高中等差數(shù)列的教案

“等差數(shù)列”一課的。

教學(xué)目標(biāo)：（1）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能由a1,d,n,an“知三求一”，了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及思想；

（3）通過(guò)作等差數(shù)列的圖像，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過(guò)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)用，滲透方程思想。

教學(xué)重、難點(diǎn)：等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

知識(shí)結(jié)構(gòu)：一般數(shù)列定義通項(xiàng)公式法

遞推公式法

等差數(shù)列表示法應(yīng)用

圖示法

性質(zhì)列舉法

教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境：

1．觀察下列數(shù)列：

1，2，3，4，……；(軍訓(xùn)時(shí)某排同學(xué)報(bào)數(shù))

10000，9000，8000，7000，……；（溫州市房?jī)r(jià)平均每月每平方下跌的價(jià)位）

2，2，2，2，……；（坐38路公交車的車費(fèi)）

問(wèn)題：上述三個(gè)數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)很多規(guī)律，如都是整數(shù)，再舉幾個(gè)非整數(shù)等差數(shù)列例子讓學(xué)生觀察）

規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)。

引出等差數(shù)列。

（二）新課講解：

1．等差數(shù)列定義：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。

問(wèn)題：（a）能否用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述等差數(shù)列的定義？

用遞推公式表示為或．

(b)例1：觀察下列數(shù)列是否是等差數(shù)列：

（1）1，-1，1，-1，…

(2)1,2,4,6,8,10,…

意在強(qiáng)調(diào)定義中“同一個(gè)常數(shù)”

(c)例2：求上述三個(gè)數(shù)列的公差；公差d可取哪些值？d0，d=0,d0時(shí)，數(shù)列有什么特點(diǎn)

（d有不同的分類，如按整數(shù)分?jǐn)?shù)分類，再舉幾個(gè)等差數(shù)列的例子觀察d的分類對(duì)數(shù)列的影

響）

說(shuō)明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列。

例3：求等差數(shù)列13，8，3，-2，…的第5項(xiàng)。第89項(xiàng)呢？【fANWEN.HaO86.com 好工具范文網(wǎng)】

放手讓學(xué)生利用各種方法求a89，從中找出合適的方法，如利用不完全歸納法或累加法，然

后引出求一般等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，求．

（1）由遞推公式利用用不完全歸納法得出

由等差數(shù)列的定義：，，，……

∴，，，……

所以，該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：．

(驗(yàn)證n=1時(shí)成立)。

這種由特殊到一般的推導(dǎo)方法，不能代替嚴(yán)格證明。要用數(shù)學(xué)歸納法證明的。

（2）累加法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

讓學(xué)生體驗(yàn)推導(dǎo)過(guò)程。(驗(yàn)證n=1時(shí)成立)

3．例題及練習(xí)：

應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

追問(wèn)：（1）-232是否為例3等差數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？

（2）此數(shù)列中有多少項(xiàng)屬于區(qū)間[-100，0]？

法一：求出a1,d,借助等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a20。

法二：求出d，a20=a5+15d=a12+8d

在例4基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生猜想證明

練習(xí)：

梯子的最高一級(jí)寬31cm，最低一級(jí)寬119cm,中間還有3級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，請(qǐng)計(jì)算中間各級(jí)的寬度。

觀察圖像特征。

思考：an是關(guān)于n的一次式，是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的什么條件？

課后反思：這節(jié)課的重點(diǎn)是等差數(shù)列定義和通項(xiàng)公式概念的理解，而不是公式的應(yīng)用，有些應(yīng)試教育的味道。有時(shí)搶學(xué)生的回答，沒有真正放手讓學(xué)生的思維發(fā)展，學(xué)生活動(dòng)太少，課堂氛圍不好。學(xué)生對(duì)問(wèn)題的反應(yīng)出乎設(shè)計(jì)的意料時(shí)，應(yīng)該順著學(xué)生的思維發(fā)展。

精選閱讀

等差數(shù)列學(xué)案

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問(wèn)題。所以你在寫教案時(shí)要注意些什么呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“等差數(shù)列學(xué)案”，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。

§2等差數(shù)列?
第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式
知能目標(biāo)解讀
1.通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，并會(huì)用等差數(shù)列的概念判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列.
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.
3.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，能用函數(shù)的觀點(diǎn)解決等差數(shù)列問(wèn)題.
4.掌握等差中項(xiàng)的定義，并能運(yùn)用它們解決問(wèn)題.
5.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念.
難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其運(yùn)用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等差數(shù)列的定義
（1）關(guān)于等差數(shù)列定義的理解，關(guān)鍵注意以下幾個(gè)方面：
①如果一個(gè)數(shù)列，不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.
②一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差盡管等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)檫@些常數(shù)不一定相同，當(dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，此數(shù)列不是等差數(shù)列.
③求公差時(shí)，要注意相鄰兩項(xiàng)相減的順序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1(n∈N+且n≥2).
（2）如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列?
要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需證明對(duì)任意正整數(shù)n,an+1-an是同
一個(gè)常數(shù)(或an-an-1(n1)是同一個(gè)常數(shù)).這里所說(shuō)的常數(shù)是指一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).
注意:判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的定義式：an+1-an=d(d為常數(shù)).若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，可舉一個(gè)特例進(jìn)行否定，也可以證明an+1-an或an-an-1(n1)不是常數(shù)，而是一個(gè)與n有關(guān)的變數(shù)即可.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
（1）通項(xiàng)公式的推導(dǎo)常用方法：
方法一（疊加法）：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
將以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三（逐差法）：∵{an}是等差數(shù)列，則有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法是以后解決數(shù)列題的常用方法，應(yīng)注意體會(huì)并應(yīng)用.
（2）通項(xiàng)公式的變形公式
在等差數(shù)列{an}中，若m，n∈N+，則an=am+(n-m)d.推導(dǎo)如下：∵對(duì)任意的m,n∈N+，在等差數(shù)列中，有
am=a1+(m-1)d①
an=a1+(n-1)d②
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意：將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an=dn+a1-d，從函數(shù)角度來(lái)看，an=dn+(a1-d)是關(guān)于n的一次函數(shù)(d≠0時(shí))或常數(shù)函數(shù)(d=0時(shí))，其圖像是一條射線上一些間距相等的點(diǎn)，其中公差d是該射線所在直線的斜率，從上面的變形公式可以知道，d=(n≠m).
（3）通項(xiàng)公式的應(yīng)用
①利用通項(xiàng)公式可以求出首項(xiàng)與公差;
②可以由首項(xiàng)與公差求出等差數(shù)列中的任意一項(xiàng);
③若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)數(shù).
3.從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是些正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.
當(dāng)d0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，如圖（甲）所示.
當(dāng)d0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列，如圖(乙)所示.
當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)列，如圖(丙)所示.
4.等差中項(xiàng)
如果在數(shù)a與b之間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，
那么A叫做數(shù)a與b的等差中項(xiàng).
注意:(1)等差中項(xiàng)A=a,A,b成等差數(shù)列；
(2)若a,b,c成等差數(shù)列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等價(jià)的；
(3)用遞推關(guān)系an+1=(an+an+2)給出的數(shù)列是等差數(shù)列，an+1是它的前一項(xiàng)an與后一項(xiàng)an+2的等差中項(xiàng).
知能自主梳理
1.等差數(shù)列
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的是，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列.
2.等差中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做.
3.等差數(shù)列的判斷方法
（1）要證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，只要證明：當(dāng)n≥2時(shí)，.
（2）如果an+1=對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，那么數(shù)列{an}是.
（3）若a,A,b成等差數(shù)列，則A＝.
4.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它的推廣通項(xiàng)公式為.
5.等差數(shù)列的單調(diào)性
當(dāng)d0時(shí)，{an}是數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{an}是數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，{an｝是數(shù)列.
［答案］1.差同一個(gè)常數(shù)
2.a與b的等差中項(xiàng)
3.（1）an-an-1=d(常數(shù))(2)等差數(shù)列（3）
4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d
5.遞增常遞減
思路方法技巧
命題方向等差數(shù)列的定義及應(yīng)用
［例1］判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.
（1）an=3n+2；
（2）an=n2+n.
［分析］利用等差數(shù)列定義，看an+1-an是否為常數(shù)即可.
［解析］(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.
［說(shuō)明］利用定義法判斷等差數(shù)列的關(guān)鍵是看an+1-an得到的結(jié)論是否是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，則不是等差數(shù)列.至于它到底是一個(gè)什么樣的數(shù)列，這些不再是我們研究的范疇.
1n=1
變式應(yīng)用1試判斷數(shù)列｛cn｝，cn=是否為等差數(shù)列.
?2n-5n≥2
［解析］∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一個(gè)常數(shù)，不符合等差數(shù)列定義.
∴{cn}不是等差數(shù)列.
命題方向等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用
［例2］已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a5=11,a8=5,求a11.
［分析］利用通項(xiàng)公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通項(xiàng)公式的變形形式an=am+(n-m)d求解.
［解析］解法一：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知，得
a1+4d=11a1=19
解得.
a1+7d=5d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二：∵a8=a5+(8-5)d,
∴d===-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
［說(shuō)明］(1)對(duì)于解法一，根據(jù)方程的思想，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出a1和d，確定通項(xiàng)，此法也稱為基本量法.
(2)對(duì)于解法二，根據(jù)通項(xiàng)公式的變形公式為：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，進(jìn)一步變形為d=，應(yīng)注意掌握對(duì)它的靈活應(yīng)用.
變式應(yīng)用2已知等差數(shù)列{an}中，a10=29,a21=62,試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng).
a10=a1+9d=29
［解析］設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3＝3n-1.
令an＝3n-1=91,得n=N+.
∴91不是此數(shù)列中的項(xiàng).
命題方向等差中項(xiàng)的應(yīng)用
［例3］已知a,b,c成等差數(shù)列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列？
［分析］已知a,b,c成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的定義，可知a+c=2b,然后要證其他三項(xiàng)a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列，同樣考慮等差中項(xiàng).當(dāng)然需用到已知條件a+c=2b.
［解析］因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列.
［說(shuō)明］本題主要考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，如果a,b,c成等差數(shù)列，則有a+c=2b;反之，若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.
變式應(yīng)用3已知數(shù)列｛xn｝的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)xn=2np+nq(n∈N＋,p,q為常數(shù))，且x1、x4、x5成等差數(shù)列.求：p,q的值.
［分析］由x1、x4、x5成等差數(shù)列得出一個(gè)關(guān)于p,q的等式，結(jié)合x1=3推出2p+q=3,從而得到p,q.
［解析］由x1=3,得2p+q=3,①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3＋25p+5q=25p+8q,②
由①②得q=1,∴p=1.
［說(shuō)明］若三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則a+c=2b,即b為a,c的等差中項(xiàng)，這個(gè)結(jié)論在已知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
［例4］某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬(wàn)元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？
［解析］由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an,則an-an-1=-20,(n≥2,n∈N＋),每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列｛an｝,且首項(xiàng)a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d
=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.
若an0,則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，
由an＝-20n＋2200,解得n11,
即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.
［說(shuō)明］關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，首先要建立數(shù)列模型將實(shí)際問(wèn)題數(shù)列化.
變式應(yīng)用42012年將在倫敦舉辦奧運(yùn)會(huì)，倫敦將會(huì)有很多的體育場(chǎng)，為了實(shí)際效果，體育場(chǎng)的看臺(tái)一般呈“輻射狀”.例如，某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)座位是這樣排列的：第一排有150個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多20個(gè)座位，你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎？第10排可坐多少人？
［分析］分析題意知，看臺(tái)上的每一排的座位數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列.
［解析］由題意知，每排的座位數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)為a1=150,公差為d=20的等差數(shù)列，
∴an=a1+(n-1)d=150+(n-1)×20=20n+130,
則a10=330,即第10排可坐330人.
名師辨誤做答
［例5］已知數(shù)列｛an｝,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
（1）判斷數(shù)列｛an｝是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由；
（2）求｛an｝的通項(xiàng)公式.
［誤解］（1）∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2(為常數(shù))，
∴｛an｝是等差數(shù)列.
（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.
［辨析］忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)之間的整體關(guān)系，而判斷特殊數(shù)列的類型是初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤.事實(shí)上，數(shù)列｛an｝從第2項(xiàng)起，以后各項(xiàng)組成等差數(shù)列，而｛an｝不是等差數(shù)列，an=f(n)應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型.
［正解］（1）當(dāng)n≥3時(shí)，an=an-1+2,
即an-an-1=2.
當(dāng)n=2時(shí)，a2-a1=0不滿足上式.
∴｛an｝不是等差數(shù)列.
（2）∵a2=1,an=an-1+2(n≥3)，
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
當(dāng)n≥3時(shí)，an-an-1=2.
∴an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不滿足此式.
1(n=1)
∴an=.
2n-3(n≥2)
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.（2011重慶文，1）在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,則a10=（）
A.12B.14C.16D.18
［答案］D?
［解析］該題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由其兩項(xiàng)求公差d.
由a2=2,a3=4知d==2.?
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
2.已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3-2n,則它的公差為（）
A.2B.3C.－2D.－3?
［答案］C?
［解析］∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),
∴公差為－2，故選C.
3.方程x2-6x+1=0的兩根的等差中項(xiàng)為（）
A.1B.2C.3D.4?
［答案］C
［解析］設(shè)方程x2-6x+1=0的兩根為x1、x2,則x1+x2=6.
∴其等差中項(xiàng)為=3.
二、填空題
4.在等差數(shù)列{an}中，a2=3,a4=a2+8,則a6=.?
［答案］19?
［解析］∵a2=3,a4=a2+8,?
a1+d=3a1=-1
∴,解得.
a1+3d=a1+d+8d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
5.已知a、b、c成等差數(shù)列，那么二次函數(shù)y=ax2+2bx+c(a≠0)的圖像與x軸的交點(diǎn)有個(gè).［答案］1或2?
［解析］∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c,?
又Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
三、解答題
6.在等差數(shù)列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求通項(xiàng)公式an.?
a1+4d=10a1=－2
［解析］由題意得,解得.
a1+11d=31d=3
∴an=-2+(n-1)×3＝3n-5.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.等差數(shù)列1，-1，-3，-5，…，-89，它的項(xiàng)數(shù)為（）
A.92B.47C.46D.45?
［答案］C
［解析］∵a1=1，d=-1-1=-2,
∴an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,
由-89=-2n+3，得n=46.
2.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則（）
A.a1+a8a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5?
［答案］B?
［解析］設(shè)公差為d,則a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
3.已知數(shù)列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是它的第（）?
A.12項(xiàng)B.13項(xiàng)C.14項(xiàng)D.15項(xiàng)
［答案］C?
［解析］由3(2n-1)=81,解得n=14.
4.在等差數(shù)列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,則a1等于（）
A.-9B.-8C.-7D.-4
［答案］B
a1+d=-5
［解析］由題意，得，
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
5.數(shù)列{an}中，a1=2,2an+1=2an+1,則a101的值是（）
A.49B.50C.51D.52
［答案］D
［解析］由2an+1=2an+1得an+1-an=，
∴{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=2,公差d=,
∴an=2+(n-1)=,?
∴a101==52.
6.已知a=,b=,則a,b的等差中項(xiàng)為（）
A.B.C.D.
［答案］A
［解析］===.
7.設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為12，前三項(xiàng)積為48，則它的首項(xiàng)為（）?
A.1B.2C.4D.3
［答案］B
a1+a2+a3=12a1+a3=8
［解析］由題設(shè)，,∴a2=4,∴
a1a2a3=48a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的兩根，
又a3＞a1,∴a1=2.
8.{an}是首項(xiàng)為a1=4,公差d=2的等差數(shù)列，如果an=2012,則序號(hào)n等于（）
A.1003B.1004C.1005D.1006
［答案］C
［解析］∵a1=4,d=2,
∴an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,?
∴2n+2=2012,?
∴n=1005.
二、填空題
9.三個(gè)數(shù)lg(-),x,lg(+)成等差數(shù)列，則x=.
［答案］0
［解析］由等差中項(xiàng)的運(yùn)算式得
x==＝0.
10.一個(gè)等差數(shù)列的第5項(xiàng)a2=10,且a1+a2+a3=3,則a1=,d=.
［答案］-2,3
a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2
［解析］由題意得,即，∴.
a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=3
11.等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為x，2x+1，4x+2，則它的第5項(xiàng)為.
［答案］4
［解析］∵2(2x+1)=x+(4x+2),∴x=0,則a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
12.在數(shù)列{an}中，a1=3，且對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)（,）在直線x-y-=0上，則an=.?
［答案］3n2
［解析］由題意得-=,?
∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
∴=n,∴an=3n2.
三、解答題
13.在等差數(shù)列{an}中：
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1與d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.?
a1+(5-1)d=-1a1=-5
［解析］(1)由題意知，解得.
a1+(8-1)d=2d=1
a1+a1+(6-1)d=12a1=1
（2）由題意知，解得，
a1+(4-1)d=7，d=2

∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
14.已知函數(shù)f(x)=，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)由xn=f(xn-1)(n≥2,且n∈N+)確定.
(1)求證：｛｝是等差數(shù)列；
(2)當(dāng)x1=時(shí)，求x100.
［解析］(1)xn=f(xn-1)=(n≥2,n∈N+)，
所以==+，
-=(n≥2,n∈N+).
所以｛｝是等差數(shù)列；
(2)由(1)知{}的公差為.
又因?yàn)閤1=,即＝2.
所以=2+(n-1)×，
=2+(100-1)×=35.
所以x100=.
15.已知等差數(shù)列｛an｝中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
［分析］顯然a6是a5和a7的等差中項(xiàng)，可利用等差中項(xiàng)的定義求解a5和a7，進(jìn)而求an.［解析］設(shè)a5=a6-d,a7=a6+d,?
則由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10a5=1a5＝9
由已知可得，解得或
a5a7=9a7=9a7=1
當(dāng)a5=1時(shí)，d=4,?
從而a1=-15,?an=-15+(n-1)×4=4n-19.?
當(dāng)a5=9時(shí)，d=-4,從而a1=25.
∴an=25+(n-1)×（-4）＝－4n+29.
所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=4n－19或an=-4n+29.
16.第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算.?
(1)試寫出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)2008年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？2050年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？
［解析］(1)由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以1896為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為
an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N+).
（2）假設(shè)an=2008，由2008=1892+4n,得n=29.?
假設(shè)an=2050,2050=1892+4n無(wú)正整數(shù)解.
所以2008年北京奧運(yùn)會(huì)是第29屆，2050年不舉行奧運(yùn)會(huì).
第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)
知能目標(biāo)解讀
1.掌握等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的性質(zhì).
2.理解等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性.
3.能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).
難點(diǎn)：應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等差數(shù)列的公差與斜率的關(guān)系
（1）一次函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)的圖像是一條直線，斜率k=(x1≠x2).
當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)于常數(shù)函數(shù)f(x)=b,上式仍然成立.
（2）等差數(shù)列｛an｝的公差本質(zhì)上是相應(yīng)直線的斜率.
特別地，如果已知等差數(shù)列｛an｝的任意兩項(xiàng)an,am,由an=am+(n-m)d,類比直線方程的斜率公式得d=(m≠n).
2.等差數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)
若數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，則
（1）｛an｝去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公差為d的等差數(shù)列；
（2）奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列｛a2n-1｝是公差為2d的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列｛a2n｝是公差為2d的等差數(shù)列；
（3）若｛kn｝是等差數(shù)列，則｛akn｝也是等差數(shù)列.
知能自主梳理
1.等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的性質(zhì)
（1）兩項(xiàng)關(guān)系
通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(m、n∈N+).
(2)多項(xiàng)關(guān)系
項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)：
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，則=ap+aq.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，則am+an=.
2.等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性
有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和（若有中間項(xiàng)則等于中間項(xiàng)的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a(其中n為奇數(shù)且n≥3).
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）若｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：
①｛c+an｝(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列；
②｛can｝(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列；
③｛ank｝(k∈N+)是公差為的等差數(shù)列.
(2)若｛an｝、｛bn｝分別是公差為d1、d2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛pan+qbn｝(p、q是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列.
［答案］1.(n-m)dam+an2ap
2.an-1an-k+1
3.dcdkdpd1+qd2
思路方法技巧
命題方向運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)an=am+(n-m)d(m、n∈N+)解題
［例1］若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap=q,aq=p(p≠q)，則ap+q為（）
A.p+qB.0C.-(p+q)D.
［分析］本題可用通項(xiàng)公式求解.
利用關(guān)系式an=am+(n-m)d求解.
利用一次函數(shù)圖像求解.
［答案］B
［解析］解法一：∵ap=a1+(p-1)d,
aq=a1+(q-1)d,
a1+(p-1)d=q①
∴?
a1+(q-1)d=p②
①-②，得（p-q）d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.
代入①，有a1+(p-1)(-1)=q,∴a1=p+q-1.
故ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.∴應(yīng)選B.
解法二：∵ap=aq+(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.
∵p≠q,∴d=-1.
故ap+q=ap+［(p+q-p)］d=q+q(-1)=0.∴應(yīng)選B.
解法三：不妨設(shè)pq，由于等差數(shù)列中，an關(guān)于n的圖像是一條直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共線.設(shè)ap+q=m，由已知，得三點(diǎn)（p,q）,(q,p),(p+q,m)共線（如圖）.
由△ABE∽△BCF，
得=.
∴=.
∴1=.
得m=0，即ap+q=0.∴應(yīng)選B.
［說(shuō)明］本題采用了三種方法，第一種方法使用的是方程思想，由已知建立了兩個(gè)關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的等式，通過(guò)解方程組，達(dá)到解題目的.第二種方法使用的是通項(xiàng)公式的推廣形式an=am+(n-m)d.第三種方法使用的是函數(shù)的思想，通過(guò)點(diǎn)（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共線求得其解，這也是解決本類問(wèn)題較簡(jiǎn)便的方法.
變式應(yīng)用1已知｛an｝為等差數(shù)列，a15=8,a60=20,求a75.
［解析］解法一：∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,
a1+14d=8?
∴，
a1+59d=20
a1=
解得
d=
∴a75=a1+74d=+74×＝24.
解法二：∵a60=a15+45d,
∴45d=a60-a15=20-8=12,
∴d=.
∴a75=a60+15d=20+15×＝24.
命題方向運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q)解題
［例2］在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
［分析］要求通項(xiàng)公式，需要求出首項(xiàng)a1及公差d，由a2+a5+a8=9和a3a5a7=-21直接求解很困難，這樣促使我們轉(zhuǎn)換思路.如果考慮到等差數(shù)列的性質(zhì)，注意到a2+a8=2a5=a3+a7，問(wèn)題就好解了.
［解析］∵a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21,
又∵a2+a8=a3+a7=2a5，
∴a3+a7=2a5=6，即a5=3.①
∴a3a7=-7，②
由①、②解得a3=-1,a7=7,或a3=7,a7=-1,
∴a3=-1，d=2或a3=7,d=-2.
由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.
［說(shuō)明］本題利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，可以使計(jì)算過(guò)程變簡(jiǎn)單，達(dá)到了事半功倍的效果.
變式應(yīng)用2在等差數(shù)列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100,則3a9-a13的值為（）
A.20B.30C.40D.50
［答案］C
［解析］∵a3+a5+a7+a9+a11=100,
又∵a3+a11=a5+a9=2a7,
∴5a7=100,∴a7=20,
∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)
=3a7+6d-a7-6d
=2a7=40.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
［例3］已知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為-8，求這四個(gè)數(shù).
［分析］此題常規(guī)方法是利用已知條件，先求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出這四個(gè)數(shù).其實(shí),因?yàn)檫@里成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和已知，故可設(shè)此四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,這樣求解更為方便，但必須注意這時(shí)的公差應(yīng)為2d.
［解析］解法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),
依題意，2a=2,且（a-3d）(a+3d)=-8,
∴a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,
∴d=1或d=-1.
又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，
∴d0,
∴d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為-2，0，2，4.
解法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,a+d,a+2d,a+3d(公差為d)，
依題意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
把a(bǔ)=1-d代入a(a+3d)=-8,
得（1-d）(1+d)=-8,即1-d2=-8,
化簡(jiǎn)得d2=4,∴d=2或-2.
又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，∴d0,∴d=2,a=-2.
故所求的四個(gè)數(shù)為-2，0，2，4.
［說(shuō)明］此題設(shè)法很重要，一般地有如下規(guī)律：（1）若所給等差數(shù)列為2n(n∈N+)項(xiàng)，則可設(shè)為：a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此數(shù)列的公差為2d.(2)若所給等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n-1(n∈N+)項(xiàng),則這個(gè)數(shù)列可設(shè)為：a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,這個(gè)數(shù)列的公差為d.
變式應(yīng)用3已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個(gè)數(shù).
［解析］設(shè)這五個(gè)數(shù)依次為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由題意，得
5a=5
(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=

