高中解三角形教案

解直角三形應用舉例。

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相關知識

相似三角形的應用舉例

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19.7相似三角形的應用

目的：利用相似三角形的性質解決實際問題．
中考基礎知識
通過證明三角形相似
線段成比例

備考例題指導
例1．如圖，P是△ABC的BC邊上的一個動點，且四邊形ADPE是平行四邊形．
（1）求證：△DBP∽△EPC；
（2）當P點在什么位置時，SADPE=S△ABC，說明理由．
分析：
（1）證明兩個三角形相似，常用方法是證明兩個角對應相等，題目中有ADPE平行線角相等，命題得證．
（2）設=x，則=1-x，
ADPEDP∥AC，EP∥AB，
△BDP∽△BAC△CPE∽△CBA
∴=（）2=（1-x）2，=（）2=x2
∴=x2+（1-x）2．
∵SADPE=S△ABC，即=．
∴x2+（1-x）2=（轉化為含x的方程）
x=，
∴=．
即P應為BC之中點．
例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，過點C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又關于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0的兩個實數根的差的平方小于192，求m，n為整數時，一次函數y=mx+n的解析式．
分析：這是一個幾何、代數綜合題，由條件發(fā)現(xiàn)，建立關于m，n的方程或不等式，求出m，n再寫出一次函數．
抓條件：AC2：BC2=2：1做文章（轉化到m，n上）．
雙直角圖形有相似形比例式（方程）
∠ACB=90°，CD⊥ABRt△BCD∽Rt△BAC
BC2=BDBA，同理有AC2=ADAB，
∴==m=2n①
抓條件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．
由（x1-x2）2192配方（x1+x2）2-4x1x2192．
64（n-1）2-16（m2-12）192，
4n2-m2-8n+40．②
①代入②n．
又由△≥0得4（n-1）2-4×（m2-12）≥0，
①代入上式得n≤2．③
由n，n≤2得n≤2．
∵n為整數，∴n=1，2．
∴m=2，4
∴y=2x+1，或y=4x+2．
遇根與系數關系題目則用韋達定理，但必須考慮△≥0．

備考鞏固練習
1．如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．關于x的一元二次方程x2-2b（a+）x+（a+b）2=0的兩根之和與兩根之積相等，D為AB上一點，DE∥AC交BC于E，EF⊥AB，垂足是F．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若BF=6，F(xiàn)D=4，CE=CD，求CE的長．
2．某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下底分別為10m，20m的梯形空地上,種植花木如圖1
（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當△AMD地帶種滿花后，共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用．
（2）若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應選擇種哪種花木，剛好用完后籌集的資金？（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖2），請你設計一個花壇圖案，即在梯形內找到一點P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并說出你的理由．

3．（1）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點，EF∥AB，且EF交于點F，某學生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：
①當=1時，有EF=；②當=2時，有EF=；③當=3時，有EF=．當=k時，參照上述研究結論，請你猜想用k表示DE的一般結論，并給出證明；
（2）現(xiàn)有一塊直角梯形田地ABCD（如圖2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，DC=120cm，AD=70m，若要將這塊分割成兩塊，由兩位農戶來承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等，請你給出具體分割方案．
答案:
1．（1）由x1+x2=x1x2
得2b（a+）=（a+b）2
2ab+c2=a2+b2+2ab
∴△ABC是直角三角形．
∴c2=a2+b2
（2）易證△EFD∽△EDB，
∴EF2=DFDB=40．設CE=x，則CD=x，
∴DE=（x）2-x2=40x=4．
2．（1）∵四邊形ABCD是梯形（見圖）．
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，∴=（）2=．
∵種植△AMD地帶花帶160元．
∴=2（m2）∴S△OMB=80（m2）
∴△BMC地帶的花費為80×8=640（元）
（2）設△AMD的高為h1，△BMC的高為h2，梯形ABCD的高為h
∵S△AMD=×10h2=20∴h1=4
∵=∴h2=8
∴S梯形ABCD=（AD+BC）h=×30×12=180
∴S△AMB+S△DMC=180-20-80=80（m2）
∴160+160+80×12=1760（元）
又：160+640+80×10=1600（元）
∴應種值茉莉花剛好用完所籌集的資金．
（3）點P在AD、BC的中垂線上（如圖），
此時，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC
∴△APB≌△DPC．
設△APD的高為x，則△BPC高為（12-x），
∴S△APD=×10x=5x，
S△BPC=×20（12-x）=10（12-x）．
當S△APD=S△BPC即5x=10（12-x）=8．
∴當點P在AD、BC的中垂線上且與AD的距離為8cm時，S△APD=S△BPC．
3．解：（1）猜想得：EF=
證明：過點E作BC的平行線交AB于G，交CD的延長線于H．
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴．
又EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴=k，可得EF=．
（2）在AD上取一點EF∥AB交BC于點F，
設=k，則EF=，DE=，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，則S梯形ABCD=2S梯形DCFE
∵梯形ABCD、DCEF為直角梯形
∴×70=2×（170+）×，
化簡得12k2-7k-12=0，解得k1=，k2=-（舍去）
∴DP==40，所以只需在AD上取點E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可將梯形分成兩個直角梯形，且它們的面積相等．

解直角三角形的應用(3)導學案(新湘教版)

