高中導數教案

導數的概念。

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生更好地進入課堂環(huán)境中來，幫助教師緩解教學的壓力，提高教學質量。教案的內容具體要怎樣寫呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“導數的概念”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

導數的概念

人教社·普通高級中學教科書（選修Ⅱ）

第三章第一節(jié)《導數的概念》（第三課時）

導數是近代數學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲.《導數的概念》這一節(jié)內容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談談我的理解與設計，敬請各位專家斧正.

一、教材分析

1.1編者意圖《導數的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數的概念；介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數的理解.從而充分借助直觀來引出導數的概念；用極限思想抽象出導數；用函數思想拓展、完善導數以及在應用中鞏固、反思導數，教材的顯著特點是從具體經驗出發(fā)，向抽象和普遍發(fā)展，使探究知識的過程簡單、經濟、有效.

1.2導數概念在教材的地位和作用“導數的概念”是全章核心.不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用.導數的出現推動了人類事業(yè)向前發(fā)展.

1.3教材的內容剖析知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：

表1.知識主體結構比較

對象

內容

本質

符號語言

數學思想

現有

認知

結構

曲線

y=f(x)

切線的斜率

割線斜率的極限

極限思想

物體運動規(guī)律

S=s(t)

物體的瞬時

速度

平均速度的極限

極限思想

函數思想

最近

發(fā)展

區(qū)

函數

y=f(x)

導函數

（導數）

平均變化率的極限

極限思想

函數思想表2.知識遷移類比（導數像速度）

已有認知結構

最近發(fā)展區(qū)

相似點

物體在t0時刻的速度

函數f(x)在x0處的導數

特指

常數

物體的任意時刻t的速度

函數f(x)在開區(qū)間內

泛指

是函數（變量）

瞬時速度

↓

一般說成速度

導函數

↓

一般說成導數

名稱對應

泛指

v=v(t)

關系對應

v0=v|t=t0

求法對應

位移對時間的變化率

函數對自變量的變化率

本質對應通過比較發(fā)現：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限.因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法.

1.4重、難點剖析

重點：導數的概念的形成過程.

難點：對導數概念的理解.

為什么這樣確定呢？導數概念的形成分為三個的層次：f(x)在點x0可導→f(x)在開區(qū)間（，b）內可導→f(x)在開區(qū)間（，b）內的導函數→導數，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數概念的形成過程是重點；教材中出現了兩個“導數”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數到底是個什么東西？一個函數是不是有兩種導數呢？”，“導函數與導數是怎么統(tǒng)一的？”.事實上：（1）f(x)在點x0處的導數是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數，區(qū)別于導函數.（2）f(x)的導數是對開區(qū)間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限,是f(x)在任意點的變化率，其中滲透了函數思想.（3）導函數就是導數！是特殊的函數：先定義f(x)在x0處可導、再定義f(x)在開區(qū)間（，b）內可導、最后定義f(x)在開區(qū)間的導函數.（4）y=f(x)在x0處的導數就是導函數在x=x0處的函數值，表示為這也是求f′(x0)的一種方法.初學者最難理解導數的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區(qū)別和聯系，會出現較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f(x)在點x0可導”、“f(x)在開區(qū)間的導函數”和“導數”之間的聯系，而要弄清這種聯系的最好方法就是類比！用“速度與導數”進行類比.

二、目的分析

2.1學生的認知特點.在知識方面，對函數的極限已經熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度.

2.2教學目標的擬定.鑒于這些特點,并結合教學大綱的要求以及對教材的分析,擬定如下的教學目標:

知識目標：①理解導數的概念.

②掌握用定義求導數的方法.

③領悟函數思想和無限逼近的極限思想.

能力目標：①培養(yǎng)學生歸納、抽象和概括的能力.

②培養(yǎng)學生的數學符號表示和數學語言表達能力.

情感目標：通過導數概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀

點.接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的積極態(tài)度.

三、過程分析

設計理念：遵循特殊到一般的認知規(guī)律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數的形成,發(fā)展和應用過程，幫助學生主動建構概念.

