小學(xué)衛(wèi)生與健康教案

空間圖形的基本關(guān)系與公理。

1.3.1空間圖形的基本關(guān)系與公理
一、教學(xué)目標：
1、知識與技能：（1）利用生活中的實物對平面進行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖；（3）掌握平面的基本性質(zhì)及作用；（4）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。
2、過程與方法：（1）通過師生的共同討論，使學(xué)生對平面有了感性認識；（2）讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識。
3、情感與價值：使用學(xué)生認識到我們所處的世界是一個三維空間，進而增強了學(xué)習(xí)的興趣。
二、教學(xué)重點、難點
重點：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性質(zhì)，注意他們的條件、結(jié)論、作用、圖形語言及符號語言。難點：平面基本性質(zhì)的掌握與運用。
三、學(xué)法與教法
1、學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，聯(lián)系身邊的實物思考、交流，師生共同討論等，從而較好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標。2、教法：思考交流討論法
四、教學(xué)過程
（一）實物引入、揭示課題
師：生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，你們能舉出更多例子嗎？引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、舉例和互相交流。與此同時，教師對學(xué)生的活動給予評價。
師：那么，平面的含義是什么呢？這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
（二）研探新知
1、平面含義
師：以上實物都給我們以平面的印象，幾何里所說的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的。
2、平面的畫法及表示
師：在平面幾何中，怎樣畫直線？（一學(xué)生上黑板畫）
之后教師加以肯定，解說、類比，將知識遷移，得出平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果幾個平面畫在一起，當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)畫成虛線或不畫（打出投影片）

課本P41圖2.1-4說明
平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可以看成點的集合。
點A在平面α內(nèi)，記作：A∈α
點B在平面α外，記作：Bα
2.1-4
3、平面的基本性質(zhì)
教師引導(dǎo)學(xué)生思考教材P41的思考題，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的見解。
師：把一把直尺邊緣上的任意兩點放在桌邊，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上，用事實引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)
（教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材P42前幾行相關(guān)內(nèi)容，并加以解析）
符號表示為
A∈L
B∈L=Lα
A∈α
B∈α
公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)
師：生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等……
引導(dǎo)學(xué)生歸納出公理2
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
符號表示為：A、B、C三點不共線=有且只有一個平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。
教師用正（長）方形模型，讓學(xué)生理解兩個平面的交線的含義。
引導(dǎo)學(xué)生閱讀P42的思考題，從而歸納出公理3
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
符號表示為：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)
（三）、例題探析：教材P43例1
通過例子，讓學(xué)生掌握圖形中點、線、面的位置關(guān)系及符號的正確使用。
（四）、課堂練習(xí)：課本P44練習(xí)1、2、3、4
（五）、課時小結(jié)：（師生互動，共同歸納）
（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識內(nèi)容？（2）三個公理的內(nèi)容及作用是什么？
（六）、作業(yè)布置：（1）復(fù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容；（2）預(yù)習(xí)：同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？
五、教后反思：
（工作計劃之家 wWw.Fz76.CoM）