a=1
解得
?d2=
a=1
∴
?d=±
故這五個(gè)數(shù)為-，，1，，或，，1，，-.
名師辨誤做答
［例4］在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6=.
［誤解］39
∵a2+a3=13,∴a5=a2+a3=13,
∴a4+a5+a6=3a5=39.
［辨析］誤解過(guò)程中，a2+a3=a5是錯(cuò)誤的，在運(yùn)用等數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，則am+an=ap+aq”的過(guò)程中，一定要明確條件“m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)”的內(nèi)在含義.
［正解］42
設(shè)公差為d,∵a2+a3=13,
∴2a1+3d=13,又a1=2,∴d=3.
∴a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.已知{an}為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a5等于（）
A.4B.5C.6D.7?
［答案］C?
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，∴a2+a8=2a5,
∴2a5=12,∴a5=6.
2.如果等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=（）
A.14B.21C.28D.35
［答案］C?
［解析］∵a3+a4+a5=12，∴3a4=12,
∴a4=4.
∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.
3.等差數(shù)列｛an｝中，a4+a5=15,a7=12,則a2=（）?
A.3B.-3C.D.-
［答案］A
［解析］∵a4+a5=15,
∴a2+a7=a4+a5=15,
又a7=12.∴a2=3.
二、填空題
4.在等差數(shù)列{an}中，a3=7,a5=a2+6，則a6=.?
［答案］13?
［解析］設(shè)公差為d,∵a5=a2+6,∴a5-a2=3d=6,
∴a6=a3+3d=7+6=13.
5.等差數(shù)列｛an｝中，若a2+a4022=4,則a2012＝.?
［答案］2?
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，
∴2a2012=a2+a4022,
∴a2012===2.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}中，a3=5,a5=9,則a7=（）
A.11B.12C.13D.14?
［答案］C?
［解析］設(shè)公差為d,∵a5-a3=2d,∴2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13.
2.在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8=（）
A.45B.75C.180D.300
［答案］C
［解析］由a3+a7=a4+a6=2a5，得
a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴a5=90.
∴a2+a8=2a5=180.
3.下列命題中正確的是（）
A.若a,b,c成等差數(shù)列，則a2,b2,c2成等差數(shù)列
B.若a,b,c成等差數(shù)列，則log2a,log2b,log2c成等差數(shù)列
C.若a,b,c成等差數(shù)列，則a+2，b+2,c+2成等差數(shù)列?
D.若a,b,c成等差數(shù)列，則2a，2b,2c成等差數(shù)列?
［答案］C?
［解析］∵a,b,c成等差數(shù)列，?
∴2b=a+c,?
∴2b+4=a+c+4,?
即2（b+2）=(a+2)+(c+2),
∴a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列.
4.已知等差數(shù)列｛an｝中，a7+a9＝16,a4=1，則a12等于（）
A.15B.30C.31D.64
［答案］A
［解析］∵a7+a9=2a8=16,故a8=8.?
在等差數(shù)列{an}中，a4,a8,a12成等差數(shù)列，
所以a12=2a8-a4=16-1=15.
5.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有（）?
A.a1+a1010B.a2+a1000?
C.a3+a100≤0D.a51=0
［答案］D?
［解析］由題設(shè)a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,
∴a51=0.
6.等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，則a3+a6+a9的值為（）
A.30B.27C.24D.21
［答案］B?
［解析］解法一：設(shè)b1=a1+a4+a7=39，b2=a2+a5+a8=33，b3=a3+a6+a9，∵{an}成等差數(shù)列，∴b1,b2,b3成等差數(shù)列,∴a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.
解法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則
a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,∴33=39+3d,?
∴3d=-6,∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=33-6=27.
7.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37等于（）
A.0B.37C.100D.-37?
［答案］C?
［解析］∵a1+b1=100,a2+b2=100,
∴(a2-a1)+(b2-b1)=0,
設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的公差分別為d1,d2,則d1+d2=0.
∴a37+b37=a1+36d1+b1+36d2
=a1+b1+36(d1+d2)=a1+b1=100.
8.在等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為（）
A.14B.15C.16D.17?
［答案］C?
［解析］由題意，得5a8=120,∴a8=24,
∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.
二、填空題
9.在數(shù)列{an}中，a3,a10是方程x2-3x-5=0的兩根，若{an}是等差數(shù)列，則a5+a8=.
［答案］3?
［解析］由題意，得a3+a10=3,
∴a5+a8=a3+a10=3.
10.等差數(shù)列｛an｝中，a2+a3+a10+a11=36,則a6+a7=.
［答案］18
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，
∴a2+a11=a3+a10=a6+a7,
∴a2+a3+a10+a11=2(a6+a7)=36,
∴a6+a7=18.
11.(2012洛陽(yáng)模擬)已知｛an｝為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,則a20=.
［答案］1
［解析］∵a1+a3+a5=105,即3a3=105
∴a3=35,同理a4=33,?
∴d=a4-a3=-2
∴a20=a4+(20-4)d=1.
12.等差數(shù)列{an}中，公差為，且a1+a3+a5+…+a99=60，則a2+a4+a6+…+a100=.
［答案］85
［解析］由等差數(shù)列的定義知
a2+a4+a6+…+a100??
=a1+a3+a5+…+a99+50d
=60+25=85.
三、解答題
13.已知數(shù)列{an}中，a2+a6+a10=1,求a3+a9.?
［解析］∵a2+a10=2a6,?
∴3a6=1,a6=.?
∴a3+a9=2a6=.
14.已知等差數(shù)列｛an｝的公差是正數(shù)，且a3a7=-12,a4+a6=-4,求｛an｝的通項(xiàng)公式.
［解析］∵a3+a7=a4+a6=-4,又a3a7=-12
∴a3、a7是方程x2+4x-12=0的兩根
而d0,∴a3=-6,a7=2.
a1+2d=-6
∴
a1+6d=2
故a1=-10,d=2,∴an=2n-12.
15.已知數(shù)列｛an｝,an=2n-1,bn=a2n-1.
(1)求｛bn｝的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列｛bn｝是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由.?
［解析］∵an=2n-1,bn=a2n-1,
∴b1=a1=1,b2=a3=5,b3＝a5=9，
bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.
(2)由bn=4n-3知bn-1=4(n-1)-3=4n-7.?
∵bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4,?
∴{bn}是首項(xiàng)b1=1,公差為4的等差數(shù)列.
16.有一批影碟機(jī)原銷售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷售.甲商場(chǎng)用如下的方法促銷；買一臺(tái)單價(jià)為780元，買兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類推，每多買一臺(tái)則所買各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷售.某單位購(gòu)買一批此類影碟機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)買花費(fèi)較少.
［解析］設(shè)單位需購(gòu)買影碟機(jī)n臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買每臺(tái)售價(jià)不低于440元，售價(jià)依臺(tái)數(shù)n成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列為{an}.?
an=780+(n-1)(-20)=800-20n,?
解不等式an≥440即800-20n≥440，得n≥18.?
當(dāng)購(gòu)買臺(tái)數(shù)小于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為800-20n，在臺(tái)數(shù)大于等于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為440元.
到乙商場(chǎng)購(gòu)買，每臺(tái)售價(jià)為800×75%=600元.?
作差：（800-20n）n-600n=20n（10-n），?
當(dāng)n10時(shí)，600n(800-20n)n，?
當(dāng)n=10時(shí)，600n=(800-20n)n，?
當(dāng)10n≤18時(shí)（800-20n）n600n，?
當(dāng)n18時(shí)，440n660n.?
答：當(dāng)購(gòu)買少于10臺(tái)時(shí)到乙商場(chǎng)花費(fèi)較少，當(dāng)購(gòu)買10臺(tái)時(shí)到兩商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)相同，當(dāng)購(gòu)買多于10臺(tái)時(shí)到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少.
第3課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
知能目標(biāo)解讀
1.理解并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過(guò)程，能夠應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等差數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題.
2.體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系，能用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題.
3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)基本量a1,d,n,an,Sn之間的聯(lián)系，能夠由其中的任意三個(gè)求出其余的兩個(gè).
4.進(jìn)一步熟悉由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)的方法.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，掌握前n項(xiàng)和公式，會(huì)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題.體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.
難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用公式解題時(shí)公式的選取.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中涉及五個(gè)量a1,d,n,an,Sn,已知其中任意三個(gè)就可以列方程組求另外兩個(gè)（簡(jiǎn)稱“知三求二”），它是方程思想在數(shù)列中的體現(xiàn).
2.等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，用的是倒序相加法，要注意體會(huì)這種求和方法的適用對(duì)象和操作程序，并能用來(lái)解決與之類似的求和問(wèn)題.注意公式Sn=,Sn=na1+d，Sn=nan-d之間可以相互轉(zhuǎn)化.
3.Sn是n的二次函數(shù)，{an}不一定是等差數(shù)列.如果Sn=an2+bn+c，則在c=0時(shí){an}是等差數(shù)列，在c≠0時(shí){an}不是等差數(shù)列；反過(guò)來(lái){an}是等差數(shù)列，Sn的表達(dá)式可以寫成Sn=an2+bn的形式，但當(dāng){an}是不為零的常數(shù)列時(shí)，Sn=na1是n的一次函數(shù).?
知能自主梳理
1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1,公差為d,則前n項(xiàng)和Sn==.
2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
（1）等差數(shù)列｛an｝的前k項(xiàng)和為Sk,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成公差為的等差數(shù)列.
（2）等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,則｛｝也是.
［答案］1.na1+d
2.(1)k2d(2)等差數(shù)列
思路方法技巧
命題方向有關(guān)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算
［例1］已知等差數(shù)列{an}中，
（1）a1=,d=-,Sn=-15,求n和an;
（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d.
［分析］a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量表示，五個(gè)基本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.
［解析］(1)∵Sn=n+（-）=-15，
整理，得n2-7n-60=0.
解之得n=12或n=-5(舍去).
∴a12=+(12-1)×（-）=-4.
(2)由Sn===-1022,
解之得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,
解之得d=-171.
［說(shuō)明］等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中“知三求二”的問(wèn)題，一般是由通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程（組）求解.這種方法是解決數(shù)列運(yùn)算的基本方法，在具體求解過(guò)程中應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體代換思想的運(yùn)用.
變式應(yīng)用1在等差數(shù)列｛an｝中，
（1）已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
（2）已知a3+a15=40,求S17.
［解析］（1）∵a6=10,S5=5,
a1+5d=10a1=-5
∴，解得.
?5a1+10d=5d=3
∴a8=a6+2d=16,S8==44.
(2)∵a1+a17=a3+a15,
∴S17===＝340.
命題方向等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
［例2］一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和.
［分析］解答本題可利用前n項(xiàng)和公式求出a1和d,即可求出S110,或利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.
［解析］方法一：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則
Sn=na1+d.
10a1+d=100①
由已知得
?100a1+d=10②
①×10－②，整理得d=-,
代入①，得a1=.
∴S110=110a1+d
=110×+×（-）
=110（）＝－110.
故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為－110．
方法二：數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,…，S100-S90,S110-S100成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，前10項(xiàng)和10S10+×D=S100=10D=-22，
∴S110-S100=S10+（11-1）D=100+10×（-22）=-120.
∴S110=-120+S100=-110.
方法三：設(shè)Sn=an2+bn.
∵S10=100,S100=10,
102a+10b=100a=-
∴，.
1002a+100b=10b=
∴Sn=-n2+n.
∴S110=-×1102+×110=-110.
方法四：∵S100-S10=a11+a12+…+a100
==.
又S100-S10=10-100=-90,
∴a1+a110=-2.
∴S110==-110.
方法五：在等差數(shù)列中，因?yàn)辄c(diǎn)（n,）共線，
所以（10，）,（100，）,（110，）三點(diǎn)共線，
故＝
即＝
∴=10+×(-10)=-1
∴S110=-110.
［說(shuō)明］比較上述五種解法可以看出，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題，可以大大減少運(yùn)算量.
變式應(yīng)用2已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且Sm=70，S2m=110,則S3m＝.
［答案］120
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，
∴Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差數(shù)列,
∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,
即2（110-70）＝70+S3m-110，
∴S3m=120.
命題方向等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題
［例3］已知數(shù)列{an｝是等差數(shù)列，a1=50,d=-0.6.
(1)從第幾項(xiàng)開始有an0;
(2)求此數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值.
［分析］對(duì)于（1）實(shí)質(zhì)上是解一個(gè)不等式，但要注意n∈N＋；對(duì)于（2）實(shí)際上是研究Sn隨n的變化規(guī)律，由于等差數(shù)列中Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以可以用二次函數(shù)的方法處理，也可以由an的變化推測(cè)Sn的變化.
［解析］（1）因?yàn)閍1=50，d=-0.6,
所以an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.
令-0.6n+50.6≤0，則n≥≈84.3.
由于n∈N＋，故當(dāng)n≥85時(shí)，an0，即從第85項(xiàng)起以后各項(xiàng)均小于0.
（2）解法一：因?yàn)閐=-0.60,a1=500,
由（1）知a840,a850,所以S1S2…S84,且S84S85S86….
所以當(dāng)n=84時(shí)，Sn有最大值，即S84=50×84+×(-0.6)=2108.4.
解法二：Sn=50n+×(-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3（n-）2+.當(dāng)n取接近于的自然數(shù)，即n=84時(shí)，Sn達(dá)到最大值S84=2108.4.
［說(shuō)明］求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值有兩種方法：
方法一：根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)定.
若a10,d0，則數(shù)列的所有正數(shù)項(xiàng)之和最大；
若a10,d0，則數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項(xiàng)之和最小.
方法二：Sn=na1+d=n2+（a1-）n
=(n+)2-
=[n-（-）]2-（-）2.
由二次函數(shù)的最大、最小值知識(shí)及n∈N+知，當(dāng)n取最接近（-）的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最大值（或最小值），值得注意的是最接近（-）的正整數(shù)有時(shí)有1個(gè)，有時(shí)有2個(gè).
變式應(yīng)用3在等差數(shù)列{an｝中，a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
［解析］解法一：利用前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)性質(zhì)，由S17=S9得
25×17+(17-1)d=25×9+(9-1)d,解得d=-2,
∴Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169,
∴由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)n=13時(shí)，Sn有最大值169.
解法二：同解法一先求出d=-2.因?yàn)閍1=250,
an=25-2(n-1)≥0n≤13
由，得，
an+1=25-2n≤0n≥12
所以當(dāng)n=13時(shí)，Sn有最大值169.
解法三：同解法一先求出d=-2.由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，而a10+a17=a11+a16=a12+a15
=a13+a14,故a13+a14=0.因?yàn)閐=-20,a10,所以a130,a140,故n=13時(shí)，Sn有最大值169.
解法四：同解法一先求出d=-2.由d=-2，得Sn的圖像如圖所示（圖像上一些孤立點(diǎn)），由S17=S9知圖像對(duì)稱軸為n==13,所以當(dāng)n=13時(shí)，Sn取得最大值169.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列前n項(xiàng)和在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
［例4］有30根水泥電線桿，要運(yùn)往1000m遠(yuǎn)的地方開始安裝，在1000m處放一根，以后每隔50m放一根，一輛汽車每次只能運(yùn)三根，如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù)，這輛汽車的行程共多少？
［分析］這是一道等差數(shù)列求和的應(yīng)用題.對(duì)于應(yīng)用題首先是根據(jù)問(wèn)題給出的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，然后解此數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后再回到應(yīng)用問(wèn)題作出結(jié)論.
［解析］解法1：如圖所示示意圖，假定30根水泥電線桿存放M處.
a1=|MA|=1000(m),a2=|MB|=1050(m),
a3=|MC|=1100(m),a6=a3+50×3＝1250(m),
…
a30=a3+150×9（m）.
由于一輛汽車每次只能裝3根，故每運(yùn)一次只能到a3,a6,a9,…,a30這些地方，這樣組成公差為150m，首項(xiàng)為1100的等差數(shù)列，令汽車行程為S，則有
S＝2(a3+a6+…+a30)
=2(a3+a3+150×1＋…＋a3+150×9)
＝2（10a3+150××9）＝2（11000＋6750）
＝35.5（km）.
答：這輛汽車行程共有35.5km.
解法2（略解）：根據(jù)題設(shè)和汽車需運(yùn)送十次，可得一等差數(shù)列｛an｝,其a1=100,d=150,n=10,則S10=10a1+d=7750(m).
所以總共行程為7750×2＋1000×20＝35.5（km）.
解法3（略解）：根據(jù)題意和汽車每次走的路程可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其中
a1=(1000+50×2)×2＝2200，a2=(1000+50×5)×2＝2500，
…
d=150×2＝300，項(xiàng)數(shù)共有10項(xiàng)，
∴Sn=10a1+d
=10×2200＋5×9×300＝35.5（km）.
［說(shuō)明］有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)首先通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究，建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出符合實(shí)際的答案，一般求解步驟如下：
(1)問(wèn)題中所涉及的數(shù)列{an}有何特征；
(2)是求數(shù)列的通項(xiàng)還是求數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(3)列出等式（或方程）求解;
(4)得到問(wèn)題的答案.
變式應(yīng)用4為了參加5000m長(zhǎng)跑比賽,李強(qiáng)給自己制定了10天的訓(xùn)練計(jì)劃：第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑400m，李強(qiáng)10天一共要跑多少路程？
［解析］將李強(qiáng)每一天跑的路程記為數(shù)列｛an｝,
則a1=5000m,公差d=400m.
∴S10＝10a1+×d
=10×5000＋45×400＝68000（m）
故李強(qiáng)10天一共要跑的路程為68000m.
名師辨誤做答
［例5］已知兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝、｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，且＝(n∈N+),求.
［誤解］由=,
設(shè)Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0.
則a11=S11-S10=(7×11+1)k-(7×10+1)k=7k,
b11=T11-T10=(4×11+27)k-(4×10+27)k=4k.
∴==.
［辨析］錯(cuò)誤的原因是“設(shè)Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0”.這種設(shè)法雖然可以使=成立，但是相對(duì)于變量n來(lái)說(shuō)，k是常數(shù)，故Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k是n的一次函數(shù)，與公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為n的二次函數(shù)不符合.
［正解］由于等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝an2+bn=an(n+),
設(shè)Sn=(7n+1)kn,Tn=(4n+27)kn,
∴a11=S11-S10=(7×11+1)11k-(7×10+1)10k＝148k，
b11=T11-T10=(4×11+27)11k-(4×10+27)10k=111k.
∴==.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.在等差數(shù)列｛an｝中，已知a2=2,a8=10,則前9項(xiàng)和S9＝（）?
A.45B.52C.108D.54?
［答案］D?
［解析］∵{an}是等差數(shù)列，
∴a2+a8=a1+a9=2+10=12,?
∴S9==＝54.
2.數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列的前20項(xiàng)和等于（）
A.160B.180C.200D.220?
［答案］B?
［解析］∵{an}是等差數(shù)列，?
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18,
又a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54.?
∴3(a1+a20)=54,?
∴a1+a20=18.?
∴S20==180.
3.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1=，S4=20，則S6=（）
A.16B.24C.36D.48
［答案］D
［解析］設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,?
∵a1=,S4=4×+d=2+6d=20,?
∴d=3,故S6=6×+×3=48,故選D.
二、填空題
4.等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14,其前n項(xiàng)和Sn=100,則n=.?
［答案］10?
［解析］設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,?
a1+2d+a1+4d=14
由題意，得，解得d=2.
a1=1
又Sn=na1+×d,
∴100=n+×2
解得n=10.
5.等差數(shù)列｛an｝中，S11=2013，則a6=.?
［答案］183?
［解析］∴S11===11a6=2013,
∴a6=183.
三、解答題
6.在等差數(shù)列｛an｝中：已知S7=42,Sn=510，an-3=45,求n.
［解析］S7==7a4=42,∴a4=6.
∴Sn====510.?
∴n=20.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項(xiàng)和S10=（）?
A.138B.135C.95D.23?
［答案］C?
［解析］設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.?
a2+a4=4①
則
a3+a5=10②
②-①得2d=6,∴d=3.?
a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4×3=4,
∴a1=-4,?
S10=10×(-4)+×3=-40+135=95.
故選C.
2.在等差數(shù)列{an}中，a2+4a7+a12=100,則2a3+a15等于（）
A.20B.100C.25D.50?
［答案］D?
［解析］∵a2+a12=2a7,?
∴6a7=100,∴3a7=50.?
又2a3+a15=2(a7-4d)+a7+8d
=3a7=50,故選D.
3.已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)之和為21，末四項(xiàng)之和為67，前n項(xiàng)和為286，則項(xiàng)數(shù)n為
（）?
A.24B.26C.25D.28
［答案］B
［解析］設(shè)該等差數(shù)列為｛an｝,?
由題意，得a1+a2+a3+a4=21,
an+an-1+an-2+an-3=67,
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,?
∴4(a1+an)=21+67=88,?
∴a1+an=22.?
∴Sn==11n=286,
∴n=26.
4.(2011江西文，5)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d=-2,Sn為其前n項(xiàng)和，若S10=S11，則a1=（）
A．18B．20C．22D．24?
［答案］B
［解析］本題主要考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及等差數(shù)列通項(xiàng)公式.?
S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×（-2）=0，所以a1=20.
5.已知等差數(shù)列{an}中，a4=9,a7=3,則數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的最大值為（）?
A.8B.24C.45D.64?
［答案］D?
［解析］設(shè)等差數(shù)列的公差為d,?
則a7-a4=3d,?
∴3d=-6,d=-2.?
∴a1=a4-3d=9+6=15,?
∴Sn=15n+×(-2)?
=-n2+16n
=-(n-8)2+64,?
∴當(dāng)n=8時(shí)，Sn取最大值64.
6.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為（）
A.2B.3C.4D.5
［答案］B
［解析］∵S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15，
S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30，
∴S偶-S奇=5d=15,∴d=3.
7.等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a2+a8+a11是一個(gè)定值，則下列各數(shù)中也為定值的是（）
A.S7B.S8C.S13D.S15
［答案］C
［解析］由已知a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7為定值，則S13==13a7也為定值，故選C.
8.等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=（）?
A.38B.20C.10D.9
［答案］C?
［解析］由等差數(shù)列的性質(zhì)，得
am-1+am+1＝2am，
∴2am=am2,由題意，得am≠0,∴am=2.
又S2m-1===2(2m-1)=38,
∴m=10.
二、填空題
9.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0,d=,an=3,Sn=,則a1=,n=.
［答案］23
3＝a1+(n-1)×
［解析］由題意，得
＝na1+n×（n-1）×
a1=2
解得.
n=3
10.(2011廣東理，11)等差數(shù)列｛an｝前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=.
［答案］10
［解析］本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及基本運(yùn)算能力.
設(shè)等差數(shù)列公差為d，則an=1+(n-1)d,?
∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0，
∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.?
又a4=1+3×(-)=,ak=1+(k-1)d,?
∴+1+(k-1)d=0，d=-代入，得k=10.
11.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2n2（n∈N+），則an=,此時(shí)Sn與nan的大小關(guān)系是.
［答案］-4n+5Sn≥nan
［解析］n=1時(shí)，S1=a1=1;?
n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-4n+5
n=1時(shí)，也適合上式，故an=-4n+5.?
Sn-nan=3n-2n2-n(-4n+5)?
=2n2-2n=2n(n-1)≥0,?
故Sn≥nan.
12.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4=1,S5=10,當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為.?
［答案］4或5
［解析］由a4=a1+3d=1,S5=5a1+10d=10,得
a1=4,d=-1,?
Sn=4n-=?
=-.?
（n-）2+,?
又∵n∈N+,∴當(dāng)n=4或n=5時(shí)，Sn最大.
三、解答題
13.設(shè){an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和記為Sn，已知a10=30，a20=50.
（1）求通項(xiàng)an;?
（2)若Sn=242，求n.?
［解析］（1）由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程組
a1+9d=30
，解得a1=12,d=2,
a1+19d=50
∴an=2n+10.
（2）由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242,
解得n=11或n=-22（舍去）.∴n=11.
14.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S6=36，Sn=324,若Sn-6=144(n6),求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.
［解析］由題意可知
a1+a2+…+a6=36,①