引導激趣

概括抽象

互動導標

類比拓展

分層作業(yè)

引導小結

回歸體驗

概念導析
3.1引導激趣

設計意圖：創(chuàng)設情景，提出課題.演示曲線的割線變切線的動態(tài)過程，為學生提供一個

聯想的“源”，從變量分析的角度，巧妙設問，把學習任務轉移給學生.

問題：割線的變化過程中，

①△x與△y有什么變化？②有什么含義？③在△x→0時是否存在極限？

3.2概括抽象

設計意圖：回顧實際問題，抽象共同特征，自然提出：f(x)在x0處可導的定義，完成“導

數”概念的第一層次.

曲線的切線的斜率

抽象舍去問題的具體含義

歸結為一種形式相同的極限即

f′(x0)==

（在黑板上清晰完整的板書定義，并要求學生表述、書寫，以培養(yǎng)學生的數學符號表示和數學語言表達能力.）

3.3互動導標

設計意圖：設置兩個探究問題，分析不同結果的原因，并引導學生提出新的問題或猜想，鼓勵學生進行數學交流，激發(fā)學生進一步探究的熱情，從而找到推進解決問題的線索——提出：f(x)在開區(qū)間（，b）內可導的定義，完成“導數概念”的第二個層次..

①研究：函數y=2x+5在下列各點的變化率：（1）x=1，（2）x=2，（3）x=3

②研究：函數y=x2在下列各點的變化率：（1）x=1，（2）x=2，（3）x=3

定義：函數f(x)在開區(qū)間(，b)內每一點可導，就說f(x)在開區(qū)間(，b)內可導.

3.4類比拓展

設計意圖：回顧“瞬時速度的概念”，滲透類比思想和函數思想.讓學生產生聯想，拓展出：f(x)在開區(qū)間（，b）內的導函數的定義，完成“導數”概念的第三層次.

已有認知：

物體在時刻t0的速度：

物體在時刻t的速度

新認知：

函數f(x)在開區(qū)間(，b)內每一點可導，就說f(x)在開區(qū)間(，b)內可導.

點撥：映射→函數

對于（，b）內每一個確定的值x0，對應著一個確定的導數值，這樣就在開區(qū)間（，b）內構成一個新函數

導函數（導數）

3.5概念導析

設計意圖：引導學生用辨析和討論的方式，反思導數概念的實質，從而突破難點，促成學生形成合理的認知結構.

辨析：（1）f′(x0)與相等嗎？

（2）與f′(x0)相等嗎？試討論:f′(x0)與區(qū)別與聯系.

反思：“f(x)在點x0處的導數”，“f(x)在開區(qū)間（，b）內的導函數”和“導數”之間的區(qū)別和聯系.

板書：導數概念主體結構示意圖

f(x)在點x0處可導

↓

f(x)在開區(qū)間（，b）內可導

↓

f(x)在開區(qū)間（，b）內的導函數

↓

導數

3.6回歸體驗——體現“導數”的應用價值

設計意圖：通過隨堂提問和討論例題，增強師生互動，讓學生在“做”中“學”，體驗求導的結果表示的實際意義，體驗導數運算的作用,體會用導數定義求導的兩種方法,產生認可和接受“導數”的積極態(tài)度,并養(yǎng)成規(guī)范使用數學符號的習慣.

想一想：（1）導數的本質是什么？你能用今天學過的方法去解決上次課的問題嗎？（第109頁練習1、2，第111頁練習1、2）有什么感想？

（2）“切線的斜率”、“物體的瞬時速度”的本質都是什么？怎樣表示？

k=或k=

v0＝或v=

（3）導數還可以解決實際生活中那些問題？你能舉例說明嗎？

例題A組：

①已知S=πr2，求

②已知V=，求

③已知y=x2+3x求（1）；(2)求︱x=2

例題B組：

④已知，求，并思考的定義域與函數在開區(qū)間可導的意義

3.7引導小結

設計意圖：引導學生進行自我小結，用聯系的觀點將新學內容在知識結構、思想方法等

方面進行概括，鞏固新知，形成新的認知結構.