延伸閱讀

集合的基本關(guān)系

1.1.2集合間的基本關(guān)系
一、內(nèi)容及其解析
（一）內(nèi)容：集合間的基本關(guān)系。
（二）解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容有集合間的基本關(guān)系指的是集合間的包含和相等關(guān)系,其核心（或關(guān)鍵）是弄清楚集合中的元素之間的關(guān)系理解它關(guān)鍵就是分析清楚集合中的元素，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了集合的含義與表示并且學(xué)習(xí)過實數(shù)間的大小關(guān)系。本節(jié)課的內(nèi)容集合間的基本關(guān)系就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展（或就是它的下位概念,就可以類比它，等等）（定起點）。由于它還與后續(xù)很多內(nèi)容，比如圓錐曲線有思想方法上（都通過類比的想法來進行學(xué)習(xí)）聯(lián)系,所以在本學(xué)科有著很重要的地位，是學(xué)習(xí)后面知識的基礎(chǔ),是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點是子集、真子集、等集和空集所以解決重點的關(guān)鍵是分析好集合間的關(guān)系、弄清楚集合中的元素。
二、目標及其解析
（一）教學(xué)目標
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集、真子集；
（2）在具體情境中，了解空集的含義；
（二）解析
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集就是指集合兩個集合之間是子集、真子集還是相等，掌握相應(yīng)的含義以及數(shù)學(xué)表示、數(shù)學(xué)記號，并不致混淆；；
（2）在具體情境中，了解空集的含義。就是指要掌握空集的含義，能分析給出的集合是否為空集；對關(guān)于空集的規(guī)定即空集是任何非空集合的子集，是任何非空集合的真子集要牢記。
三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學(xué)中,學(xué)生可能遇到的問題是解題中對空集是任意集合的子集這一條件容易忽略,產(chǎn)生這一問題的原因是對這一新規(guī)定接受度不強.要解決這一問題,就是要依據(jù)實例反復(fù)操練,其中關(guān)鍵是師生的互動要到位.
四、教學(xué)過程設(shè)計
一、導(dǎo)入新課
實數(shù)有相等.大小關(guān)系，如5=5，5＜7，5＞3等等，類比實數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？
二、提出問題
問題1：觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系了嗎？
(1)；
(2)設(shè)A為某中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個班學(xué)生的全體組成的集合；
(3)設(shè)
(4).
問題2：同樣是子集，會不會有差別呢？
(1)請看幻燈片上的例子，你能發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？
(2)這兩種不同的情形該如何表述呢？
(3)學(xué)生回答，師生共同歸納出真子集和集合相等的數(shù)學(xué)定義及數(shù)學(xué)語言表述。
問題3：請看幻燈片上給出的幾個集合，你能發(fā)現(xiàn)什么問題？
(1)這些集合有什么共同特征？
(2)你能舉出更多的空集的例子嗎？
(3)你認為空集和其它集合是什么關(guān)系？和非空集合又是什么關(guān)系
三．概念的鞏固和應(yīng)用
四．課堂目標檢測
優(yōu)化設(shè)計：隨堂練習(xí).
五．小結(jié)
1、集合之間的關(guān)系，子集，集合相等，真子集等概念；
2、Venn圖的運用；
3、空集的定義和性質(zhì)；
4、集合之間的基本關(guān)系的主要結(jié)論；
5、當(dāng)一個集合有n個元素的時候，其子集有個，真子集有個，非空真子集有個。

集合間的基本關(guān)系

1.1.2集合間的基本關(guān)系

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標：
初步理解子集的含義，能說明集合的基本關(guān)系。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
閱讀教材第7頁中的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下例問題：
(1)集合A是集合B的真子集的含義是什么?什么叫空集?
(2)集合A是集合B的真子集與集合A是集合B的子集之間有什么區(qū)別?
(3)0，{0}與三者之間有什么關(guān)系?
(4)包含關(guān)系與屬于關(guān)系正義有什么區(qū)別?試結(jié)合實例作出解釋.
(5)空集是任何集合的子集嗎?空集是任何集合的真子集嗎?
(6)能否說任何一人集合是它本身的子集，即?
(7)對于集合A，B，C，D，如果AB，BC，那么集合A與C有什么關(guān)系?

三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標
(1)了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用圖表達集合間的關(guān)系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
學(xué)習(xí)重點：集合間的包含與相等關(guān)系，子集與其子集的概念.
學(xué)習(xí)難點：難點是屬于關(guān)系與包含關(guān)系的區(qū)別．
二、學(xué)習(xí)過程
1、思考下列問題
問題l：實數(shù)有相等.大小關(guān)系，如5=5，5＜7，5＞3等等，類比實數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？
問題2：觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系了嗎？
（1）；
(2)設(shè)A為某中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個班學(xué)生的全體組成的集合；
(3)設(shè)
(4).
問題3：與實數(shù)中的結(jié)論“若”相類比，在集合中，你能得出什么結(jié)論?
你對上面3個問題的結(jié)論是
2、例題
例題1.．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在質(zhì)量和長度上都合格時，該產(chǎn)品才合格。若用A表示合格產(chǎn)品，B表示質(zhì)量合格的產(chǎn)品的集合,C表示長度合格的產(chǎn)品的集合．則下列包含關(guān)系哪些成立？
試用Venn圖表示這三個集合的關(guān)系。.

