小學數(shù)學數(shù)學教案

高三數(shù)學教案：《構建數(shù)學模型解數(shù)列綜合題》教學設計。

高考要求

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題 這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯(lián)想有關數(shù)學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度

重難點歸納

1 解答數(shù)列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關知識來解決問題

2 縱觀近幾年高考應用題看，解決一個應用題，重點過三關

(1)事理關 需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力

(2)文理關 需將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學的符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關系

(3)事理關 在構建數(shù)學模型的過程中；要求考生對數(shù)學知識的檢索能力，認定或構建相應的數(shù)學模型，完成用實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化 構建出數(shù)學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數(shù)理能力

典型題例示范講解

例1從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加

(1)設n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區(qū)分度，屬于應用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型

知識依托 本題以函數(shù)思想為指導，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點

錯解分析 (1)問an、bn實際上是兩個數(shù)列的前n項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差

技巧與方法 正確審題、深刻挖掘數(shù)量關系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧

解 (1)第1年投入為800萬元，

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高三生物教案：《生物模型的構建》教學設計

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，作為教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《高三生物教案：《生物模型的構建》教學設計》，僅供參考，大家一起來看看吧。

本文題目：高三生物教案：生物模型的構建

2012高考第二輪復習專題——解題技巧之生物模型的構建

一、考綱要求

新的課程標準對生物模型的構建和應用提出了較高的要求，如要求學生理解所學知識，并能夠構建知識網(wǎng)絡，能利用文字圖表以及數(shù)學方式準確表達生物學信息，領悟建立模型等科學方法及其在科學研究中的應用。

二、考題規(guī)律

構建模型的題目因其文字閱讀量小，信息量大，直觀明了，形式靈活，而廣泛地出現(xiàn)在各個知識點的考查過程中，內(nèi)容廣，變化多。旨在考查學生獲取和處理信息的能力、圖文轉(zhuǎn)換能力、對生物學基礎知識之間關系的把握能力。

三、考向預測

在理綜試卷中，生物學科考查題目較少，利用模型的構建命制的題目，具有廣泛考查學生生物學知識和能力的優(yōu)勢。因此，這種題型在今后的一段時間內(nèi)將繼續(xù)出現(xiàn)?？疾樾问椒矫?，判斷模型歸類的問題出現(xiàn)的可能性不大，一般是給出模型，并提供解題信息或解題背景來考查學生。

模型是人們?yōu)榱四撤N特定目的而對認識對象所作的一種簡化的定性或定量描述。有的借助于具體的實物或其他形象化的手段來表達，有的則通過抽象的形式來表達。

模型分三類：物理模型、概念模型、數(shù)學模型。

1. 概念模型：以文字、符號等抽象概念代替原型進行研究的方法，顯示事物的生命活動規(guī)律、機理，展示概念間的層級結構。如達爾文的自然選擇學說的解釋模型，血糖的來源與去向模型等。特點是直觀化、模式化，信息表達簡明、清楚。

概念模型類題目的解題技巧：找出“題眼”，準確、規(guī)范地進行知識遷移，判斷選項具體指向，分析作答。

2. 物理模型：以實物或圖畫形式直觀反映認識對象的形態(tài)結構或三維結構，這類實物或圖畫即為物理模型。如真核生物的三維結構模型、DNA雙螺旋模型，葉綠體結構模型等，又如橡皮泥模擬染色體等。

3. 數(shù)學模型：用符號、公式、圖象等數(shù)學語言表現(xiàn)生物學現(xiàn)象、特征和狀況的方法稱為生物數(shù)學模型法。如酶的活性隨溫度變化而變化的曲線，豌豆實驗中9：3：3：1的比例關系，減數(shù)分裂過程中染色體數(shù)量變化曲線、種群增長的曲線等。

(1)坐標曲線型：關注曲線趨勢、特殊點(折點、交點)、橫縱坐標的含義、自變量和因變量的關系。

(2)表格分析型：關注數(shù)據(jù)之間的關聯(lián)、數(shù)據(jù)變化的規(guī)律。

(3)柱(條)形坐標圖(或坐標直方圖)：重點關注縱軸表示的含義。

聚焦熱點1：概念模型和物理模型

例1 下列①～③分別是根據(jù)甲乙丙作出的判斷，其中正確的是( )

①若甲中a和b分別代表乳酸菌和藍藻，則c代表細菌，d代表原核生物

②若乙中3個圓圈代表3種生物生存的空間范圍時，則最容易滅絕的生物是b

③若丙中a和b代表應激性和反射這兩個概念，則a表示反射，b表示應激性

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

思路分析：甲圖中，a乳酸菌屬于c細菌，b藍藻不屬于細菌，二者同屬于d原核生物。乙圖中，c的生存空間最大，最不容易滅絕。a、b的空間范圍接近，但a的生活范圍完全與c重合，競爭更激烈，因此a更容易滅絕。應激性是生物對內(nèi)外刺激發(fā)生的反應，包含神經(jīng)系統(tǒng)參與的反射活動。

答案：B

點評：本題考查細胞的結構、生存能力判斷、應激性與反射等概念之間的從屬關系。

例2 下圖為人體和人體細胞內(nèi)某些信息傳遞機制的模式圖，圖中箭頭表示信息的傳遞方向。下列敘述中，不正確的是( )

A. 如果該圖表示細胞中遺傳信息的表達過程，則e過程發(fā)生在核糖體上

B. 如果a表示抗原，b表示吞噬細胞和T細胞，c為B細胞，則該過程屬于體液免疫過程

C. 如果該圖表示反射弧，則其中的信息是以局部電流的形式傳導的

D. 如果圖中a為下丘腦，b為垂體，c為腎小管和集合管，則d和e為同一種物質(zhì)

思路分析：遺傳信息的表達過程遵循中心法則，a：DNA，b：信使RNA，c：蛋白質(zhì)，d：轉(zhuǎn)錄(細胞核)，e：翻譯(核糖體)?？乖?jīng)吞噬細胞呈遞給T細胞，T細胞將產(chǎn)生淋巴因子刺激B細胞，這是體液免疫的過程。反射弧中興奮的傳導方式為電信號和化學信號。抗利尿激素由下丘腦神經(jīng)內(nèi)分泌細胞產(chǎn)生，通過垂體釋放，作用于腎小管和集合管。

答案：C

點評：概念模型方法中，利用文字、箭頭指向提供的信息，準確找到相關的知識進行解讀是解題的關鍵。

例3 圖甲、乙分別表示同一細胞的部分結構，下列判斷不正確的是 ( )

A. 該細胞可表示神經(jīng)元細胞

B. 圖甲的分泌物一定是在細胞核糖體上合成后，最后由高爾基體分泌的

C. 圖乙所示的興奮傳導形式是電信號，②表示興奮部分

D. 圖甲將化學信號轉(zhuǎn)化為電信號在圖乙部分繼續(xù)傳導

思路分析：由乙圖判斷該細胞可能為神經(jīng)細胞，神經(jīng)細胞分泌的物質(zhì)是神經(jīng)遞質(zhì)，其化學本質(zhì)不一定就是蛋白質(zhì)，而核糖體上合成的是蛋白質(zhì)(多肽)。

答案：B

點評：本題考查的是神經(jīng)細胞結構和興奮傳導的物理模型。

例4 下圖所示為葉綠體中色素蛋白等成分在細胞膜上的分布。在圖示結構上( )

A. 生物膜為葉綠體內(nèi)膜

B. 可完成光合作用的全過程

C. 發(fā)生的能量轉(zhuǎn)換是：光能→電能→活躍化學能

D. 產(chǎn)生的ATP可用于植物體的各項生理活動

思路分析：根據(jù)葉綠體中的光合色素分布判定該生物膜為類囊體的薄膜，只能完成光反應過程，實現(xiàn)光能→電能→活躍化學能的能量轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生的ATP和NADPH(還原劑氫)只用于暗反應，而植物其他各項生理活動則需要呼吸作用產(chǎn)生的ATP直接供能。

答案：C

點評：本題借用膜結構的物理模型，考查與光合色素相關的生理活動。

例5 下圖是有關神經(jīng)和內(nèi)分泌細胞的結構示意圖，請據(jù)圖回答：

(1)若該圖為人體血糖含量降低時的調(diào)節(jié)過程，則下丘腦接受刺激后，促使_______分泌激素，主要作用于________(靶器官)，使血糖含量升高。

(2)若該圖為人體受到寒冷刺激時的調(diào)節(jié)過程，則下丘腦接受刺激后，通過有關神經(jīng)促進______分泌甲狀腺激素，導致靶細胞內(nèi)的________(用反應式表示)過程增強，以增加產(chǎn)熱量。

思路分析：(1)調(diào)節(jié)升高血糖的激素主要是胰高血糖素、腎上腺素等，主要作用于肝臟，促進肝糖原分解。(2)在寒冷的條件下，機體的神經(jīng)系統(tǒng)感知刺激并促使體液調(diào)節(jié)的發(fā)生，參與的激素主要是腎上腺素和甲狀腺激素，促進機體代謝，產(chǎn)熱增加。

答案：(1)腎上腺和胰島A細胞 肝臟 (2)甲狀腺 C6H12O6+6O2+6H2O 12H2O+6CO2+能量

點評：以圖畫形式考查生命活動調(diào)節(jié)過程中的神經(jīng)-體液調(diào)節(jié)的相互協(xié)調(diào)。

聚焦熱點2：數(shù)學模型

例1 下列與圖示模型生物學現(xiàn)象或過程不相符的是( )

A. 若橫坐標表示時間，縱坐標表示種類數(shù)量，則曲線b可表示種子萌發(fā)過程中的一段時間內(nèi)有機物種類的變化，曲線a表示種子中有機物總量的變化

B. 若橫坐標表示時間，縱坐標表示數(shù)量，則曲線a、b可表示在植物突然停止光照后，一段時間內(nèi)葉肉細胞葉綠體中C5和C3的變化趨勢

C. 若橫坐標表示時間，縱坐標表示濃度，則曲線b可表示置于0.3 g/mL的蔗糖溶液中的洋蔥表皮細胞，一段時間內(nèi)細胞液濃度隨著時間推移的變化，曲線a則表示液泡體積的變化

D. 若橫坐標表示生物種類，縱坐標表示穩(wěn)定性，則曲線a可表示生態(tài)系統(tǒng)的抵抗力穩(wěn)定性，曲線b可表示生態(tài)系統(tǒng)的恢復力穩(wěn)定性

思路分析：在種子萌發(fā)過程中，種子通過呼吸作用形成的各種中間產(chǎn)物增加，有機物的種類增加，但消耗有機物造成總量減少;在光合作用過程中，突然停止光照，光反應停止，C3的還原停止，而CO2繼續(xù)和C5結合形成C3，所以C3的含量會上升，C5的含量下降;細胞滲透失水，細胞液的濃度增加，液泡的體積減小;生態(tài)系統(tǒng)中生物的種類越多，抵抗力穩(wěn)定性越強，恢復力穩(wěn)定性越弱。