知識結構：

（1）導數的概念（語言表達；符號表示；“f(x)在點x0處的導數”，“導函數”和“導數”

之間的聯系和區(qū)別.）；

（2）主要數學思想：極限思想、函數思想；

（3）用定義求導的方法，步驟；

（4）導數的作用.

3.8分層作業(yè)

設計意圖：注意雙基訓練與發(fā)展能力相結合,設計遞進式分層作業(yè)以滿足不同學生的多樣化學習需求，使他們得到最全面的發(fā)展.把教材的第112頁的關于“可導必連續(xù)”的命題調整為選做題既不影響主體知識建構,又能滿足學生的進一步的探究需求.

必做題:

1.教材第114頁，第2，3，4題.

2．若f′(x0)=a，

（1）求的值.

（2）求的值.

思考題：

1.已知y=x3求（1）；（2）︱x=0；（3）求曲線在（0，0）處的切線方程.

2.討論y=|x|在x=0處是否可導？

選做題：

求證：如果函數y=f(x)在x0處可導，那么函數y=f(x)在點x0處連續(xù).

四、教法分析

依據：循序漸進原則和可接受原則.

設計理念:把教學看作是一個由教師的“導”、學生的“學”及其教學過程中的“悟”為三個子系統(tǒng)組成的多要素的和諧整體.

教法：支架式過程法，即：×b=學習

：教師啟發(fā)、誘導、激勵、評價等為學生的學習搭建支架，把學習的任務轉移給學生.

b：學生接受任務，探究問題，完成任務.

×b：以問題為核心，通過對知識的發(fā)生、發(fā)展和運用過程的演繹、揭示和探究，組織和推動教學.

圖3：×b=“導”×（“學”+“悟”）=“教”ד學”=學習

圖4：

“導”“悟”“學”

啟接

發(fā)受

|問題|

誘組推探

導織動究

||

激完

勵成

可接受原則認知規(guī)律

4.1“導”——引導學生用變量觀點去認識△x，△y和,

——引導學生用函數的思想去認識f′(x0)向f′(x)拓展的過程.

——引導學生聯系的觀點弄清導數概念之間的區(qū)別和聯系

“學”——通過具體的導數背景提出問題.

——通過類比、聯想分析問題.

——通過交流，體驗，反思解決問題

“悟”——通過教師的“導”，學生的“學”，“悟”出導數的本質.

4.2借助多媒體顯示直觀、體現過程的優(yōu)勢來展示割線的動態(tài)變化，向學生滲透無限逼近的極限思想，為抽象出導數的概念作必要的準備.

4.3板書設計

§3.1.3導數的概念

（主線）

1.定義：函數y=f(x)在x0處可導①研究

②研究

辨析

2.定義：函數y=f(x)在（，b）可導例題A組：

例題B組：

3.定義：函數y=f(x)在（，b）內的導函數

（導數）

4.區(qū)別與聯系

5.用導數的定義求f(x)在（，b）內的導數的方法比較與鑒別

6.小結（知識，方法，思想）區(qū)別與聯系作業(yè)

五、評價分析

評價模式：圍繞教學目標的落實情況，以過程性評價為主，形成性評價為輔，采取及時點評、延時點評與學生自評三結合.既充分肯定學生的思維，贊揚學生的思路，激勵學生的思辨，又必須以科學的態(tài)度引導學生服從理性，追求真理.

主要手段：

1．通過“概念導析”，“回歸與體驗”，進行點評和互評，考察學生對“導數概念”及“導數運算”的掌握情況；考察學生歸納，抽象和概括的能力是否形成，并進行有爭對性的及時調整和補充.

2．通過引導小結情況，考察學生是否突破了難點,及時調整“問題”導向.

3．通過分層作業(yè)的完成情況，考察的總體知識結構的同化過程是否完成；通過B組例題和思考題的完成情況，考察學生的數學符號表示和解決實際問題的能力是否形成.調整和補充下一課時的教程.對選做題的完成情況，主要評價優(yōu)生的個體發(fā)展情形.