變式訓(xùn)練1用適當(dāng)?shù)姆枺ǎ┨羁眨?br> ①4②11
③④
例題2．寫出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

變式訓(xùn)練2寫出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
5課堂小結(jié)

三、當(dāng)堂檢測
（1）討論下列集合的包含關(guān)系
①A={本年天陰的日子}，B={本年天下雨的日子}；
②A={-2，-1，0，1，2，3}，B={-1，0，1}。
（2）寫出集合A={1，2，3}的所有非空真子集和非空子集
課后練習(xí)與提高
1用連接下列集合對：
①A={濟南人}，B={山東人}；
②A=N，B=R；
③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；
④A={本校田徑隊隊員}，B={本校長跑隊隊員}；
⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}
2若A={，，},則有幾個子集，幾個真子集？寫出A所有的子集。
3設(shè)A={3,Z},B={6，Z},則A、B之間是什么關(guān)系？

集合間的基本關(guān)系教案

第2課時集合間的基本關(guān)系

（一）教學(xué)目標；
1．知識與技能
（1）理解集合的包含和相等的關(guān)系.
（2）了解使用Venn圖表示集合及其關(guān)系.
（3）掌握包含和相等的有關(guān)術(shù)語、符號，并會使用它們表達集合之間的關(guān)系.
2．過程與方法
（1）通過類比兩個實數(shù)之間的大小關(guān)系，探究兩個集合之間的關(guān)系.
（2）通過實例分析，獲知兩個集合間的包含與相等關(guān)系，然后給出定義.
（3）從自然語言，符號語言，圖形語言三個方面理解包含關(guān)系及相關(guān)的概念.
3．情感、態(tài)度與價值觀
應(yīng)用類比思想，在探究兩個集合的包含和相等關(guān)系的過程中，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的辨證思想，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式去認識世界，嘗試解決問題的能力.
（二）教學(xué)重點與難點
重點：子集的概念；難點：元素與子集，即屬于與包含之間的區(qū)別.
（三）教學(xué)方法
在從實踐到理論，從具體到抽象，從特殊到一般的原則下，一方面注意利用生活實例，引入集合的包含關(guān)系.從而形成子集、真子集、相等集合等概念.另一方面注意幾何直觀的應(yīng)用，即Venn圖形象直觀地表示、理解集合的包含關(guān)系，子集、真子集、集合相等概念及有關(guān)性質(zhì).
（四）教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
創(chuàng)設(shè)情境提出問題思考：實數(shù)有相關(guān)系，大小關(guān)系，類比實數(shù)之間的關(guān)系，聯(lián)想集合之間是否具備類似的關(guān)系.師：對兩個數(shù)a、b，應(yīng)有a＞b或a=b或a＜b.
而對于兩個集合A、B它們也存在A包含B，或B包含A，或A與B相等的關(guān)系.類比生疑，
引入課題

概念形成分析示例：
示例1：考察下列三組集合，并說明兩集合內(nèi)存在怎樣的關(guān)系
（1）A={1，2，3}
B={1，2，3，4，5}
（2）A={新華中學(xué)高（一）6班的全體女生}
B={新華中學(xué)高（一）6班的全體學(xué)生}
（3）C={x|x是兩條邊相等的三角形}
D={x|x是等腰三角形}
1．子集：
一般地，對于兩個集合A、B，如果A中任意一個元素都是B的元素，稱集合A是集合B的子集，記作，讀作：“A含于B”（或B包含A）
2．集合相等：
若，且，則A=B.
生：實例（1）、（2）的共同特點是A的每一個元素都是B的元素.
師：具備（1）、（2）的兩個集合之間關(guān)系的稱A是B的子集，那么A是B的子集怎樣定義呢？
學(xué)生合作：討論歸納子集的共性.
生：C是D的子集，同時D是C的子集.
師：類似（3）的兩個集合稱為相等集合.
師生合作得出子集、相等兩概念的數(shù)學(xué)定義.通過實例的共性探究、感知子集、相等概念，通過歸納共性，形成子集、相等的概念.
初步了解子集、相等兩個概念.
概念
深化
示例1：考察下列各組集合，并指明兩集合的關(guān)系：
（1）A=Z，B=N；
（2）A={長方形}，B={平行四邊形}；
（3）A={x|x2–3x+2=0}，B={1，2}.
1．Venn圖
用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.
如果，則Venn圖表示為：
2．真子集
如果集合，但存在元素x∈B，且xA，稱A是B的真子集，記作A
B(或BA).
示例3考察下列集合.并指出集合中的元素是什么？
（1）A={(x，y)|x+y=2}.
（2）B={x|x2+1=0，x∈R}.
3．空集
稱不含任何元素的集合為空集，記作.
規(guī)定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.示例1學(xué)生思考并回答.
生：（1）
（2）
（3）A=B

師：進一步考察（1）、（2）
不難發(fā)現(xiàn)：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有這種關(guān)系時，稱A是B的真子集.
示例3學(xué)生思考并回答.
生：（1）直線x+y=2上的所有點
（2）沒有元素