an+an-1+…+an-5=324-144,②
由①+②，得
（a1+an）+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=216,
∴6(a1+an)=216,∴a1+an=36.
∴Sn==18n=324,∴n=18.
15.甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng).甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.?
（1）甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘第一次相遇？?
（2）如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)每分鐘走5m，那么開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘第二次相遇？
［解析］（1）設(shè)n分鐘后第一次相遇，依題意得
2n++5n＝70,
整理得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).?
甲、乙第一次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘.?
(2)設(shè)n分鐘后第二次相遇，依題意，得
2n++5n=3×70，
整理得n2+13n-6×70＝0，
解得n=15,n=-28(舍去).?
甲、乙第二次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘.
16.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12,S120,S130.
(1)求公差d的取值范圍;?
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.
［解析］(1)設(shè){an}的首項(xiàng)為a，由已知有
a+2d=12
12a+d0，
13a+d0
24+7d0
將a=12-2d代入兩個(gè)不等式，消去a得-d-3.
12+4d0
?S12012a+d0
(2)解法一：由
S13013a+d0
a+d0a+d0
.
a+6d0a70
因?yàn)閐0，a6=a+5da+d0，可知a1a2…a60a7…，所以S1,S2,…,S12中最大的是S6.
［另法：S12=6(a6+a7)0，S13=13a70，得a6+a70，a70.所以a6-a70.所以S6最大.］
解法二：Sn=na+d=n(12-2d)+n(n-1)d=n2+n，二次函數(shù)y=x2+x的對(duì)稱軸方程為x=-=-，由于-d-3，有6-6.5，所以當(dāng)n=6時(shí)，S6最大.
第4課時(shí)等差數(shù)列的綜合應(yīng)用
知能目標(biāo)解讀
1.進(jìn)一步了解等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式.
2.理解等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)應(yīng)用.
3.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題，以及實(shí)際應(yīng)用.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些應(yīng)用問(wèn)題.
難點(diǎn)：會(huì)求與等差數(shù)列有關(guān)的一些簡(jiǎn)單最值問(wèn)題.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
an與Sn的關(guān)系
如果已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的公式，那么這個(gè)數(shù)列也隨之確定：a1=S1,a2=S2-S1，a3=S3-S2，…，其通項(xiàng)公式如下：
S1(n=1)
an=，利用這一公式應(yīng)當(dāng)注意：
Sn-Sn-1(n≥2)
檢驗(yàn)n=1時(shí)，a1=S1是否符合an=Sn-Sn-1(n≥2)的形式.如果符合，則可將a1=S1合并到an=Sn-Sn-1（n≥2）中；如果不符合，則必須采用分段函數(shù)的形式來(lái)表示，不能直接用an=Sn-Sn-1.
注意：
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2)，這里常常因?yàn)楹雎粤藯l件n≥2而出錯(cuò).即由an=Sn-Sn-1求得an時(shí)的n是從2開始的自然數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)n=1時(shí)，Sn-1=S0，而與前n項(xiàng)和的定義矛盾.可見由此求得的an不一定就是它的通項(xiàng)公式，必須驗(yàn)證n=1時(shí)是否也成立.
知能自主梳理
1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的二次函數(shù)形式
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝na1+d可以改寫成：Sn＝n2+(a1-)n.當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的函數(shù)，所以可借助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)處理等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)問(wèn)題.
2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
在等差數(shù)列{an}中，a10,d0.則Sn存在最值；a10,d0，則Sn存在最值.
3.等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)
（1）若項(xiàng)數(shù)為2n，則
S偶-S奇＝，＝.
(2)若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則
S奇-S偶＝，＝.
［答案］1.二次二次
2.大小
3.(1)nd（2）an
思路方法技巧
命題方向已知Sn求an
［例1］已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-n2+n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.
S1(n=1)
［分析］利用an與Sn的關(guān)系an=，求解.
Sn-Sn-1(n≥2)
［解析］當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1
=（-n2+n）-［-(n-1)2+(n-1)］
=-3n+104.
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-+=101滿足上式，
∴an=-3n+104(n∈N+).
［說(shuō)明］由Sn求通項(xiàng)公式an時(shí)，要分n=1和n≥2兩種情況，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示.
變式應(yīng)用1Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，根據(jù)條件求an.
（1）Sn=2n2+3n＋2；
（2）Sn=3n-1.
［解析］（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=7,
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n＋2)-［2(n-1)2+3(n-1)＋2］=4n+1，又a1=7不適合上式，
7（n=1）
∴an=.
4n+1(n≥2)
(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2,
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）
=2×3n-1，顯然a1適合上式，
∴an=2×3n-1(n∈N+).
命題方向求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和
［例2］已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n-n2,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.
［分析］由Sn＝12n-n2知Sn是關(guān)于n的無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)且n∈N+，可知{an}是等差數(shù)列，可求出an，然后再判斷哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，最后求出Tn.
［解析］當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12-12=11.
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-［12(n-1)-(n-1)2］=13-2n.
又n=1時(shí)適合上式，
∴{an}的通項(xiàng)公式為an=13-2n.
由an=13-2n≥0得n≤，
即當(dāng)1≤n≤6(n∈N+)時(shí)，an0,當(dāng)n≥7時(shí)，an0.
①當(dāng)1≤n≤6（n∈N+）時(shí)，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=12n-n2.
②當(dāng)n≥7(n∈N+)時(shí)，
Tn=|a1|+|a2|+…|an|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn
=2(12×6-62)-［11n+×(-2)］=n2-12n+72.
12n-n2(1≤n≤6,n∈N+)
∴Tn=.
?n2-12n+72(n≥7,n∈N+)
［說(shuō)明］對(duì)于帶絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和問(wèn)題，應(yīng)先弄清n取什么值時(shí)，an0或an0，然后求解.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是：（1）對(duì)n在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，an0或an0的討論.（2）在求Tn時(shí)需對(duì)n的范圍進(jìn)行分類討論，不能忽略了當(dāng)1≤n≤6時(shí)的情況.
變式應(yīng)用2等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn=-5n2+20n，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn.
［解析］設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則a1=S1=15,
S2=-5×4+40=20.
∴a2=S2-a1=5,
∴d=a2-a1=-10.
∴an=-10n+25.
由an≥0,即-10n+25≥0，得n≤2.5,
又∵n∈N+，∴a1,a2為正，a3,a4,…為負(fù),
∴當(dāng)n≤2時(shí)，|an|=an,Sn=-5n2+20n;
當(dāng)n2時(shí)，|an|=-an,
∴Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2-a3-a4-…-an=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2)=-Sn+2S2=5n2-20n+40.
-5n2+20n（n≤2）
∴Sn=.
5n2-20n+40（n2）
命題方向等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)
［例3］項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).
［分析］設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n－1，則奇數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)為n-1項(xiàng)，由奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的關(guān)系，列式求解.
［解析］設(shè)等差數(shù)列共2n-1項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n-1項(xiàng)，中間項(xiàng)是第n項(xiàng)，記為an,設(shè)公差為d,
S奇＝a1+a3+a5+…+a2n-1=44
則
S偶＝a2+a4+a6+…+a2n-2=33
∴S奇－S偶＝nan-(n-1)an=an=11
即中間項(xiàng)an=11.
又S2n-1=S奇＋S偶＝77.
∴==77
∴(2n-1)×11＝77，∴2n-1=7.
即數(shù)列的中間項(xiàng)為11，這個(gè)數(shù)列共7項(xiàng).
［說(shuō)明］等差數(shù)列｛an｝中，公差為d:
①若共有2n項(xiàng)，則S2n=n(an+an+1);
S偶－S奇＝nd;S偶：S奇＝an+1：an.
②若共有2n-1項(xiàng)，則S2n-1=(2n-1)an;
S奇－S偶＝an;S偶：S奇＝（n-1）：n.
變式應(yīng)用3在等差數(shù)列｛an｝中，前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為27：32,求公差d.
［解析］解法一：設(shè)這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,則12a1+d=354.
=d=5.
S奇＋S偶＝354，S偶＝192，
解法二：
＝S奇＝162.
又S偶－S奇＝6d,∴d=5.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
［例4］從5月1日開始，有一新款服裝投入某商場(chǎng)銷售，5月1日該款服裝銷售出10件，第二天銷售出25件，第三天銷售出40件，以后，每天售出的件數(shù)分別遞增15件，直到5月13日銷售量達(dá)到最大，然后，每天銷售的件數(shù)分別遞減10件.
（1）記該款服裝五月份日銷售量與銷售天數(shù)n的關(guān)系為an，求an；
（2）求五月份的總銷售量；
（3）按規(guī)律，當(dāng)該商場(chǎng)銷售此服裝超過(guò)1300件時(shí)，社會(huì)上就流行，而日銷售量連續(xù)下降，且日銷售量低于100件時(shí)，則流行消失，問(wèn)：該款服裝在社會(huì)上流行是否超過(guò)10天？說(shuō)明理由.
［分析］由題意可知：從5月1日到5月13日，服裝日銷售量成遞增的等差數(shù)列；從5月14日到5月31日，服裝日銷售量成遞減的等差數(shù)列.解答本題可先確定an與n的關(guān)系，然后用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題.
［解析］（1）依題意，數(shù)列a1,a2,…,a13是首項(xiàng)為10，公差為15的等差數(shù)列.
∴an=15n-5(1≤n≤13)，
a14,a15,a16,…,a31是首項(xiàng)為a14=a13-10=180,公差為-10的等差數(shù)列.
∴an=180+(n-14)(-10)=-10n+320(14≤n≤31)，
15n-5(1≤n≤13，n∈N+)
∴an=.
-10n+320(14≤n≤31，n∈N+)
(2)五月份的總銷售量為+17×180+＝3000（件）.
(3)5月1日至5月13日銷售總數(shù)為==12001300.
∴5月13日前還沒有流行，由-10n+320100得n22,
∴第22天流行結(jié)束，故該服裝在社會(huì)流行沒有超過(guò)10天.
［說(shuō)明］數(shù)列應(yīng)用題的解法一般是根據(jù)題設(shè)條件，建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系（即等差數(shù)列模型），然后確定公差、首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)是什么，分清an與Sn,然后選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，最后回歸實(shí)際.
變式應(yīng)用4某單位用分期付款的方式為職工購(gòu)買40套住房，共需1150萬(wàn)元，購(gòu)買當(dāng)天先付150萬(wàn)元，以后每月這一天都交付50萬(wàn)元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150萬(wàn)元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢？全部付清后，買這40套住房實(shí)際花了多少錢？
［解析］因購(gòu)房時(shí)付150萬(wàn)元，則欠款1000萬(wàn)元，依題意分20次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an}.
則a1=50+1000×1%=60,
a2=50+(1000-50)×1%=59.5,
a3=50+(1000-50×2)×1%=59,
a4=50+(1000-50×3)×1%=58.5,
∴an=50+［1000-50(n-1)］×1%
=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N).
∴{an}是以60為首項(xiàng)，-為公差的等差數(shù)列，
∴a10=60-9×=55.5，
a20=60-19×=50.5.
∴S20=×（a1+a20）×20
=10×（60+50.5）=1105.
∴實(shí)際共付1105+150=1255萬(wàn)元.
名師辨誤做答
［例5］已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式lg(Sn+1)=n+1(n=1,2,…),試求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式.
［誤解］由lg(Sn+1)=n+1得Sn=10n+1-1.
∴an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=910n.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=910n.
S1,n=1
［辨析］上面解法在運(yùn)用公式an=時(shí)漏掉了n=1時(shí)的情況，實(shí)際上當(dāng)n=1時(shí)，
Sn-Sn-1,n≥2
a1=S1=102-1=99,不適合通項(xiàng)公式an=910n,故應(yīng)分情況討論.
［正解］由lg(Sn+1)=n+1得Sn=10n+1-1,
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=910n,
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=102-1=99不滿足上式，
99(n=1)?
∴an=.
910n(n≥2)
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}中,前15項(xiàng)之和為S15=90,則a8等于（）
A.6B.C.12D.
［答案］A
［解析］∵S15=a1+a2+…a15=15a8=90,
∴a8=6.
2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則（）?
A.an=2n-1B.an=2n+1?
C.an=-2n-1D.an=-2n+1?
［答案］A?
［解析］當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2
=n2-n2+2n-1=2n-1,?
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1滿足上式，?
∴an=2n-1(n∈N+).
3.已知等差數(shù)列共有2n+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則an+1等于（）
A.30B.29C.28D.27?
［答案］B?
［解析］∵S奇-S偶=an+1,
∴an+1=29.
二、填空題
4.在等差數(shù)列{an}中，a5+a10=58,a4+a9=50,則它的前10項(xiàng)和為.?
［答案］210?
［解析］解法一：a5+a10=2a1+13d=58,?
a4+a9=2a1+11d=50,∴a1=3,d=4，
∴S10=10×3+×4=210.
解法二：a5+a10=(a1+a10)+4d=58,
a4+a9=(a1+a10)+2d=50,∴a1+a10=42,?
∴S10==210.
5.（2011遼寧文，15）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2=S6,a4=1,則a5＝.
［答案］-1?
［解析］本題考查了對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的理解和應(yīng)用，同時(shí)還考查了等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)及考生靈活處理問(wèn)題的能力.?
∵S2=S6,∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0
又∵a3+a6=a4+a5?
∴S6-S2=2(a4+a5)=0?
∴a4+a5=0?
又∵a4=1,∴a5=-1.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，S4=32,a2：a3=1：3,則公差d等于（）
A.8B.16C.4D.0
［答案］A?
［解析］∵a2：a3=1：3，∴=，∴d=-2a1，
又S4=4a1+d=-8a1=32，∴a1=-4，
∴d=8.
2.在等差數(shù)列{an}中，若S12=8S4，且d≠0，則等于（）
A.B.C.2D.
［答案］A?
［解析］由題意，得12a1+×12×11×d
=8（4a1+×4×3×d）,?
∴10a1=9d,?
∴=.
3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9等于（）?
A.63B.45C.36D.27?
［答案］B?
［解析］解法一：∵{an}是等差數(shù)列，∴S3、S6-S3、S9-S6為等差數(shù)列.
∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),?
∴S9-S6=2S6-3S3=45.?
解法二：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，令bn=,則{bn}成等差數(shù)列.
由題設(shè)b3==3,b6==6,?
∴b9=2b6-b3=9.?
∴a7+a8+a9=S9-S6=9b9-36=45.
4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a10,S4=S8,則當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為（）
A.5B.6C.7D.8?
［答案］B?
［解析］解法一：∵a10,S4=S8,∴d0,且a1=-d,∴an=-d+(n-1)d=nd-d，
an≥0nd-d≥0
由，得，
an+10(n+1)d-d0
∴5n≤6∴n=6,?
解法二：∵a10,S4=S8,?
∴d0且a5+a6+a7+a8=0，?
∴a6+a7=0,∴a60,a70,∴前六項(xiàng)之和S6取最大值.
5.(2011大綱全國(guó)理，4)設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=（）
A.8B.7C.6D.5?
［答案］D
［解析］本小題考查的內(nèi)容是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式.?
方法一：Sk+2-Sk=［(k+2)×1+×2］-［k×1+×2］=4k+4=24,∴k=5.
方法二：Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=［1+(k+1)×2］+［1+k×2］
=4k+4=24,∴k=5.
6.設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S5S6，S6=S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A.d0B.a7=0
C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值.?
［答案］C?
［解析］由S5S6知a60,由S6=S7知a7=0,?
由S7S8知a80,C選項(xiàng)S9S5即a6+a7+a8+a90,∴a7+a80,顯然錯(cuò)誤.
7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若=a1+a200,且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)O），則S200=（）
A.100B.101C.200D.201
［答案］A
［解析］∵=a1+a200，且A、B、C三點(diǎn)共線，
∴a1+a200=1，S200==100.
8.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（）
A.2B.3C.4D.5
［答案］D?
［解析］由等差數(shù)列的性質(zhì)可得
==
====7+.?
∴當(dāng)n取1、2、3、5、11時(shí)，符合條件.
二、填空題
9.2012是等差數(shù)列4，6，8，…中的第項(xiàng).?
［答案］1005?
［解析］等差數(shù)列4,6,8,…的第n項(xiàng)?
an=4+2(n-1)=2n+2,?
令2012=2n+2,∴n=1005.
10.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}，它們的前n項(xiàng)和的比為=,則=.
［答案］
［解析］======.
11.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=3n-10(n∈N+)，則|a1|+|a2|+…+|a10|=.
［答案］89?
［解析］|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)
=(1+4+7)+(2+5+8+11+14+17+20)=89.
12.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=72,則a2+a4+a9=.?
［答案］24
［解析］∵｛an｝是等差數(shù)列，?
由S9=72得，S9＝9a5,∴a5=8
∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4
=(a5+a6)+a4=3a5=24.
三、解答題
13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=5n-3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.?
［解析］∵數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=5n-3,?
∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=5-3=2,?
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)
=45n-1,
∴a1=S1=2不滿足上式.?
2(n=1)
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式an=.
?45n-1?(n≥2)
14.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2-7n-8.
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求｛|an|｝的前n項(xiàng)和Tn.
［解析］(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1=S1=-14;?
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-8,?
-14(n=1)?
故an=.
2n-8(n≥2)
(2)由an=2n-8可知：當(dāng)n≤4時(shí)，an≤0,
當(dāng)n≥5時(shí)，an0.
∴當(dāng)n≤4時(shí)，Tn=-Sn=-n2+7n+8,
當(dāng)n≥5時(shí)，Tn=-S4+(Sn-S4)＝Sn-2S4=n2-7n-8-2×(-20)=n2-7n+32,
-n2+7n+8(1≤n≤4)
∴Tn=.
n2-7n+32(n≥5)
15.等差數(shù)列{an}中，a10,S9=S12,則該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小？
［解析］解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由題意得
9a1+×9×8×d=12a1+×12×11×d
即3a1=-30d,∴a1=-10d,?
∵a10,∴d0,?
∴Sn=na1+n(n-1)d=dn2-dn?
=（n-）2-2d.?
∵d0,∴Sn有最小值.
又∵n∈N*,∴n=10或n=11時(shí)，Sn取最小值.
解法二：同解法一，由S9=S12，得=-.?