這就是我對這一課時的理解、涉及觀點和方法，可能有不當之處，敬請各位專家批評與斧正，謝謝大家！

幾點說明

.

本次說課有如下幾個基本的特點.

1．“以學生為本”的教育觀是教學設計的根本指導思想.

對學生學習與發(fā)展的關系作了認真思考.強調學生的“經歷”，“體會”，“感受”的過程學習；從學生的發(fā)展出發(fā)，通過對學生的“情感”，“態(tài)度”，“理性精神”的關注與培養(yǎng)，來優(yōu)化學生的思維品質.在作業(yè)設計方面盡量滿足多樣化的學習需求.

2．在難點的突破上采取了有效的分解策略.

2.1．通過對學生已有的認知結構和學生最近發(fā)展區(qū)的剖析，充分利用挖掘教材的背景材料，找準了“瞬時速度”與“導函數”，“速度”與“導數”的類比，為學生對導數的理解創(chuàng)設了先機，打開學生從情感上認可和接受“導數”的通道.

2.2．對導數概念中的幾個“重要的關鍵詞”的理解作了恰當的引導和作了精準的導析，搞清它們之間的區(qū)別和聯系，才能使學生真正的理解“導數”，為學生同化“導數的概念”指明了方向.

2.3．在過程分析中設計了“回歸體驗”，強調注重學生對新知的體驗，突出了導數的應用價值，有利于實現情感目標，加快了學生同化概念的進程.

2.4．在引導學生小結的過程中，考察學生是否突破了難點，以便進行及時的糾正和補充，分層作業(yè)中專門設計突破難點的習題，使突破難點得到了保證.

3．形式和內容得到統(tǒng)一，具有很強的操作性.

3.1．通過對教材內容、學生情況的分析，較好地解決了“教什么？”--設計中明確指出了知識、能力、情感方面的三維目標；選擇了較為恰當的支架過程教法并設計了有操作性的，說出了“怎么教”的具體措施.教師的組織者、引導者、合作者的身份沒有動搖學生的主體地位，更沒有否定學生智力發(fā)展需要有意識的培養(yǎng).既不高估學生的理解力，也不抹殺學生所具有創(chuàng)造性.

3.2．在教學的第一環(huán)節(jié)借助了多媒體顯示直觀、體現過程的優(yōu)勢來展示割線的動態(tài)變化，向學生滲透極限思想，為抽象出導數的概念做了積極的準備，這是傳統(tǒng)的黑板和粉筆難以做到的.

延伸閱讀

高三數學導數的概念與運算教案17

11.3導數概念與運算
一、明確復習目標
1.了解導數概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；
2.掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念;
3.熟記基本導數公式；
4.掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則;
5.了解復合函數的求導法則.會求某些簡單函數的導數.
二．建構知識網絡
1．導數的概念：設函數y=f(x)在x=x0處附近有定義，如果Δx→0時，Δy與Δx的比（也叫函數的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數，我們把這個極限值叫做函數y=f(x)在Δx→0處的導數，記作
；
2．導數的幾何意義：函數y=f(x)在x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點（x0，y0）處的切線的斜率，即斜率為f′(x0).
過點P的切線方程為：y-y0=f′(x0)(x-x0).
3.導函數、可導：如果函數y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內的每點處都有導數，即對于每一個x∈(a,b)，都對應著一個確定的導數f′(x0)，從而構成了一個新的函數f′(x0),稱這個函數f′(x0)為函數y=f(x)在開區(qū)間內的導函數，簡稱導數。此時稱函數y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導.
4．可導與連續(xù)的關系：如果函數y=f(x)在點x0處可導函數y=f(x)在點x0處連續(xù).
5.依定義求導數的方法：
（1）求函數的改變量
（2）求平均變化率
（3）取極限，得導數＝
6．幾種常見函數的導數：
(C為常數)；()；；；；；；。
7．導數的四則運算法則：
；；
；
8．復合函數的導數：設函數u=(x)在點x處有導數u′x=′(x)，函數y=f(u)在點x的對應點u處有導數y′u=f′(u)，則復合函數y=f((x))在點x處也有導數，且或=f′(u)′(x).
9.求導數的方法:
(1)求導公式;(2)導數的四則運算法則;
(3)復合函數的求導公式;(4)導數定義.

