高中拋物線教案

高二數(shù)學(xué)下冊《拋物線》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)。

高二數(shù)學(xué)下冊《拋物線》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

拋物線的性質(zhì)：

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab0)，對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0)，對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

焦半徑：

焦半徑：拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Fè÷

p2，0的距離|PF|＝x0＋p2.

求拋物線方程的方法：

(1)定義法：根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征，從而確定p的值，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù)p的值，這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式．從簡單化角度出發(fā)，焦點(diǎn)在x軸的，設(shè)為y2＝ax(a≠0)，焦點(diǎn)在y軸的，設(shè)為x2＝by(b≠0)．

練習(xí)題：

設(shè)拋物線C:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A∈C,已知以F為圓心,FA為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn).∠BFD=90°,△ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程。

【解析】因?yàn)橐訤為圓心,FA為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn),

所以△BFD為等腰直角三角形,故斜邊|BD|=2p,

又點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d=|FA|=|FB|=p,

所以S△ABD=4=|BD|×d=×2p×p,

所以p=2.

所以圓F的圓心為(0,1),半徑r=|FA|=2,

圓F的方程為x2+(y-1)2=8.[工作匯報(bào)網(wǎng) WwW.GSi8.coM]

延伸閱讀

高一數(shù)學(xué)拋物線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生們有一個(gè)良好的課堂環(huán)境，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的教師教學(xué)。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編為大家整理的“高一數(shù)學(xué)拋物線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)”，相信能對大家有所幫助。

高一數(shù)學(xué)拋物線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab0)，對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0)，對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

高二數(shù)學(xué)《拋物線中的焦點(diǎn)弦問題》集體備課

高二數(shù)學(xué)《拋物線中的焦點(diǎn)弦問題》集體備課

拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡.
問題一：已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線
交拋物線于兩點(diǎn)，則
問題二、已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線
交拋物線于兩點(diǎn)，為在準(zhǔn)線上的
射影，則
問題三、已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線
交拋物線于兩點(diǎn)，為在準(zhǔn)線上的射影，
則以為直徑的圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系？

問題四、已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線
交拋物線于兩點(diǎn)，
則
問題五、已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物
線于兩點(diǎn)，則
二、練習(xí)
例1、過拋物線的焦點(diǎn)做直線交拋物線于兩點(diǎn)，如果，那么
變式：過拋物線的焦點(diǎn)做直線交拋物線于兩點(diǎn)，如果，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的重心的橫坐標(biāo)是
例2、直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，由分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，如果，為的中點(diǎn)，
則（用表示）
變式：直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，由分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，如果，為的中點(diǎn)，則（用表示）
例3、設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則
例4、過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段與的長分別是，則

高考數(shù)學(xué)拋物線復(fù)習(xí)教案

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《高考數(shù)學(xué)拋物線復(fù)習(xí)教案》，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2拋物線的圖形和性質(zhì)：
①頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。
②焦準(zhǔn)距：
③通徑：過焦點(diǎn)垂直于軸的弦長為。
④頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段：。
⑤焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓過定點(diǎn)F、準(zhǔn)線是公切線。
⑥焦半徑為直徑的圓：以焦半徑FP為直徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。所有這樣的圓過定點(diǎn)F、過頂點(diǎn)垂直于軸的直線是公切線。
⑦焦點(diǎn)弦為直徑的圓：以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓的公切線是準(zhǔn)線。
3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：
4拋物線的圖像和性質(zhì)：
①焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，
②準(zhǔn)線方程是：。
③焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是：，
④焦點(diǎn)弦長公式：過焦點(diǎn)弦長
⑤拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或或P
5一般情況歸納：
方程圖象焦點(diǎn)準(zhǔn)線定義特征
y2=kxk0時(shí)開口向右(k/4,0)x=─k/4到焦點(diǎn)(k/4,0)的距離等于到準(zhǔn)線x=─k/4的距離
k0時(shí)開口向左
x2=kyk0時(shí)開口向上(0,k/4)y=─k/4到焦點(diǎn)(0,k/4)的距離等于到準(zhǔn)線y=─k/4的距離
k0時(shí)開口向下
拋物線的定義：
例1：點(diǎn)M與點(diǎn)F(－4，0)的距離比它到直線l：x－6=0的距離4.2，求點(diǎn)M的軌跡方程．
分析：點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線x=4的距離恰好相等，符合拋物線定義．
答案：y2=－16x
例2：斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)A、B，求線段A、B的長．
分析：這是靈活運(yùn)用拋物線定義的題目．基本思路是：把求弦長AB轉(zhuǎn)化為求A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的和．
解：如圖8－3－1，y2=4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，則l的方程為y=x－1．
由消去y得x2－6x+1=0．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1+x2=6．
又A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，則
點(diǎn)評(píng)：拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì)，在解題中起到至關(guān)重要的作用。
例3:(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=10x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)已知拋物線的焦點(diǎn)是F(0，3)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(3)已知拋物線方程為y=－mx2(m0)求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(4)求經(jīng)過P(－4，－2)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
分析：這是為掌握拋物線四類標(biāo)準(zhǔn)方程而設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)題，解題時(shí)首先分清屬哪類標(biāo)準(zhǔn)型，再錄求P值(注意p0)．特別是(3)題，要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，則．(4)題滿足條件的拋物線有向左和向下開口的兩條，因此有兩解．
答案：(1)，．(2)x2=12y(3)，；(4)y2=－x或x2=－8y．
例4求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：
（1）過點(diǎn)（－3，2）；
（2）焦點(diǎn)在直線x－2y－4=0上
分析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論
解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y2=－2px或x2=2py（p＞0），
∵過點(diǎn)（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p2
∴p=或p=
∴所求的拋物線方程為y2=－x或x2=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=－
（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，－2）
當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，=4，
∴p=8，此時(shí)拋物線方程y2=16x；
焦點(diǎn)為（0，－2）時(shí)，=2，
∴p=4，此時(shí)拋物線方程為x2=－8y
∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y，
對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－4，y=2

