…………………………………………………………………………(14分)

高考數(shù)學理科一輪復習任意角的三角函數(shù)學案

第四章三角函數(shù)與三角恒等變換
學案17任意角的三角函數(shù)
導學目標：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．
自主梳理
1．任意角的概念
角可以看成平面內一條射線OA繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置OB所成的圖形．旋轉開始時的射線OA叫做角的________，射線的端點O叫做角的________，旋轉終止位置的射線OB叫做角的________，按______時針方向旋轉所形成的角叫做正角，按______時針方向旋轉所形成的角叫做負角．若一條射線沒作任何旋轉，稱它形成了一個________角．
(1)象限角
使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是__________角．
(2)象限界角(即終邊在坐標軸上的角)
終邊在x軸上的角表示為____________________；
終邊在y軸上的角表示為__________________________________________；
終邊落在坐標軸上的角可表示為____________________________．
(3)終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把長度等于________長的弧所對的__________叫1弧度的角．以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做________，它的單位符號是________，讀作________，通常略去不寫．
(5)度與弧度的換算關系
360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；
1rad＝_______________≈57.30°.
(6)弧長公式與扇形面積公式
l＝________，即弧長等于_________________________________________________．
S扇＝________＝____________.
2．三角函數(shù)的定義
任意角的三角函數(shù)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；②____叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；③________叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝y(tǒng)x(x≠0)．
(1)三角函數(shù)值的符號
各象限的三角函數(shù)值的符號如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)三角函數(shù)線
下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示__________，__________________和____________．
自我檢測
1．“α＝π6”是“cos2α＝12”的（）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
2.(2011濟寧模擬)點P(tan2009°，cos2009°)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．(2010山東青島高三教學質量檢測)已知sinα0且tanα0，則角α是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．已知角α的終邊上一點的坐標為sin2π3，cos2π3，則角α的最小正值為()
A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6
探究點一角的概念
例1(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的終邊落在第幾象限；
(2)寫出終邊落在直線y＝3x上的角的集合；
(3)若θ＝168°＋k360°(k∈Z)，求在[0°，360°)內終邊與θ3角的終邊相同的角．

變式遷移1若α是第二象限的角，試分別確定2α，α2的終邊所在位置．

探究點二弧長與扇形面積
例2(2011金華模擬)已知一個扇形的圓心角是α，0α2π，其所在圓的半徑是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；
(2)若扇形的周長是一定值C(C0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？

變式遷移2(1)已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；
(2)已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？

探究點三三角函數(shù)的定義
例3已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

變式遷移3已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．

1．角的度量由原來的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習慣．象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長公式和扇形面積公式的運用是學習三角函數(shù)的基礎．
2．三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標法和單位圓法．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011宣城模擬)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動2π3弧長到達Q，則Q的坐標為（）
A．(－12，32)B．(－32，－12)
C．(－12，－32)D．(－32，12)
2．若0xπ，則使sinx12和cosx12同時成立的x的取值范圍是()
A.π3xπ2B.π3x56π
C.π6x56πD.π3x23π
3．已知α為第三象限的角，則α2所在的象限是()
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
4．若1弧度的圓心角所對弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于()
A．sin12B.π6
C.1sin12D．2sin12
5．已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，則關于tanθ的值，以下四個答案中，可能正確的是()
A．－3B．3或13
C．－13D．－3或－13
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，則α的取值范圍是________________．
7．(2011龍巖模擬)已知點Psin3π4，cos3π4落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為________．
8．閱讀下列命題：
①若點P(a,2a)(a≠0)為角α終邊上一點，則sinα＝255；
②同時滿足sinα＝12，cosα＝32的角有且只有一個；
③設tanα＝12且πα3π2，則sinα＝－55；
④設cos(sinθ)tan(cosθ)0(θ為象限角)，則θ在第一象限．其中正確命題為________．(將正確命題的序號填在橫線上)
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑長為6，
(1)求AB的弧長；
(2)求弓形OAB的面積．

10．(12分)在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：
(1)sinα≥32；
(2)cosα≤－12.

11．(14分)(2011舟山月考)已知角α終邊經(jīng)過點P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．