三、雙基題目練練手
1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點（1,2）及鄰近一點（1+Δx,2+Δy）,則為（）
A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－
2.設f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,則a的值等于（）
A.B.C.D.
3．(2005湖南)設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2005(x)＝（）
A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx
4.(2006湖南)設函數,集合,若,則實數的取值范圍是()
A．B．C．D．
5.(2006全國Ⅰ)設函數若是奇函數，則__________
6．設函數若該函數在實數集R上可導，則該函數的最小值是____．

7.(2005北京)過原點作曲線的切線，則切點的坐標為，切線的斜率為.
8．對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是

簡答:1－4.CDCC；5.π6；
6.答案:－14.依題意
作圖易得函數的最小值是f(12)＝－14

7.（1，e）e；8.2n+1-2.
四、經典例題做一做
【例1】求下列函數的導數：
（1）y=（2）y=ln（x＋）;
（３）y=;
解:（1）y′=
=
=
（2）y′=（x＋）′
=（1＋）=
（３）y′==
◆提煉方法：題（1）是導數的四則運算法則；題（2）（3）是復合函數的求導方法.都是導數問題的基礎.
【例2】（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；
（2）運動曲線方程為，求t=3時的速度
分析：根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知，函數y=f(x)在處的導數就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數
解：（1），
，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0
因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1
（2）
解題點評:切線是導數的“幾何形象”,是函數單調性的“幾何”解釋,要熟練掌握求切線方程的方法.
【例3】若f（x）在R上可導，（1）求f（－x）在x=a處的導數與f（x）在x=－a處的導數的關系；（2）證明：若f（x）為偶函數，則f′（x）為奇函數.
分析:（1）需求f（－x）在x=a處的導數與f（x）在x=－a處的導數；（2）求f′（x），然后判斷其奇偶性.
（1）解:設f（－x）=g（x）,則
g′（a）=
=
=－=－f′（－a）
∴f（－x）在x=a處的導數與f（x）在x=－a處的導數互為相反數.
（2）證明:f′（－x）=
=
=－=－f′（x）
∴f′（x）為奇函數.
解題點注:用導數的定義求導數時，要注意Δy中自變量的變化量應與Δx一致.
【例4】（2006浙江）已知函數＝x3+x2，數列{xn}（xn0）的第一項x1＝1，以后各項按如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經過（0，0）和（xn，f（xn））兩點的直線平行（如圖）。求證：當n時：
（I）；（II）

證明：（I）∵
∴曲線在處的切線斜率
∵過和兩點的直線斜率是
∴.
（II）∵函數當時單調遞增，
而
，
∴，即
因此
又∵
令則
∵∴
因此故
考查知識：函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。
五．提煉總結以為師
1．了解導數的概念，初步會用定義式解決一些問題；
2．會用定義式求導數；
3．了解導數的幾何意義；會求切線方程；
4．掌握常見函數的導數公式，并會正確運用；
5．掌握導數的四則運算法則及復合函數的求導法則。

同步練習11.3導數概念與運算
【選擇題】
1.設函數f（x）在x=x0處可導,則（）
A與x0,h都有關B僅與x0有關而與h無關
C僅與h有關而與x0無關D與x0、h均無關
2.已知函數f（x）在x=1處的導數為3,則f（x）的解析式可能為（）
Af（x）=（x－1）2+3（x－1）Bf（x）=2（x－1）
Cf（x）=2（x－1）2Df（x）=x－1
3．(2005湖北)在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（）
A．3B．2C．1D．0

4.(2006安徽)若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）
A．B．C．D．
【填空題】
5.一點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的距離為，那么速度為零的時刻是________

6．過點（0，－4）與曲線y＝x3＋x－2相切的直線方程是．
7.設f（x）在x=1處連續(xù)，且f（1）=0,=2,則f′（1）=_______
8.曲線y=2－x2與y=x3－2在交點處的切線夾角是__________（以弧度數作答）