師：對于類似（2）的集合稱這樣的集合為空集.
師生合作歸納空集的定義.再次感知子集相等關(guān)系，加深對概念的理解，并利用韋恩圖從“形”的角度理解包含關(guān)系，層層遞進形成真子集、空集的概念.
能力
提升一般結(jié)論：
①.
②若，，則.
③A=B，且.師：若a≤a，類比.
若a≤b，b≤c，則a≤c類比.
若，，則.
師生合作完成：
（1）對于集合A，顯然A中的任何元素都在A中，故.
（2）已知集合，同時，即任意x∈Ax∈Bx∈C，故.
升華并體會類比數(shù)學(xué)思想的意義.
應(yīng)用
舉例例1（1）寫出集合{a、b}的所有子集；
（2）寫出集合{a、b、c}的所有子集；
（3）寫出集合{a、b、c、d}的所有子集；
一般地：集合A含有n個元素
則A的子集共有2n個.
A的真子集共有2n–1個.學(xué)習(xí)練習(xí)求解，老師點評總結(jié).
師：根據(jù)問題（1）、（2）、（3），子集個數(shù)的探究，提出問題：
已知A={a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少個？通過練習(xí)加深對子集、真子集概念的理解.
培養(yǎng)學(xué)生歸納能力.
歸納
總結(jié)子集：任意x∈Ax∈B
真子集：AB任意x∈Ax∈B，但存在x0∈B，且x0A.
集合相等：A=B且
空集（）：不含任何元素的集合
性質(zhì)：①，若A非空，則A.
②.
③，.師生合作共同歸納—總結(jié)—交流—完善.
師：請同學(xué)合作交流整理本節(jié)知識體系引導(dǎo)學(xué)生整理知識，體會知識的生成，發(fā)展、完善的過程.
課后
作業(yè)1.1第二課時習(xí)案學(xué)生獨立完成鞏固基礎(chǔ)
提升能力
備選訓(xùn)練題
例1能滿足關(guān)系{a，b}{a，b，c，d，e}的集合的數(shù)目是（A）
A．8個B．6個C．4個D．3個
【解析】由關(guān)系式知集合A中必須含有元素a，b，且為{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基礎(chǔ)上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A={a，b}，A={a，b，c}，A={a，b，d}，A={a，b，e}，A={a，b，c，d}，A={a，b，c，e}，A={a，b，d，e}，A={a，b，c，d，e}，共8個，故應(yīng)選A.
例2已知A={0，1}且B={x|}，求B.
【解析】集合A的子集共有4個，它們分別是：，{0}，{1}，{0，1}.
由題意可知B={，{0}，{1}，{0，1}}.
例3設(shè)集合A={x–y，x+y，xy}，B={x2+y2，x2–y2，0}，且A=B，求實數(shù)x和y的值及集合A、B.
【解析】∵A=B，0∈B，∴0∈A.
若x+y=0或x–y=0，則x2–y2=0，這樣集合B={x2+y2，0，0}，根據(jù)集合元素的互異性知：x+y≠0，x–y≠0.
∴（I）或（II）
由（I）得：或或
由（II）得：或或
∴當(dāng)x=0，y=0時，x–y=0，故舍去.
當(dāng)x=1，y=0時，x–y=x+y=1，故也舍去.
∴或，
∴A=B={0，1，–1}.
例4設(shè)A={x|x2–8x+15=0}，B={x|ax–1=0}，若，求實數(shù)a組成的集合，并寫出它的所有非空真子集.
【解析】A={3，5}，∵，所以
（1）若B=，則a=0；
（2）若B≠，則a≠0，這時有或，即a=或a=.
綜上所述，由實數(shù)a組成的集合為.
其所有的非空真子集為：{0}，共6個.

集合間的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為教師就要好好準備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編精心為您整理的“集合間的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