an=a1+(n-1)d≤01-(n-1)≥0
由，得.
an+1=a1+nd≥01-n≤0
解得10≤n≤11.?
∴n取10或11時(shí)，Sn取最小值.
解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0,∴3a11=0,
∴a11=0.∵a10,
∴前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.
16.已知公差大于零的等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足：a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an;?
(2)若數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，且bn＝,求非零常數(shù)c.
［解析］(1){an}為等差數(shù)列，
∵a3+a4=a2+a5=22,?
又a3a4=117,?
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩個(gè)根.?
又公差d0,∴a3a4,?
∴a3=9,a4=13.
a1+2d=9a1=1
∴，∴，
a1+3d=13d=4,?
∴an=4n-3.
(2)由（1）知，Sn=n1+4=2n2-n,?
∴bn==,?
∴b1=,b2=,b3=,?
∵{bn}是等差數(shù)列，∴2b2=b1+b3,?
∴2c2+c=0，∴c=-(c=0舍去).
§3等比數(shù)列
第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式
知能目標(biāo)解讀
1.理解等比數(shù)列的定義，能夠應(yīng)用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，并能確定等比數(shù)列的公比.
2.探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能夠應(yīng)用它解決等比數(shù)列的問(wèn)題.
3.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
4.掌握等比中項(xiàng)的定義，能夠應(yīng)用等比中項(xiàng)的定義解決問(wèn)題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
難點(diǎn)：等比數(shù)列與指函數(shù)的關(guān)系.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等比數(shù)列的定義
要正確理解等比數(shù)列的定義，應(yīng)注意以下幾方面：
①由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不能為0.
②“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”.
③均為同一常數(shù)，即比值相等，由此體現(xiàn)了公比的意義，同時(shí)還要注意公比是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之比，防止前后次序顛倒.
④如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列.這時(shí)可以說(shuō)此數(shù)列從第2項(xiàng)起或從第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.
⑤如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比盡管是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，但卻是不同的常數(shù)，這時(shí)此數(shù)列不是等比數(shù)列.
⑥常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不一定是等比數(shù)列.如常數(shù)列是各項(xiàng)都為0的數(shù)列，它就不是等比數(shù)列.當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)不為0時(shí)，它是等比數(shù)列，且公比q=1.
注意：
(1)由等比數(shù)列的定義知，要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對(duì)任意n∈N+，是一個(gè)常數(shù)或證明對(duì)任意n∈N+且n≥2，是一個(gè)常數(shù)，這時(shí)所說(shuō)的常數(shù)是指一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).
(2)要證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，可證明或(n≥2)不是一個(gè)常數(shù)，也可以采用舉反例的方法，舉一個(gè)反例即可.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
（2）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)
教材上是采用的不完全歸納法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.除此之外，還可以用如下方法推導(dǎo).
方法1：累積法：因?yàn)?q,=q,…=q，=q,
將這n-1個(gè)式子相乘得=qn-1,所以an=a1qn-1.
方法2：迭代法：根據(jù)等比數(shù)列的定義有an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2=a1qn-1.
（3）通項(xiàng)公式中的基本量：通項(xiàng)公式中涉及的基本量有：a1,q,n,an，知道其中的三個(gè)，可以求出第四個(gè)量，即“知三求一”問(wèn)題.
注意：
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1可知，要寫出其通項(xiàng)，必須知道a1和q，因此要確定通
項(xiàng)公式，需兩個(gè)獨(dú)立的條件.
（4）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的變形形式：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則對(duì)任意的m,n∈N+，有an=amqn-m.
∵an=a1qn-1①
am=a1qm-1②
由①÷②得==qn-m，∴an=amqn-m.
這里的an=amqn-m可以看成是通項(xiàng)公式的另一種形式.
注意：
在已知a1和q的前提下，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1可以求出等比數(shù)列中的任意一項(xiàng);在已知等比數(shù)列任意兩項(xiàng)的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).
（5）用函數(shù)的觀點(diǎn)看等比數(shù)列的通項(xiàng)
等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，可以改寫為an=qn.當(dāng)q0，且q≠1時(shí)，y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而y=qx是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列{an}的圖像是函數(shù)y=qx的圖像上的一群孤立的點(diǎn).
例如，當(dāng)a1=1，q=2時(shí)，an=2n，表示這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的點(diǎn)就都在函數(shù)y=2x的圖像上，如下圖所示：
3.等比中項(xiàng)
(1)在a,b同號(hào)時(shí)，a,b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；在a,b異號(hào)時(shí)，沒有等比中項(xiàng).
(2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).
(3)若a,b,c成等比數(shù)列，則b2=ac;反過(guò)來(lái)，若b2=ac，則a,b,c不一定成等比數(shù)列，如a=b=0.
特別地，若a,b,c均不為零時(shí)，則a,b,c成等比數(shù)列b2=ac.
(4)注意a,b,c成等比數(shù)列與b=是不等價(jià)的.?
知能自主梳理
1.等比數(shù)列的定義
如果一個(gè)數(shù)列從起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的，公比通常用字母表示.
2.等比數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式
已知等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠0),
填表：
遞推公式通項(xiàng)公式
=q(n≥2)