答案：D

點評：本題是常見的坐標曲線模式圖。通過改變橫縱坐標的含義，進而表示不同的生物學過程。解題的要點是把曲線的變化趨勢與坐標含義相結合。

例2 科學家對某草原生態(tài)系統(tǒng)的能量流動進行了研究，獲得下表數(shù)據(jù)。下列有關敘述不正確的是 ( )

營養(yǎng)級 從上一個營養(yǎng)級流入的能量數(shù)[kJ/(m2?y)] 呼吸消耗的能量數(shù)[kJ/(m2?y)]

Ⅰ 501.2

Ⅱ 141.0 79.1

Ⅲ 15.9 13.2

Ⅳ 0.9 0.5

分解者 221.7 192.6

A. 該生態(tài)系統(tǒng)從第Ⅱ營養(yǎng)級到第Ⅲ營養(yǎng)級的能量傳遞效率為11.28%

B. 第Ⅰ營養(yǎng)級固定的太陽能總量是863.9 kJ/(m2?y)

C. 各營養(yǎng)級之間的信息交流是雙向的

D. 該生態(tài)系統(tǒng)遭受火災后，發(fā)生的群落演替屬于次生演替

思路分析：第Ⅱ營養(yǎng)級與第Ⅲ營養(yǎng)級的能量傳遞效率為15.9/141.0=11.28%;221.7中的能量共來自四個營養(yǎng)級，為501.2+141.0+221.7=863.9，顯然不是第Ⅰ營養(yǎng)級固定的全部太陽能。火災后發(fā)生的演替屬于次生演替。

答案：B

點評：本題考查生態(tài)系統(tǒng)的能量流動、信息傳遞和群落演替。

例3 下圖是據(jù)一個物種中的兩個亞種種群(種群數(shù)量較大)的某一性狀的測量結果繪制的曲線圖。如果將這兩個亞種置于同一生態(tài)系統(tǒng)中，并使之隨機交配而進行基因交流，在進行了相當長時間的基因交流后，下列有四種根據(jù)預測的結果繪制成的曲線，你認為比較合理的是( )

思路分析：兩個亞種種群(種群數(shù)量較大)置于同一生態(tài)系統(tǒng)中，隨機交配而進行基因交流，二者的基因庫將逐漸融合，性狀趨于一致。

答案：B

點評：考查生物進化過程中基因交流的作用。

1. 熟記課本中的所有圖例，包括圖例中所有的結構名稱及圖形特征，它們是解決模型問題的基礎。

2. 解決概念模型、物理模型問題的圖解及圖示題的方法：

(1)抓圖：理解圖中的具體過程，識別各部分名稱。作出從局部到整體再到局部的變換。

(2)遷移：尋找模式圖例中涉及的基礎知識、基本規(guī)律，進行圖文轉(zhuǎn)換。

(3)推理判斷：規(guī)范答題，準確、嚴密、完整。

3. 數(shù)據(jù)類模型問題的分析判斷方法：

(1)能找到表格數(shù)據(jù)與曲線之間的轉(zhuǎn)換點。

(2)對于表格數(shù)據(jù)，能進行縱橫坐標比較，找出數(shù)據(jù)的變化規(guī)律;關注其中的極值，嘗試分析極值出現(xiàn)的原因。

(3)柱狀圖中，橫坐標在橫向上一般沒有順次關系，可能只是某幾個相似量的堆積。縱坐標的數(shù)值至關重要，一般需進行多向比較，提煉信息。

(答題時間：45分鐘)

一、選擇題

1. 某些生物學概念之間具有一定的包含關系，下列選項所示a、b、c所代表的物質(zhì)中，符合圖示關系的有 ( )

A. 主動運輸 自由擴散 胞吐

B. 原核生物 細菌 酵母菌

C. 生態(tài)系統(tǒng) 群落 種群

D. 體液調(diào)節(jié) 激素調(diào)節(jié) 免疫調(diào)節(jié)

2. 圖中E、F代表兩種生物，如果H代表生物的生活條件，箭頭代表營養(yǎng)流動方向，則可表示寄生關系的是 ( )

*3. 下圖中甲表示人體不同體液間的物質(zhì)交換，乙表示生態(tài)系統(tǒng)的碳循環(huán)過程，以下說法正確的是 ( )

A. 人體出現(xiàn)過敏反應時，甲圖中的c增加引起水腫

B. 乙圖中的c可以說是生態(tài)系統(tǒng)的基石

C. 甲圖中d處的CO2濃度最高

D. 乙圖中b所處營養(yǎng)級貯存的能量最少

4. 下圖是某生物的細胞分裂示意圖。下列敘述正確的是 ( )

A. 若圖甲中的2和6表示兩條Y染色體，則此圖可以表示次級精母細胞

B. 圖乙中①上某位點有基因B，則②上相應位點的基因可能是b

C. 圖乙細胞中染色體、染色單體、DNA數(shù)量分別為2、0、4

D. 該生物體細胞中染色體數(shù)最多有16條

**5. 下圖表示不同條件下，人體內(nèi)某些物質(zhì)含量變化的趨勢，其中正確的是( )

*6. 依據(jù)所學的生物學知識，分析下列直方圖，其中錯誤的是 ( )

7. 分析下圖曲線，下列說法不正確的是( )

A. 進行海洋漁業(yè)捕撈至c時對應的種群數(shù)量為宜

B. c～d段種群數(shù)量下降

C. 該種群數(shù)量在e點達到K值

D. 該種群數(shù)量呈“S”型增長

8. 切除正常幼年狗的垂體后，短期內(nèi)該狗血液中三種激素——促甲狀腺激素釋放激素(a)、促甲狀腺激素(b)、甲狀腺激素(c)的含量隨時間的變化曲線最可能是( )

*9. 下圖表示某生態(tài)系統(tǒng)在發(fā)展過程中生物總能量(A)和生產(chǎn)者所固定的太陽能(B)的變化，下面是據(jù)圖得出的幾個結論，其中不正確的是 ( )

A. 第10～20年是該生態(tài)系統(tǒng)向營養(yǎng)結構復雜化發(fā)展的時期

B. 該生態(tài)系統(tǒng)的自動調(diào)節(jié)能力30～40年比20～30年期間強

C. 從a點開始，曲線B下降的主要原因是消費者數(shù)量不斷增加

D. 該生態(tài)系統(tǒng)在40～60年期間的生物種類比60～80年期間要多

*10. 陽光穿過森林中的空隙形成“光斑”，它會隨太陽的運動和枝葉的擺動而移動。如下圖表示一株生長旺盛的植物在“光斑”照射前后光合作用過程中吸收CO2和釋放O2的有關曲線，此曲線說明 ( )

A. “光斑”照射前，光合作用無法進行

B. “光斑”照射開始后，光反應和暗反應迅速同步增加

C. “光斑”照射后，氧氣釋放曲線的變化說明暗反應對光反應有限制作用

D. 圖示實線AB段的變化說明進行暗反應與光照無關

*11. 下列各選項與所給模型相符的是( )(“-”表示抑制，“+”表示促進)

① X ②

A. 若X表示植物細胞的吸水能力增大，則①可能代表質(zhì)壁分離

B. 若X表示第一營養(yǎng)級擁有的能量總量增加，則①可能代表次級消費者的數(shù)量增加

C. 若X表示消耗ATP，則②可能代表小腸上皮細胞吸收膽固醇

D. 若X表示新物種形成，則②可能代表地理隔離

12. 下列有關生態(tài)系統(tǒng)中的碳循環(huán)和人體體液中物質(zhì)交換的示意圖的描述中，正確的是( )

A. 乙圖中的D是生態(tài)系統(tǒng)中的主要成分

B. 人體內(nèi)氧氣濃度最高的是甲圖中的B

C. 人體出現(xiàn)過敏反應時，甲圖中的A增加導致組織水腫

D. 在因捕食關系建立的食物鏈中，能量最少的是乙圖中的B所處的營養(yǎng)級

13. 下圖表示某植物細胞內(nèi)的代謝過程，下列有關敘述不正確的是( )

A. X、Y物質(zhì)分別代表三碳化合物和丙酮酸

B. ①、④過程可以產(chǎn)生ATP，②過程需要消耗ATP

C. ①過程發(fā)生在線粒體基質(zhì)中，④過程發(fā)生在細胞質(zhì)基質(zhì)中

D. ①②③④四個過程既不消耗氧氣也不產(chǎn)生氧氣

*14. 經(jīng)調(diào)查，某生態(tài)系統(tǒng)中Y、X、Z分別為第一、第二和第三營養(yǎng)級，每個營養(yǎng)級不同物種的個體數(shù)量如圖甲所示(圖中每一柱條代表一個物種)。一段時間后個體數(shù)量發(fā)生變化，結果如圖乙所示。

下列敘述正確的是( )

A. X營養(yǎng)級的生物被捕食的壓力明顯增加

B. Z營養(yǎng)級生物個體數(shù)量的增加是由捕食對象專一引起的

C. Y營養(yǎng)級生物個體數(shù)量的變化是由于捕食者對捕食對象有選擇的結果

D. X營養(yǎng)級的生物之間存在明顯的競爭關系，且其中某種生物處于競爭劣勢

*15. 如圖是細胞亞顯微結構示意圖，某同學觀察此圖后，作出了四項判斷，你認為他的結論有幾項是正確的 ( )

①該細胞取自低等植物

②用纖維素酶和果膠酶除去8后，剩余結構可稱為原生質(zhì)體

③含有核酸的細胞器有3種

④此細胞一般不通過滲透作用吸收水分

A. 一項 B. 兩項 C. 三項 D. 四項

16. 下列有關神經(jīng)細胞的敘述中，錯誤的是( )