教學(xué)設(shè)計
1.1.2集合間的基本關(guān)系
整體設(shè)計
教學(xué)分析
課本從學(xué)生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā)，通過類比實數(shù)間的大小關(guān)系引入集合間的關(guān)系，同時，結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集等概念．在安排這部分內(nèi)容時，課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如類比等．
值得注意的問題：在集合間的關(guān)系教學(xué)中，建議重視使用Venn圖，這有助于學(xué)生通過體會直觀圖示來理解抽象概念；隨著學(xué)習(xí)的深入，集合符號越來越多，建議教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分一些容易混淆的關(guān)系和符號，例如∈與的區(qū)別．
三維目標
1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的能力．
2．在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn圖表達集合的關(guān)系，加強學(xué)生從具體到抽象的思維能力，樹立數(shù)形結(jié)合的思想．
重點難點
教學(xué)重點：理解集合間包含與相等的含義．
教學(xué)難點：理解空集的含義．
課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.實數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，類比實數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？(讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生)欲知誰正確，讓我們一起來觀察、研探．
思路2.復(fù)習(xí)元素與集合的關(guān)系——屬于與不屬于的關(guān)系，填空：(1)0____N；(2)2____Q；(3)－1.5____R.
類比實數(shù)的大小關(guān)系，如5＜7,2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？
(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)
推進新課
新知探究
提出問題
(1)觀察下面幾個例子：
①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
②設(shè)A為國興中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個班學(xué)生的全體組成的集合；
③設(shè)C＝{x|x是兩條邊相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2,4,6}，F(xiàn)＝{6,4,2}．
你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系嗎？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同樣是子集，有什么區(qū)別？
(3)結(jié)合例子④，類比實數(shù)中的結(jié)論：“若a≤b，且b≤a，則a＝b”，在集合中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
(4)升國旗時，每個班的同學(xué)都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi)，從樓頂向下看，每位同學(xué)是哪個班的，一目了然．試想一下，根據(jù)從樓頂向下看到的，要想直觀表示集合，聯(lián)想集合還能用什么表示？
(5)試用Venn圖表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知AB，試用Venn圖表示集合A和B的關(guān)系．
(7)任何方程的解都能組成集合，那么x2＋1＝0的實數(shù)根也能組成集合，你能用Venn圖表示這個集合嗎？
(8)一座房子內(nèi)沒有任何東西，我們稱為這座房子是空房子，那么一個集合沒有任何元素，應(yīng)該如何命名呢？
(9)與實數(shù)中的結(jié)論“若a≥b，且b≥c，則a≥c”相類比，在集合中，你能得出什么結(jié)論？
活動：教師從以下方面引導(dǎo)學(xué)生：
(1)觀察兩個集合間元素的特點．
(2)從它們含有的元素間的關(guān)系來考慮．規(guī)定：如果AB，但存在x∈B，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．
(3)實數(shù)中的“≤”類比集合中的.
(4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的，學(xué)生看成集合中的元素，從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi)．教師指出：為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
(5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等，沒有限制．
(6)分類討論：當(dāng)AB時，AB或A＝B.
(7)方程x2＋1＝0沒有實數(shù)解．
(8)空集記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，即A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)．
(9)類比子集．
討論結(jié)果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．