簡答.提示：1－4.BADA；5.1，2，4秒末；
6．y＝4x－4；7.∵f（1）=0,=2,
∴f′（1）====2

8.由消y得：（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2
∵y′=（2－x2）′=－x,∴y′|x=2=－2
又y′=（－2）′=x2,∴當x=2時,y′=3
∴兩曲線在交點處的切線斜率分別為－2、3,
||=1∴夾角為
【解答題】
9．下列函數的導數
①
②
③f（x）=e－x（cosx+sinx）
分析：利用導數的四則運算求導數
①法一：
∴
法二：
=+
②
∴
③f/(x)=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）
=－2e－xsinx,
10．如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標與切線方程．
解：切線與直線平行，斜率為4
又切線在點的斜率為
∵∴
或
∴切點為（1，-8）或（-1，-12）
切線方程為或
即或
11．(2005福建)已知函數
的圖象過點P（0，2），且在點M（－1，f（－1））處的切線方程為．
（Ⅰ）求函數y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函數y=f(x)的單調區(qū)間．
解：（Ⅰ）由f(x)的圖象經過P（0，2），知d=2，
所以
由在M(-1,f(-1))處的切線方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
當
當
故內是增函數，在內是減函數，在內是增函數．
考查知識：函數的單調性、導數的應用等知識，考查運用數學知識分析問題和解決問題的能力．

12.證明：過拋物線y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1x2）上兩點A（x1，0）、B（x2，0）的切線，與x軸所成的銳角相等.
解：y′=2ax－a（x1+x2），
y′|=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），y′|=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.
設兩條切線與x軸所成的銳角為、β，則tan=|kA|=|a（x1－x2）|，
tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.
又、β是銳角，則=β.

導數的概念及其幾何意義3導學案

三大段一中心五環(huán)節(jié)高效課堂—導學案

制作人：張平安修改人：審核人：
班級：姓名：組名：
課題第六課時導數的幾何意義（二）
學習

目標掌握切線斜率由割線斜率的無限逼近而得，掌握切線斜率的求法
學習
重點（1）能體會曲線上一點附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）會求曲線上一點處的切線斜率．
學習
難點（1）能體會曲線上一點附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）會求曲線上一點處的切線斜率．
學法
指導探析歸納，講練結合
學習過程
一自主學習
1．情境：設是曲線上的一點，將點附近的曲線放大、再放大，則點附近將逼近一條確定
的直線．

2．問題：怎樣找到在曲線上的一點處最逼曲線的直線呢？

如上圖直線為經過曲線上一點的兩條直線．
（1）判斷哪一條直線在點附近更加逼近曲線．
（2）在點附近能作出一條比更加逼近曲線
的直線嗎？
（3）在點附近能作出一條比更加逼近曲線的直線嗎？
3.歸納
（1）．割線及其斜率：連結曲線上的兩點的直線叫曲線的割線，
設曲線上的一點，過點的一條割線交曲線于另一點，則割線的斜率為
．
（2）．切線的定義：隨著點沿著曲線向點運動，割線在點附近越來越逼近曲線。當點無限逼近點時，直線最終就成為在點處最逼近曲線的直線，這條直線也稱為曲線在點處的切線；
（3）．切線的斜率：當點沿著曲線向點運動，并無限靠近點時，割線逼近點處的切線，從而割線的斜率逼近切線的斜率，即當無限趨近于時，無限趨近于點處的切線的斜率．
二師生互動
例1．已知曲線，
（1）判斷曲線在點處是否有切線，如果有，求切線的斜率，然后寫出切線的方程．
（2）求曲線在處的切線斜率。
分析：（1）若是曲線上點附近的一點，當沿著曲線無限接近點時，割線的斜率是否無限接近于一個常數．若有，則這個常數是曲線在點處的切線的斜率；（2）為求得過點的切線斜率，我們從經過點的任意一點直線（割線）入手。