A. 上圖可表示突觸小泡等各種膜結構

B. 靜息電位的形成可能與膜上的b物質(zhì)有關

C. 假設這是突觸后膜，則突觸間隙位于圖示膜的上部

D. 將神經(jīng)細胞膜的磷脂層平展在水面上，c與水面接觸

17. 下圖中甲、乙、丙、丁分別表示某人體內(nèi)的幾種細胞，它們的形態(tài)結構和功能各不相同的根本原因是( )

A. DNA的結構不同 B. 信使RNA不同

C. 遺傳物質(zhì)不同 D. 線粒體結構不同

18. 下列是有關生態(tài)系統(tǒng)的概念圖，其中的①②③④分別是( )

A. 生態(tài)系統(tǒng)的結構 生態(tài)系統(tǒng)的種類 食物鏈和食物網(wǎng) 信息傳遞

B. 生態(tài)系統(tǒng)的結構 生態(tài)系統(tǒng)的成分 食物鏈和食物網(wǎng) 信息傳遞

C. 生態(tài)系統(tǒng)的種類 生態(tài)系統(tǒng)的成分 生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 物質(zhì)循環(huán)和能量流動規(guī)律

D. 生態(tài)系統(tǒng)的成分 生態(tài)系統(tǒng)的結構 食物鏈和食物網(wǎng) 物質(zhì)循環(huán)和能量流動規(guī)律

19. 下圖表示不同的生物或成分，下列說法錯誤的是( )

A. 若M表示遺傳多樣性，a、b、c、d表示四種不同的植物，則在劇烈變化的環(huán)境中生存能力最強的是b

B. 若M表示化合物含量，a、b、c、d表示細胞中的4種有機物，則脂質(zhì)是d

C. 若M表示a、b、c、d四種元素質(zhì)量的相對含量，則代表氧元素的為b

D. 若M表示a、b、c、d四種野生生物的種群密度，其中d是科學家在某原始森林中發(fā)現(xiàn)的一個新物種，則其價值主要表現(xiàn)為間接使用價值

*20. 以蟲治蟲是生態(tài)農(nóng)業(yè)的重要內(nèi)容，下圖表示某一生態(tài)系統(tǒng)中四種生物所含有機物的總量。假設這四種生物只構成一條食物鏈。請問在一段時間內(nèi)，如果甲的種群數(shù)量增加，其可能引起的后果是( )

A. 乙和丁的種群數(shù)量都增加

B. 乙和丁的種群數(shù)量都減少

C. 乙和丙的種群數(shù)量都減少

D. 乙和丙的種群數(shù)量都增加

二、非選擇題

1. 圖示為哺乳動物(或人體)神經(jīng)和激素分泌的調(diào)節(jié)過程，請據(jù)圖回答下列問題：

(1)下丘腦參與內(nèi)環(huán)境水分平衡調(diào)節(jié)的途徑是(用數(shù)字和箭頭表示)________，此時的靶細胞是________。

(2)若某人的食物中缺碘，垂體分泌________增加，從而使________增生。

(3)下丘腦參與血糖調(diào)節(jié)的途徑是(用數(shù)字和箭頭表示)__________________。

(4)為了驗證胰高血糖素具有升高血糖的生理作用，請你根據(jù)給出的實驗材料和用具，完善實驗步驟，并預測實驗結果。

①材料和用具：年齡相同、體重相近的雄性成年大白鼠若干只，胰高血糖素溶液，生理鹽水，注射器，血糖測量儀等。

②方法與步驟

A. 將實驗鼠隨機分為數(shù)量相等的甲、乙兩組，并分別用給出的儀器，測定并記錄它們的________。

B. 用注射器給甲組鼠注射________，給乙組鼠注射 。

C. 一定時間后分別測定并記錄兩組小鼠的血糖含量。

③結果預測：_______________________________________________________________。

④實驗結論：_______________________________________________________________。

2. 豌豆的黃色子葉(Y)對綠色子葉(y)為顯性，高莖(D)對矮莖(d)為顯性，紅花(C)對白花(c)為顯性。這三對性狀能夠自由組合。下圖是一次豌豆雜交實驗的結果。請據(jù)此完成下列問題：

(1)寫出這次雜交實驗中雙親的基因型

①________×②________;

(2)指出這次雜交實驗結果中，所有豌豆的基因型和表現(xiàn)型分別是多少種?___、___;

(3)現(xiàn)有顯性純合和隱性純合兩種豌豆，請你用最簡捷的方法，獲取這次雜交實驗中的兩個親本：

獲取親本①的方法：___________________________________________________;

獲取親本②的方法：___________________________________________________。

3. 取出槍烏賊完整無損的粗大神經(jīng)纖維并置于適宜環(huán)境中，進行如下圖所示的實驗,G表示靈敏電流計,a、b為兩個微型電極，陰影部分表示開始發(fā)生局部電流的區(qū)域。

請據(jù)圖分析回答下列各題：

(1)靜息時，神經(jīng)纖維膜內(nèi)外的電位狀況是： 。

(2)如果將a、b兩電極置于神經(jīng)纖維膜外，同時在c處給予一個強刺激(如圖)，電流計的指針會發(fā)生兩次方向 (填“相同”或“相反”)的偏轉(zhuǎn)。若將b電極置于d處膜外(ab—bd)，a電極位置不變，則刺激c處后，電流計是否偏轉(zhuǎn)? 。

4. 有一位生態(tài)學家，對5個生態(tài)系統(tǒng)中的生物群落的組成情況進行了調(diào)查，調(diào)查結果如下表：表中種1、種2……代表不同的物種;A、B……代表不同的生物群落;表中的數(shù)據(jù)表示每個物種的種群密度(單位：個體數(shù)100/m2)

生物群落 種1 種2 種3 種4 種5 種6 種7 種8 種9 種10

A 0 900 40 0 0 30 20 0 0 0

B 0 220 240 200 210 100 10 20 0 0

C 700 200 50 50 0 0 0 0 0 0

D 560 400 40 0 0 0 0 0 0 0

E 5 5 1 2 3 4 30 50 800 100

請對上述數(shù)據(jù)仔細分析后回答下列問題：

(1)上述5個生物群落中，當同時受到大規(guī)模蟲害襲擊時，你認為受影響最小的是___。

(2)在生物群落E中，若物種1是由物種2進化來的，在進化過程中_________成為必要的條件。

(3)根據(jù)你對上述調(diào)查數(shù)據(jù)的分析，你認為建立一個人工生態(tài)林應注意的問題是____，其目的是_________________。

一、選擇題

1. C 2. B

3. C

解析：作為內(nèi)環(huán)境的模式圖，c為血漿、a為組織液、b為淋巴、d為細胞內(nèi)液。過敏反應使a組織液中水分增多引起水腫;二氧化碳是細胞代謝過程中產(chǎn)生的廢物，所以細胞內(nèi)液中含量最高，然后通過自由擴散的方式排出。在生態(tài)系統(tǒng)的組成中，a生產(chǎn)者和b分解者是聯(lián)系生物群落和d無機環(huán)境的紐帶，生產(chǎn)者(a)才是生態(tài)系統(tǒng)的基石，消費者(c)不是;分解者不屬于食物鏈，不屬于任何一級營養(yǎng)級。

4. B

5. D

解析：甲狀腺激素有增加產(chǎn)熱的功能，因此受到寒冷刺激時，下丘腦就能合成并分泌促甲狀腺激素釋放激素，進而刺激垂體合成并分泌促甲狀腺激素，促甲狀腺激素又能促進甲狀腺激素含量的增多，從而促進新陳代謝，抵御寒冷，A錯;正常人在神經(jīng)-體液的調(diào)節(jié)作用下，血糖含量維持在80～120 mg/dL，且空腹狀態(tài)下，糖尿病患者的血糖濃度比正常人高，B錯;進食后，人體內(nèi)胰島素含量增加，降低血糖。胰高血糖素減少，二者相互拮抗，C錯。

6. A

解析：衰退型種群中，老年個體多，幼年個體少。

7. B 8. B

9. D

解析：該生態(tài)系統(tǒng)中生物總能量不斷增加，說明生態(tài)系統(tǒng)在往結構復雜的方向發(fā)展，生物種類越來越多。

10. C

解析：“光斑”照射前，氧氣釋放量=二氧化碳的吸收量，說明“光斑”照射前，植物進行弱的光合作用，“光斑”照射開始后，光反應比暗反應增加快?！肮獍摺币崎_，光反應速率迅速變小，進而使暗反應速率下降，因此，暗反應與光照有關。

11. D

解析：植物細胞質(zhì)壁分離過程中，細胞失水，細胞液的濃度增大，細胞的吸水能力增大;反之，細胞的吸水能力減小。若①代表次級消費者的數(shù)量增加，則第一營養(yǎng)級生產(chǎn)者的數(shù)量增加。小腸上皮細胞吸收膽固醇的方式是自由擴散，不消耗能量。長期的地理隔離會導致生殖隔離，產(chǎn)生新物種。

12. C 13. C

14. A

解析：由題意可知，存在Y→X→Z食物鏈。若每一營養(yǎng)級從左到右的柱條依次標記為1、2、3、4、5。據(jù)圖可知，Z2數(shù)量增多，X2數(shù)量減少，Y1、Y2數(shù)量減少，Y5數(shù)量增多，所以該生態(tài)系統(tǒng)中應該存在 這樣的關系。X營養(yǎng)級的其他兩種生物數(shù)量沒有大的變動，所以競爭關系不明顯，D錯;Z即可以捕食X，也可以捕食Y，B錯;Y5數(shù)量的增加，一方面是由于捕食者X2的減少導致的，可以看作是捕食者對于捕食對象有選擇的結果，另一方面Y1、Y2的減少也可能是在與Y5的競爭中處于劣勢導致的，C錯。X營養(yǎng)級的生物數(shù)量減少，被捕食的壓力明顯增加，A對。

15. D

解析：①低等植物含中心體;②去壁的植物細胞稱為原生質(zhì)體;③含有核酸的細胞器是1，3，9;④具有中央的植物細胞，能通過滲透作用吸收水分。

16. A 17. B 18. B 19. D

20. D

解析：根據(jù)四種生物所含有機物的總量得出食物鏈為丙→丁→甲→乙。如果甲的種群數(shù)量增加，乙的種群數(shù)量隨之增加，丁的種群數(shù)量隨之減少，導致丙的種群數(shù)量增加。

二、非選擇題

1. (1)①→⑦(或①→②→⑦) 腎小管和集合管細胞

(2)促甲狀腺激素 甲狀腺 (3)⑥→④

(4)②血糖含量 適量的胰高血糖素溶液 等量的生理鹽水

③甲組鼠血糖含量升高，乙組鼠血糖含量不變

④胰高血糖素有升高血糖的作用

2. (1)YyDdCc YyddCc (2)18種 8種 (3)選擇顯性純合和隱性純合兩種豌豆進行雜交，所產(chǎn)生的F1即是所需的親本 選擇上面的F1和隱性純合豌豆進行測交，那么測交子代中，具有黃色子葉、矮莖和開紅花的植株就是所需的親本②

3. (1)外正內(nèi)負 (2)相反 偏轉(zhuǎn)

4. (1)B (2)生殖隔離(或隔離，寫地理隔離不給分) (3)不要用單一的樹種營造人工林，而應該選擇適宜在該地區(qū)生長的多個樹種混合栽培，營造人工混交林 使生態(tài)系統(tǒng)的營養(yǎng)結構復雜，提高其抵抗力穩(wěn)定性

高三數(shù)學教案：《算法初步》教學設計

作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師營造一個良好的教學氛圍。關于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高三數(shù)學教案：《算法初步》教學設計”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

授課

時間

第周星期第節(jié)

課型

新授課

主備課人

劉佰昌

學習

目標

1.對本章知識形成知識網(wǎng)絡，提高邏輯思維能力和歸納能力；

2.熟練應用算法、流程圖和算法基本語句來解決問題.