(2)例子①中AB，但有一個元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．
(3)若AB，且BA，則A＝B.
(4)可以把集合中元素寫在一個封閉曲線的內(nèi)部來表示集合．
(5)如圖1所示表示集合A，如圖2所示表示集合B.
圖1
圖2
(6)如圖3和圖4所示．
圖3
圖4
(7)不能．因為方程x2＋1＝0沒有實數(shù)解．
(8)空集．
(9)若AB，BC，則AC；若AB，BC，則AC.
應(yīng)用示例
思路1
例1某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長度上都合格時，該產(chǎn)品才合格．若用A表示合格產(chǎn)品的集合，B表示重量合格的產(chǎn)品的集合，C表示長度合格的產(chǎn)品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．
(1)則下列包含關(guān)系哪些成立？
AB，BA，AC，CA.
(2)試用Venn圖表示集合A，B，C間的關(guān)系．
活動：學(xué)生思考集合間的關(guān)系以及Venn圖的表示形式．當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時，則AB成立，否則AB不成立．用相同的方法判斷其他包含關(guān)系是否成立．教師提示學(xué)生注意以下兩點：
(1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定重量合格；
長度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定長度合格．
(2)根據(jù)集合A，B，C間的關(guān)系來畫出Venn圖．
解：(1)包含關(guān)系成立的有：AB，AC.
(2)集合A，B，C間的關(guān)系用Venn圖表示，如圖5所示．
圖5
變式訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)3.
點評：本題主要考查集合間的包含關(guān)系．其關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么．
判斷兩個集合A，B之間是否有包含關(guān)系的步驟是：先明確集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之間的關(guān)系，得：集合A中的元素都屬于集合B時，有AB；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，集合B中至少有一個元素不屬于集合A時，有AB；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素也都屬于集合A時，有A＝B；當(dāng)集合A中至少有一個元素不屬于集合B，并且集合B中至少有一個元素也不屬于集合A時，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.
例2寫出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活動：學(xué)生思考子集和真子集的定義，教師提示學(xué)生空集是任何集合的子集，一個集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的個數(shù)分類討論．
解：集合{a，b}的所有子集為，{a}，，{a，b}．真子集為，{a}，.
變式訓(xùn)練
已知集合P＝{1,2}，那么滿足QP的集合Q的個數(shù)是()
A．4B．3C．2．1
解析：集合P＝{1,2}含有2個元素，其子集有22＝4個，
又集合QP，所以集合Q有4個．
答案：A
點評：本題主要考查子集和真子集的概念，以及分類討論的思想．通常按子集中所含元素的個數(shù)來寫出一個集合的所有子集，這樣可以避免重復(fù)和遺漏．
思考：集合A中含有n個元素，那么集合A有多少個子集？多少個真子集？
解：當(dāng)n＝0時，即空集的子集為，即子集的個數(shù)是1＝20；當(dāng)n＝1時，即含有一個元素的集合如{a}的子集為，{a}，即子集的個數(shù)是2＝21；當(dāng)n＝2時，即含有兩個元素的集合如{a，b}的子集為，{a}，，{a，b}，即子集的個數(shù)是4＝22.…
集合A中含有n個元素，那么集合A有2n個子集，由于一個集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)個真子集.
思路2
例1已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若BA，則實數(shù)m＝________.
活動：先讓學(xué)生思考BA的含義，根據(jù)BA，知集合B中的元素都屬于集合A，由集合元素的互異性，列出方程求實數(shù)m的值．因為BA，所以3∈A，m2∈A.對m2的值分類討論．
解析：∵BA，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
點評：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性．本題容易出現(xiàn)m2＝3，其原因是忽視了集合元素的互異性．避免此類錯誤的方法是解得m的值后，再代入驗證．
討論兩集合之間的關(guān)系時，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式.
變式訓(xùn)練
已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：集合N是關(guān)于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，則N＝或N≠，要對集合N是否為空集分類討論．
解：由題意得M＝{x|x＞2}≠，則N＝或N≠.當(dāng)N＝時，關(guān)于x的方程ax＝1無解，則有a＝0；當(dāng)N≠時，關(guān)于x的方程ax＝1有解，則a≠0，此時x＝1a，又∵NM，∴1a∈M.∴1a＞2.∴0＜a＜12.綜上所得，實數(shù)a的取值范圍是a＝0或0＜a＜12，即實數(shù)a的取值范圍是a0≤a12.