an=
3.等比中項(xiàng)
（1）如果三個(gè)數(shù)x,G,y組成，則G叫做x和y的等比中項(xiàng).
（2）如果G是x和y的等比中項(xiàng)，那么,即.
［答案］1.第2項(xiàng)同一個(gè)常數(shù)公比q
2.a1qn-1
3.等比數(shù)列G2=xyG=±
思路方法技巧
命題方向等比數(shù)列的判斷
［例1］已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=2an+1,求證：｛an｝是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式.
［分析］要證數(shù)列是等比數(shù)列，關(guān)鍵是看an與an-1之比是否為一個(gè)常數(shù)，由題設(shè)還須利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求得an.
［證明］∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.
∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.
∴an+1=2an.①
又∵S1=a1=2a1+1,∴a1=-1≠0.
由①式可知，an≠0,
∴由=2知｛an｝是等比數(shù)列，an=-2n-1.
［說(shuō)明］(1)本題證明，關(guān)鍵是用等比數(shù)列的定義，其中說(shuō)明an≠0是非常重要的.證明中，也可以寫出Sn-1=2an-1+1,從而得到an=2an-1,只能得到n≥2時(shí)，｛an｝是等比數(shù)列，得到n≥2時(shí)，an=-2n-1,再將n=1代入，驗(yàn)證a1=-1也滿足通項(xiàng)公式的要求.
（2）判斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列的常用方法是：
①定義法
=q(q為常數(shù)且不為零){an}為等比數(shù)列.
②等比中項(xiàng)法
an+12=anan+2(n∈N+且an≠0){an}為等比數(shù)列.
③通項(xiàng)公式法
an=a1qn-1(a1≠0且q≠0){an}為等比數(shù)列.
變式應(yīng)用1判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列.
(1)1,3,32,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a1,a2,a3,…,an,….
［解析］（1）此數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為3.
(2)此數(shù)列不是等比數(shù)列.
(3)當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列為0,0,0,…,是常數(shù)列，不是等比數(shù)列；當(dāng)a≠0時(shí)，數(shù)列為a1,a2,a3,a4,…,an,…,顯然此數(shù)列為等比數(shù)列且公比為a.
命題方向等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用
［例2］在等比數(shù)列｛an｝中，已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an.
［分析］本題可以列關(guān)于a1,q的方程組入手，解出a1與q,然后再求an.
［解析］設(shè)等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1,公比為q,
a5-a1=a1q4-a1=15①?
因?yàn)?br> a4-a2=a1q3-a1q=6②
由得q=或q=2.
當(dāng)q=時(shí)，a1=-16.
當(dāng)q=2時(shí)，a1=1,
∴an=-16×（）n-1或an=2n-1.
［說(shuō)明］首項(xiàng)和公比是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，其他量便可迎刃而解.此類問(wèn)題求解的通法是根據(jù)條件，建立關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，求出首項(xiàng)和公比.
變式應(yīng)用2已知等比數(shù)列{an}中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
a1q+a1q4=18a1=32
［解析］解法一：由題意得，解得.
a1q2+a1q5=9q=
∴an=a1qn-1=32（）n-1=1,
∴26-n=20,∴n=6.
解法二：∵a3+a6=q(a2+a5),
∴q=,又∵a1q+a1q4=18,
∴a1=32,
∴an=a1qn-1=32×（）n-1=1,
解得n=6.
命題方向等比中項(xiàng)的應(yīng)用
［例3］等比數(shù)列｛an｝的前三項(xiàng)的和為168，a2-a5=42,求a5,a7的等比中項(xiàng).
［分析］設(shè)出首項(xiàng)和公比→由題意列方程組→解方程組求q→求a1→求等比中項(xiàng).
［解析］設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,因?yàn)閍2-a5=42,所以q≠1,由已知，得