重點難點

重點：應用算法、流程圖和算法基本語句來解決問題.

難點：形成知識網(wǎng)絡.

學習

過程

與方

法

自主學習

復習回顧：

①本章知識結構：

②算法的定義及特征：

③三種邏輯結構：

順序結構條件結構循環(huán)結構

④算法語句：

條件語句：For語句：Doop語句

合作探究

1．判斷某一事情是否為算法

方法歸納：（1）判斷某一問題是否為算法要把握算法的五個特征：

①有窮性②確定性③可行性④不惟一性⑤普遍性

例1．下列關于算法的說法中正確的個數(shù)有()

①求解某一類問題的算法是唯一的②算法必須在有限步操作之后停止

③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊

④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結果

A.1B.2C.3D.4

2．就某一問題畫出程序框圖并寫出算法

方法歸納：（1）畫程序框圖時一定要明確圖中各個符號的作用并能正確使用三種基本邏輯結構。（2）用程序設計語言描述算法時一定要注意有些符號與框圖之中書寫的不同。

例2．設計算法求的值.要求畫出程序框圖，寫出用基本語句編寫的程序.

達標訓練

1．閱讀右上的程序框圖。若輸入m=4，n=3，則輸出a=__12__，i=_3____。（注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“←”或“：=”）

2．閱讀如上右邊的程序框圖，若輸入的

是100，則輸出的變量和的（）

A．2500，2500B．2550，2550

C．2500，2550D．2550，2500`

3.如右圖所示的程序是用來()

A．計算3×10的值B．計算的值

C．計算的值D．計算1×2×3×…×10的值

4.已知S=12－22＋32－42＋……＋(n－1)2－n2，請設計程序框圖，算法要求從鍵盤輸入n，輸出S，并寫出計算機程序。

作業(yè)

布置

課本50頁復習參考題

學習小結

高三數(shù)學上冊《等差數(shù)列》教學設計

高三數(shù)學上冊《等差數(shù)列》教學設計

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學5》（北師大版）第一章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時．數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用．等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣．同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法．

【教學目標】

1．知識與技能

（1）理解等差數(shù)列的定義，會應用定義判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列：

（2）賬務等差數(shù)列的通項公式及其推導過程：

（3）會應用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。

2.過程與方法

在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養(yǎng)學生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結的良好習慣。

【教學重點】

①等差數(shù)列的概念；②等差數(shù)列的通項公式

【教學難點】

①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義；②等差數(shù)列的通項公式的推導過程．

【學情分析】

我所教學的學生是我校高一（7）班的學生（平行班學生），經(jīng)過一年的高中數(shù)學學習，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展．

【設計思路】

1．教法

①啟發(fā)引導法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性．

②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學生的積極性．

③講練結合法：可以及時鞏固所學內(nèi)容，抓住重點，突破難點．

2．學法

引導學生首先從三個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法．

【教學過程】

一：創(chuàng)設情境，引入新課

1．從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么？

2．水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個什么數(shù)列？

3．我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息．按照單利計算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10000元錢，年利率是0．72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和（單位：元）組成一個什么數(shù)列？

教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù)．

學生：

1：0，5，10，15，20，25，…．

2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．

3:10072，10144，10216，10288，10360.

（設置意圖：從實例引入,實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景,目的是讓學生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學模型．通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學生學習探究知識的自主性，培養(yǎng)學生的歸納能力．

二：觀察歸納，形成定義

①0，5，10，15，20，25，…．

②18，15．5，13，10．5，8，5．5．

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述數(shù)列有什么共同特點？

思考2根據(jù)上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎？

思考3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號語言嗎？

教師：引導學生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念．

學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律；這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定．

教師引導歸納出：等差數(shù)列的定義；另外，教師引導學生從數(shù)學符號角度理解等差數(shù)列的定義．

（設計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性；使學生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點；一開始抓?。骸皬牡诙椘穑恳豁椗c它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準確表達．）

三：舉一反三，鞏固定義

1.判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

教師出示題目,學生思考回答．教師訂正并強調(diào)求公差應注意的問題．

注意：公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負數(shù)，也可以為0．

（設計意圖：強化學生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應用）．

2思考4:設數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎？為什么？

（設計意圖：強化等差數(shù)列的證明定義法）

四：利用定義，導出通項

1.已知等差數(shù)列：8，5，2，…，求第200項？

2.已知一個等差數(shù)列｛an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢？

教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示．根據(jù)學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法；讓學生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法．

（設計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學生合理的推理能力．學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識．鼓勵學生自主解答，培養(yǎng)學生運算能力）

五：應用通項，解決問題

1判斷100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？

2在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項和第10項

教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況．

學生：教師叫學生代表總結此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式

（設計意圖：主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系．初步認識“基本量法”求解等差數(shù)列問題．）

六：反饋練習：教材13頁練習1

七：歸納總結：

1.一個定義：

等差數(shù)列的定義及定義表達式

2.一個公式：

等差數(shù)列的通項公式

3.二個應用：

定義和通項公式的應用

教師：讓學生思考整理，找?guī)讉€代表發(fā)言，最后教師給出補充

（設計意圖：引導學生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念．）

【設計反思】

本設計從生活中的數(shù)列模型導入，有助于發(fā)揮學生學習的主動性，增強學生學習數(shù)列的興趣．在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力．本節(jié)課教學采用啟發(fā)方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率．

高三數(shù)學教案：《平面向量》教學設計

本文題目： 高三數(shù)學教案：平面向量

【知識網(wǎng)絡】

【學法點撥】

向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具，它在日常生活、生產(chǎn)實踐以及其他相關學科中有著廣泛的應用.學習和理解向量有關知識時，建議：

1. 注意比較與分析.向量的有關概念與我們學習過的有關知識既有聯(lián)系又有區(qū)別，如：平行、相等、乘積等等.留心比較分析，可防止學習過的有關知識對現(xiàn)學知識的負面影響.

2. 能畫圖時盡可能多畫草圖.數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時欠入微.向量具有數(shù)與形的雙重特征，加減法以三角形法則、平行四邊形法則為背景，平行、垂直都對應著一個方程，數(shù)形結合考察問題，常常事半功倍.

3. 學會聯(lián)想與化歸.向量知識是從日常生活、生產(chǎn)實踐中抽象出來的，求解向量綜合題，常需要適當聯(lián)想，并將應用問題數(shù)學化，復雜問題熟悉化、簡單化.

【考點指津】

1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量、相等向量等

概念.

2.掌握向量的加法與減法，會正確運用三角形法則、平行四邊形法則.

3掌握向量加法的交換律、結合律，并會用它們進行向量化簡與計算.

4.理解向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化為向量的加法運算.

【知識在線】

1.(2a+8b)-(4a-2b)=

2.在△ABC中，BC→ =a， CA→ =b，則AB→ =

3.設a表示向東3km，b表示向北偏東30o走3km，則a+b表示的意義為

4.畫出不共線的任意三個向量，作圖驗證a-b-c=a-(b+c).

5.向量a、b滿足|a|=8，|b|=10，求|a+b|的最大值、最小值.

【講練平臺】

例1 化簡以下各式：①AB→ +BC→ +CA→ ;②AB→ -AC→ +BD→ -CD→ ;③OA→ -OD→ +AD→ ;④NQ→ +QP→ +MN→ -MP→ .結果為0的個數(shù)為　(　)

A.1 B.2 C.3 D.4

分析　題設條件中多處涉及首尾相接的兩個向量求和以及同起點的兩個向量相減，對此，我們可以運用向量加減的定義進行合并，當最終形式出現(xiàn)兩相反向量之和或相等向量之差時，結果為0.

答　D.

點評 本題鞏固了向量加減的定義及向量加法的交換律、結合律等基礎知識.求解時需將雜亂的向量運算式有序化處理，必要時也可化減為加，減低出錯律.注意：AB→ = -BA→ ， +CB→ =AB→ .

變題 作圖驗證 A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ =A1An→ (n≥2，n∈N).

例2 如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點，CA→ =3a，CB→ =2b，求CD→ ，CE→ .

分析 本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中.為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根據(jù)AD→ 、AE→ 、AB→ 均為共線向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .

解 AB→ =AC→ +CB→ = -3a+2b，

因D、E為AB→ 的兩個三等分點，

故AD→ = AB→ =-a+ b =DE→ ，

CD→ =CA→ +AD→ =3a-a+ b =2a+ b，

CE→ =CD→ +DE→ =2a+ b-a+ b=a+ b.

點評 三角形中兩邊對應向量已知，可求第三邊所對應的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞錯.

當向量運算轉(zhuǎn)化成基底向量的代數(shù)式運算時，其運算過程可仿照多項式的加減運算進行.

例3 已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數(shù)m、n，使PC→ =mPA→ +nPB→ ，且m+n=1.

分析 A、B、C 三點共線的一個充要條件是存在 實數(shù)λ，使得AC→ =λAB→ .很顯然，題設條件中向量表達式并未涉及AC→ 、AB→ ，對此，我們不妨利用 PC→ =PA→ +AC→ 來轉(zhuǎn)化，以便進一步分析求證.