例2．已知，求曲線在處的切線的斜率．
分析：為了求過點的切線的斜率，要從經過點的任意一條割線入手．

例3．已知曲線方程，求曲線在處的切線方程．
三、自我檢測
練習第1，2，3題；
習題2-2A組中第3題

四、課堂反思
1、這節(jié)課我們學到哪些知識？學到什么新的方法？
2、你覺得哪些知識，哪些知識還需要課后繼續(xù)加深理解？
五、拓展提高
1、補充：判斷曲線在點處是否有切線？如果有，求出切線的方程．2、習題2-2中B組1、2

導數的概念及其幾何意義(2)導學案

三大段一中心五環(huán)節(jié)高效課堂—導學案

制作人：張平安修改人：審核人：
班級：姓名：組名：
課題第五課時導數的幾何意義（一）
學習

目標1、通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義；
2、理解曲線在一點的切線的概念；
3、會求簡單函數在某點處的切線方程。
學習
重點了解導數的幾何意義
學習
難點求簡單函數在某點出的切線方程
學法
指導探析歸納，講練結合
學習過程
一自主學習
設函數在[x0，x0＋Δx]的平均變化率為，如右圖所示，它是過A（x0，）和B（x0＋Δx，）兩點的直線的斜率。這條直線稱為曲線在點A處的一條割線。
如右圖所示，設函數的圖像是一條光滑的曲線，從圖像上可以看出：當Δx取不同的值時，可以得到不同的割線；當Δx趨于0時，點B將沿著曲線趨于點A，割線AB將繞點A轉動最后趨于直線l。直線l和曲線在點A處“相切”，稱直線l為曲線在點A處的切線。該切線的斜率就是函數在x0處的導數。
函數在x0處的導數，是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。函數在x0處切線的斜率反映了導數的幾何意義。

1、導數的幾何意義：
函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率，
即
歸納總結：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:
①求出P點的坐標;
②求出函數在點處的變化率，得到曲線在點的切線的斜率；
③利用點斜式求切線方程.
2、導函數：
注：在不致發(fā)生混淆時，導函數也簡稱導數．
3、函數在點處的導數、導函數、導數之間的區(qū)別與聯系。
（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。
(2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的，就是函數f(x)的導函數
(3）函數在點處的導數就是導函數在處的函數值，這也是求函數在點處的導數的方法之一。
二師生互動
例1、已知函數，x0＝－2。（1）分別對Δx=2，1，0.5求在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率，并畫出過點（x0，）的相應割線；（2）求函數在x0＝－2處的導數，并畫出曲線在點（－2，4）處的切線。

例2、求函數在x=1處的切線方程。
三、自我檢測
課本練習：1、2.

四、課堂反思
1、這節(jié)課我們學到哪些知識？學到什么新的方法？
2、你覺得哪些知識，哪些知識還需要課后繼續(xù)加深理解？
五、拓展提高
課本習題2-2中A組4、5

導數的概念及其幾何意義(4)導學案

三大段一中心五環(huán)節(jié)高效課堂—導學案

制作人：張平安修改人：審核人：
班級：姓名：組名：
課題第七課時導數的幾何意義習題課
學習

目標會利用導數的幾何意義求曲線上某點處的切線方程
學習
重點曲線上一點處的切線斜率的求法
學習
難點理解導數的幾何意義
學法
指導探析歸納，講練結合
學習過程
一自主學習
復習：導數的幾何意義：函數在x0處的導數就是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。
二師生互動
例1、在曲線上求一點P使得曲線在該點處的切線滿足下列條件：
（1）平行于直線y＝x＋1；
（2）垂直于直線2x－16y＋1＝0；
（3）傾斜角為135°。

例2、求曲線過（1，1）點的切線的斜率。

例3、如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數
，根據圖像，請描述、比較曲線在、、附近的變化情況．

三、自我檢測
練習冊：7、8．

四、課堂反思
1、這節(jié)課我們學到哪些知識？學到什么新的方法？
2、你覺得哪些知識，哪些知識還需要課后繼續(xù)加深理解？
五、拓展提高
習題2-2A：3.4.5B