a1+a1q+a1q2=168a1（1+q+q2）=168
，所以，
a1q-a1q4=42a1q(1-q3)=42
因?yàn)?-q3=(1-q)(1+q+q2),
所以由②除以①，得q(1-q)=.
所以q=.
所以a1==96.
若G是a5,a7的等比中項(xiàng)，則應(yīng)有G2＝a5a7=a1q4a1q6=a12q10=962×（）10=9.
所以a5,a7的等比中項(xiàng)是±3.
［說(shuō)明］由等比中項(xiàng)的定義可知：=G2=abG=±.這表明：只有同號(hào)的兩項(xiàng)才有等比中項(xiàng)，并且這兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).異號(hào)的兩數(shù)沒有等比中項(xiàng).反之，若G2＝ab(ab≠0),則=,即a,G,b成等比數(shù)列.所以a,G,b成等比數(shù)列G2=ab(ab≠0).
變式應(yīng)用3若a,2a+2,3a+3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值.
［解析］因?yàn)閍,2a+2,3a+3成等比數(shù)列，
所以（2a+2）2=a(3a+3).
解得a=-1或a=-4.
因?yàn)楫?dāng)a=-1時(shí)，2a＋2，3a+3均為0，故應(yīng)舍去.
故a的值為－4.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
［例4］據(jù)《中國(guó)青年報(bào)》2004年11月9日?qǐng)?bào)導(dǎo)，衛(wèi)生部艾滋病防治專家徐天民指出：前我國(guó)艾滋病的流行趨勢(shì)處于世界第14位，在亞洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在遞增，我國(guó)已經(jīng)處于艾滋病暴發(fā)流行的前沿，我國(guó)政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我國(guó)艾滋病感染者至少有80萬(wàn)人，若不采取任何防治措施，則至少
到公元年后，我國(guó)艾滋病毒感染者將超過(guò)1000萬(wàn)人.(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg7=0.8451)
［答案］2012
［解析］設(shè)x年后我國(guó)艾滋病毒感染者人數(shù)將達(dá)到1000萬(wàn)人，則80(1+40%)x=1000,
即（）x=，
∴l(xiāng)g（）x=lg,
∴x===
==≈7.51(年).
故8年后，即公元2012年后，我國(guó)艾滋病毒感染者人數(shù)將超過(guò)1000萬(wàn)人.
名師辨誤做答
［例5］在等比數(shù)列{an}中，a5、a9是方程7x2-18x+7=0的兩個(gè)根，試求a7.
［誤解］∵a5、a9是方程7x2-18x+7=0的兩個(gè)根，
a5+a9=
∴
a5a9=1
又∵a7是a5、a9的等比中項(xiàng)，∴a72=a5a9=1，即a7=±1.
［辨析］上述解法忽視了對(duì)a7的符號(hào)的討論，由于a5、a9均為正數(shù)且公比為q=±=±，所以不論q取正還是取負(fù)，a7始終與a5和a9的符號(hào)相同.
［正解］∵a5、a9是方程7x2-18x+7=0的兩個(gè)根，
a5+a9=0
∴，
a5a9=10
∴a50,a90,
又∵a7是a5、a9的等比中項(xiàng)，
∴a72=a5a9=1.
又a7與a5、a9的符號(hào)相同，
∴a7=1.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公比為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）
A.3B.4C.5D.6
［答案］B
［解析］∵（）n-1=,?∴（）n-1==（）3,∴n=4.
2.若{an}為等比數(shù)列，且2a4=a6-a5，則公比是（）
A.0B.1或-2C.-1或2D.-1或-2
［答案］C
［解析］由2a4=a6-a5，得2a1q3=a1q5-a1q4.
∵a1≠0,q≠0，
∴q2-q-2=0,∴q=-1或2.
3.等比數(shù)列{an}中，a4=4,則a2a6等于（）
A.4B.8C.16D.32
［答案］C
［解析］∵a2a6=a42=16,故選C.
二、填空題
4.2+與2-的等比中項(xiàng)為.
［答案］±1
［解析］設(shè)2+與2-的等比中項(xiàng)為G，則G2＝（2+）（2-）＝1，
∴G＝±1.
5.下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是.?
①1,-2,4,-8;②-,2,-2,4;③x,x2,x3,x4;④a-1,a-2,a-3,a-4.
［答案］①②④
［解析］由等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷，①組的公比為－2；②組的公比為－;③組中當(dāng)x=0時(shí)，不成等比，當(dāng)x≠0時(shí)為等比數(shù)列，④組的公比為a-1.
三、解答題
6.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1=,a7=27,求an.
［解析］由a7=a1q6,得27＝q6，?
∴q6=272=36,∴q=±3.?
當(dāng)q=3時(shí)，an=a1qn-1=×3n-1=3n-4;?
當(dāng)q=-3時(shí)，an=a1qn-1=×（-3）n-1＝－（-3）-3（-3）n-1＝－（-3）n-4.?
故an=3n-4或an=-(-3)n-4.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1=32,公比q=-,則a6等于（）?
A.1B.-1C.2D.
［答案］B
［解析］a6=a1q5=32×（－）5=-1,故選B.
2.已知等比數(shù)列{an}中，a2011=a2013=-1,則a2012=（）?
A.-1B.1C.1或－1D.以上都不對(duì)?
［答案］C?
［解析］∵a2011,a2012,a2013成等比數(shù)列，
∴a22012=a2011a2012=1,?
∴a2012=1或-1.
3.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3，a2+a3=6，則a7=（）
A.64B.81C.128D.243?
［答案］A
［解析］∵{an}是等比數(shù)列，a1+a2=3,a2+a3=6,?
∴設(shè)等比數(shù)列的公比為q，?
則a2+a3=（a1+a2）q=3q=6，
∴q=2.?
∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,
∴a1=1,?
∴a7=a1q6=26=64.
4.已知a,b,c成等比數(shù)列，則方程ax2+bx+c=0的根的情況為（）
A.有兩個(gè)不等實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根
C.只有一個(gè)實(shí)根D.無(wú)實(shí)根?
［答案］D?
［解析］∵a,b,c成等比，∴b2=ac,且b≠0.?
∴Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b20,?
故方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根.
5.在等比數(shù)列｛an｝中，a5a6a7＝3，a6a7a8=24,則a7a8a9的值等于（）
A.48B.72C.144D.192
［答案］D
［解析］設(shè)公比為q,則a6a7a8=a5a6a7q3,?
∴q3==8.?
又a7a8a9=a6a7a8q3=24×8＝192.
6.已知a,b,c,d成等比數(shù)列，且曲線y=x2-2x+3的頂點(diǎn)是(b,c)，則ad等于（）?
A.3B.2C.1D.-2
［答案］B?
［解析］∵曲線y=x2-2x+3=(x-1)2+2,?
∴曲線的頂點(diǎn)為（1，2），?
∴b=1,c=2,又∵a,b,c,d成等比數(shù)列，∴ad=bc=2.
7.已知lga,lgb,lgc三數(shù)成等差數(shù)列，則（）?
A.a+b=2cB.b=±
C.a+c=2bD.a、b、c成等比數(shù)列
［答案］D
［解析］由題意，知a0,b0,c0,?
且2lgb=lga+lgc,
∴b2=ac,故選D.
8.在等比數(shù)列{an}中，若a2a8=36,a3+a7=15,則公比為（）
A.,B.±
C.±D.±,±
［答案］D?