常用結(jié)論
①過拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F的弦AB長的最小值為2p
②設(shè)A(x1，y)，1B(x2，y2)是拋物線y2＝2px上的兩點(diǎn)，則AB過F的充要條件是y1y2＝－p2
③設(shè)A，B是拋物線y2＝2px上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則OA⊥OB的充要條件是直線AB恒過定點(diǎn)(2p，0)

例5：過拋物線y2=2px(p0)的頂點(diǎn)O作弦OA⊥OB，與拋物線分別交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，求證：y1y2=－4p2．
分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之積等于－1，從而得到x1、x2，y1、y2之間的關(guān)系．又A、B是拋物線上的點(diǎn)，故(x1，y1)、(x2，y2)滿足拋物線方程．從這幾個(gè)關(guān)系式可以得到y(tǒng)1、y2的值．
證：由OA⊥OB，得，即y1y2=－x1x2，又，，所以：，即．而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．
弦的問題
例1A,B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點(diǎn)，滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；
(2)直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)
(3)作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程
解：(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=─4p2(定值)
(2)直線AB的斜率k===,
∴直線AB的方程為y─y1=(x─),
即y(y1+y2)─y1y2=2px,由(1)可得y=(x─2p),
直線AB過定點(diǎn)C(2p,0)
(3)解法1:設(shè)M(x,y),由(2)知y=(x─2p)(i),
又ABOM,故兩直線的斜率之積為─1,即=─1(ii)
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0(x0)
解法2:由OMAB知點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)和點(diǎn)(2p,0)為直徑的圓(除去原點(diǎn))立即可求出
例2定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)
解：如圖，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),則x=,y=,
又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線:x=─1/4上的射影分別為A/,B/,M/,MM/與y軸的交點(diǎn)為N，
則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=
等號(hào)在直線AB過焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線AB的方程為y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依題意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2,此時(shí)x=(x1+x2)==
∴y=±即M(,),N(,─)
例3設(shè)一動(dòng)直線過定點(diǎn)A(2,0)且與拋物線相交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B、C在軸上的射影分別為,P是線段BC上的點(diǎn),且適合,求的重心Q的軌跡方程,并說明該軌跡是什么圖形
解析:設(shè),
,
由得
①
又代入①式得②
由得代入②式得:
由得或,又由①式知關(guān)于是減函數(shù)且
,且
所以Q點(diǎn)軌跡為一線段(摳去一點(diǎn)):
(且)
例4已知拋物線,焦點(diǎn)為F,一直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且,且AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)S(6,0)
①求拋物線方程;②求面積的最大值
解:①設(shè),AB中點(diǎn)
由得
又得
所以依題意,
拋物線方程為
②由及,
令得
又由和得:
例5定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)
解：如圖，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),則x=,y=,
又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線:x=─1/4上的射影分別為A/,B/,M/,MM/與y軸的交點(diǎn)為N，
則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=
等號(hào)在直線AB過焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線AB的方程為y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依題意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2,此時(shí)x=(x1+x2)==
∴y=±即M(,),N(,─)