湘教版九年級上冊數學導學案
4.4解直角三角形的應用（3）
【學習目標】
1.鞏固直角三角形中銳角的三角函數，學會解關于觸礁的問題．會利用方程幫助解直角三角形.
2.逐步培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力，進一步滲透數形結合的數學思想和方法．
3.培養(yǎng)學生用數學的意識.
重點：理解觸礁問題的實質.
難點：利用方程幫助解直角三角形.
【預習導學】
學生通過自主預習教材P128-P129完成下列各題（培養(yǎng)學生自主學習的良好習慣和能力）.
1.直角三角形中，五個元素之間的關系是什么？
2.在實際問題中，怎樣用解直角三角形的知識來解決問題？
用銳角三角函數解決實際問題要注意些什么？
【探究展示】
(一)合作探究
如圖，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測得燈塔C在北偏東600方向上，繼續(xù)航行1h到達B處，這時測得燈塔C在北偏東300方向上.已知在燈塔C的四周30km內有暗礁.問這艘船繼續(xù)向東航行是否安全？

學法指導：要判斷船有沒有觸礁的危險，就是看船距燈塔的最近的距離與30km相比較的結果.若最近的距離超過30km，則船是安全的，若最近的距離小于或等于30km，則船有觸礁的危險.船距燈塔的最近的距離即過點C向航線AB作垂線CD，所以先得求出CD的長.
但CD在RtACD中不能直接求出，而且在RtBCD中也不能直接求出，怎么辦？
解：作CD⊥AB，交AB延長線于點D，設CD=.
在RtACD中，因為tan∠CAD=，
所以AD=
同理，在RtBCD中，BD=，
因為AB=AD-BD
所以
解得=
又因為30，所以
(二)展示提升
某次軍事演習中，有三艘船在同一時刻向指揮所報告：A船說B船在它的正東方向，C船在它的北偏東550方向；B船說C船在它的北偏西350方向；C船說它到A船的距離比它到B船的距離遠40km.求A，B兩船的距離（結果精確到0.1km）.

【知識梳理】
本節(jié)課我們學到了什么?
在一個直角三角形中，要求的邊不能直接用銳角三角函數求出時，可以利用方程。

【當堂檢測】
如圖，塔AD的高度為30m，塔的底部D與橋BC位于同一水平直線上，由塔頂A測得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分別為600和300.求BD.BC的長（結果精確到0.01m）

【學后反思】
通過本節(jié)課的學習，
1.你學到了什么？
2.你還有什么樣的困惑？
3.你對自己本節(jié)課的表現(xiàn)滿意的地方在哪兒？哪些地方還需改進？

解直角三角形的應用(1)導學案(新湘教版)

湘教版九年級上冊數學導學案
4.4解直角三角形的應用（1）
【學習目標】
1.使學生會把實際問題轉化為解直角三角形問題，從而會把實際問題轉化為數學問題來解決．
2.逐步培養(yǎng)學生分析問題.解決問題的能力.
3.滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養(yǎng)學生用數學的意識.
重點：善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形元素之間的關系，從而利用所學知識把實際問題解決．
難點：根據實際問題構造合適的直角三角形.
【預習導學】
在RtABC中，∠C=900
1.若∠A=600，b=，求a.
2.若∠B=350，c=8，用計算器求a的值（結果精確到0.1）
【探究展示】
(一)合作探究
某探險者某天到達點A處時，他準備估算出離他的目的地——海拔為3500m的山峰頂點B處的水平距離（圖見課本125頁的圖4-15）.你能幫他想出一個可行的辦法嗎？
探究討論：
先把圖4-15抽象，并構造出直角三角形.
如圖，BD表示點B的海拔，AE表示點A的海拔，過點A作AC⊥BD即可以構造出直角三角形.
在RtABC中，AC表示A處離B處的水平距離，要求AC，只需測出仰角∠BAC和A.B的相對高度AC即可.
如果測得點A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=400，求A.B兩點之間的水平距離AC（結果保留整數）.
學生上臺展示因為BD=，AE=，AC⊥BD，BAC=400，
所以BC=
在RtABC中，tan∠BAC=
AC=
(二)展示提升
1.在離上海東方明珠塔底部1000m的A處，用儀器測得塔頂的仰角∠BAC為250，儀器距地面高AE為1.7m，求上海東方明珠塔的高度BD（結果精確到1m）.

2.某廠家新開發(fā)的一種電動車的大燈A射出的光線AB.AC與地面MN所成的夾角∠ABN.∠ACN分別為80和150，大燈A與地面的距離為1m，求該車大燈照亮地面的寬度BC（不考慮其他因素，結果精確到0.1m）.

【知識梳理】
求某些不便直接測量的物體的高或距離時，可以根據實際問題構造直角三角形，再利用解直角三角形的方法來求.
解直角三角形的應用題一般步驟：
（1）。
（2）。
（3）。
（4）。

【當堂檢測】
1.一艘游船在離開碼頭A后，以和河岸成300角的方向行駛了500m到達B處，求B處與河岸的距離BC.

2.有一段斜坡BC長為10m，坡角∠CBD=120，為方便殘疾人的輪椅通行，現(xiàn)準備把坡角降為50.
求坡高CD（結果精確到0.1m）；
求斜坡新起點A與原起點B的距離（結果精確到0.1m）.

【學后反思】
1.你學到了什么？
2.你還有什么樣的困惑？
3.你對自己本節(jié)課的表現(xiàn)滿意的地方在哪兒？哪些地方還需加油？