例2(1)分別寫出下列集合的子集及其個數(shù)：，{a}，{a，b}，{a，b，c}．
(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)集合M中含有n個元素，則集合M有多少個子集？
活動：學(xué)生思考子集的含義，并試著寫出子集．(1)按子集中所含元素的個數(shù)分類寫出子集；(2)由(1)總結(jié)當(dāng)n＝0，n＝1，n＝2，n＝3時子集的個數(shù)規(guī)律，歸納猜想出結(jié)論．
解：(1)的子集有：，即有1個子集；
{a}的子集有：，{a}，即{a}有2個子集；
{a，b}的子集有：，{a}，，{a，b}，即{a，b}有4個子集；
{a，b，c}的子集有：，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8個子集．
(2)由(1)可得：當(dāng)n＝0時，集合M有1＝20個子集；
當(dāng)n＝1時，集合M有2＝21個子集；
當(dāng)n＝2時，集合M有4＝22個子集；
當(dāng)n＝3時，集合M有8＝23個子集；
因此含有n個元素的集合M有2n個子集.
變式訓(xùn)練
已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合A有()
A．3個B．4個C．5個D．6個
解析：對集合A所含元素的個數(shù)分類討論．
A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6個．
答案：D
點評：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力．集合M中含有n個元素，則集合M有2n個子集，有2n－1個真子集，記住這個結(jié)論，可以提高解題速度．寫一個集合的子集時，按子集中元素的個數(shù)來寫不易發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象.
知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1,2.
【補充練習(xí)】
1．判斷正誤：
(1)空集沒有子集．()
(2)空集是任何一個集合的真子集．()
(3)任一集合必有兩個或兩個以上的子集．()
(4)若BA，那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.()
分析：關(guān)于判斷題應(yīng)確實把握好概念的實質(zhì)．
解：該題的4個命題，只有(4)是正確的，其余全錯．
對于(1)，(2)來講，由規(guī)定：空集是任何一個集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
對于(3)來講，可舉反例，空集這一個集合就只有自身一個子集．
對于(4)來講，當(dāng)x∈B時必有x∈A，則xA時也必有xB.
2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，寫出A的真子集．
分析：區(qū)分子集與真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一個含有n個元素的集合的子集有2n個，真子集有2n－1個，則該題先找該集合的元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，
即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．
真子集：，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7個．
3．(1)下列命題正確的是()
A．無限集的真子集是有限集
B．任何一個集合必定有兩個子集
C．自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集
D．{1}是質(zhì)數(shù)集的真子集
(2)以下五個式子中，錯誤的個數(shù)為()
①{1}∈{0,1,2}②{1，－3}＝{－3,1}③{0,1,2}{1,0,2}④∈{0,1,2}⑤∈{0}
A．5B．2C．3D．4
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，則下列關(guān)系正確的是()
A．a(chǎn)MB．a(chǎn)M
C．{a}∈MD．{a}M
解析：(1)該題要在四個選擇項中找到符合條件的選擇項，必須對概念把握準確，無限集的真子集有可能是無限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一個子集，即它本身，排除B；由于1不是質(zhì)數(shù)，排除D.
(2)該題涉及到的是元素與集合、集合與集合的關(guān)系．
①應(yīng)是{1}{0,1,2}，④應(yīng)是{0,1,2}，⑤應(yīng)是{0}．
故錯誤的有①④⑤.
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一個元素，
因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}M.
答案：(1)C(2)C(3)D
4．判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關(guān)系：
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，
故A，B都是由奇數(shù)構(gòu)成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝22n，
在x＝2m中，m可以取奇數(shù)，也可以取偶數(shù)；而在x＝4n中，2n只能是偶數(shù)．
故集合A，B的元素都是偶數(shù)，但B中元素是由A中部分元素構(gòu)成，則有BA.
點評：此題是集合中較抽象的題目．要注意其元素的合理尋求．
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}滿足QP，求a所取的一切值．
解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，當(dāng)a＝0時，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．又當(dāng)a≠0時，Q＝{x|ax＋1＝0}＝－1a，要QP成立，則有－1a＝2或－1a＝－3，a＝－12或a＝13.綜上所述，a＝0或a＝－12或a＝13.
點評：這類題目給的條件中含有字母，一般需分類討論．本題易漏掉a＝0，ax＋1＝0無解，即Q為空集的情況，而當(dāng)Q＝時，滿足QP.
6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使APB，求滿足條件的集合P.
解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，
B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，
由APB知集合P非空，且其元素全屬于B，即有滿足條件的集合P為
{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．
點評：要解決該題，必須確定滿足條件的集合P的元素，而做到這點，必須明確A，B，充分把握子集、真子集的概念，準確化簡集合是解決問題的首要條件．
7．設(shè)A＝{0,1}，B＝{x|xA}，則A與B應(yīng)具有何種關(guān)系？
解：因A＝{0,1}，B＝{x|xA}，
故x為，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B.
點評：注意該題的特殊性，一集合是另一集合的元素．
8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)；
(3)當(dāng)x∈R時，沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)當(dāng)m＋1＞2m－1即m＜2時，B＝滿足BA.
當(dāng)m＋1≤2m－1即m≥2時，要使BA成立，需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3.