綜合類(幾何)
例1過拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P、Q，通過點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，如何證明直線MQ平行于拋物線的對稱軸？
解：思路一：求出M、Q的縱坐標(biāo)并進(jìn)行比較，如果相等，則MQ//x軸，為此，將方程聯(lián)立，解出
直線OP的方程為即
令，得M點(diǎn)縱坐標(biāo)得證．
由此可見，按這一思路去證，運(yùn)算較為繁瑣．
思路二：利用命題“如果過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩上交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為、，那么”來證．
設(shè)、、，并從及中消去x，得到，則有結(jié)論，即．
又直線OP的方程為，，得．
因?yàn)樵趻佄锞€上，所以．
從而．
這一證法運(yùn)算較?。?br> 思路三：直線MQ的方程為的充要條件是．
將直線MO的方程和直線QF的方程聯(lián)立，它的解（x,y）就是點(diǎn)P的坐標(biāo)，消去的充要條件是點(diǎn)P在拋物線上，得證．這一證法巧用了充要條件來進(jìn)行逆向思維，運(yùn)算量也較?。?br> 說明：本題中過拋物線焦點(diǎn)的直線與x軸垂直時(shí)（即斜率不存在），容易證明成立．
例2已知過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)R是含拋物線頂點(diǎn)O的弧AB上一點(diǎn)，求△RAB的最大面積．
分析：求RAB的最大面積，因過焦點(diǎn)且斜率為1的弦長為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可．
解：設(shè)AB所在的直線方程為．
將其代入拋物線方程，消去x得
當(dāng)過R的直線l平行于AB且與拋物線相切時(shí)，△RAB的面積有最大值．
設(shè)直線l方程為．代入拋物線方程得
由得，這時(shí)．它到AB的距離為
∴△RAB的最大面積為．
例3直線過點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，直線過P和拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)直線的斜率為k．
（1）將直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函數(shù)；
（2）求出的定義域及單調(diào)區(qū)間．
分析：過點(diǎn)P及F，利用兩點(diǎn)的斜率公式，可將的斜率用k表示出來，從而寫出，由函數(shù)的特點(diǎn)求得其定義域及單調(diào)區(qū)間．
解：（1）設(shè)的方程為：，將它代入方程，得
設(shè)，則
將代入得：，即P點(diǎn)坐標(biāo)為．
由，知焦點(diǎn)，∴直線的斜率
∴函數(shù)．
（2）∵與拋物線有兩上交點(diǎn)，∴且
解得或
∴函數(shù)的定義域?yàn)?br> 當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．
例4如圖所示：直線l過拋物線的焦點(diǎn)，并且與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求證：對于這拋物線的任何給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線．
分析：本題所要證的命題結(jié)論是否定形式，一方面可根據(jù)垂直且平分列方程得矛盾結(jié)論；別一方面也可以根據(jù)l上任一點(diǎn)到C、D距離相等來得矛盾結(jié)論．
證法一：假設(shè)直線l是拋物線的弦CD的垂直平方線，因?yàn)橹本€l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，且不為零；直線CD的斜率存在，且不為0．
設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為與．則
∴l(xiāng)的方程為
∵直線l平分弦CD
∴CD的中點(diǎn)在直線l上，
即，化簡得：
由知得到矛盾，所以直線l不可能是拋物線的弦CD的垂直平分線．
證法二：假設(shè)直線l是弦CD的垂直平分線
∵焦點(diǎn)F在直線l上，∴
由拋物線定義，到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等．
∵，
∴CD的垂直平分線l：與直線l和拋物線有兩上交點(diǎn)矛盾，下略．
例5設(shè)過拋物線的頂點(diǎn)O的兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線頂點(diǎn)O在AB上射影N的軌跡方程．
分析：求與拋物線有關(guān)的軌跡方程，可先把N看成定點(diǎn)；待求得的關(guān)系后再用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來表示，也可結(jié)合幾何知識(shí)，通過巧妙替換，簡化運(yùn)算．
解法一：設(shè)
則：，
，即
，①
把N點(diǎn)看作定點(diǎn)，則AB所在的直線方程為：顯然
代入化簡整理得：
，②
由①、②得：，化簡得
用x、y分別表示得：
解法二：點(diǎn)N在以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的交點(diǎn)（非原點(diǎn)）的軌跡上，設(shè)，則以O(shè)A為直徑的圓方程為：
①
設(shè)，OA⊥OB，則
在求以O(shè)B為直徑的圓方程時(shí)以代，可得
②
由①＋②得：
例6如圖所示，直線和相交于點(diǎn)M，⊥，點(diǎn)，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若△AMN為銳角三角形，，，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．
分析：因?yàn)榍€段C上的任一點(diǎn)是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，所以本題關(guān)鍵是建立適當(dāng)坐標(biāo)系，確定C所滿足的拋物線方程．
解：以為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系．
由題意，曲線段C是N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點(diǎn)．
∴設(shè)曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標(biāo)
令則，
∴由兩點(diǎn)間的距離公式，得方程組：
解得或
∵△AMN為銳角三角形，∴，則，
又B在曲線段C上，
則曲線段C的方程為
例7如圖所示，設(shè)拋物線與圓在x軸上方的交點(diǎn)為A、B，與圓在x由上方的交點(diǎn)為C、D，P為AB中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)．（1）求．（2）求△ABQ面積的最大值．
分析：由于P、Q均為弦AB、CD的中點(diǎn)，故可用韋達(dá)定理表示出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式即可求出．
解：（1）設(shè)
由得：，
由得，
同類似，
則，
（2）
，∴當(dāng)時(shí)，取最大值．
例8已知直線過原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)都在上，求直線和拋物線的方程．
分析：設(shè)出直線和拋物線的方程，由點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入拋物線方程．或設(shè)，利用對稱的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)知識(shí)求解．
解法一：設(shè)拋物線的方程為，直線的方程為，
則有點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為、，
則有解得
解得
如圖，、在拋物線上
∴
兩式相除，消去，整理，得，故，
由，，得．把代入，得．
∴直線的方程為，拋物線的方程為．
解法二：設(shè)點(diǎn)、關(guān)于的對稱點(diǎn)為、，
又設(shè)，依題意，有，．
故，．
由，知．
∴，．
又，，故為第一象限的角．
∴、．
將、的坐標(biāo)代入拋物線方程，得
∴，即從而，，
∴，得拋物線的方程為．
又直線平分，得的傾斜角為．
∴．
∴直線的方程為．
說明：
(1)本題屬于點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題．解法一是解對稱點(diǎn)問題的基本方法，它的思路明確，但運(yùn)算量大，若不仔細(xì)、沉著，難于解得正確結(jié)果．解法二是利用對稱圖形的性質(zhì)來解，它的技巧性較強(qiáng)，一時(shí)難于想到．