答案自主梳理
1．始邊頂點終邊逆順零(1)第幾象限
(2){α|α＝kπ，k∈Z}α|α＝kπ＋π2，k∈Zα|α＝kπ2，k∈Z(3){β|β＝α＋k360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(4)半徑圓心角弧度制rad弧度(5)2πππ180180π°(6)|α|r弧所對的圓心角(弧度數(shù))的絕對值與半徑的積12lr12|α|r22.①y②x③yx(2)α的正弦線α的余弦線α的正切線
自我檢測
1．A2.D3.C4.D
課堂活動區(qū)
例1解題導引(1)一般地，角α與－α終邊關于x軸對稱；角α與π－α終邊關于y軸對稱；角α與π＋α終邊關于原點對稱．
(2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0,2π)范圍內的一角α與2π的整數(shù)倍，然后判斷角α的象限．
(3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合參數(shù)k賦值來求得所需角．
解(1)π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，
∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，
即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．①
∴－α角終邊在第二象限．
又由①各邊都加上π，得3π2＋2kππ－α2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α是第四象限角．
同理可知，π＋α是第一象限角．
(2)在(0，π)內終邊在直線y＝3x上的角是π3，
∴終邊在直線y＝3x上的角的集合為
α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝168°＋k360°(k∈Z)，
∴θ3＝56°＋k120°(k∈Z)．
∵0°≤56°＋k120°360°，
∴k＝0,1,2時，θ3∈[0°，360°)．
故在[0°，360°)內終邊與θ3角的終邊相同的角是56°，176°，296°.
變式遷移1解∵α是第二象限的角，
∴k360°＋90°αk360°＋180°(k∈Z)．
(1)∵2k360°＋180°2α2k360°＋360°(k∈Z)，
∴2α的終邊在第三或第四象限，或角的終邊在y軸的非正半軸上．
(2)∵k180°＋45°α2k180°＋90°(k∈Z)，
當k＝2n(n∈Z)時，
n360°＋45°α2n360°＋90°；
當k＝2n＋1(n∈Z)時，
n360°＋225°α2n360°＋270°.
∴α2是第一或第三象限的角．
∴α2的終邊在第一或第三象限．
例2解題導引本題主要考查弧長公式和扇形的面積公式，并與最值問題聯(lián)系在一起．確定一個扇形需要兩個基本條件，因此在解題中應依據(jù)題目條件確定出圓心角、半徑、弧長三個基本量中的兩個，然后再進行求解．
解
(1)設扇形的弧長為l，該弧所在弓形的面積為S，如圖所示，
當α＝60°＝π3，
R＝10cm時，
可知l＝αR＝10π3cm.
而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sinπ3
＝12×10π3×10－12×100×32
＝50π3－253cm2.
(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，
S扇＝12αR2＝12αRR＝14αR2R
≤14αR＋2R22＝14C22＝C216.
當且僅當αR＝2R，即α＝2時，等號成立，即當α為2弧度時，該扇形有最大面積116C2.
變式遷移2解設扇形半徑為R，圓心角為θ，所對的弧長為l.
(1)依題意，得12θR2＝4，θR＋2R＝10，
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.
∵82π，舍去，∴θ＝12.
(2)扇形的周長為40，即θR＋2R＝40，
S＝12lR＝12θR2＝14θR2R≤14θR＋2R22＝100.
當且僅當θR＝2R，即R＝10，θ＝2時扇形面積取得最大值，最大值為100.
例3解題導引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關，當終邊確定時三角函數(shù)值就相應確定了．但若終邊落在某條直線上時，這時終邊實際上有兩個，因此對應的函數(shù)值有兩組，要分別求解．
解∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，
∴在角α的終邊上任取一點P(4t，－3t)(t≠0)，
則x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，
當t0時，r＝5t，
sinα＝y(tǒng)r＝－3t5t＝－35，
cosα＝xr＝4t5t＝45，
tanα＝y(tǒng)x＝－3t4t＝－34；
當t0時，r＝－5t，
sinα＝y(tǒng)r＝－3t－5t＝35，
cosα＝xr＝4t－5t＝－45，
tanα＝y(tǒng)x＝－3t4t＝－34.
綜上可知，t0時，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；
t0時，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.
變式遷移3解r＝－4a2＋3a2＝5|a|.
若a0，則r＝5a，α角在第二象限，
sinα＝y(tǒng)r＝3a5a＝35，
cosα＝xr＝－4a5a＝－45，
tanα＝y(tǒng)x＝3a－4a＝－34.
若a0，則r＝－5a，α角在第四象限，
sinα＝y(tǒng)r＝3a－5a＝－35，cosα＝xr＝－4a－5a＝45，
tanα＝y(tǒng)x＝3a－4a＝－34.
課后練習區(qū)
1．A2.B3.D4.C5.C
6.π4，π2∪π，5π4
解析由已知得sinαcosα，tanα0，
∴π4＋2kπαπ2＋2kπ或π＋2kπα5π4＋2kπ，k∈Z.
∵0≤α≤2π，∴當k＝0時，π4απ2或πα5π4.
7.74π
解析由三角函數(shù)的定義，tanθ＝y(tǒng)x＝cos3π4sin3π4＝－1.
又∵sin3π40，cos3π40，∴P在第四象限，∴θ＝7π4.
8．③
解析①中，當α在第三象限時，
sinα＝－255，故①錯．
②中，同時滿足sinα＝12，cosα＝32的角為α＝2kπ＋π6(k∈Z)，不只有一個，故②錯．③正確．④θ可能在第一象限或第四象限，故④錯．綜上選③.
9．解(1)∵α＝120°＝2π3，r＝6，
∴AB的弧長為l＝αr＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分)
S△ABO＝12r2sin2π3＝12×62×32
＝93，……………………………………………………………………………………(10分)
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.………………………………………………(12分)
10．解(1)
作直線y＝32交單位圓于A、B兩點，連結OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的集合為α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.…………………………………………………(6分)
(2)
作直線x＝－12交單位圓于C、D兩點，連結OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為
α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.……………………………………………………(12分)
11．解∵P(x，－2)(x≠0)，
∴點P到原點的距離r＝x2＋2.…………………………………………………………(2分)
又cosα＝36x，
∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，
∴r＝23.…………………………………………………………………………………(6分)
當x＝10時，P點坐標為(10，－2)，
由三角函數(shù)的定義，
有sinα＝－66，1tanα＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；……………………………………………(10分)
當x＝－10時，
同樣可求得sinα＋1tanα＝65－66.………………………………………………(14分)