綜上所得實數(shù)m的取值范圍為m≤3.
(2)當(dāng)x∈Z時，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴A的非空真子集的個數(shù)為28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立．
則①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2時滿足條件；
②若B≠，則要滿足條件：m＋1≤2m－1，m＋15或m＋1≤2m－1，2m－1－2，解之，得m＞4.
綜上有m＜2或m＞4.
點評：此問題解決要注意：不應(yīng)忽略；找A中的元素；分類討論思想的運用．
拓展提升
問題：已知AB，且AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，則滿足上述條件的集合A共有多少個？
活動：學(xué)生思考AB，且AC所表達的含義．AB說明集合A是集合B的子集，即集合A中元素屬于集合B，同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1：寫出由集合B和集合C的公共元素組成的集合，得滿足條件的集合A；
思路2：分析題意，僅求滿足條件的集合A的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個數(shù)．
解法1：因AB，AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，滿足AB，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(個)．
又滿足AC的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(個)．
其中同時滿足AB，AC的有8個：，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，實際上到此就可看出，上述解法太繁．
解法2：題目只求集合A的個數(shù)，而未讓說明A的具體元素，故可將問題等價轉(zhuǎn)化為求B，C的公共元素組成集合的子集數(shù)是多少．顯然公共元素有0,2,4，組成集合的子集有23＝8(個)．
點評：有關(guān)集合間關(guān)系的問題，常用分類討論的思想來解決；關(guān)于集合的子集個數(shù)的結(jié)論要熟練掌握，其應(yīng)用非常廣泛．
課堂小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了：
①子集、真子集、空集、Venn圖等概念；
②能判斷存在子集關(guān)系的兩個集合誰是誰的子集，進一步確定其是否是真子集；
③清楚兩個集合包含關(guān)系的確定，主要靠其元素與集合關(guān)系來說明．
作業(yè)
課本習(xí)題1.1A組5.
設(shè)計感想
本節(jié)教學(xué)設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生通過類比來獲得新知，在實際教學(xué)中，要留給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r間，使學(xué)生自己通過類比得到正確結(jié)論．豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能僅限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探索、合作交流、閱讀自學(xué)等都應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．
備課資料
【備選例題】
【例1】下面的Venn圖中反映的是四邊形、梯形、平行四邊形、菱形、正方形這五種幾何圖形之間的關(guān)系，問集合A，B，C，D，E分別是哪種圖形的集合？
圖6
思路分析：結(jié)合Venn圖，利用平面幾何中梯形、平行四邊形、菱形、正方形的定義來確定．
解：梯形、平行四邊形、菱形、正方形都是四邊形，故A＝{四邊形}；梯形不是平行四邊形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四邊形，故B＝{梯形}，C＝{平行四邊形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四邊形}，B＝{梯形}，C＝{平行四邊形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．
【例2】設(shè)集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，則滿足BA的a的值共有()
A．2個B．3個C．4個D．5個
解析：由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是關(guān)于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠.當(dāng)B＝時，關(guān)于x的方程(a－2)x＝2無解，∴a－2＝0.∴a＝2.當(dāng)B≠時，關(guān)于x的方程(a－2)x＝2的解x＝2a－2∈A，∴2a－2＝－2或2a－2＝－1或2a－2＝1或2a－2＝2.解得a＝1或0或4或3，綜上所得，a的值共有5個．
答案：D
【例3】集合A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}的真子集的個數(shù)是()
A．16B．8C．7D．4
解析：A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}＝{0,1,2}，則A的真子集有23－1＝7(個)．
答案：C
【例4】已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，試判斷集合B是不是集合A的子集？是否存在實數(shù)a使A＝B成立？
思路分析：先在數(shù)軸上表示集合A，然后化簡集合B，由集合元素的互異性，可知此時應(yīng)考慮a的取值是否為1，要使集合B成為集合A的子集，集合B的元素在數(shù)軸上的對應(yīng)點必須在集合A對應(yīng)的線段上，從而確定字母a的分類標準．
解：當(dāng)a＝1時，B＝{1}，所以B是A的子集；當(dāng)1＜a≤3時，B也是A的子集；當(dāng)a＜1或a＞3時，B不是A的子集．綜上可知，當(dāng)1≤a≤3時，B是A的子集．
由于集合B最多只有兩個元素，而集合A有無數(shù)個元素，故不存在實數(shù)a，使B＝A.
點評：分類討論思想，就是科學(xué)合理地劃分類別，通過“各個擊破”，再求整體解決(即先化整為零，再聚零為整)的策略思想．類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求，探索劃分的數(shù)量界限是分類討論的關(guān)鍵．
【思考】
(1)空集中沒有元素，怎么還是集合？(2)符號“∈”和“”有什么區(qū)別？
剖析：(1)疑點是總是對空集這個概念迷惑不解，并產(chǎn)生懷疑的想法．產(chǎn)生這種想法的原因是沒有了解建立空集這個概念的背景，其突破方法是通過實例來體會．例如，根據(jù)集合元素的性質(zhì)，方程的解能夠組成集合，這個集合叫做方程的解集．對于1x＝0，x2＋4＝0等方程來說，它們的解集中沒有元素．也就是說確實存在沒有任何元素的集合，那么如何用數(shù)學(xué)符號來刻畫沒有元素的集合呢？為此引進了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．這就是建立空集這個概念的背景．由此看出，空集的概念是一個規(guī)定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就稱不等式|x|＜0的解集是空集．
(2)難點是經(jīng)常把這兩個符號混淆，其突破方法是準確把握這兩個符號的含義及其應(yīng)用范圍，并加以對比．符號∈只能適用于元素與集合之間，其左邊只能寫元素，其右邊只能寫集合，說明左邊的元素屬于右邊的集合，表示元素與集合之間的關(guān)系，如－1∈Z，12Z；符號只能適用于集合與集合之間，其左右兩邊都必須寫集合，說明左邊的集合是右邊集合的子集，表示集合與集合之間的關(guān)系，如{1}{1,0}，{x|x＜0}．