(2)本題是用待定系數(shù)法求直線的方程和拋物線方程．在已知曲線的類型求曲線方程時(shí)，這種方法是最常規(guī)方法，需要重點(diǎn)掌握．
例9如圖，正方形的邊在直線上，、兩點(diǎn)在拋物線上，求正方形的面積．
分析：本題考查拋物線的概念及其位置關(guān)系，方程和方程組的解法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及分析問題、解決問題的能力．
解：∵直線，，∴設(shè)的方程為，且、．
由方程組，消去，得，于是
，，∴(其中)
∴．
由已知，為正方形，，
∴可視為平行直線與間的距離，則有
，于是得．
兩邊平方后，整理得，，∴或．
當(dāng)時(shí)，正方形的面積．
當(dāng)時(shí)，正方形的面積．
∴正方形的面積為18或50．
說明：運(yùn)用方程（組）的思想和方法求某些幾何量的值是解析幾何中最基本的、貫穿始終的方法，本題應(yīng)充分考慮正方形這一條件．
例10設(shè)有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)闀r(shí)，經(jīng)過地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，求這彗星與地球的最短距離．
分析：利用拋物線有關(guān)性質(zhì)求解．
解：如圖，設(shè)彗星軌道方程為，，焦點(diǎn)為，
彗星位于點(diǎn)處．直線的方程為．
解方程組得，
故．
．
故，得．
由于頂點(diǎn)為拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，所以頂點(diǎn)是拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)．焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離為，所以彗星與地球的最短距離為或，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊與右邊時(shí)，所求距離取不同的值）．
說明：
(1)此題結(jié)論有兩個(gè)，不要漏解；
(2)本題用到拋物線一個(gè)重要結(jié)論：頂點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，其證明如下：設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，依拋物線定義，有，當(dāng)時(shí)，最小，故拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．
例11如圖，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、、、四點(diǎn)，求的值．
分析：本題考查拋物線的定義，圓的概念和性質(zhì)，以及分析問題與解決問題的能力，本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為直線被圓錐曲線所截得的弦長問題．
解：由圓的方程，即可知，圓心為，半徑為2，又由拋物線焦點(diǎn)為已知圓的圓心，得到拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)拋物線方程為，
∵為已知圓的直徑，∴，則．
設(shè)、，∵，而、在拋物線上，
由已知可知，直線方程為，于是，由方程組
消去，得，∴．
∴，因此，．
說明：本題如果分別求與則很麻煩，因此把轉(zhuǎn)化成是關(guān)鍵所在，在求時(shí)，又巧妙地運(yùn)用了拋物線的定義，從而避免了一些繁雜的運(yùn)算．
11.已知拋物線y2=2px(p0)，過焦點(diǎn)F的弦的傾斜角為θ(θ≠0),且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).
（1）求證：|AB|=;
(2)求|AB|的最小值.
（1）證明：如右圖，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（,0）.
設(shè)過焦點(diǎn)、傾斜角為θ的直線方程為y=tanθ（x-）,與拋物線方程聯(lián)立，消去y并整理，得
tan2θx2-(2p+ptan2θ)x+=0.
此方程的兩根應(yīng)為交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2=.
設(shè)A、B到拋物線的準(zhǔn)線x=-的距離分別為|AQ|和|BN|，根據(jù)拋物線的定義，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.
（2）解析：因|AB|=的定義域是0θπ，又sin2θ≤1，
所以，當(dāng)θ=時(shí)，|AB|有最小值2p.
12.已知拋物線y2=2px(p0)的一條焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成m、n兩部分，求證：為定值，本題若推廣到橢圓、雙曲線，你能得到什么結(jié)論？
解析：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，m=n=p，
∴=.
（2）當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB:y=k(x-),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m=+x1,n=+x2.
將AB方程代入拋物線方程，得
k2x2-(k2p+2p)x+=0,
∴
∴=
=.
本題若推廣到橢圓，則有=（e是橢圓的離心率）；若推廣到雙曲線，則要求弦AB與雙曲線交于同一支，此時(shí)，同樣有=(e為雙曲線的離心率).
13.如右圖，M是拋物線y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且?|MA|=|MB|.
（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程.
（1）證明：設(shè)M（y02,y0），直線ME的斜率為?k(k0),則直線MF的斜率為-k，
直線ME的方程為y-y0=k(x-y02).
由得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0yE=,
∴yE=,∴xE=.
同理可得yF=,∴xF=.
∴kEF=（定值）.
（2）解析：當(dāng)∠EMF=90°時(shí)，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y0）2,（1-y0)）F（（1+y0）2,-(1+y0)）.
設(shè)重心G（x,y），則有
消去參數(shù)y0,得y2=(x0).
14.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1,-3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足=?t+(1-t)(t∈R),點(diǎn)C的軌跡與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn).
（1）求證：⊥;
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m,0），使得過點(diǎn)P任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn).若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由.
（1）證明：由=t+(1-t)(t∈R)知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線，故點(diǎn)C的軌跡方程是：y+3=(x-1),即y=x-4.
由(x-4)2=4xx2-12x+16=0.
∴x1x2=16，x1+x2=12，
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故⊥.
（2)解析：存在點(diǎn)P（4，0），使得過點(diǎn)P任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn).
由題意知：弦所在的直線的斜率不為零，
故設(shè)弦所在的直線方程為：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOAkOB==-1.
∴OA⊥OB,故以AB為直徑的圓都過原點(diǎn).
設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x,y)，
則x=(x1+x2),y=(y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k(4k）+8=4k2+8.
∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：消去k，得y2=2x-8.