證明 充分性，由PC→ =mPA→ +nPB→ ， m+n=1， 得

PA→ +AC→ =mPA→ +n(PA→ +AB→ )

=(m+n)PA→ +nAB→ =PA→ +nAB→ ，

∴AC→ =nAB→ .

∴A、B、C三點共線.

必要性:由A、B、C 三點共線知，存在常數(shù)λ，使得AC→ =λAB→ ，

即 AP→ +PC→ =λ(AP→ +PB→ ).

PC→ =(λ-1)AP→ +λPB→ =(1-λ)PA→ +λPB→ ，

m=1-λ，n=λ，m+n=1，

PC→ =mPA→ +nPB→ .

點評 逆向應用向量加法運算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便，值得一提的是，一個向量拆成兩個向量的和，一定要強化目標意識.

變題 在ΔABC 所在平面上有一點P ，滿足PA→ +PB→ +PC→ =AB→ ，試確定點 P的位置.

答：P在 AC邊上，且 P為 AC的一個三等分點(距 A點較近)

例4 (1)若點 O是三角形ABC的重心，求證：OA→ +OB→ +OC→ =0;(2)若 O為正方形ABCD的中心，求證：OA→ +OB→ +OC→ +OD→ =0;(3)若O 為正五邊形ABCDE 的中心，求證：OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =0.

若 O為正n邊形A1A2A3…A n的中心，OA1→ +OA2→ +OA3→ +…+OAn→ =0 還成立嗎?說明理由.

分析 本題四問構成一個題鏈，條件相似，結論相似，求證方法可望相似.

正三角形、正方形性質(zhì)特殊，我們十分熟悉，求證方法多，不容易發(fā)現(xiàn)那一種方更有利于推廣，我們選定正五邊形來研究.

看著結論，聯(lián)想一個相似的并且已經(jīng)解決的問題，本課例1的變題A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ +AnA1→ =0 ，這里的向量首尾相接，我們能不能將OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也轉(zhuǎn)化成首尾相接的形式呢?運用向量相等的定義試試看.

解 證(3)以 A為起點作AB′→ =OB→ ，以 B′為起點作B′C′→ =OC→ ，以C′為起點作C′D′→ =OD→ ，以D′為起點作D′E′→ =OE→ .

∵∠AOB=72o，

∴∠OAB′=108o.

同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o，故∠D′E′A=108o.

|OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |，

故 E′與 O重合，OAB′C′D′為正五邊形.

OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =OA→ +AB′→ +B′C′→ +C′D′→ +D′E′→ =0.

正三角形，正方形、正n邊形可類似獲證.

點評 本題不僅揭示了正多邊形的一類共同性質(zhì)，而且鞏固了“以退為進”的數(shù)學思想.面對一般的問題，我們經(jīng)常先考慮其特殊的情況;面對陌生的問題，經(jīng)常去聯(lián)想熟悉的模型.注意退是為了進，退到特殊簡單情形后，要在求解中悟出一般的規(guī)律.如退到正方形情況，發(fā)現(xiàn)OA→ +OB→ 與OC→ +OD→ 正好互為相反向量，結論成立.這一方法卻不具一般性.

【知能集成】

1. 基礎知識：向量加減的代數(shù)形式運算與幾何形式運算.

2. 基本技能：向量運算中的合二為一與拆一為二.

3. 基本思想：向量表達式運算與幾何式運算的相互結合思想，聯(lián)想熟悉的類似的模型，化歸轉(zhuǎn)化思想.

【訓練反饋】

1.下列各式正確的是： ( )

A.∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ B. a+b∣>∣a∣+∣b∣

C.∣a+b∣>∣a-b∣ D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣

2.下面式子中不能化簡成AD→ 的是 ( )

A.OC→ -OA→ +C D→ B.PB→ -DA→ -BP→

C.AB→ -DC→ +BC→ D.(AD→ -BM→ )+(BC→ -MC→ )

3.正方形ABCD的邊長為1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，則a+b+c、a-b+c、-a-b+ c 的摸分別等于 .

4.設a、b 為已知向量，若3x+4y=a，2x-3y=b ， 則 x= .

y= .

5. 已知 e1、e2 不共線，AB→ =2e1+ke2，CB→ =e1+3e2，C D→ =2e1-e2，且A、B、D 三點在同一條直線上，求實數(shù)k .

6.在正六邊形ABCDEF中，O 為中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，結果分別為 ( )

A.-b，-b-a，-a B. b，-a，b-a

C.-b，a，a-b D.-b，-a，a+b

7. 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

8.已知P為△ABO 所在平面內(nèi)的一點，滿足OP→ = ，則P在 ( )

A.∠AOB的平分線所在直線上 B. 線段AB的中垂線上

C. AB邊所在的直線上 D. AB邊的中線上.

9.設O是平面正多邊形A1A2A3…A n 的中心，P

為任意點，求證：

PA1→ +PA2→ +PA3→ +…+PAn→ =nPO→ .

10.如圖設O為△ABC內(nèi)一點，PQ∥BC，且PQ→ ∶

BC→ =2∶3， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，

則 OP→ ，OQ→ .

11.P為△ABC所在平面內(nèi)一點，PA→ +PB→ +PC→ =0 ，則P為△ABC的 ( )

A.重心 B.垂心 C. 內(nèi)心 D.外心

12.在四邊形ABCD中，E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點.求證：EF→ = (AB→

+DC→ ).

第30課 向量的坐標運算

【考點指津】

1. 理解平面向量的坐標表示法，知道平面向量和一對有序?qū)崝?shù)一一對應.

2. 掌握平面向量的和、差、實數(shù)與向量積的坐標運算，能利用向量的坐標運算解題.

3. 掌握平面向量平行的充要條件的坐標表示，并利用它解決向量平行(共線)的有關問題，弄清向量平行和直線平行的區(qū)別.

【知識在線】

1. 若向量a的起點坐標為 (-2，1)，終點坐標為(2，-1)，則向量a的坐標為

2.若O為坐標原點，向量a=(-3，4)，則與a共線的單位向量為

3.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，則a+b與a-b的坐標分別為 ( )

A.(0，0)，(-2，4) B.(0，0)，(2，-4)

C.(-2，4)，(2，-4) D.(1，-1)，(-3，3)

4.若向量a=(x-2，3)，與向量b=(1，y+2)相等，則 ( )

A. x=I，y=3， B. x=3，y=1

C. x=1，y=-5 D. x=5，y=-1

5.已知A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M、N分別為DC、AB的中點.

(1) 求證四邊形ABCD為平行四邊形;

(2) 試判斷AM→ 、CN→ 是否共線?為什么?

【講練平臺】

例1 已知a=(1，2)，b=(-3，2)，當k為何值時，ka+b與a-3b平行?

分析 已知a、b的坐標，可求a-3b的坐標，ka+b的坐標也可用含k的表達式表示.運用兩向量平行的充要條件x1y2-x2y1=0可求k值.

解 由已知a=(1，2)，b=(-3，2)， 得

a-3b=(10，-4)， ka+b=(k-3，2k+2).

因(ka+b)∥(a-3b)，

故10(2k+2)+4(k-3)=0.

得k=- .

點評 坐標形式給出的兩個向量，其橫坐標之和即為和向量的橫坐標;其縱坐標之和即為和向量的縱坐標.實數(shù)與向量的積其橫、縱坐標分別等于實數(shù)與該向量的橫、縱坐標的積.

向量的平行用坐標形式表達即為一個方程.

例2 已知向量a=( ， )，b=(-1，2)，c=(2，-4).求向量d，使2a，-b+ c及4(c-a)與d四個向量適當平移后，能形成一個順次首尾相接的封閉向量鏈.

分析 四個向量適當平移后，形成一個順次首尾相接的封閉向量鏈，說明這四個向量之和為0.即四個向量的縱橫坐標之和均為0.據(jù)此列出關于向量d(x，y)的方程組，不難求得x、y.

簡解 設向量d的坐標為(x，y)，由2a+(-b+ c)+4(c-a)+d=0，

可解得d=(-9，23).

點評 數(shù)學語言常有多種表達方式，學會轉(zhuǎn)化與變通是求解的關鍵.本題以幾何特征語言形式出現(xiàn)，最終落足點要變式成方程的語言來求解，這一思想方法在求解向量問題時經(jīng)常用到.

例3 已知平面上三點P(2，1)，Q(3，-1)，R(-1，3).若點S與這三點可以為一個平行四邊形的四個頂點，求S的坐標.

分析 平行四邊形對邊對應向量相等或相反，由此可求得S點的坐標.但由于題設四點構成四邊形的四個頂點，那一組邊是對邊不明顯，需要分類討論.

簡解 設S的坐標為(x，y).

(1)當PQ→ 與RS→ 是一組對邊時，

若PQ→ =RS→ ，則(3，-1)-(2，1)=(x+1，y-3)，

即 (1，-2)=(x+1，y-3)，得S點坐標為(0，1).

若PQ→ =SR→ ，則S點坐標為(-2，5).

(2)當PR→ 與SQ→ 是一組對邊時，

若PR→ =SQ→ ，則S點的坐標為(6，-3).

若PR→ =QS→ ，則S點的坐標為(0，1).

(3)當PS→ 與RQ→ 是一組對邊時，

若PS→ =RQ→ ，則S點的坐標為(6，-3).

若PS→ =QR→ ，則S點的坐標為(-2，5).

綜上所述，S點坐標可以為(0，1)，(6，-3)，(-2，5).

點評 本題求解需運用分類討論思想.上述解法思路自然、條理清晰，但很顯然不是最簡方案，如何數(shù)形結合，避免重復勞動，讀者不妨思考.

例4 向量PA→ =(k，12)，PB→ =(4，5)，PC→ =(10，k)，當k為何值時，A、B、C三點共線.

分析 三點共線問題前一課已涉及，A、B、C三點共線的充要條件是AB→ =λBC→ ，本題所不同的是向量用坐標形式給出，對此，我們可以將坐標代入運算.

解 AB→ =PB→ -PA→ =(4-k，-7)，BC→ = PC→ -PB→ =(6，k-5).

當A、B、C三點共線時，存在實數(shù)λ，使得AB→ =λBC→ ，將坐標代入，得

4-k=6λ，且 -7=λ(k-5)，

故(4-k)(k-5)=-42.