a3a7=a2a8=36a7=12a7=3
［解析］因?yàn)?，所以，?br> a3+a7=15a3=3a3=12
所以q4=4或q4=，所以q=±,或q=±.
二、填空題
9.在等比數(shù)列{an}中，a2=3,a8=24,則a5=.?
［答案］±6
［解析］∵a2=3,a8=24,且｛an｝為等比數(shù)列
∴a2a8=a25=3×24＝72
∴a5=±6.
10.若a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列，公比為2，則的值為.?
［答案］
［解析］由題意，得a2=2a1,a3=4a1,?
a4=8a1,∴==.
11.(2012蘇州高二檢測(cè))在等比數(shù)列｛an｝中，已知a1=9,q=-,an=,則n=.
［答案］5
［解析］由題意知，an=a1qn-1,?
即=9×（-）n-1,?
∴n=5.
12.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列的任何一項(xiàng)都等于它后面相鄰兩項(xiàng)的和，則該數(shù)列的公比q=.
［答案］
［解析］設(shè)該正項(xiàng)等比數(shù)列為｛an｝,公比為q,由題意，得
an=an+1+an+2=anq+anq2,?
∴q2+q-1=0,
∵q0,∴q=.
三、解答題
13.在等比數(shù)列｛an｝中，a2=4,a5=-,求an.?
［解析］由已知，有a2=4,a5=-.
a1q=4,
由，得a1=-8,q=-.
?a1q4=-
∴an=(-8)×（-）n-1，即an=(-1)n.
14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(an-1)(n∈N+)
(1)求a1,a2;?
(2)求證：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列.
［解析］(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),
∴a1=-.
又S2=(a2-1),即
a1+a2=(a2-1),得a2=.?
(2)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1
=(an-1)-(an-1-1),
得=-,?
所以｛an｝是首項(xiàng)為－,公比為－的等比數(shù)列.
15.培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這個(gè)新品種的種子多少粒（保留兩個(gè)有效數(shù)字）？
［解析］由于每代的種子數(shù)是它的前一代種子數(shù)的120倍，逐代的種子數(shù)組成等比數(shù)列，記為{an}，其中a1=120,q=120,因此，a5=120×1204≈2.5×1010.
答：到第五代大約可以得到種子2.5×1010粒.
16.三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)，又可成為等比數(shù)列，又這三個(gè)數(shù)的和為6，求這三個(gè)數(shù).
［解析］由已知，設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d,?
∴a-d+a+a+d=6.?
∴a=2,這三個(gè)數(shù)為2-d,2,2+d.?
若2-d為等比中項(xiàng)，則有（2-d）2=2(2+d),?
解得d=6,或d=0（舍去），此時(shí)三數(shù)為-4,2,8.?
若2+d是等比中項(xiàng)，則有（2+d）2=2(2-d),?
解得d=-6,或d=0(舍去)，此時(shí)三個(gè)數(shù)為8，2，-4.
若2為等比中項(xiàng)，則22=(2+d)(2-d),?
∴d=0（舍去）.?
綜上可知，三數(shù)為-4，2，8.

等差數(shù)列導(dǎo)學(xué)案

俗話說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“等差數(shù)列導(dǎo)學(xué)案”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

等差數(shù)列（1）

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解等差數(shù)列的概念，了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
3.正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng).

學(xué)習(xí)過(guò)程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：什么是數(shù)列？

復(fù)習(xí)2：數(shù)列有幾種表示方法？分別是哪幾種方法？

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究任務(wù)一：等差數(shù)列的概念
問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，看看以下四個(gè)數(shù)列有什么共同特征？
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366

新知：
1.等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它一項(xiàng)的等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的，常用字母表示.

2.等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列，
這時(shí)數(shù)叫做數(shù)和的等差中項(xiàng)，用等式表示為A=

探究任務(wù)二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
問(wèn)題2：數(shù)列①、②、③、④的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？
若一等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是d，則據(jù)其定義可得：
，即：
，即：
，即：
……
由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：
∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)和公差d，便可求得其通項(xiàng).
※典型例題
例1⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng)；
⑵－401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

變式：（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第10項(xiàng).

（2）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由.

小結(jié)：要求出數(shù)列中的項(xiàng)，關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式；要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得等于這一數(shù).

例2已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，其中、是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是多少？

變式：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問(wèn)這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

3.1等差數(shù)列（第二課時(shí)，等差數(shù)列的性質(zhì)）

3.1等差數(shù)列（第二課時(shí)，等差數(shù)列的性質(zhì)）

教學(xué)目的：

1.明確等差中項(xiàng)的概念.

2.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)公式.

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題

一、復(fù)習(xí)引入

1．等差數(shù)列的定義；2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1），（2），（3）

3．有幾種方法可以計(jì)算公差d
①d=－②d=③d=

二、講解新課：

問(wèn)題：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？

由定義得A-=-A，即：

反之，若，則A-=-A

由此可可得：成等差數(shù)列。

也就是說(shuō)，A=是a,A,b成等差數(shù)列的充要條件

定義：若，A，成等差數(shù)列，那么A叫做與的等差中項(xiàng)。

不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。

如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中

5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。

9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)。

注意到，，……

由此猜測(cè)：

性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，

即m+n=p+q(m,n,p,q∈N)

（以上結(jié)論由學(xué)生證明）

但通常①由推不出m+n=p+q，②

特例：等差數(shù)列{an}中，與首尾“等距離”的任意兩項(xiàng)和相等.即

三、例題

例1在等差數(shù)列{}中，若+=9,=7,求,.

分析：要求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)（知道任意兩項(xiàng)就知道公差），本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式+=+=9入手……（答案：=2,=32）

例2等差數(shù)列{}中，++=－12,且··=80.求通項(xiàng)

分析：要求通項(xiàng)，仍然是先求公差和其中至少一項(xiàng)的問(wèn)題。而已知兩個(gè)條件均是三項(xiàng)復(fù)合關(guān)系式，欲求某項(xiàng)必須消元（項(xiàng)）或再構(gòu)造一個(gè)等式出來(lái)。

（答案：=－10+3(n－1)=3n－13或=2－3(n－1)=－3n+5）

例3在等差數(shù)列{}中,已知＋＋＋＋＝450,求＋及前9項(xiàng)和（＝＋＋＋＋＋＋＋＋）.

提示：由雙項(xiàng)關(guān)系式：＋＝2，＋＝2及＋＋＋＋＝450,得5＝450,易得＋＝2＝180.

＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋＝9＝810.

例4已知a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，那么，a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列。

分析：將a、b、c的成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否成立.

例5已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11…都有100項(xiàng)，問(wèn)它們有多少公共項(xiàng).

分析：兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來(lái)的前后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來(lái)兩個(gè)公差的最小公倍數(shù).（答案：25個(gè)公共項(xiàng)）

四、練習(xí)：

1.在等差數(shù)列中，已知，，求首項(xiàng)與公差

2.在等差數(shù)列中,若求

3.在等差數(shù)列中若，，求

五、作業(yè)：課本：P114習(xí)題3.27.10，11.《精析精練》P117智能達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

等差數(shù)列與等比數(shù)列

等差數(shù)列與等比數(shù)列

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】
掌握等差、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，在解決有關(guān)等差，等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用方程的思想和函數(shù)思想以及整體的觀點(diǎn)，培養(yǎng)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。
【課前熱身】
1．如果，，…，為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則()
A．B．C．++D．=
2．已知–9,a1,a2,–1這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,–9,b1,b2,b3,–1這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則等于（）
A．-8B．8C．8或-8D．
3．設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（）（福建文）
A．1B．－1C．2D．
4．已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=（）（浙江文理）
A–4B–6C–8D–10
5.(2005年杭州二模題)已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則橢圓的準(zhǔn)線方程為________.
【例題探究】
1、已知數(shù)列為等差數(shù)列，且(05湖南)
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明

2、設(shè)數(shù)列
記
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

3、某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？
（取）
【方法點(diǎn)撥】
1．本題的關(guān)鍵在于指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化在數(shù)列中的應(yīng)用。
2．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式和遞推公式經(jīng)常在已知條件中給出,利用列舉、疊加、疊乘等方法求之.求通項(xiàng)公式的方法應(yīng)掌握.
3．例3是比較簡(jiǎn)單的數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，由于問(wèn)題所涉及的數(shù)列是熟悉的等比數(shù)列與等差數(shù)列，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過(guò)的公式求解.
沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練（12）
1．已知等差數(shù)列滿足則有()
A.B.C.D.
2在正數(shù)等比數(shù)列中已知?jiǎng)t（）
A．11B．10C．8D．4
3．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A．B．C．D．
4．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則()
A．33B．72C．84D．189
5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）.關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：
（1）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；
（2）若，則是等差數(shù)列；
（3）若，則是等比數(shù)列.
這些命題中，真命題的序號(hào)是.

6、在等差數(shù)列中，，等比數(shù)列中，
，，則

7．設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為（湖南理）

8．已知，都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的正整n,都有成等差數(shù)列，
等比數(shù)列。
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）如果，，。

9．設(shè)⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圓心在拋物線上的一系列圓，它們的圓心的橫坐標(biāo)分別記為。已知，。若⊙Ck(k=1,2,3,……,n)都與x軸相切，且順次兩圓外切。
（1）求證：是等差數(shù)列（2）求的表達(dá)式；
（3）求證：
參考答案
【課前熱身】
1．B2，A3，A4，B
5、y=±22.解析：由條件易知m=2,n=4.但要注意橢圓焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是y軸.因此準(zhǔn)線方程為y=±a2c=±22.
【例題探究】
1,（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.
由即d=1.
所以即
（II）證明因?yàn)椋?br> 所以
2,解：（I）
（II）因?yàn)?所以
所以
猜想：是公比為的等比數(shù)列.
證明如下：因?yàn)?br> 所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
3，解：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列，
①甲方案獲利：（萬(wàn)元）
銀行貸款本息：（萬(wàn)元）
故甲方案純利：（萬(wàn)元）
②乙方案獲利：
（萬(wàn)元）；
銀行本息和：
（萬(wàn)元）
故乙方案純利：（萬(wàn)元）；綜上，甲方案更好.

沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練(12)
1．C2．A3．B4．C5．（1）、（2）、（3）
6．解：
點(diǎn)評(píng)：此題也可以把和d看成兩個(gè)未知數(shù)，通過(guò)列方程，聯(lián)立解之d=。再求出但計(jì)算較繁，運(yùn)用計(jì)算較為方便。
7．
8．解：（1）證明：成等差數(shù)列，。
成等比數(shù)列，，即，
，，成等差數(shù)列。
（2）解：而，
，
）
9．解：（1）由題意知：⊙：，⊙：
，，
,兩邊平方，整理得
是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列
（2）由（1）知，
（3）
），