高二數(shù)學(xué)拋物線及其幾何性質(zhì)學(xué)案練習(xí)題

§2.4.2拋物線及其幾何性質(zhì)(2)
一、知識(shí)要點(diǎn)
1.了解拋物線過焦點(diǎn)弦的簡單性質(zhì)；
2.在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化。
二、典型例題
例1.⑴設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，求的長；
⑵已知是過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：。

例2.已知定點(diǎn)，拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，求的最小值，并確定取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3.設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求證：。

例4.已知直線為拋物線相交于點(diǎn)，求證：。

三、鞏固練習(xí)
1.已知?jiǎng)訄A的圓心在拋物線上，且與拋物線的準(zhǔn)線相切，求證：圓必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)。

2.若直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求線段的長。

3.已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離是5，求的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程。

四、小結(jié)

五、課后作業(yè)
1.焦點(diǎn)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；
2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則=；
3.已知拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是；
4.已知拋物線的弦垂直于軸，若，則焦點(diǎn)到直線的距離為；
5.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于，求線段的長。
6.已知是拋物線上三點(diǎn)，且它們到焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列，求證：。

7.直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線的方程為，的面積為，求該拋物線的方程。

8.是拋物線上兩點(diǎn)，且滿足，其中為拋物線頂點(diǎn)，
求證：⑴兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值；⑵直線恒過一定點(diǎn)。

訂正欄：