解得k=11，或k=-2.

點評 向量的幾何運算與向量的坐標運算，可以從不同角度去求解(證)同一個問題.只不過兩套工具各有適用范圍，即便兩套工具都適用，也可能繁簡不一，應用時要注意前瞻性選擇.

變題 求證：互不重合的三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件是(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1).

證明 必要性(略).

充分性 若(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)，由A、B、C互不重合，得(x2-x1)、(y3-y1)、(x3-x1)、(y2-y1)中至少有一個不為零，不妨設x3-x1≠0.令x2-x1=λ(x3-x1)，若λ=0，則x2-x1=0，此時y2≠y1(否則A、B重合).而已知等式不成立，故λ≠0.于是(x3-x1)(y2-y1)=λ(x3-x1)(y3-y1).

因x3-x1≠0 ，故 (y2-y1)=λ(y3-y1).

于是(x2-x1，y2-y1)=λ(x3-x1，y3-y1)，即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 .

又因AB→ 與AC→ 有相同起點，所以A、B、C三點共線.

【知能集成】

基礎知識：坐標形式的向量的加減運算，實數(shù)與向量坐標的積.

基本技能：向量平行的充要條件及向量相等的充要條件用坐標形式描述和應用.

基本思想：將向量等式轉(zhuǎn)化成方程的思想;對幾何圖形的分類討論思想.

【訓練反饋】

1.若a=(2，3)，b=(4，y-1)，且a∥b，則y= ( )

A.6 B.5 C.7 D. 8

2.已知點B的坐標為(m，n)，AB→ 的坐標為(i，j)，則點A的坐標為 ( )

A.(m-i，n-j) B.(i-m，j-n)

C.(m+i，n+j) D.(m+n，i+j)

3.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(x，5)三點共線，則x= .

4.已知a=(5，4)，b=(3，2)，則與2a-3b平行的單位向量為

5.有下列說法

① 已知向量PA→ =(x，y)，則A點坐標為(x，y);

② 位置不同的向量，其坐標有可能相同;

③ 已知i=(1，0)，j=(0，1)，a=(3，4)，a=3i-4j ;

④ 設a=(m，n)，b=(p，q)，則a=b的充要條件為m=p，且n=q.

其中正確的說法是 ( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

6.下列各向量組中，不能作為表示平面內(nèi)所有向量的基底的一組是 ( )

A.a=(-1，2)，b=(0，5) B.a=(1，2)，b=(2，1)

C.a=(2，-1)b=(3，4) D.a=(-2，1)，b=(4，-2)

7.設a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可將向量c表示為c=pa+qb，則 ( )

A.p=4， q=1 B.p=1， q=-4 C.p=0 ， q=4 D.p=1， q=4

8.設i=(1，0)，j=(0，1)，在平行四邊形ABCD中，AC→ =4i+2j，BD→ =2i+6j，則AB→ 的坐標為 .

9.已知3sinβ=sin(2α+β)，α≠kπ+ ，β≠kπ，k∈z，a=(2，tan(α+β))，b=(1，tanα)，求證：a∥b.

10.已知A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標(x，y).

11.已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP→ =OA→ +tAB→ .

(1) 當t變化時，點P是否在一條定直線上運動?

(2) 當t取何值時，點P在y軸上?

(3) OABP能否成為平行四邊形?若能求出相應的t值;若不能，請說明理由.

第31課 平面向量的數(shù)量積

【考點指津】

1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

2. 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題.

3. 掌握向量垂直的條件.

【知識在線】

1.若∣a∣=4，∣b∣=3，a?b=-6，則a與b的夾角等于 ( )

A.150o B 120o C.60o D.30 o

2.若a=(-2，1)，b=(1，3)，則2a2-a?b= ( )

A，15 B.11. C.9 D.6

3.已知向量 i=(1，0)，j=(0，1)，則與向量2i+j垂直的一個向量為 ( )

A. 2i-j B. i-2j C. i+j D. i-j

4.已知a=(1，2)，b=(1，1)，c=b-ka，且c⊥a，則C點坐標為

5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a與b夾角為60o，∣ka-2b∣=13，求k的值

【講練平臺】

例1 (1)在直角三角形ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，求AB→ ?BC→

(2)若a=(3，-4)，b=(2，1)，試求(a-2b)?(2a+3b)

分析 (1)中兩向量AB→ 、BC→ 的模及夾角容易求得，故可用公式

a?b=|a||b|cosθ求解.

(2)中向量a、b坐標已知，可求a2、b2、a?b，也可求a-2b與2a+3b的坐標，進而用(x1，y1)?(x2，y2)=x1x2+y1y2求解.

解(1) 在△ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 與BC→ 的夾角θ=π-∠ABC，

∴AB→ ?BC→ =-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3× =-9.

(2)解法一 a-2b=(3，-4)-2(2，1)=(-1，-6)，

2a-3b=2(3，-4)+3(2，1)=(12，-5)，

(a-2b)?(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18.

解法二 (a-2b)?(2a+3b)=2a2-a?b-6b2

=2[32+(-4)2]-[3×2+(-4)×1]-6(22+12)=18.

點評 向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是依據(jù)模與夾角來計算，二是依據(jù)坐標來計算.具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇.

值得注意的是，向量的夾角與向量的方向相關，(1)中∠ABC并非AB→ 與BC→ 的夾角.

從第(2)問的解法二可以看到，向量數(shù)量積的運算律，類似于多項式乘法法則，但并不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運算.如：a?(b+c)=a?b+b?c，而(a?b)c≠a(b?c).

例2.已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足OA2+BC2=OB2+CA2，試用向量方法證明AB⊥OC .

分析 要證AB→ ⊥OC→ ，即證AB→ ?OC→ =0，題設中不涉及AB→ ，我們用AB→ =AO→ +OB→ 代換，于是只需證AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ .至此，我們可以嘗試將已知等式轉(zhuǎn)化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.

證明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+(BO→ +OC→ )2=OB→ 2+(CO→ +OA→ )2，整理得AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ ，即 OC→ ?(BO→ +OA→ )=0，

故 OC→ ?AB→ =0.所以 AB→ ⊥OC→ .

點評 用向量方法證明垂直問題，通常轉(zhuǎn)化為證兩個向量的數(shù)量積為0.本題已知式與求證式中向量的表達形式不統(tǒng)一，針對差異進行有目標的化歸，是求解的關鍵所在.

例3.設OA→ =a=( +1， -1)，OB→ =b=( ，3)，試求∠AOB及ΔAOB的面積.

分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a?b，進而求得∠AOB(即a與b的夾角)，在求到三角形的兩邊及夾角后，可用公式：S= ∣a∣∣b∣sinθ求面積.

解 設∠AOB=θ，ΔAOB的面積為S，由已知得：

∣OA→ ∣=∣a∣= =2 ，∣OB→ ∣=∣b∣=2 ，

∴cosθ= = = .∴θ= .

又S= ∣a∣∣b∣sinθ= ?2 =2 ，

即∠AOB= ，ΔAOB的面積為2 .

點評 向量的數(shù)量積公式a?b=∣a∣∣b∣cosθ不僅可以用來求數(shù)量積，也可以用來求模與夾角.要注意該公式與三角形的面積公式的區(qū)別.此外，本題的解題方法可適用于更一般的情況(見變題).

變題 設ΔABC的面積為S，AB→ =a，AC→ =b，求證S=

例4.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角.

分析 要求夾角θ，必需求出cosθ;求cosθ需求出a?b與∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具體值).由已知的兩個向量的垂直關系，可以得到∣a∣∣b∣與a?b的關系.

解 ∵(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，

∴ (a+3b)?(7a-5b)=0，

(a-4b)?(7a-2b)=0.

即 7a2+16a?b-15b2=0，

7a2-30a?b+8b2=0.

兩式相減，得 b2=2a?b.

故 a2=b2 ， 即 ∣a∣=∣b∣.

∴cosθ= = .

∴θ=60o ， a與b的夾角為60o .

點評 從基本量思想考慮，似乎沒有具體的a與b，無法求出a與b的夾角，其實不然，cosθ是一個a?b與∣a∣∣b∣的比值，并不需要具體分別求出.類似于本題的條件表明，向量的數(shù)量積公式、向量的垂直關系都揭示了一種數(shù)量積與模的關系，就此意義而言，它們的本質(zhì)是一致的相通的，可以相互轉(zhuǎn)化和利用.

在本題求解過程中注意，b2=2a?b不能得出b=2a，同樣a2=b2也不能得到a=±b.

【知能集成】

基礎知識：向量數(shù)量積的兩種計算公式，向量垂直的充要條件.

基本技能：求向量數(shù)量積、模及向量的夾角，向量垂直問題的論證與求解.

基本思想：向量表達式的數(shù)量積與多項式乘法進行類比的思想，將線的垂直這一圖形特征轉(zhuǎn)化成方程解決的思想.求向量夾角時的設而不求的思想.

【訓練反饋】

1. 已知 =5，a與b的夾角的正切值為 ，a?b=12，則b的模為( )

A.4 B.3 C. D.

2.已知 =2，向量a在單位向量e方向上的投影為- ，則向量a與e向量的夾角為( )

A.30o B.60o C.120o D.150o

3.已知a=(1，-2)，b=(5，8)，c=(2，3)，則a?(b?c)為 ( )

A.34 B.(34，-68) C .-68 D.(-34，68)

4.邊長為 的正三角形ABC中，設AB→ =c，BC→ =a，CA→ =b，則a?b+b?c+c?a等于( )

A. -3 B. 0 C. 1 D. 3

5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，當(a+2b)⊥(2a-b)時，實數(shù)x的值為 .

6.已知m=(-5，3)，n=(-1，2)，當(λm+n)⊥(2n+m)時，實數(shù)λ的值為 .

7.已知|a|=|b|=1，a與b夾角為90o，c=2a+3b，d=ka-4b，且c⊥d，則k=

8.已知A、B、C、D是平面上給定的四個點，則AB→ ?CD→ +AC→ ?DB→ +AD→ ?BC→ = .

9.已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，則a與b夾角的余弦值為 .

10.設兩向量e1、e2滿足| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夾角為60o，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.

11.設向量a=(cos23o，cos67o)，b=(cos68o，cos32o)，u=a+tb (t∈R).

(1) 求a?b;

(2) 求u的模的最小值.

12.設a=(1+cosα，sinα)， b=(1-cosβ，sinβ)， c=(1，0)， α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a與c的夾角為θ1，b與c的夾角為θ2，且θ1-θ2= ，求sin 的值.

第32課 線段的定比分點、平移

【考點指津】

1. 掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并且熟練運用.

2. 掌握平移公式，并能運用平移公式化簡函數(shù)解析式.

3. 理解公式的推導過程，必要時能回到定義去，用向量運算的相關知識，解決定比分點問題和平移問題.

【知識在線】

1.若P分AB→ 所成的比為 ，則A分BP→ 的比為 ( )

A. B.- C.- D.

2.設點P在線段AB的延長線上，P分AB→ 所成的比為λ，則 ( )

A.λ1

3.按向量a將點(2，3)平移到(0，1)，則按向量a將點(7，1)平移到點 ( )

A.(9，-3) B.(9，3) C.(5，-1) D.(-5，-3)

4.若函數(shù)y=f(1-2x)的圖象，按向量a平移后，得到函數(shù)y=f(-2x)的圖象，則向量a= .

5.設三個向量OA→ =(-1，2)，OB→ =(2，-4)，OC→ 的終點在同一條直線上(O為坐標原點).

(1) 若點C內(nèi)分AB→ 所成的比為 ，求C點坐標;

(2) 若點C外分AB→ 所成的比為- ，求C點坐標.

【講練平臺】

例1 已知P(1，1)，A(2，3)，B(8，-3)，且C、D順次為AB的三等分點(C靠近A)，求PC→ 和PD→ 的坐標.

分析 已知A、B兩點坐標，可求AB的兩個三等分點C、D的坐標，進而結合已知P點坐標，可求PC→ ，PD→ .

解 解法一 由題知，點C、D分AB所成的比分別為λ1= ，λ2=2 ，

設C(x，y)，則

即C(4，1)，同理可得D(6，-1).

故PC=(4，1)-(1，1)=(3，0)，PD=(6，-1)-(1，1)=(5，-2).

解法二 因A、B、C、D四點共線，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，

故PC→ =PA→ +AC→ =(2-1，3-1)+ (8-2，-3-3)=(3，0)，

PD→ =PA→ +AD→ =(2-1，3-1)+23 (8-2，-3-3)=(5，-2).

點評 定比分點公式涉及起點坐標、終點坐標、分點坐標、定比七個量，它們之間固有的聯(lián)系有兩個方程，故已知其中五個量能求其余兩個量，若是只考察其中一個方程(如橫坐標關系式)，只須已知其中三個，可求第四個.對此，我們不僅要考察公式的原形，還需掌握公式的變形.

本題的解法二，回歸到最基礎的向量加減來處理定比分點問題，運算量小，出錯率低.

例2 將函數(shù) 的圖象按向量a平移后得到函數(shù) 的圖形，求a和實數(shù)k.

分析 平移前后的函數(shù)表達式已知，可以通過恒等變形，求得整體結構一致，再比較變量x、y的變化，確定平移公式，得向量a，而k則可通過比較系數(shù)法求得.

解

令 x′ = x- ，

y′=y- .

原函數(shù)解析式變形為y′=- ，

∴ a=(- - )， k=- .

點評 圖形的平移變換，實質(zhì)是圖形上任意一點的變換，求解平移變換問題至關重要的是確定關于點的坐標的平移公式.

面對較為復雜的函數(shù)表達式，為了畫出其圖形，并討論其性質(zhì)，常采納平移變換化繁為簡.

變題 通過平移變換，化簡 (ad-bc≠o ， c≠o)，并作出圖形.

提示： = ，

令

并記 =k≠0， 則原方程化簡為 .

因此，原函數(shù)的圖象按向量a= 平移后得 的圖象，故其圖象是以 為中心的，以x= 為漸近線的雙曲線.

例3.將函數(shù) 的圖象，按向量a平移后得到的函數(shù)圖象關于原點對稱.這樣的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.

分析 正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象關于原點對稱時，表達式不唯一.就本題而言，平移后的函數(shù)解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin(2x+π)，y=2sin(2x-π)等等.因此，向量a不唯一.

要求∣a∣的最小值，首先必需確定平移后函數(shù)表達式的一般式，并在此基礎上建立關于∣a∣的目標函數(shù).

解 向量a不唯一.平移后的圖象對應解析式可以為y=2sin(2x+kπ)， k∈Z

考察原函數(shù)表達式 ，

可令 (k∈Z)

即 ，

∴ a=(- ，-1)， ( k∈Z)，

| a | (k∈Z).

∴ 當k=2 時，∣a∣取最小值，最小值為 .

點評 常見向量平移變換應用于三角函數(shù)式化簡，多數(shù)問題思路單一，結論唯一.本題突破常規(guī)，開放性的設計，要求解題者具有更深刻的思維能力.

例4. 設A(1，1)，B(5，5)，且P在直線AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P點是否可能落在線段AB的延長線上 ?若能，求出P點坐標;若不能;說明理由.

分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在線段AB的延長線上，只需λ∈(0，1).為此，我們設法將兩個已知向量等式轉(zhuǎn)化成關于λ的方程，解出λ，檢驗λ∈(0，1)是否成立.

解 AB→ =(5，5)-(1，1)=(4，4)，

設P(x，y)，則AB→ =λAP→ =λ2 PB→ .

(4，4)=λ2(5-x，5-y)=λ(x-1，y-1)，

且

依據(jù)兩個方程組的第一個方程，消去x，得

5λ2-λ(4+λ)=4，即λ2-λ-1=0，

∴ λ= .

數(shù)形結合知，在AB→ =λAP→ 時，要P落在線段AB的延長線上，則需λ∈(0，1)，所求兩個λ的值均不符合題意，故P不可能落在AB延長線上.

【知能集成】

基礎知識：向量的平移公式，定比分點定義、公式及中點坐標公式.

基本技能：求平移公式，求點關于向量平移后的坐標，求函數(shù)圖象關于向量平移后對應的函數(shù)解析式.運用定比分點公式，求端點、分點坐標及定比.

基本思想：①回到定義去，回避定比分點公式的繁瑣運算.②用基本量思想看定比分點公式.③運用整體分析、比較觀點，確定平移公式.

【訓練反饋】

1.點(4，3)關于點(5，-3)的對稱點坐標是 ( )

A.(4，-3) B.(6，-9) C.( ，0) D.( 12 ，3)

2.點A(0，m)按向量a平移后得到點B(m，0)，則向量a的坐標是 ( )

A.(m ， m) B.(m ， -m) C.(-m ， m) D.(-m ， -m)

3. 按向量a可把點(2，0)平移到點(-1，2)，則點(-1，2)按向量a平移后得到的點是( )

A.(2，0) B.(-3，2) C.(2，4) D.(-4，4)

4.將函數(shù) 的圖象，按向量a平移后得到的圖象對應函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則a可以是 ( )

A. (- ，-4) B. (- ，4) C. ( ，4) D. (- ，-4)

5.已知點P(2，3)，分P1P2所成的比為2，且點P2(1，2)，則點P1的坐標為( )

A.(4，5) B.(0，1) C.(3，4) D.(5，6)

6.將函數(shù)y=x2+mx+n圖象的頂點P按向量a平移到原點O，則a= .

7. 函數(shù) 的圖象按向量a=(2，1)平移后得到函數(shù) 的圖象.

8.已知A(2，2)，B(-3，4)，C(4，-1)，則ΔABC的重心坐標為 .

9.若∣P1P2∣=5 cm，點P在線段P1P2的反向延長線上，且∣P1P∣=1 cm，則P分P1P2所成的比為 .

10. 已知O為原點，m∈R且m≠0，OA=(m，2m)，OB=(2，2)，求點B關于直線OA的對稱點C的坐標.

11. 已知關于x的一次函數(shù)y=ax+b的圖象C按向量p =(1，2)平移后，得到的圖象仍然是C，問這樣的一次函數(shù)是否唯一?若唯一，求出該函數(shù)的解析式;若不唯一，說明這類函數(shù)的表達式的共同特征.

12.已知A、B、C三點在一條直線上，且OA→ -3OB→ +2OC→ =0 ，求點A分BC→ 所成的比λ.

第33課 平面向量的應用

【考點指津】

1. 在閱讀、理解具有實際意義的文字材料的基礎上，能準確、清晰、有條理地用向量的語言表述問題.

2. 能從實際問題中提煉、概括抽象出數(shù)學模型.

3. 能綜合運用所學向量知識及有關數(shù)學思想方法，求出數(shù)學模型的解.

4. 能結合實際意義，正確表述問題的解.

5. 能用向量知識簡捷地處理其它數(shù)學分支相關問題.

【知識在線】

1.下列各個量：①物體的位移;②汽車的速度;③物體的質(zhì)量;④某液體的溫度.其中能稱為向量的有 .

2.已知三個力F1=(1，3)，F(xiàn)2(-2，1)，F(xiàn)3=(x，y)，某物體在這三個力的同時作用下保持平衡，則力F3= .

3.設某人向東走3 km后，又改變方向向北偏東30o走3 km，該人行走的路程是 ，他的位移是 .

4.用向量方法證明勾股定理.

5.一條東西方向的河流，水流速度為2 km/h，方向正東.一船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡，船速為4 km/h，試求船的實際航行速度，并畫出圖形(角度可用反三角函數(shù)表示).

【講練平臺】

例1 某一天，一船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據(jù)測量，這一天水流速度3km/h，

方向正東，風向北偏西30o，受風力影響，靜水中船的飄行速度大小也為3 km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.

分析 撇開題設情境，提煉出四個速度，即水流速度v1，風的速度v2，船本身的速度v3，船的實際航行速度v，并且有v1+v2+v2=v，在這一等式中，v1、v2、v已知，v3可求.

略解：設水的速度為v1 ，風的速度v2，v1+v2=a，

易求得a的方向是北偏東 30o，a的大小為 3 km/h .

設船的實際航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h..船本身的速度v3，則a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 數(shù)形結合知，v3方向是北偏西60o，大小為3 km/h..

點評 這是一個與“知識在線”第5題相似的問題，熟悉的情境以及簡單情況下的解題經(jīng)驗為本題求解奠定了基礎.

四種速度融為一體，我們采納分步合成，步步為營的策略.每一次合成只相當于求解了一個簡單題.

例2 已知O為ΔABC所在平面內(nèi)一點，滿足

|OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2=|OC→|2+|AB→|2.試證明O是ΔABC的垂心.

分析 已知等式是關于線段長度平方和的等式，OA→ 與BC→ 、OB→與CA→、OC→與AB→ 都不是同一個直角三角形中的線段，用純平面幾何知識證明相當困難.

但線段長度平方和即向量模的平方，要證O是ΔABC的垂心，只需證得OA→ ⊥BC→ ，OB→⊥CA→，聯(lián)想向量的數(shù)量積，只需證OA→ ?BC→ =OB→?CA→=0.

|OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2 ，得

a2+(c-b)2=b2+(a-c)2 ， c?b=a?c ，即(b-a)?c=0.

OC→?AB→=0， 故 AB→⊥OC→.

同理 CA→⊥OB→，BC→ ⊥OA→ .

故O是ΔABC的垂心.

點評 向量知識的應用領域很寬泛，中學數(shù)學所涉及的平幾、立幾、解幾、函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等等，都可以與向量綜合，求解這類問題的關鍵在于揭去偽裝，合理轉(zhuǎn)化.

例3.如圖所示，對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪A、B，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1≠m2)，

另在兩滑輪中間的一段繩子的O點處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知m1∶m2=OB∶OA，且系統(tǒng)保持平衡(滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計).求證：

(1) ∠AOB為定值;

(2) >2.

分析 依據(jù)題意，我們可以作出物體的受力圖，

引用平衡條件可列出方程組，在方程組的變形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2問結論努力.

解(1)設兩繩子AO、BO對物體m的拉力分別為

F1、F2，物體m向下的重力為F，由系統(tǒng)平衡條件知F1+F2+F=0.

如圖，設∠BAO=α，∠ABO=β，根據(jù)平行四邊形法則，得

F2cosβ+F1cos(π-α)=0，

F2sinβ+F1sin(π-α)+F=0.

即 m2cosβ-m1 cosα=0 ， ①

m2sinβ+m1 sinα=m. ②

在ΔAOB中，由正弦定理，得OB∶OA= sinα∶sinβ，將m1∶m2= sinα∶sinβ代入①，得

sinβcosβ= sinαcosα，即sin2β= sin2α.

∵m1≠m2 ，∴OA≠OB. ∴α≠β，2α+2β=180o.

∴α+β=90o， 即∠AOB=90o.

(2)由α+β=90o，得　cosβcosα=sinβsinα.

將①②平方相加，得m2=m12+m22 .

由m2-2m1m2=m12+m22-2m1m2=(m1-m2)2>0 ，得m2>2m1m2.

∴ >2.

點評向量在物理中的應用最常見的是力學問題，物體處于平衡狀態(tài)即所受各力的合力為0，亦即向量之和為零向量，運用三角形法則、平行四邊形法則及解斜三角形的基礎知識可望得到問題的解.本題所列方程組，是根據(jù)物體水平方向、豎直方向所受各力的合力分別為0得到.

【知能集成】

向量知識是一種基礎性、工具性知識，在跨學科內(nèi)分支、跨學科范疇、跨認知領域的廣泛應用中，我們應逐步增強閱讀理解能力，數(shù)學建模、解模能力，和分析問題解決問題能力.

【訓練反饋】

1. 如果一架向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，則 ( )

A. s>|a| B. s

2. 當兩人同提重|G|的書包時，用力都為|F|，夾角為θ，則|F|、|G|、θ之間的關系為|F| = |G|2cosθ2;當θ= 時，|F|取得最小值;當|F|=|G|時，θ= .

3. 一條河寬為d，水流速度為v2，一船從岸邊A處出發(fā)，垂直河岸線航行到河的正對岸B處，船在靜水中的速度為v1，則船在航行過程中，船的實際航行速度大小為 ( )

A.| v1| B.| v1|2+| v2|2 C.| v1|2-| v2|2 D.| v1|-| v2|

4.一艘船以4km/h的速度，沿著與水流方向成120o的方向航行，已知河水流速為2 km/h，該船若航行6 km，所須時間為 ( )

A.3 h B.23 h C.3 h D.2 h

5. 已知向量OA1→ =3i+2j，AnAn+1→ =2i+2j(n∈N+)，則OAn→= .

6. 已知A(k，12)，B(4，5)，C(10，k)，若點C在線段AB上，則k值等于 ( )

A.11 B.-2 C.-11或2 D.485 或252

7.已知ΔABC中，AB→=c，BC→=a，CA→=b，則下列推理不正確的是 ( )

A. 若a?b=b?c，則ΔABC為等腰三角形

B. 若a?b>0，則ΔABC為鈍角三角形

C. 若a?b=0，則ΔABC為直角三角形

D. 若c?(a+b+c)=0，則ΔABC為正三角形

8.在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行.此時，風向是北偏東30o，風速是20 km/h.;水的流向是正東，流速為20 km/h.，若不考慮其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度為 .

9.已知a=(sinα， sinα-cosα)，b=(cosα，0)，O為坐標原點，OP→=a+b，

則|OP→|= .

10.一個30o的斜面上放有一個質(zhì)量為1kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動，應沿斜面方向給球多大的力?若表示球的重力的向量為p，球?qū)π泵娴膲毫棣?，則球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上靜止不動的推力f′又如何表示?

11. 已知點A(1，2)和B(4，-1)，問能否在y軸上找一點C，使∠ACB=90o，若能，求出C點坐標;若不能，說明理由.

12. 已知O為坐標原點，OA→ =(3，0)，OB→ =( )，兩個質(zhì)點甲、乙分別從A、B兩點同時出發(fā)，速度均為4km/h，且甲沿AO→方向運動，乙沿OB→方向運動.

(1) 甲乙兩個質(zhì)點之間的初始距離是多少?

(2) 用包含t的式子f(t)表示t小時后，兩個質(zhì)點之間的距離;

(3) 什么時候兩個質(zhì)點之間相距最近.

單元練習五 (平面向量)

(考試時間120分鐘 總分150分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 向量a=(1，-2)，向量a與b共線，且|b|=4|a|.則b= ( )

A.(-4，8) B.(-4，8)或(4，-8)

C.(4，-8) D.(8，4)或(4，8)

2. 已知a=(2，1)，b=(x，1)，且a+b與2a-b平行，則x等于 ( )

A.10 B.-10 C.2 D.-2

3.已知向量a和b滿足|a|=1，|b|= ，a⊥(a-b).則a與b的夾角為 ( )

A.30o B.45o C.75o D.135o

4.設e1、e 2是兩個不共線向量，若向量 a=3e1+5e2與向量b=me1-3e2共線，

則m的值等于 ( )

A.- 53 B.- 95 C.- 35 D.- 59

5.設□ABCD的對角線交于點O，AD→ =(3，7)，AB→ =(-2，1)，OB→ = ( )

A.( -52 ，-3) B.(52 ，3) C.(1，8) D.(12 ，4)

6.設a、b為兩個非零向量，且a?b=0，那么下列四個等式①|(zhì)a|=|b|;

②|a+b|=|a-b|;③a?(b+a)=0;④(a+b)2=a2+b2.

其中正確等式個數(shù)為 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

7.將y=2x的圖象 　 ( )

A.按向量(0，1)平移 B.按向量(0，-1)平移

C.按向量(1，0)平移 D.按向量(-1，0)平移

再作關于直線y=x對稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象.

8.a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)用a、b作基底可將c表示為c=pa+qb，則實數(shù)p、q的值為 　 ( )

A.p=4 q=1 B. p=1 q=4

C. p=0 q=4 D. p=1 q=0

9.將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a的方向平移得到函數(shù)y=2sin(2x+π3 )+1的圖象，則向量a的坐標為 ( )

A.(-π3 ，1) B.(-π6 ，1) C.(π3 ，-1) D.(-π6 ，-1)

10.設平面上四個互異的點A、B、C、D，已知(DB→ +DC→ -2DA→ )?(AB→ -AC→ )=0.則ΔABC的形狀是 ( )

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形

11.將函數(shù)y=2x的圖象按向量a平移后得到函數(shù)y=2x+6的圖象，給出以下四個命題：① a的坐標可以是(-3，0);?、?a的坐標可以是(0，6);

③a的坐標可以是(6，0); ④ a的坐標可以有無數(shù)種情況.

其中真命題的個數(shù)為 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

12.設F1、F2是雙曲線 x24 -y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且PF1→ ?PF2→ =0，則|PF1→ |?|PF2→ |的值為 ( )

A.2 B.22 C.4 D.8

二、填空題：每小題4分，共16分.

13.設線段P1P2的長為10cm，P在P1P2的延長線上，且P2P=20cm，則P分P1P2→ 所成的比為 .

14.已知向量a=(2 ，-2 )，b=(3 ，1)那么(a+b)?(a-b)的值是 .

15.若a=(2，3)，b=(-4，7)，a+c=0，則c在b方向上的投影為 .

16.若對n個向量 a1，a2，a3，…，an，存在n個不全為零的實數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1 a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱a1，a2，…，an為“線性相關”.依此規(guī)定，能使a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)“線性相關”的實數(shù)k1，k2，k3 依次可以取 .

三、解答題

17.(本題滿分12分)

如圖，一艘船從點A出發(fā)以23 km/h的速度向垂直于對岸

的方向AD→ 行駛，同時河水的流速為2 km/h.求船實際航行

速度的大小與方向(用與流速間的夾角表示).

18.(本題滿分12分)

已知△OFQ的面積為S，且OF→ ? FQ→ =1 ，若12

19.(本題滿分12分)

已知點H(-3，0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足 ，當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C.

20. (本題滿分12分)

已知向量OA→ =3i-4j，OB→ =6i-3j，OC→ =(5-m)i-(4+m)j，其中i、j分別是直角坐標系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量.

(1)若A、B、C能構成三角形，求實數(shù)m應滿足的條件;

(2)若ΔABC為直角三角形，且∠A為直角，求實數(shù)m的值.

21.(本題滿分12分)

已知平面上三個向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120o.

(1)求證(a-b)⊥c;

(2)若│ka+b+c│>1(k∈R)，求k的取值范圍.

22. (本題滿分14分)

已知向量a、b、c、d，及實數(shù)x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a+(x2-3)b，d=-ya+xb，如果a⊥b，c⊥d，且|c|≤10 .

(1)求x、y的函數(shù)關系式y(tǒng)=f(x)及定義域;

(2)(供部分考生選做)判斷f(x)的單調(diào)性，指出單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值、最小值.